房山区初三期末数学考试题及答案

房山区 2012—2013 学年度第一学期终结性检测试卷 九 年 级 数 学 一、（本大题共 32 分，每小题 4 分）选择题(下列各题均有四个选项，其中有且 只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在下表中相应的位置上)： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1. 如图，点 A B C， ， 都在⊙O 上，若 34C  ∠ ，则 AOB∠ 为 A．34 B．56 C．60 D．68 2. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 M, AM = 2， OM = 3. 则 CD 的长为 A . 4 B . 5 C . 8 D . 16 3.抛物线 142 2  xxy 的对称轴是直线 A． x =1 B． x =3 C． x =- 2 3 D． x =-1 4. 一个袋子中装有 10 个球，其中有 6 个黑球和 4 个白球，这些球除颜色外，形 状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机从这个袋子中摸出一个 球，摸到白球的概率为 A． 2 3 B． 5 2 C． 4 1 D． 10 1 5. 已知两圆的半径分别为 5cm 和 7cm，圆心距为 8cm，那么这两个圆的位置关系 为 A．外离 B．外切 C．相交 D． 内切 6.若反比例函数 1ky x  的图象在其每个象限内，y 随 x 的增大而减小，则 k 的值可以是 A． 3 B． 1 C．0 D． 3 7．如图，A、B、C 三点在正方形网络线的交点处，若将 ABC 绕着点 A 逆时针旋转得到 ''BAC ，则 'tan B 的值为 A. 4 1 B. 3 1 C. 2 1 D. 1 O C BA 第 1 题图 第 2 题图 8. 如图，MN 是⊙O 的直径，弦 BC⊥MN 于点 E， 6BC  . 点 A 、 D 分别为线段 EF 、 BC 上的动点. 连接 AB 、 AD ，设 BD x ， 2 2AB AD y  ， 下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象是 A. B. C. D. 二、（本大题 16 分，每小题 4 分）填空题： 9．反比例函数的图象经过点 A（1，2），则此反比例函数的解析式 为 ． 10．如图，是河堤的横断面，堤高 BC＝5 米，迎水坡 AB 的坡比 1： 3 （坡比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度 AC 之比）， 则 AC 的长是 米． （第 10 题图） 11．如图，直径 AB 为 6 的半圆 O，绕 A 点逆时针旋转 60°，此时 点 B 到了点 B ，则图中阴影部分的面积为___________. （第 11 题图） 12.如图，在直角坐标系中，已知点 A(-3，0)，B(0，4)，对△OAB 连续作旋转变 换，依次得到三角形①、②、③、④、…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为 ___________. (第 12 题图) （第 8 题图 三、（本大题共 29 分，其中第 13—17 题每小题 5 分，第 18 题 4 分）解答题： 13.（本小题 5 分）计算：   1 0112 3.14 tan 603          ． 解： 14．（本小题 5 分） 如图，在 8×11 的方格纸中，每个小正方形的边长均为 1，△ABC 的顶点均在小正方形的顶点处． （1）画出△ABC 绕点Ａ顺时针方向旋转 90°得到 的△ AB C  ； （2）求点 B 运动到点 B′所经过的路径的长． 解：（1） （2） （第 14 题图） 15．（本小题 5 分）在两个袋子中分别装有大小、质地完全相同的的卡片. 甲袋 中放了３张卡片，卡片上的数字分别为 1，2，3；乙袋中放了 2 张卡片，卡片上 的数字分别为 4，5．张红和李欣两人做游戏，分别从甲、乙两个袋子中随机地 各摸出一张卡片，若所摸出的两张卡片上的数字之和为奇数，则判张红获胜；若 两张卡片上的数字之和为偶数，则判李欣获胜．你认为这个游戏公平吗？请写出 你的判断，并用列表或画树状图的方法加以说明． 解： O P D C B A 16．（本小题 5 分）如图，一次函数 )0(1  kbkxy 的图象与反比例函数 )0(2  mx my 的图象交于 A、B 两点． （1）试确定上述反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象回答问题：当 x 为何值时 1y ＞ 2y ？ 解：（1） （2） 17．如图，AB、CD 是⊙O 的两条弦，它们相交于点 P，联结 AD、BD. 若 AD=BD=4，PC＝6，求 CD 的长. 解： （第 17 题图） 18.(本小题 4 分) 如图，在一个 55 的正方形网格中，每个小正方形的边长均 为 1，M、N 是两个格点，在格点上是否存在点 P，使△PMN 的面积等于 1？若 存在，在图中标出它的位置；若不存在，请说明理由. 解： （第 16 题 图图 四、（本大题共 20 分，每小题 5 分）解答题： 19.（本小题 5 分）如图，△ABC 中，∠A=30°， 3tan 2B  ， 4 3AC  ．