2014年河南省中考数学试卷及答案解析

2014 年河南省中招考试数学试卷及答案解析 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1.下列各数中，最小的数是 （ ） (A). 0 (B). 1 3 (C).- 1 3 (D).-3 答案：D 解析：根据有理数的大小比较法则（正数都大于 0，负数都小于 0，正数都大于负数，两个 负数，其绝对值大的反而小）比较即可．解：∵﹣3＜- 1 3 ＜0＜ 1 3 ， ∴最小的数是﹣3，故选 A． 2. 据统计，2013 年河南省旅游业总收入达到 3875.5 亿元.若将 3875.5 亿用科学计数法表 示为 3.8755×10n，则 n 等于 （ ） （A) 10 （B) 11 (C).12 (D).13 答案：B 解析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键 要正确确定 a 的值以及 n 的值．3875.5 亿=3.8755×1011，故选 B. 3.如图，直线 AB、CD 相交于 O，射线 OM 平分∠AOC,ON⊥OM,若∠AOM =350，则∠CON 的度数 为 （ ） (A) .350 (B). 450 (C) .550 （D). 650 答案：C 解析：根据角的平分线的性质及直角的性质，即可求解． ∠CON=900-350=550, 故选 C. 4.下列各式计算正确的是 （ ） （A）a +2a =3a2 （B）（-a3)2=a6 (C）a3·a2=a6 （D）（a＋b）2=a2 + b2 答案：B 解析：根据同底数幂的乘法；幂的乘方；完全平方公式；同类项加法即可求得；（-a3)2=a6 计算正确，故选 B 5.下列说法中，正确的是 （ ） （A）“打开电视，正在播放河南新闻节目”是必然事件 （B）某种彩票中奖概率为 10％是指买十张一定有一张中奖 （C）神州飞船发射前需要对零部件进行抽样检查 （D）了解某种节能灯的使用寿命适合抽样调查 答案：D 解析：根据统计学知识； （A）“打开电视，正在播放河南新闻节目”是随机事件，（A）错误。 （B）某种彩票中奖概率为 10％是指买十张一定有一张中奖是随机事件，（B）错误。 （C）神州飞船发射前需要对零部件进行抽样检查要全面检查。 （D）了解某种节能灯的使用寿命适合抽样调查，（D）正确。 故选 B 6:将两个长方体如图放置，到所构成的几何体的左视图可能是（ ） 答案：C 解析：根据三视图可知，C 正确。 7.如图， ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,AB⊥AC.若 AB =4,AC =6,则 BD 的长是（ ） (A)8 (B) 9 (C)10 （D）11 答案：C 解析：根据平行四边形的性质勾股定理可得，Rt△ABO,OA= 1 2 AC= 1 2 ×6=3,AB=4,∴OB=5,又 BD=2OA=2×5=10.故 C 正确。 8.如图，在 Rt △ABC 中，∠C=900，AC=1cm，BC=2cm，点 P 从 A 出发，以 1cm/s 的速沿折线 AC CB BA 运动，最终回到 A 点。设点 P 的运动时间为 x（s），线段 AP 的长度为 y（cm）， 则能反映 y 与 x 之间函数关系的图像大致是 （ ） 答案：A 解 析 ： 根 据 函 数 判 断 ， 当 P 点 在 AC 上 时 y=x ， 当 P 点 在 BC 上 时 y=  22 2 21 x 1AC PC    = 2x 2x+2 ，当 P 点在 AB 上时 y= 5 -x,故选 A. 二、填空题（每小题 3 分，共 21 分） 9.计算： 3 27 2  = . 答案：1 解析：原式＝3－2=1 10.不等式组 3x 6 0 4 2x 0     ＞ 的所有整数解的和是 . 答案：－2 解析：不等式组的解集是：－2≤x＜2，满足条件的整数是－2，－1，0，1.它们的和为－2. 11.在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以 B、C 为圆心，以大于 1 2 BC 的长为半径作弧， 两弧相交于两点 M、N；②作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD. 若 CD=AC， ∠B=250，则∠ACB 的度数为 . 答案：1050. 