2014年广东省中考数学试卷及答案解析

广东省 2014 年中考数学试卷 一、选择题（本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）（2014•广东）在 1，0，2，﹣3 这四个数中，最大的数是（ ） A．1 B．0 C．2 D．﹣3 考点：有理数大小比较 分析：根据正数大于 0，0 大于负数，可得答案． 解答：解：﹣3＜0＜1＜2， 故选：C． 点评：本题考查了有理数比较大小，正数大于 0，0 大于负数是解题关键． 2．（3 分）（2014•广东）在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 考点：中心对称图形；轴对称图形 分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 解答：解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误． 故选 C． 点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称 轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合． 3．（3 分）（2014•广东）计算 3a﹣2a 的结果正确的是（ ） A．1 B．a C．﹣a D．﹣5a 考点：合并同类项． 分析：根据合并同类项的法则，可得答案． 解答：解：原式=（3﹣2）a=a， 故选：B． 点评：本题考查了合并同类项，系数相加字母部分不变是解题关键． 4．（3 分）（2014•广东）把 x3﹣9x 分解因式，结果正确的是（ ） A．x（x2﹣9） B．x（x﹣3）2 C．x（x+3）2 D．x（x+3）（x﹣3） 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 分析：先提取公因式 x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 解答：解：x3﹣9x， =x（x2﹣9）， =x（x+3）（x﹣3）． 故选 D． 点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因 式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 5．（3 分）（2014•广东）一个多边形的内角和是 900°，这个多边形的边数是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 考点：多边形内角与外角 分析：根据多边形的外角和公式（n﹣2）•180°，列式求解即可． 解答：解：设这个多边形是 n 边形，根据题意得， （n﹣2）•180°=900°， 解得 n=7． 故选 D． 点评：本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键． 6．（3 分）（2014•广东）一个不透明的布袋里装有 7 个只有颜色不同的球，其中 3 个红球， 4 个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ） A． B． C． D． 考点：概率公式 分析：直接根据概率公式求解即可． 解答：解：∵装有 7 个只有颜色不同的球，其中 3 个红球， ∴从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率= ． 故选 B． 点评：本题考查的是概率公式，熟知随机事件 A 的概率 P（A）=事件 A 可能出现的结果数 与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键． 7．（3 分）（2014•广东）如图，▱ ABCD 中，下列说法一定正确的是（ ） A．AC=BD B．AC⊥BD C．AB=CD D．AB=BC 考点：平行四边形的性质 分析：根据平行四边形的性质分别判断各选项即可． 解答：解：A、AC≠BD，故此选项错误； B、AC 不垂直 BD，故此选项错误； C、AB=CD，利用平行四边形的对边相等，故此选项正确； D、AB≠BC，故此选项错误； 故选：C． 点评：此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握其性质是解题关键． 8．（3 分）（2014•广东）关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+m=0 有两个不相等的实数根，则实 数 m 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 考点：根的判别式 专题：计算题． 分析：先根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4m＞0，然后解不等式即可． 解答：解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4m＞0， 解得 m＜ ． 故选 B． 点评：本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方 程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有 实数根． 9．（3 分）（2014•广东）一个等腰三角形的两边长分别是 3 和 7，则它的周长为（ ） A．17 B．15 C．13 D．13 或 17 考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系 分析：由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为 3；（2）当等 腰三角形的腰为 7；两种情况讨论，从而得到其周长． 解答：解：①当等腰三角形的腰为 3，底为 7 时，3+3＜7 不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰为 7，底为 3 时，周长为 3+7+7=17． 故这个等腰三角形的周长是 17． 故选 A． 点评：本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论． 10．（3 分）（2014•广东）二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数， 下列说法错误的是（ ） A．函数有最小值 B．对称轴是直线 x= C．当 x＜ ，y 随 x 的增大而减小 D．当﹣1＜x＜2 时，y＞0 考点：二次函数的性质． 