求 AB 的长. 解： （第 19 题图） 20.（本小题 5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y kx 沿 y 轴向上平移 3 个 单位长度后与 x 轴交于 A(3 0)， ，与 y 轴交于点C ．抛物线 2 4y ax x c   过点 A， C，求直线 AC 及抛物线的解析式. 解： w ww. 21.（本小题5分）已知反比例函数 )0(  mx my 的图 象经过点A（ 2 ，6）. （1）求m的值； （2）如图，过点A作直线AC与函数 x my  的图象交于点B， 与x轴交于点C，且 3 1 AC BC ，求点B的坐标. 解： （第21题图） 22.（本小题 5 分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，O 为 BC 边上一点，以 O 为圆心，OB 为半径作半圆与 AB 边和 BC 边 分别交于点 D、点 E，连接 CD，且 CD=CA，BD= 56 ， tan∠ADC=2． （第 22 题图） （1）求证：CD 是半⊙O 的切线； （2）求半⊙O 的直径； （3）求 AD 的长. 解：（1） （2） （3） 五、（本大题共 23 分，其中第 23 题 6 分，第 24 题 8 分，第 25 题 9 分）解答题 23.（本小题 6 分）已知抛物线 y 33 34 3 3 2  xx 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于 B、C 两点（C 在 B 的左边）. (1)过 A、O、B 三点作⊙M，求⊙M 的半径； （2）点 P 为弧 OAB 上的动点，当点 P 运动到何 位置时△OPB 的面积最大？求出此时点 P 的坐标 及△OPB 的最大面积. 24.（本题 8 分）已知关于 x 的一元二次方程 kx2＋（3k＋1）x＋2k＋1＝0. （1）求证：该方程必有两个实数根. （2）若该方程只有整数根，求 k 的整数值 （3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，若二次函数 y＝（k＋1）x2＋3x ＋m 与 x 轴有两个不同的交点 A 和 B（A 在 B 左侧），并且满足 OA=2·OB，求 m 的非负整数值. （1）证明： 解：（2） （3） 第 23 题图 25. （本小题 9 分）如图，在直角坐标系中，以点 ( 3 0)A ， 为圆心，以 2 3 为半 径的⊙A 与 x 轴相交于点 B C， ，与 y 轴相交于点 D E， ． （1）若抛物线 21 3y x bx c   经过C D， 两点，求抛物线的解析式，并判断点 B 是否在该抛物线上； （2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点 P ，使得 PBD△ 的周长最小； （3）设Q 为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点 M ，使得以 B、C、Q、M 为顶点的四边形是平行四边形？∠若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由． 解：（1） （2） （3） O AB D E y xC 房山区 2012—2013 学年度第一学期终结性检测试卷 九年级数学参考答案及评分标准 一、（本题共 32 分，每小题 4 分）选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A B C D B C 二、（本大题 16 分，每小题 4 分）填空题： 9. xy 2 ； 10. 35 ； 11. 6π ； 12. （36,0） . 三、（本大题共 20 分，每小题 5 分）解答题： 13.解：原式= 2 3 3 1 3   -------------------------------------4 分 = 3 2 --------------------------------------5 分 14. 解：(1) 如图 ∴ △AB′C′ 为所求 --------------------------------3 分 (2) l BB = 180 Rn -------------------------------------------------4 分 = 180 590  =  2 5 -----------------------------------5 分 15. 解：游戏公平． --------------------------------------------------1 分 列表或画树状图正确． -------------------------------------------------2 分 ∵ P(两张卡片上的数字之和为奇数)= 1 2 ， ------------------------3 分 P(两张卡片上的数字之和为偶数)= 1 2 ，--------------------------------------4 分 ∴ P(两张卡片上的数字之和为奇数)= P(两张卡片上的数字之和为偶数)． ∴ 这个游戏公平． ------------------------------------------------------5 分 O P D C B A 16. 