解析：由①的作图可知 CD=BD,则∠DCB=∠B=250,∴∠ADC=500,又∵CD=AC，∴∠A=∠ ADC=500,∴∠ACD=800,∴∠ACB==800+250=1050. 12.已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交于 A、B 两点．若点 A 的坐标为（-2,0)，抛物线 的对称轴为直线 x=2．则线段 AB 的长为 . 答案：8. 解析：根据点 A 到对称轴 x=2 的距离是 4，又点 A、点 B 关于 x=2 对称，∴AB=8. 13.一个不进明的袋子中装有仅颜色不同的 2 个红球和 2 个白球，两个人依次从袋子中随机 摸出一个小球不放回，到第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的概率是 . 答案： 1 3 . 解析：画树形图 共 12 种可能，第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的有 4 种，P（一红一白）= 4 1=12 3 14.如图，在菱形 ABCD 中,AB =1,∠DAB=600,把菱形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 300 得到菱形 AB/C/D/，其中点 C 的运动能路径为 /CC ，则图中阴影部分的面积为 . 答案： 3 34 2  π . 解析：由旋转可知，阴影部分面积=扇形 ACC/面积－2 个三角形 D/FC 的面积。 作辅助线如图， 在 Rt△AD/E 中，∠D/AE=300，AD/=1,∴D/E= 1 2 ,AE= 3 2 , 在 Rt△BD/E 中，BE=1－ 3 2 ,D/B2=(1－ 3 2 )2+( 1 2 )2=2－ 3 , 可证∠D/FB=∠CFC/=900,△D/BF 是等腰直角三角形，∴D/F2= 2 3 2  , ∴D/F= 4 2 3 4  = 3 1 2  ,CF=1- 3 1 2  = 3 3 2  , 在 Rt△CBH 中，∠CBH=600,BC=1, ∴BH= 1 2 ,CH= 3 2 ∴AH= 3 2 ,∴AC2=3, S△D/FC= 1 2 × D/F×CF= 1 2 × 3 3 2  = 2 3 3 4  , S 扇形 ACC/= 30 360 π×AC2= 30 360 π×3= 4 π S 阴影= S 扇形 ACC/-2×S△D/FC= 4 π-2× 2 3 3 4  = 4 π+ 3 2 － 3 15.如图，矩形 ABCD 中，AD=5,AB=7.点 E 为 DC 上一个动点，把△ADE 沿 AE 折叠，当点 D 的 对应点 D/落在∠ABC 的角平分线上时，DE 的长为 . 答案： 5 3 或 5 2 解析：过 D/作 FH⊥AB 交 AB 于 F,交 CD 于 H; 如图 1，由翻折，△EDA≌△ED/A,∴ED=ED/,AD=AD/=5, 设 AF=x，则 BF=7-x，在 Rt△BD/F 中， ∵PB 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABD/=450, 则 D/F=BF=7-x， 在 Rt△AD/F 中，AD/2=AF2+D/F2,即 52=（7-x）2+x2， 解得 x=4 或 x=3，即 D/F=BF=3 或 4. 当 x=4 时，如图 1，设 DE=y， 在 Rt△D/HE 中，EH=4-y，ED/=y，HD/=2, 即（4-y）2+22=y2，解得 y= 5 2 ，即 DE= 5 2 当 x=3 时，如图 2，设 DE=y， 在 Rt△D/HE 中，EH=3-y，ED/=y，HD/=1, 即（3-y）2+12=y2，解得 y= 5 3 ，即 DE= 5 3 三、解答题（本大题共 8 个，满分 75 分） 16.(8 分）先化简，再求值： 2 2 2 x 1 x 12x x x        ，其中 x= 2 -1 解：原式=      2x 1 x 1 2x x 1 x x 1 x     …………………4 分 =  2 x 1 x x x 1   = 1 x 1 …………………………………………………………………6 分 当 x= 2 -1 时，原式= 1 2 1 1  = 1 2 = 2 2 ……………………………8 分 17.