2014年长沙市中考数学试题及答案(word版)

2014年长沙市初中毕业学业水平考试试卷 数 学 注意事项： 1、答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考 证号、考室和座位号； 2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁; 5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6、本学科试卷共 26个小题，考试时量 120分钟，满分 120分. 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意 的选项.本题共 10个小题，每小题 3分，共 30分） 1． 2 1 的倒数是 A．2 B． 2 C． 2 1 D． 2 1  2．下列几何体中主视图、左视图、俯视图完全相同的是 A．圆锥 B．六棱柱 C．球 D．四棱锥 3．一组数据 3，3，4，2，8的中位数和平均数分别是 A．3和 3 B．3和 4 C．4和 3 D．4和 4 4．平行四边形的对角线一定具有的性质是 A．相等 B．互相平分 C．互相垂直 D．互相垂直且相等 5．下列计算正确的是 A． 752  B． 422 )( abab  C． aaa 632  D． 43 aaa  6．如图，C，D是线段 AB上的两点，且 D是线段 AC的中点，若 AB=10cm，BC=4cm， 则 AD的长为 A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm （第 6题图） （第 7题图） （第 8题图） 7．一个关于 x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是 A． x >1 B． x≥1 C． x >3 D． x≥3 8．如图，已知菱形 ABCD的边长为 2，∠DAB=60°，则对角线 BD的长是 A．1 B． 3 C．2 D．2 3 9．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转 120°后，能与 原图形完全重合的是 10．函数 ay x  与函数 2y ax （ 0a  ）在同一平面直角坐标系中的图像可能是 A B C D 二、填空题（本题共 8个小题，每小题 3分，共 24分） 11．如图，直线 a∥b，直线 c分别与 a，b相交，∠1=70°，则∠2= 度． 12．抛物线 23( 2) 5y x   的顶点坐标是 ． （第 11题图） （第 13题图） 13．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB= 度． 14．已知关于 x的一元二次方程 22 3 4 0x kx   的一个根是 1，则 k= ． 15．100件外观相同的产品中有 5件不合格．现从中任意抽取 1件进行检测，抽到不合格产品 的概率是 ． 16．如图，在△ABC中，DE∥BC， 2 3 DE BC  ，△ADE的面积是 8，则△ABC的面积为 ． （第 16题图） （第 17题图） （第 18题图） 17．如图，B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则 DF= ． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(2，3)，点 B( 2 ，1)，在 x轴上存在点 P到 A，B 两点的距离之和最小，则 P点的坐标是 ． 三、解答题（本题共 2个小题，每小题 6分，共 12分） 19．计算： 2014 13 1( 1) 8 ( ) 2 sin 45 3      ． 20．先化简，再求值： 2 2 1 2 1(1 ) 2 4 x x x x       ，其中 x =3． 四、解答题（本题共 2个小题，每小题 8分，共 16分） 21．某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了 50名同学进行“舌尖上的长沙——我最喜爱的 长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图． 请根据所给信息解答以下问题： （1）请补全条形统计图； （2）若全校有 2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？ （3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号 A，B，C，D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球．请用列表 或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“A”的概率． 22．如图，四边形 ABCD是矩形，把矩形沿对角线 AC折叠，点 B落在点 E处，CE与 AD相 交于点 O． （1）求证：△AOE≌△COD； （2）若∠OCD=30°，AB= 3，求△AOC的面积． （第 22题图） 五、解答题（本题共 2个小题，每小题 9分，共 18分） 23．为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行．某施工队计划购 买甲、乙两种树苗共 400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造．已知甲种树苗每棵 200元， 乙种树苗每棵 300元． （1）若购买两种树苗的总金额为 90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？ （2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？ 调查问卷 在下面四种长沙小吃中，你 最喜爱的是（ ） （单选） A．臭豆腐 B．口味虾 C．唆螺 D．糖油粑粑 24．如图，以△ABC的一边 AB为直径作⊙O，⊙O与 BC边的交点恰好为 BC边的中点 D，过 点 D作⊙O的切线交 AC于点 E． （1）求证：DE⊥AC； （2）若 AB=3DE，求 tan∠ACB的值． （第 24题图） 六、解答题（本题共 2个小题，每小题 10分，共 20分） 25．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点称为“梦之点”．例如点 )1,1(  ， )0,0( ， )2,2( ，…都是“梦之点”．显然，这样的“梦之点”有无数个． （1）若点 P（2，m）是反比例函数 ny x  （n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个 反比例函数的解析式； （2）函数 3 1y kx s   （k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦 之点”的坐标；若不存在，说明理由； （3）若二次函数 2 1y ax bx   （a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点” A 1 1( , )x x ，B 2 2( , )x x ，且满足 2 ＜ 1x ＜2， 1 2x x =2，令 2 157 48 t b b   ，试求 t的 取值范围． 26．如图，抛物线 cbxaxy  2 (a，b，c是常数，a≠0)的对称轴为 y轴，且经过（0,0）和 （ 1, 16 a ）两点，点 P在该抛物线上运动，以点 P为圆心的⊙P总经过定点 A（0,2）． （1）求 a，b，c的值； （2）求证：在点 P运动的过程中，⊙P始终与 x轴相交； （3）设⊙P与 x轴相交于 M 1( ,0)x ，N 2( ,0)x （ 1x ＜ 2x ）两点，当△AMN为等腰三角形时， 求圆心 P的纵坐标． （第 26题图） 2014 年长沙市中考数学试卷参考答案 一． 选择题： ACBBD BCCAD 二． 填空题： 11. 110° 12.(2,5) 13. 50° 14. 2 15. 1 20 16. 18 17. 6 18. (-1,0) 三、解答题： 19. 1 20. 2 1 x x   ，代入求值得 5 2 ； 21.（1）略，（2）560 （3） 1 16 22.（1）略 （2） 3 23.（1）甲 300棵，乙 100棵 （2）甲种树苗至少购买 240棵； 24.（1）（略） （2） 3 5 2  设 DE=b,EC=a,则 AB=3b,AE=3b-a,∵AD⊥BC,DE⊥AC,易证∠C=∠ADE, 则△ADE∽△DCE,∴DE2=AE●EC,即： 2 (3 )b b a a   ，化简得： 2 23 0b ab a   ； 解得： 3 5 2 b a  ，则 3 5 2 b a   ，故 tan∠ACB= 3 5 2 b a   ； 25.（1） 4y x  （2）由 3 1y kx s   得当 y x 时， (1 3 ) 1k x s   当 1 3 k  且 s=1时，x有无数个解，此时的“梦之点”存在，有无数个； 当 1 3 k  且 s≠1时，方程无解，此时的“梦之点”不存在； 当 1 3 k  ，方程的解为 1 1 3 sx k    ，此时的“梦之点”存在，坐标为（ 1 1 3 s k   ， 1 1 3 s k   ） （3）由 2 1y ax bx y x       得： 2 ( 1) 1 0ax b x    则 1 2,x x 为此方程的两个不等实根， 由 1 2x x =2，又-2＜ 1x ＜2得：-2＜ 1x ＜0时，-4＜ 2x ＜2；0≤ 1x ＜2时，-2≤ 2x ＜4； ∵抛物线 2 ( 1) 1y ax b x    的对称轴为 1 2 bx a   ，故-3＜ 1 2 b a  ＜3 由 1 2x x =2, 得： 2 2( 1) 4 4b a a   ，故 a＞ 1 8 ； 2 157 48 t b b   = 2 109( 1) 48 b   = 24 4a a + 109 48 = 21 614( ) 2 48 a   ，当 a＞ 1 2  时，t随 a的增大而增大，当 a = 1 8 时，t= 17 6 ,∴ a ＞ 1 8 时， 17 6 t  。 26.（1） 1 , 0 4 a b c   （2）设 P(x,y),⊙P的半径 r= 2 2( 2)x y  ，又 21 4 y x ，则 r= 2 2 21( 2) 4 x x  ，化简得： r= 41 4 16 x  ＞ 21 4 x ，∴点 P在运动过程中，⊙P始终与 x轴相交； （3）设 P( 21, 4 a a )，∵PA= 41 4 16 a  ，作 PH⊥MN于 H,则 PM=PN= 41 4 16 a  ,又 PH= 21 4 a , 则MH=NH= 4 2 21 14 ( ) 2 16 4 a a   ，故MN=4，∴M( 2a  ，0)，N( 2a  ,0)， 又 A(0，2)，∴AM= 2( 2) 4a   ,AN= 2( 2) 4a   当 AM=AN时，解得 a =0， 当 AM=MN时, 2( 2) 4a   =4，解得： a = 2 2 3 ，则 21 4 a = 4 2 3 ； 当 AN=MN时, 2( 2) 4a   =4，解得： a = 2 2 3  ，则 21 4 a = 4 2 3 综上所述，P的纵坐标为 0或 4 2 3 或 4 2 3 ； y x P ● A M O N H