解：（1）由图可知：A（-2，1），B（1，-2） ------------------- 1 分 ∵反比例函数 my x  的图象过点 ( 21)A  ， ∴ 2m  - ， ∴ 2y x  - ---------------------------------------- 2 分 ∵ y kx b  过 ( 21) (1 2)A B -，， ， ∴ = 1 = 1k b- -， ∴ 1y x - - --------------------------------------------------------- 4 分 （2）-2＜x＜0 或 x＞1 -------------------------------------- 5 分 17. 解：联结 AC ∵ AD=BD ∴∠ACD=∠ABD=∠BAD----------1 分 ∵∠ADP=∠ADC ∴△ADC∽△PDA --------------------2 分 ∴ CDPDAD 2 ---------------------------------3 分 设 PD=x，∵AD=4，PC＝6 则有：16=x(x+6) 解得 x=2 或 x= -8（舍去-8）---4 分 ∴CD=2+6=8 ∴CD 的长为 8 ------------------------------------------5 分 18. 四、（本大题共 20 分，每小题 5 分）解答题： 19.解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D ----------1 分 ∵∠A=30° 且 4 3AC  ∴CD=2 3 ，cosA= 3 2 ------------2 分 ∴AD=6 -----------------------------------------3 分 ∵ 3tan 2B  ∴BD=4 ---------------------------------------4 分 ∴AB=4+6=10 ----------------------------------------5 分 20.解：将直线 y kx 沿 y 轴向上平移 3 个单位长度后得到 +3y kx ------1 分 ∵平移后的直线过点 A（3,0） ∴3 +3 0k  1k  - ∴直线 AC 的解析式为 +3y x - -------------------------2 分 ∵ +3y x - 与 y 轴交于点C ∴C（0,3） ------------------------3 分 ∵抛物线 2 4y ax x c   过点 A（3,0），C（0, 3） ∴ 9 12 0 3 a c c      解得： 1 3 a c    --------------------------4 分 ∴抛物线的解析式为 2 4 3y x x - ----------------------------------------5 分 21.解：(1) ∵反比例函数 x my  (m≠0)的图象经过点 A（-2,6）， ∴ 2 6 12m      ∴m 的值为-12．----------1 分 (2) 由（1）得反比例函数的解析式为 xy 12 ． 过点 A 作 AD x 轴于点 D ，过点 B 作 BE x 轴于点 E ， ∴Rt△ BEC ∽Rt△ ADC ．--------------------------2 分 ∴ 1 3 BE BC AD AC   ． ∵ 6AD  , ∴ 2BE  ． -------------------------------------------------3 分 ∴点 B 的纵坐标为 2． --------------------------------------------------4 分 又点 B 在反比例函数 xy 12 的图象上， ∴点 B 的横坐标为 x= -6， 即点 B 的坐标为(-6,2). ------------------------------------------------5 分 22.（1）证明：联结 OD ∵CD=CA，OB=OD ∴∠CAD=∠A，∠ODB=∠OBD ∵∠ACB=90°，∴∠A+∠OBD=90° ∴∠CDA+∠ODB=90° ∴∠CDO=90° ∴CD⊥OD ----------------------------1 分 ∵点 D 在半⊙O 上，∴CD 是半⊙O 的切线 ---------------------------2 分 （2）联结 DE ∵BE 是半⊙O 的直径， ∴∠EDB=90° ----------------------3 分 ∵tan∠ADC=2，∠CAD=∠A ∴tanA=2，∴tan∠EBD= 2 1 在△EDB 中，∠EDB=90°，BD= 56 ，tan∠EBD= 2 1 ∴BE=15，即半⊙O 的直径是 15 ---------------------------4 分 （3）在△ABC 中，∠ACB=90°，tan∠ABC= 2 1 设 AC= x,则 CD=x,BC=2 x ∵∠CBD+∠A=90°，∠ADC+∠CDE=90° ∠CDE=∠CBD ∴△CDE∽△CBD ∴ CBCECD 2 ∴CE=0.5x ∵∴△BDE∽△BCA ,DE:AC=BD:BC ∴3 5 :x=6 5 :(15+0.5x), ∴x=10 在△ABC 中，∠ACB=90°AC=10,BC=20 ∴AB=10 5 , ∴AD=4 5 ------------------- 5 分 23.