分析：根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断 A； 根据图形直接判断 B； 根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断 C； 根据图象，当﹣1＜x＜2 时，抛物线落在 x 轴的下方，则 y＜0，从而判断 D． 解答：解：A、由抛物线的开口向下，可知 a＜0，函数有最小值，正确，故本选项不符合题 意； B、由图象可知，对称轴为 x= ，正确，故本选项不符合题意； C、因为 a＞0，所以，当 x＜ 时，y 随 x 的增大而减小，正确，故本选项不符合题意； D、由图象可知，当﹣1＜x＜2 时，y＜0，错误，故本选项符合题意． 故选 D． 点评：本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题． 二、填空题（本大题 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．（4 分）（2014•广东）计算 2x3÷x= 2x2 ． 考点：整式的除法 分析：直接利用整式的除法运算法则求出即可． 解答：解：2x3÷x=2x2． 故答案为：2x2． 点评：此题主要考查了整式的除法运算法则，正确掌握运算法则是解题关键． 12．（4 分）（2014•广东）据报道，截止 2013 年 12 月我国网民规模达 618 000 000 人．将 618 000 000 用科学记数法表示为 6.18×108 ． 考点：科学记数法—表示较大的数 分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 解答：解：将 618 000 000 用科学记数法表示为：6.18×108． 故答案为：6.18×108． 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 13．（4 分）（2014•广东）如图，在△ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，若 BC=6， 则 DE= 3 ． 考点：三角形中位线定理． 分析：由 D、E 分别是 AB、AC 的中点可知，DE 是△ABC 的中位线，利用三角形中位线定 理可求出 DE． 解答：解：∵D、E 是 AB、AC 中点， ∴DE 为△ABC 的中位线， ∴ED= BC=3． 故答案为 3． 点评：本题用到的知识点为：三角形的中位线等于三角形第三边的一半． 14．（4 分）（2014•广东）如图，在⊙O 中，已知半径为 5，弦 AB 的长为 8，那么圆心 O 到 AB 的距离为 3 ． 考点：垂径定理；勾股定理 分析：作 OC⊥AB 于 C，连结 OA，根据垂径定理得到 AC=BC= AB=3，然后在 Rt△AOC 中利用勾股定理计算 OC 即可． 解答：解：作 OC⊥AB 于 C，连结 OA，如图， ∵OC⊥AB， ∴AC=BC= AB= ×8=4， 在 Rt△AOC 中，OA=5， ∴OC= = =3， 即圆心 O 到 AB 的距离为 3． 故答案为：3． 点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查 了勾股定理． 15．（4 分）（2014•广东）不等式组 的解集是 1＜x＜4 ． 考点：解一元一次不等式组 专题：计算题． 分析：分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 解答： 解： ， 由①得：x＜4；由②得：x＞1， 则不等式组的解集为 1＜x＜4． 故答案为：1＜x＜4． 点评：此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16．（4 分）（2014•广东）如图，△ABC 绕点 A 顺时针旋转 45°得到△A′B′C′，若∠BAC=90°， AB=AC= ，则图中阴影部分的面积等于 ﹣1 ． 考点：旋转的性质 分析：根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出 AD= BC=1， AF=FC′= AC′=1，进而求出阴影部分的面积． 解答：解：∵△ABC 绕点 A 顺时针旋转 45°得到△A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC= ， ∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°， ∴AD⊥BC，B′C′⊥AB， ∴AD= BC=1，AF=FC′= AC′=1， ∴图中阴影部分的面积等于：S△AFC′﹣S△DEC′= ×1×1﹣ ×（ ﹣1）2= ﹣1． 故答案为： ﹣1． 点评：此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出 AD，AF，DC′ 的长是解题关键． 三、解答题（一）（本大题 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 17．（6 分）（2014•广东）计算： +|﹣4|+（﹣1）0﹣（ ）﹣1． 考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂 分析：本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简 3 个考点．在计算时，需要针对每个考 点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 解答：解：原式=3+4+1﹣2 =6． 点评：本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题 目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算． 18．（6 分）（2014•广东）先化简，再求值：（ + ）•（x2﹣1），其中 x= ． 考点：分式的化简求值 分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x 的值代入进行计算即可． 解答：解：原式= •（x2﹣1） =2x+2+x﹣1 =3x+1， 当 x= 时，原式= ． 点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 19．（6 分）（2014•广东）如图，点 D 在△ABC 的 AB 边上，且∠ACD=∠A． （1）作∠BDC 的平分线 DE，交 BC 于点 E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作 法）； （2）在（1）的条件下，判断直线 DE 与直线 AC 的位置关系（不要求证明）． 