（9 分）如图,CD 是⊙O 的直径，且 CD=2cm，点 P 为 CD 的延长线上一点，过点 P 作⊙O 的切线 PA、PB，切点分别为点 A、B. （1）连接 AC,若∠APO＝300，试证明△ACP 是等腰三角形； 证明：（1）连接 OA，∵PA 为⊙O 的切线， ∴OA⊥PA. ……………………………1 分 在 Rt△AOP 中，∠AOP=900－∠APO=900-300=600. ∴∠ACP= 1 2 ∠AOP= 1 2 ×600=300.…………4 分 ∴∠ACP=∠APO, ∴AC=AP. ∴△ACP 是等腰三角形. ……………………5 分 （2）填空： ①当 DP= 1 cm 时，四边形 AOBD 是菱形；…………7 分 ②当 DP= 2 -1 cm 时，四边形 AOBP 是正方形．…………9 分 （2）提示：①、若四边形 AOBD 是菱形， 则 AO=AD=1,Rt△OAP, 当点 D 是 OP 的中点时， 即 OD=PD=1 时，四边形 AOBD 是菱形 ②若四边形 AOBP 是正方形， 则∠AOB=∠APB=900， 即 PA=R=1,可证△PAD≌△PCA, PA2=PD(PD+2),即 1= PD(PD+2)， ∴PD2+2PD-1=0,解得:PD= 2 -1 或 PD=- 2 -1（舍去） 18.（9 分）某兴趣小组为了解本校男生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校 300 名男生 进行了问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图． 请根据以上信息解答下列问题： (1)课外体育锻炼情况扇形统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为 ； (2）请补全条形统计图； (3）该校共有 1200 名男生，请估什全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是 篮球的人数； (4）小明认为“全校所有男生中，课外最喜欢参加的运动项目是乒乓球的人数约为 1200× 27 300 =108”，请你判断这种说法是否正确，并说明理由． 解：（l）144: …………………………………………………………………………2 分 提示：360×（1-45%-15%）=144. （2）（“篮球”选项的频数为 40.正确补全条形统计图）：………………………4 分 提示：经常参加人数：300×（1-45%-15%）=120，篮球：120-20-33-27=40. 补全条形统计图如图所示。 （3）全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数约为 1200× 40 300 =160（人）：………………………………………………………7 分 （4）这种说法不正确．理由如下： 小明得到的 108 人是经常参加课外体育锻炼的男生中最喜欢的项目是乒乓球的人数，而全校 偶尔参加课外体育锻炼的男生中也会有最喜欢乒乓球的，因此应多于 108 人。………9 分 （注：只要解释合理即可） 19.（9 分）在中俄“海上联合—2014”反潜演习中，我军舰 A 测得潜艇 C 的俯角为 300．位 于军舰 A 正上方 1000 米的反潜直升机 B 侧得潜艇 C 的俯 角为 680.试根据以上数据求出潜艇 C 离开海平面的下潜 深度.（结果保留整数。参考数据:sin680≈0.9,cos680 ≈0.4,,tan680≈2.5. 3 ≈1.7) 解：过点 C 作 CD⊥AB,交 BA 的延长线于点 D.则 AD 即为 潜艇 C 的下潜深度． 根据题意得 ∠ACD=300，∠BCD=680． 设 AD=x.则 BD＝BA 十 AD=1000＋x. 在 Rt△ACD 中， CD= 0 x = 3xtan tan30 AD ACD  ……………4 分 在 Rt△BCD 中，BD=CD·tan688 ∴1000+x= 3 x·tan688 …………………………………………………7 分 ∴x= 0 1000 1000 3081.7 2.5 13 tan 68 1    ∴潜艇 C 离开海平面的下潜深度约为 308 米。……………………9 分 20.（9 分）如图，在直角梯形 OABC 中，BC//AO，∠AOC=900，点 A、B 的坐标分别为(5,0)、 (2,6)，点 D 为 AB 上一点，且 BD=2AD.双曲线 y= k x （x＞0）经过点 D,交 BC 于点 E. （1）求双曲线的解析式； （2）求四边形 ODBE 的面积。 