解：（1）由题意可得：A（0， 3 ），B（3,0） ∴OA= 3 ， OB=3---------------------1 分 联结 AB，∵∠AOB=90°， ∴ AB 为⊙M 的直径 -----------------------------2 分 ∴AB=2 3 ∴⊙M 的半径为 3 ---------------------------------------3 分 （2）在△AOB 中，∵OA= 3 ， OB=3，∠AOB=90° ∴∠OA B =60° ∵点 P 为弧 OAB 上的动点 ∴∠OP B =60° -------------------------------------------------4 分 ∵OB=3 是定值，要使△OPB 面积最大，只要使 OB 边上的高最大， 即点 P 到 OB 边的距离最大 ∴点 P 为为弧 OAB 的中点，此时为△OPB 为等边三角形 ∴P（ )2 33,2 3 ，△OPB 的最大面积为 4 39 -------------------------------------6 分 24. （1）证明：△= 2 24 = 3 1 4 2 1b ac k k k  -（ ） （ ） = 21k （ ）≥0 ∴该方程必有两个实数根. --------------------------1 分 （2）解： 23 1 1 3 1 1=2 2 k k k kx k k         （ ） （ ） （ ）（ ） 1 2 3 1 1 3 1 1 1= 1 = 22 2 k k k kx xk k k         -- - - （ ）（ ） （ ）（ ）， -----------3 分 ∵方程只有整数根， ∴ 12 k- - 应为整数，即 1 k 应为整数 ∵k 为整数 ∴k=±1 -------------------4 分 （3）根据题意，k+1≠0，即 k≠-1， -------------------5 分 ∴k=1，此时， 二次函数为 y＝2x2＋3x＋m ∵二次函数与 x 轴有两个不同的交点 A 和 B（A 在 B 左侧） ∴△= 2 24 =3 4 2 =9 8b ac m m  - - ＞0,m＜ 9 8 ， ∵m 为非负整数 ∴m=0,1 ---------------------------------------------------6 分 当 m=0 时，二次函数为 y＝2x2＋3x，此时 A（ 3 2- ，0），B（0,0） 不满足 OA=2·OB. ---------------------------------7 分 当 m=1 时，二次函数为 y＝2x2＋3x+1，此时 A（-1，0），B（ 1 2- ,0） 满足 OA=2·OB. ∴k=1 --------------------------------8 分 25.解：（1）∵ ( 3 0)A ， ，⊙A 的半径为 2 3 ∴OA= 3 ，AD= 2 3AB AC  ( 3 0)B  ，∴ ， (3 3 0)C ， -------------------1 分 在 Rt AOD△ 中， 2 3AD  ， 3OA  ∴OD=3， D∴ 的坐标为(0 3)， ------------2 分 ∵抛物线 21 3y x bx c   过 D C， 两点， 2 3 1 (3 3) 3 3 03 c b c       ∴ O AB D E y xC ∴ 2 33 3 b c       ∴所求抛物线的解析式为： 21 2 3 33 3y x x   -----------------------------3 分 当 3x   时， 0y  ∴点 ( 3 0)B  ， 在抛物线上 -------------------------------------4 分 （2） 21 2 3 33 3y x x  ∵ 21 ( 3) 43 x   ∴抛物线 21 2 3 33 3y x x   的对称轴方程为 3x  在抛物线的对称轴上存在点 P ，使 PBD△ 的周长最小． BD∵ 的长为定值 ∴要使 PBD△ 周长最小只需 PB PD 最小． 连结 DC ，则 DC 与对称轴的交点即为使 PBD△ 周长最小的点． ∵直线 DC 的解析式为 3 33y x  ------------------------------------------5 分 当 x= 3 时，y=-2， ∴所求点 P 的坐标为( 3 2)，- ------------------------------------------6 分 （3）在抛物线上存在点 M ，使得以 B、C、Q、M 为顶点的四边形是平行四边 形． ∵BC=4 3 1 当 BC 为平行四边形的边，且点 M 在抛物线对称轴的左侧时， 所求 M 点的坐标是 1M （-3 3 ，12） --------------------------------------------7 分 2 当 BC 为平行四边形的边，且点 M 在抛物线对称轴的右侧时， 所求 M 点的坐标是 2M （5 3 ，12） --------------------------------------------8 分 ③当 BC 为平行四边形的对角线时，所求 M 点的坐标是 3M （ 3 ，4）-----9 分 综上所述：在抛物线上存在点 M ，使得以 B、C、Q、M 为顶点的四边形是 平行四边形，且所求 M 的坐标为 1M （-3 3 ，12）、 2M （5 3 ，12）、 3M （ 3 ，4）．