2014年衡阳市中考数学试题及答案（WORD版）

2014 年衡阳市初中毕业学业水平考试试卷 数 学 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，满分 36 分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合 题目要求的。） 01． 2 的倒数是【 B 】 A． 1 2 B． 1 2  C． 2 D． 2 02．下列图案中不是轴对称图形的是【 A 】 A． B． C． D． 03．环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问题。我国新修订的《环境空气质量标准》中 增加了 2.5PM 监测指标，“ 2.5PM ”是指大气中危害健康的直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物。2.5 微米即 0.0000025米。用科学记数法表示 0.0000025为【 C 】 A． 52.5 10 B． 52.5 10 C． 62.5 10 D． 62.5 10 04．若一个多边形的内角和是900 ，则这个多边形的边数为【 C 】 A．5 B． 6 C． 7 D．8 05．小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会儿报后， 继续散步了一段时间，然后回家。如图描述了小明在散步过程中 离家的距离 S （米）与散步所用的时间t （分）之间的函数关系。 根据图象，下列信息错误的是【 A 】 A．小明看报用时8 分钟 B．公共阅报栏距小明家 200 米 C．小明离家最远的距离为 400 米 D．小明从出发到回家共用时16 分钟 06．下列运算结果正确的是【 D 】 A． 2 3 5x x x  B． 3 2 6x x x C． 5 5x x x  D．  23 53 9x x x 07．不等式组 1 0 8 4 0 x x    ＞ ≤ 的解集在数轴上表示为【 A 】 A． B． C． D． 08．下列因式分解中正确的个数为【 C 】 ①  3 22 2x xy x x x y    ； ②  22 4 4 2x x x    ； ③   2 2x y x y x y     。 A．3 个 B． 2 个 C．1个 D． 0 个 09．右图所示的图形是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，则下面四个 平面图形中不是这个立体图形的三视图的是【 B 】 A． B． C． D． 10．如图，一河坝的横断面为等腰梯形 ABCD ，坝顶宽10米，坝高12米， 斜坡 AB 的坡度 1:1.5i  ，则坝底 AD 的长度为【 D 】 A． 26 米 B． 28 米 C．30 米 D． 46 米 11．圆心角为120 ，弧长为12 的扇形半径为【 C 】 A． 6 B．9 C．18 D． 36 12．下列命题是真命题的是【 D 】 A．四条边都相等的四边形是矩形 B．菱形的对角线相等 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．对角线相等的梯形是等腰梯形 二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分。） 13．函数 2y x  中自变量 x 的取值范围是 2x≥ 。 14．化简：  2 8 2  2 。 15．如图，在矩形 ABCD 中， 120BOC  ∠ ， 5AB  ，则 BD 的长为 10 。 16．甲、乙两同学参加学校运动会铅球项目选拔赛，各投掷六次，记录成绩，计算平均数和方差的结果为： 10.5x 甲 ， 10.5x 乙 ， 2 0.61S 甲 ， 2 0.50S 乙 ，则成绩较稳定的是 乙 。（填“甲”或“乙”） 17．如图， AB 为 O⊙ 的直径，CD 为 O⊙ 的弦， 25ACD  ∠ ，则 BAD∠ 的度数为 65 。 18．若点  1 1P m ， 和点  2 2P n ， 都在反比例函数  0ky kx   的图象上， 则 m  n （填“  ”、“  ” 或“  ”号） 19．分式方程 1 2 x x x x  的解为 x  2 。 20．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 0M 的坐标为 1 0， ， 将线段 0OM 绕原点O 逆时针方向旋转 45 ，再将其延长至点 1M ， 使得 1 0 0M M OM ，得到线段 1OM ；又将线段 1OM 绕原点O 逆时针方向旋转 45 ，再将其延长至点 2M ，使得 2 1 1M M OM ， 得到线段 2OM ；如此下去，得到线段 3OM 、 4OM 、 5OM 、…。 根据以上规律，请直接写出线段 2014OM 的长度为  2014 2 。 