解：（1）过点 B、D 作 x 轴的的垂线，垂足分别为点 M、N. ∵A (5.0)、B（2，6），∴OM=BC=2,BM=OC=6,AM=3． ∵DN∥BM,∴△AND∽△ABM. ∴ 1 3 DN AN AD BM AM AB    ∴DN =2,AN=1, ∴ON=4 ∴点 D 的坐标为(4,2)．…………………………3 分 又∵ 双曲线 y= k x (x＞0)经过点 D， ∴k=2×4=8 ∴双曲线的解析式为 y= 8 x ．………………………5 分 （2）∵点 E 在 BC 上，∴点 E 的纵坐标为 6. 又∵点 E 在双曲线 y= 8 x 上， ∴点 E 的坐标为( 4 3 ,6),∴CE= 4 3 ………………………7 分 ∴S 四边形 ODBE=S 梯形 OABC-S△OCE-S△AOD = 1 2 ×(BC+OA)×OC- 1 2 ×OC×CE- 1 2 ×OA×DN = 1 2 ×(2+5)×6- 1 2 ×6× 4 3 - 1 2 ×5×2 =12 ∴四边形 ODBE 的面积为 12. ………………………………9 分 21.(10 分）某商店销售 10 台 A 型和 20 台 B 型电脑的利润为 4000 元，销售 20 台 A 型和 10 台 B 型电脑的利润为 3500 元． （1)求每台 A 型电脑和 B 型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共 100 台，其中 B 型电脑的进货量不超过 A 型电 脑的 2 倍。设购进 A 掀电脑 x 台，这 100 台电脑的销售总利润为 y 元。 ①求 y 与 x 的关系式； ②该商店购进 A 型、B 型各多少台，才能使销售利润最大？ （3）实际进货时，厂家对 A 型电脑出厂价下调 m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进 A 型电脑 70 台。若商店保持两种电脑的售价不变，请你以上信息及（2）中的条件，设计出使 这 100 台电脑销售总利润最大的进货方案。 解：（1）设每台 A 型电脑的销售利润为 a 元，每台 B 型电脑的销售利润为 b 元， 则有 10a 20b 4000 20a 10b=3500     解得 a=100 b=150    即每台 A 型电脑的销售利润为 100 元，每台 B 型电脑的销售利润为 150 元. ……4 分 （2)①根据题意得 y＝100x＋150(100－x)，即 y＝－50x＋15000……………………5 分 ②根据题意得 100－x≤2x，解得 x≥33 1 3 ， ∵y＝－50x+15000，－50＜0，∴y 随 x 的增大而减小. ∵x 为正整数，∴当 x=34 最小时，y 取最大值，此时 100－x=66. 即商店购进 A 型电脑 34 台，B 型电脑 66 台，才能使销售总利润最大………7 分 （3）根据题意得 y＝（100+m）x＋150(100－x)，即 y＝（m－50）x＋15000. 33 1 3 ≤x≤70. ①当 0＜m＜50 时，m－50＜0，y 随 x 的增大而减小． ∴当 x =34 时，y 取得最大值． 即商店购进 34 台 A 型电脑和 66 台 B 型电脑才能获得最大利润；…………8 分 ②当 m=50 时，m－50=0，y＝15000． 即商店购进 A 型电脑数最满足 33 1 3 ≤x≤70 的整数时，均获得最大利润；…9 分 ③当 50＜m＜100 时，m－50＞0，y 随 x 的增大而增大． ∴x=70 时，y 取得最大值． 即商店购进 70 台 A 型电脑和 30 台 B 型电脑才能获得最大利润．……………10 分 22.（10 分）（1）问题发现 如图 1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点 A、D、E 在同一直线上，连接 BE 填空：（1）∠AEB 的度数为 60 ； （2）线段 AD、BE 之间的数量关系是 AD=BE 。 解:（1）①60；②AD=BE. …………………………………………2 分 提示：（1）①可证△CDA≌△CEB, ∴∠CEB=∠CDA=1200， 又∠CED=600， ∴∠AEB=1200-600=600. ②可证△CDA≌△CEB, ∴AD=BE （2）拓展探究 如图 2，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∠ACB=∠DCE=900, 点 A、D、E 在同一直线上，CM 为△DCE 中 DE 边上的高，连接 BE。