考点：作图—基本作图；平行线的判定． 分析：（1）根据角平分线基本作图的作法作图即可； （2）根据角平分线的性质可得∠BDE= ∠BDC，根据三角形内角与外角的性质可得 ∠A= ∠BDE，再根据同位角相等两直线平行可得结论． 解答：解：（1）如图所示： （2）DE∥AC ∵DE 平分∠BDC， ∴∠BDE= ∠BDC， ∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC， ∴∠A= ∠BDC， ∴∠A=∠BDE， ∴DE∥AC． 点评：此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相 等两直线平行． 四、解答题（二）（本大题 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 20．（7 分）（2014•广东）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树 CD 的高度，他们先在点 A 处测得树顶 C 的仰角为 30°，然后沿 AD 方向前行 10m，到达 B 点，在 B 处测得树顶 C 的 仰角高度为 60°（A、B、D 三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树 CD 的 高度（结果精确到 0.1m）．（参考数据： ≈1.414， ≈1.732） 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 分析：首先利用三角形的外角的性质求得∠ABC 的度数，得到 BC 的长度，然后在直角 △BDC 中，利用三角函数即可求解． 解答：解：∵∠CBD=∠A+∠ACB， ∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°， ∴∠A=∠ACB， ∴BC=AB=10（米）． 在直角△BCD 中，CD=BC•sin∠CBD=10× =5 ≈5×1.732=8.7（米）． 答：这棵树 CD 的高度为 8.7 米． 点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 21．（7 分）（2014•广东）某商场销售的一款空调机每台的标价是 1635 元，在一次促销活动 中，按标价的八折销售，仍可盈利 9%． （1）求这款空调每台的进价（利润率= = ）． （2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机 100 台，问盈利多少元？ 考点：分式方程的应用． 分析：（1）利用利润率= = 这一隐藏的等量关系列出方程即可； （2）用销售量乘以每台的销售利润即可． 解答：解：（1）设这款空调每台的进价为 x 元，根据题意得： =9%， 解得：x=1200， 经检验：x=1200 是原方程的解． 答：这款空调每台的进价为 1200 元； （2）商场销售这款空调机 100 台的盈利为：100×1200×9%=10800 元． 点评：本题考查了分式方程的应用，解题的关键是了解利润率的求法． 22．（7 分）（2014•广东）某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是 准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校 学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了 如图所示的不完整的统计图． （1）这次被调查的同学共有 1000 名； （2）把条形统计图补充完整； （3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供 200 人用 一餐．据此估算，该校 18 000 名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？ 考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 分析：（1）用没有剩的人数除以其所占的百分比即可； （2）用抽查的总人数减去其他三类的人数，再画出图形即可； （3）根据这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供 200 人用一餐，再根据全校 的总人数是 18000 人，列式计算即可． 解答：解：（1）这次被调查的同学共有 400÷40%=1000（名）； 故答案为：1000； （2）剩少量的人数是；1000﹣400﹣250﹣150=200， 补图如下； （3）18000× =3600（人）． 答：该校 18000 名学生一餐浪费的食物可供 3600 人食用一餐． 点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中 得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇 形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 五、解答题（三）（本大题 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 23．（9 分）（2014•广东）如图，已知 A（﹣4， ），B（﹣1，2）是一次函数 y=kx+b 与反 比例函数 y= （m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x 轴于 C，BD⊥y 轴于 D． （1）根据图象直接回答：在第二象限内，当 x 取何值时，一次函数大于反比例函数的值？ （2）求一次函数解析式及 m 的值； （3）P 是线段 AB 上的一点，连接 PC，PD，若△PCA 和△PDB 面积相等，求点 P 坐标． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题 分析：（1）根据一次函数图象在上方的部分是不等式的解，观察图象，可得答案； （2）根据待定系数法，可得函数解析式； （3）根据三角形面积相等，可得答案． 解答：解：（1）由图象得一次函数图象在上的部分，﹣4＜x＜﹣1， 当﹣4＜x＜﹣1 时，一次函数大于反比例函数的值； （2）设一次函数的解析式为 y=kx+b， y=kx+b 的图象过点（﹣4， ），（﹣1，2），则 ， 解得 一次函数的解析式为 y= x+ ， 反比例函数 y= 图象过点（﹣1，2）， m=﹣1×2=﹣2； （3）连接 PC、PD，如图， 设 P（x， x+ ） 由△PCA 和△PDB 面积相等得 （x+4）= |﹣1|×（2﹣ x﹣ ）， x=﹣ ，y= x+ = ， ∴P 点坐标是（﹣ ， ）． 