三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 21．（本小题满分 6 分） 先化简，再求值： ，其中 1a  、 2b   。 解：原式 ；当 1a  、 2b   时，原式 。 22．（本小题满分 6 分） 为了了解我市的空气质量情况，某环保兴趣小组从环境监测网随机抽取了我市若干天的空气质量情况 作为样本进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）。 我市若干天空气质量情况条形统计图 我市若干天空气质量情况扇形统计图 请你根据图中提供的信息，解答下列问题： ⑴请补全条形统计图； ⑵求扇形统计图中表示“优”的扇形的圆心角度数； ⑶请估计我市这一年（365天）达到“优”和“良”的总天数。 解：⑴∵扇形统计图中空气质量情况为“优”占的比例为 20% 条形统计图中空气质量情况为“优”的有12天 ∴被抽取的总天数为12 20% 60  （天） ∴条形统计图中空气质量情况为“轻微污染”的有： 60 12 36 3 2 2 5      （天），如图所示： ⑵扇形统计图中表示“优”的扇形的圆心角度数为 20% 360 72   。 ⑶我市这一年（365 天）达到“优”和“良”的总天数 12 36 365 29260    （天） 23．（本小题满分 6 分） 如图，在 ABC 中， AB AC ， BD CD ， DE AB 于点 E ， DF AC 于点 F 。 求证： BED ≌ CFD 。 证：∵ DE AB ， DF AC ，∴ 90BED CFD  ∠ ∠ ∵ AB AC ，∴ B C∠ ∠ ∵在 BED 和 CFD 中， BED CFD B C BD CD      ∠ ∠ ∠ ∠ ，∴ BED ≌ CFD 。 24．（本小题满分 6 分） 已知某校去年年底的绿化面积为 5000 平方米，预计到明年年底的绿化面积将会增加到 7200 平方米， 求这两年的年平均增长率。 解：设这两年的年平均增长率为 x ，由题意得  25000 1 7200x  ，即 21 1.44x  ， 解得： 1 1.2 1 0.2 20%x     ， 2 1.2 1 2.2x      （不合题意，舍去），∴ 1 20%x  为所求。 答：这两年的年平均增长率为 20% 。 25．（本小题满分 8 分） 某班组织活动，班委会准备用15 元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品。已知笔记本 2 元/本， 中性笔1元/支，且每种奖品至少买一件。 ⑴若设购买笔记本 x 本，中性笔 y 支，写出 y 与 x 之间的关系式； ⑵有多少种购买方案？请列举所有可能的结果； ⑶从上述方案中任选一种方案购买，求买到的中性笔与笔记本数量相等的概率。 解：⑴∵由题意知 2 15x y  ，∴ y 与 x 之间的关系式为 2 15x y  ； ⑵∵在 2 15x y  中， 2x 为偶数，15为奇数，∴ y 必为奇数， ∵每种奖品至少买一件，∴ 1x≥ ， 1y≥ ， ∴奇数 y 只能取1 3 5 7 9 11 13、、、、、 、 这七个数 ∴共有七种购买方案，如右图所示； ⑶∵买到的中性笔与笔记本数量相等的购买方案只有1种（上表所示的方案三），共有 7 种购买方案 ∴买到的中性笔与笔记本数量相等的概率为 1 7 。 26．（本小题满分 8 分） 将一副三角尺如图①摆放（在 Rt ABC 中， 90ACB  ∠ ， 60B  ∠ ；在 Rt DEF 中， 90EDF  ∠ ， 45E  ∠ 。），点 D 为 AB 的中点， DE 交 AC 于点 P ， DF 经过点C 。 图① 图② ⑴求 ADE∠ 的度数； ⑵如图②，将 DEF 绕点 D 顺时针方向旋转角  0 60    ，此时的等腰直角三角尺记为 ' 'DE F ， 'DE 交 AC 于点 M ， 'DF 交 BC 于点 N ，试判断 PM CN 的值是否随着 的变化而变化？ 如果不变，请求出 PM CN 的值；反之，请说明理由。 解：⑴由题意知： CD 是 Rt ABC 中斜边 AB 上的中线，∴ AD BD CD  ∵在 BCD 中， BD CD 且 60B  ∠ ，∴有等边 BCD ，∴ 60BCD BDC  ∠ ∠ ∴ 180 180 60 90 30ADE BDC EDF          ∠ ∠ ∠ ； ⑵ PM CN 的值不会随着 的变化而变化，理由如下： ∵ APD 的外角 30 30 60MPD A ADE      ∠ ∠ ∠ ，∴ 60MPD BCD  ∠ ∠ ∵在 MPD 和 NCD 中， 60MPD BCD  ∠ ∠ ， PDM CDN  ∠ ∠ ∴ MPD ∽ NCD ，∴ PM PD CN CD  ，又∵由⑴知 AD CD ，∴ PM PD PD CN CD AD   ∵在 APD 中， 30A ADE  ∠ ∠ ，∴在等腰 APD 中， 1 3 33 PD AD   ∴ 3 3 PM PD PD CN CD AD    。 