请判 断∠AEB 的度数及线段 CM、AE、BE 之间的数量关系，并说明理由。 解：（2）∠AEB＝900；AE=2CM+BE. …………………………4 分 （注：若未给出本判断结果，但后续理由说明完全正确，不扣分） 理由：∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 900, ∴AC=BC, CD=CE, ∠ACB=∠DCB=∠DCE－∠DCB, 即∠ACD= ∠BCE ∴△ACD≌△BCE. ……………………………………………………6 分 ∴AD = BE, ∠BEC=∠ADC=1350. ∴∠AEB=∠BEC－∠CED=1350－450=900．……………………………7 分 在等腰直角三角形 DCE 中，CM 为斜边 DE 上的高， ∴CM= DM= ME,∴DE=2CM. ∴AE=DE+AD=2CM+BE……………………………………………………8 分 （3）解决问题 如图 3，在正方形 ABCD 中，CD= 2 。若点 P 满足 PD=1,且∠BPD=900，请直接写出点 A 到 BP 的距离。 (3) 3 1 2  或 3 1 2  ………………………………………………………10 分 【提示】PD =1，∠BPD=900, ∴BP 是以点 D 为圆心、以 1 为半径的 OD 的切线，点 P 为切点． 第一种情况：如图①，过点 A 作 AP 的垂线，交 BP 于点 P/， 可证△APD≌△AP/B,PD=P/B=1, CD= 2 ,∴BD=2,BP= 3 , ∴AM= 1 2 PP/= 1 2 (PB-BP/)= 3 1 2  第二种情况如图②， 可得 AM 1 2 PP/= 1 2 (PB+BP/)= 3 1 2  23. (11 分）如图，抛物线 y=－x2+bx+c 与 x 轴交于 A(-1,0),B(5,0）两点，直线 y=－ 3 4 x+3 与 y 轴交于点 C，，与 x 轴交于点 D.点 P 是 x 轴上方的抛物线上一动点，过点 P 作 PF⊥x 轴 于点 F，交直线 CD 于点 E.设点 P 的横坐标为 m。 （1）求抛物线的解析式； （2）若 PE =5EF,求 m 的值； （3）若点 E/是点 E 关于直线 PC 的对称点、是否存在点 P，使点 E/落在 y 轴上？若存在，请 直接写出相应的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。 解：(1)∵抛物线 y=－x2+bx+c 与 x 轴交于 A (-1,0) , B(5,0)两点， ∴ 2 2 0= 1 b+c 0= 5 5b+c        （ ） ∴ b=4 c=5    ∴抛物线的解析式为 y=-x2+4x+5．………3 分 （2）点 P 横坐标为 m， 则 P(m,－m2＋4m＋5）,E(m,－ 3 4 m+3)，F(m,0), ∵点 P 在 x 轴上方，要使 PE=5EF,点 P 应在 y 轴右侧， ∴ 0＜m＜5. PE=-m2＋4m＋5－(- 3 4 m＋3)= -m2＋19 4 m＋2……4 分 分两种情况讨论： ①当点 E 在点 F 上方时，EF=－ 3 4 m＋3. ∵PE=5EF，∴-m2＋19 4 m＋2=5(- 3 4 m＋3) 即 2m2－17m＋26=0，解得 m1=2，m2=13 2 （舍去）……………6 分 ②当点 E 在点 F 下方时，EF= 3 4 m－3. ∵PE=5EF，∴-m2＋19 4 m＋2=5( 3 4 m－3)， 即 m2－m－17=0，解得 m3=1 69 2  ，m4=1 69 2  （舍去）， ∴m 的值为 2 或1 69 2  ……………………………………………8 分 (3),点 P 的坐标为 P1(- 1 2 ，11 4 ),P2(4，5), P3(3- 11 ，2 11 -3).………11 分 【提示】∵E 和 E/关于直线 PC 对称，∴∠E/CP=∠ECP; 又∵PE∥y 轴，∴∠EPC=∠E/CP=∠PCE, ∴PE=EC, 又∵CE＝CE/，∴．四边形 PECE/为菱形． 过点 E 作 EM⊥y 轴于点 M,∴△CME∽△COD，∴CE= 5 m4 . ∵PE=CE,∴-m2＋19 4 m＋2= 5 4 m 或-m2＋19 4 m＋2=- 5 4 m， 解得 m1=- 1 2 ，m2=4， m3=3- 11 ，m4=3+ 11 （舍去） 可求得点 P 的坐标为 P1(- 1 2 ，11 4 ),P2(4，5), P3(3- 11 ，2 11 -3)。