点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了函数与不等式的关系，待定系 数法求解析式． 24．（9 分）（2014•广东）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 是直径，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，延长 DO 交⊙O 于点 P，过点 P 作 PE⊥AC 于点 E，作射线 DE 交 BC 的延长线于 F 点，连接 PF． （1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧 PC 的长；（结果保留π） （2）求证：OD=OE； （3）求证：PF 是⊙O 的切线． 考点：切线的判定；弧长的计算． 分析：（1）根据弧长计算公式 l= 进行计算即可； （2）证明△POE≌△ADO 可得 DO=EO； （3）连接 AP，PC，证出 PC 为 EF 的中垂线，再利用△CEP∽△CAP 找出角的关系 求解． 解答：（1）解：∵AC=12， ∴CO=6， ∴ = =2π； （2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB， ∠PEA=90°，∠ADO=90° 在△ADO 和△PEO 中， ， ∴△POE≌△AOD（AAS）， ∴OD=EO； （3）证明：如图，连接 AP，PC， ∵OA=OP， ∴∠OAP=∠OPA， 由（1）得 OD=EO， ∴∠ODE=∠OED， 又∵∠AOP=∠EOD， ∴∠OPA=∠ODE， ∴AP∥DF， ∵AC 是直径， ∴∠APC=90°， ∴∠PQE=90° ∴PC⊥EF， 又∵DP∥BF， ∴∠ODE=∠EFC， ∵∠OED=∠CEF， ∴∠CEF=∠EFC， ∴CE=CF， ∴PC 为 EF 的中垂线， ∴∠EPQ=∠QPF， ∵△CEP∽△CAP ∴∠EPQ=∠EAP， ∴∠QPF=∠EAP， ∴∠QPF=∠OPA， ∵∠OPA+∠OPC=90°， ∴∠QPF+∠OPC=90°， ∴OP⊥PF， ∴PF 是⊙O 的切线． 点评：本题主要考查了切线的判定，解题的关键是适当的作出辅助线，准确的找出角的关系． 25．（9 分）（2014•广东）如图，在△ABC 中，AB=AC，AD⊥AB 于点 D，BC=10cm，AD=8cm．点 P 从点 B 出发，在线段 BC 上以每秒 3cm 的速度向点 C 匀速运动，与此同时，垂直于 AD 的直线 m 从底边 BC 出发，以每秒 2cm 的速度沿 DA 方向匀速平移，分别交 AB、AC、AD 于 E、F、H，当点 P 到达点 C 时，点 P 与直线 m 同时停止运动，设运动时间为 t 秒（t＞0）． （1）当 t=2 时，连接 DE、DF，求证：四边形 AEDF 为菱形； （2）在整个运动过程中，所形成的△PEF 的面积存在最大值，当△PEF 的面积最大时，求 线段 BP 的长； （3）是否存在某一时刻 t，使△PEF 为直角三角形？若存在，请求出此时刻 t 的值；若不存 在，请说明理由． 考点：相似形综合题． 分析：（1）如答图 1 所示，利用菱形的定义证明； （2）如答图 2 所示，首先求出△PEF 的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求 解； （3）如答图 3 所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解． 解答：（1）证明：当 t=2 时，DH=AH=2，则 H 为 AD 的中点，如答图 1 所示． 又∵EF⊥AD，∴EF 为 AD 的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF． ∵AB=AC，AD⊥AB 于点 D，∴AD⊥BC，∠B=∠C． ∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C， ∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF， ∴AE=AF=DE=DF，即四边形 AEDF 为菱形． （2）解：如答图 2 所示，由（1）知 EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴ ，即 ，解得：EF=10﹣ t． S△PEF= EF•DH= （10﹣ t）•2t=﹣ t2+10t=﹣ （t﹣2）2+10 ∴当 t=2 秒时，S△PEF 存在最大值，最大值为 10，此时 BP=3t=6． （3）解：存在．理由如下： ①若点 E 为直角顶点，如答图 3①所示， 此时 PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t． ∵PE∥AD，∴ ，即 ，此比例式不成立，故此种情形不存在； ②若点 F 为直角顶点，如答图 3②所示， 此时 PE∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t． ∵PF∥AD，∴ ，即 ，解得 t= ； ③若点 P 为直角顶点，如答图 3③所示． 过点 E 作 EM⊥BC 于点 M，过点 F 作 FN⊥BC 于点 N，则 EM=FN=DH=2t， EM∥FN∥AD． ∵EM∥AD，∴ ，即 ，解得 BM= t， ∴PM=BP﹣BM=3t﹣ t= t． 在 Rt△EMP 中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（ t）2= t2． ∵FN∥AD，∴ ，即 ，解得 CN= t， ∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣ t=10﹣ t． 在 Rt△FNP 中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10﹣ t）2= t2﹣85t+100． 在 Rt△PEF 中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2， 即：（10﹣ t）2=（ t2）+（ t2﹣85t+100） 化简得： t2﹣35t=0， 解得：t= 或 t=0（舍去） ∴t= ． 综上所述，当 t= 秒或 t= 秒时，△PEF 为直角三角形． 点评：本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型．第（1）问考查了菱形的定义； 第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三 角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．