27．（本小题满分 10 分） 如图，直线 AB 与 x 轴相交于点  4 0A  ， ，与 y 轴相交于点  0 3B ， ， 点 P 从点 A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线 AB 向点 B 移动。 同时，将直线 3 4y x 以每秒 0.6 个单位长度的速度向上平移，交OA 于点 C ，交 OB 于点 D ，设运动时间为  0 5t t  秒。 ⑴证明：在运动过程中，四边形 ACDP 总是平行四边形； ⑵当t 取何值时，四边形 ACDP 为菱形？请指出此时以点 D 为圆心、OD 长为半径的圆与直线 AB 的 位置关系并说明理由。 解：⑴∵直线 AB 与 x 轴相交于点  4 0A  ， ，与 y 轴相交于点  0 3B ， ∴直线 AB 的解析式为 14 3 x y  ，即 3 34ABy x  ∵将直线 3 4y x 以每秒 0.6 个单位长度的速度向上平移  0 5t t  秒得到直线CD ∴ 0.6OD t ，∴  0 0.6D t， ，∴直线CD 的解析式为 3 0.64CDy x t  ∵在直线CD 中，点C 在 x 轴上，∴令 0y  ，则 0.8x t  ，∴  0.8 0C t ， ， 0.8OC t ∴在 Rt OCD 中，    2 22 2 0.8 0.6CD OC OD t t t     ∵点 P 从点 A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线 AB 向点 B 移动  0 5t t  秒 ∴ AP t ，∴ AP CD t  ，又∵ 3 4AP AB CDk k k   ，∴ AP CD∥ ， ∵ AP CD∥ ， AP CD t  ，∴在运动过程中，四边形 ACDP 总是平行四边形； ⑵欲使四边形 ACDP 为菱形，只需在 ACDP 中满足条件 AC CD ，即 4 0.8t t  ，解得 20 9t  ∴当 20 9t  时，四边形 ACDP 为菱形； 此时以点 D 为圆心、OD 长为半径的圆与直线 AB 相切，理由如下： ∵ 20 9t  ，∴ 40.6 3OD t  ，∴ 4 53 3 3BD OB OD     ∵  4 0A  ， ，  0 3B ， ，∴ 4OA  ， 3OB  ，∴在 Rt OAB 中， 2 2 5AB OA OB   过点 D 作 DE AB 于点 E ，则 90DEB  ∠ ∵在 AOB 和 DEB 中， 90AOB DEB  ∠ ∠ 且 OBA EBD∠ ∠ ，∴ AOB ∽ DEB ∴ OA ED AB DB  ，即 4 55 3 ED ，∴ 4 3DE OD  ，∴点 D 到直线 AB 的距离等于 D⊙ 的半径 ∴以点 D 为圆心、OD 长为半径的圆与直线 AB 相切。 另解：（在证明 D⊙ 与直线 AB 相切时，也可利用等积法．．．求得点 D 到直线 AB 的距离。） 设点 D 到直线 AB 的距离为 d ，则 1 5 2 2ABDS AB d d   ，连结 AD ， ∵ AOB ABD AODS S S    且 1 4 3 62 2AOBS OA OB    、 441 83 2 2 3AODS OA OD     ∴ 5 86 2 3d  ，解得 4 3d  ，∴点 D 到直线 AB 的距离与 D⊙ 的半径相等，即 d r ∴以点 D 为圆心、OD 长为半径的 D⊙ 与直线 AB 相切。 再解：（巧用“菱形对角线的性质”和“角平分线性质定理”） 连结 AD ，则 AD 是菱形 ACDP 的对角线，∴ AD 平分 OAB∠ ∵ DO AO ，∴ DO 是点 D 到直线 AO 的距离， ∴点 D 到直线 AB 的距离＝点 D 到直线 AO 的距离 DO ∴以点 D 为圆心、OD 长为半径的圆与直线 AB 相切。 28．（本小题满分 10 分） 已知某二次函数的图象与 x 轴分别相交于点  3 0A  ， 和点  1 0B ， ， 与 y 轴相交于点   0 3 0C m m ， ，顶点为点 D 。 ⑴求该二次函数的解析式（系数用含 m 的代数式表示）； ⑵如图①，当 2m  时，点 P 为第三象限内抛物线上的一个动点， 设 APC 的面积为 S ，试求出 S 与点 P 的横坐标 x 之间的函数 关系式及 S 的最大值； ⑶如图②，当 m 取何值时，以 A 、 D 、 C 三点为顶点的三角形 与 OBC 相似？ 解：⑴∵该二次函数的图象与 x 轴分别相交于点  3 0A  ， 和点  1 0B ， ， ∴设该二次函数的解析式为   3 1y a x x   ∵该二次函数的图象与 y 轴相交于点  0 3C m， ， ∴  3 1 3a m    ，故 a m ∴该二次函数的解析式为    23 1 2 3y m x x mx mx m      ⑵当 2m  时，点C 的坐标为 0 6， ，该二次函数的解析式为 22 4 6y x x   ∵点 A 的坐标为 3 0 ， ，点C 的坐标为 0 6， ∴直线 AC 的解析式为 13 6 x y   ，即 2 6ACy x   过点 P 作 PE x 轴于点 E ，交 AC 于点 F ∵点 P 为第三象限内抛物线上的一个动点且点 P 的横坐标为 x  3 0x   ∴点 P 的坐标为 22 4 6x x x ， ，点 E 的坐标为 0x， ，点 F 的坐标为 2 6x x ， 图① 图② ∴          1 1 3 3 332 2 2 2 2P F P F F PS OA PF PE EF y y y y y y                         2 2 2 2 2 2 2 3 3 32 6 2 4 6 2 6 2 4 6 2 62 2 2 3 9 3 273 9 3 3 3 32 4 2 4 x x x x x x x x x x x x x x                                             ∴当 3 2x   时， S 有最大值 27 4 ； 另解：    2 21 1 3 33 2 4 6 2 6 2 4 6 2 62 2 2 2P FS OA PF y y x x x x x x                2 2 23 3 92 6 3 3 32 2 4x x x x x          ∵ 3 0x   ，∴ 3 3 3 2 2 2x    ，∴ 23 9 2 4x     ，∴ 23 9 02 4x      ， ∴ 2 2 23 9 3 9 3 273 3 32 4 2 4 2 4S x x x                               （其余略） 再解：     2 2 2OAC PAE OACOAPC OCPE OC PE OEAE PE OA OCS S S S S S                 四边形 梯形                   2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 3 6 32 2 2 3 3 3 272 3 2 4 6 6 2 3 9 32 2 2 4 P P P AE PE OE OC OE PE OA OC AE PE OE PE OE OC OA OC AE OE PE OC OA OE OA PE OC AE y x y x x x x x x x                                                          其余略 ⑶∵         2 223 1 2 3 1 4 1 4y m x x m x x m x m x m              ，∴点 D 的坐标为 1 4m ， ∴            22 2 2 2 22 23 0 0 3 3 3 9 9A C A CAC x x y y m m m                            2 22 2 2 22 23 1 0 4 2 4 4 16A D A DAD x x y y m m m                             2 22 22 20 1 3 4 1C D C DCD x x y y m m m                   ∵ OBC 是直角三角形，∴欲使以 A 、 D 、C 三点为顶点的三角形与 OBC 相似，必有 Rt ACD ①若在 ACD 中， 90ACD  ∠ ，则 2 2 2AC CD AD  ，即    2 2 29 9 1 4 16m m m     化简整理得： 2 1m  ，∵ 0m  ，∴ 1m  （舍去负值） 此时， 2 2 2 18 32 AC AC AC CD CD CD        ， 3 31 CO OB   ，∴ 3AC CO CD OB   ∵ 90ACD COB  ∠ ∠ 且 3AC CO CD OB   ，∴ ACD 与 OBC 相似，符合题意； ②若在 ACD 中， 90ADC  ∠ ，则 2 2 2AD CD AC  ，即   2 2 24 16 1 9 9m m m     化简整理得： 2 1 2m  ，∵ 0m  ，∴ 2 2m  （舍去负值） 此时， 2 2 2 12 8 2 23 2 AD AD AD CD CD CD         ， 3 2 32 21 2 CO OB   ，∴ AD CO CD OB  虽然 90ACD COB  ∠ ∠ ，但是 AD CO CD OB  ，∴ ACD 与 OBC 不相似，应舍去； ∴综上所述，只有当 1m  时，以 A 、 D 、C 三点为顶点的三角形与 OBC 相似。