昌平区初三数学期末考试题及答案

昌平区 2012—2013 年第一学期初三年级期末质量抽测 数 学 试 卷 2013．1 学校 姓名 考试编号 考 生 须 知 1．本试卷共 6 页，共五道大题，25 个小题，满分 120 分．考试时间 120 分钟． 2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考试编号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．考试结束，请将答题卡交回． 一、选择题（共 8 道小题，每小题 4 分，共 32 分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．在 Rt△ABC 中， 90C=  ， 3AC= ， 4BC= ，则 sin A的值为 A． 4 3 B． 4 5 C． 3 4 D． 3 5 2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A = 50°，则∠BOC 的度数为 A．40° B．50° C．80° D．100° 3．在不透明的布袋中装有 1 个红球，2 个白球，3 个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中 任意摸出一个球，摸出的球是红球．．的概率是 A． 1 6 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 4．⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 3cm 和 5cm，若 O1O2= 8cm，则⊙O1 和⊙O2 的位置关系是 A．外切 B. 相交 C. 内切 D. 内含 5．若一个三角形三边之比为 3:5:7，与它相似的三角形的最长边的长为 21，则最短边的长 为 A. 15 B. 10 C. 9 D. 3 6．将二次函数 2 4 1y x x   化为 2( )y x h k   的形式，结果为 A． 2( 2) 5y x   B． 2( 2) 5y x   C． 2( 2) 5y x   D． 2( 2) 5y x   7．如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到圆桌后在地面上形成圆 形的示意图. 已知桌面直径为 1.2m，桌面离地面 1m. 若灯泡离地面 3m，则地面上阴影部 分的面积为 A. 0.36 m2 B. 0.81 m2 C. 2 m2 D.3.24 m2 8．如图，在边长为 2 的等边三角形 ABC 中，以 B 为圆心，AB 为半径作 AC ， 在扇形 BAC 内作⊙O 与 AB、BC、 AC 都相切，则⊙O 的周长等于 A. 4 9  B. 2 3  C. 4 3  D.  二、填空题（共 4 道小题，每小题 4 分，共 16 分） 9．已知圆锥的底面半径为 3，母线长为 4，则圆锥的侧面积为 . 10．当 x  时，二次函数 2 2 2y x x   有最小值． 11．如图，在△ABC 中，∠ACB=∠ADC= 90°，若 sinA= 3 5 ，则 cos∠BCD 的值为 ． 12．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 8cm，点 E、F 分别在边 BC、 CD 上，∠EAF=45°. 当 EF=8cm 时，△AEF 的面积是 cm2； 当 EF=7cm 时，△EFC 的面积是 cm2． 三、解答题（共 6 道小题，第 13、14 题各 4 分，第 15 -18 题各 5 分，共 28 分） 13.计算：  60tan45sin230cos2 ． 14.如图，小聪用一块有一个锐角为 30 的直角三角板测量树高， 已知小聪和树都与地面垂直，且相距 3 3 米，小聪身高 AB 为 1.7 米，求这棵树的高度. 15.已知二次函数 2( +1) 6 3y k x x   的图象与 x 轴有交点，求 k 的取值范围. 16. 如图，△ABC 的顶点在格点上，且 点 A（-5，-1），点 C（-1，-2）. （1）以原点 O 为旋转中心，将△ABC 绕点 O 逆时针旋转 90°得到△ A B C   . 请在图中画出△ A B C   ，并写出点 A 的 对称点 A的坐标； （2）以原点 O 为位似中心，位似比为 2， 在第一象限内将△ABC 放大，画出放大 后的图形△ A B C   . 17.如图，甲、乙用 4 张扑克牌玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后背面朝上，放置在桌面上，每 人抽一张，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回．．．.甲、乙约定：只有．．甲抽到的牌面数字比乙大 时甲胜；否则乙胜. 请你用树状图或列表法说明甲、乙获胜的机会是否相同 . 18. 二次函数 2 2y x x m    的图象与 x 轴的一个交点为 A 3,0 ，另一个交点为 B，与 y 轴交于点 C. （1）求 m 的值及点 B、点 C 的坐标； （2）直接写出当 0y  时， x 的取值范围； （3）直接写出当 1 2x   时， y 的取值范围． 四、解答题（共４道小题，每小题 5 分，共 20 分） 19. 如图，AB 为⊙O 的直径，直线 DT 切⊙O 于 T，AD⊥DT 于 D，交⊙O 于点 C, AC=2， DT = 3 ，求∠ABT 的度数. 20. 如图，在 Rt△ABC 中，∠CAB=90°，AD 是∠CAB 的平分线， tanB= 2 1 ，求 CD BD 的值． 图 1 图 2 图 3 图 4 21. 在矩形 ABCD 中，点 O 在对角线 BD 上，以 OD 为半径的⊙O 与 AD、BD 分别交于点 E、 F，且∠ABE =∠DBC. （1）求证：BE 与⊙O 相切； （2）若 1 3 sin ABE  ，CD =2，求⊙O 的半径. 22. 阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图 1，在正三角形 ABC 内有一点 P，且 PA=3 ，PB=4，PC=5， 求∠APB 的度数. 小伟是这样思考的：如图 2，利用旋转和全等的知识构造△ AP C ，连接 PP，得到两 个特殊的三角形，从而将问题解决． 请你回答：图 1 中∠APB 的度数等于 . 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图 3，在正方形 ABCD 内有一点 P，且 PA= 2 2 ，PB=1，PD= 17 ，则∠APB 的 度数等于 ，正方形的边长为 ； （2）如图 4，在正六边形 ABCDEF 内有一点 P，且 PA= 2 ，PB=1，PF= 13 ，则∠APB 的 度数等于 ，正六边形的边长为 ． 五、解答题（共 3 道小题，第 23 题 7 分，第 24 题 8 分，第 25 题 9 分，共 24 分） 23. 如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下 P 点打出一球向球洞 A 点飞去，球的飞行 路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度 BD 为 12 米时，球移动的水平距离 PD 为 9 米 ．已知山坡 PA 与水平方 向 PC 的夹角为 30o，AC⊥PC 于点 C， P、A 两点相距8 3 米．请 你建立适当的平面直角坐标系解决下列问题. （1）求水平距离 PC 的长； （2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式； （3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从 P 点直接打入球洞 A． 24．如图，菱形 ABCD 的边长为 48cm，∠A=60°，动点 P 从点 A 出发，沿着线路 AB—BD 做匀速运动，动点 Q 从点 D 同时出发，沿着线路 DC—CB—BA 做匀速运动. （1）求 BD 的长； （2）已知动点 P、Q 运动的速度分别为 8cm/s、10cm/s. 经 过 12 秒后，P、Q 分别到达 M、N 两点，若按角的大小进行 分类，请问△AMN 是哪一类三角形，并说明理由； （3）设问题（2）中的动点 P、Q 分别从 M、N 同时沿 原路返回，动点 P 的速度不变，动点 Q 的速度改变为 a cm/s，经过 3 秒后，P、Q 分别到达 E、F 两点，若△BEF 与问题（2）中的△AMN 相似，试求 a 的值. 25. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数图象的顶点坐标为 C（- 4， 3 ），且在 x 轴上截得的线段 AB 的长为 6. （1）求二次函数的解析式； （2）在 y 轴上确定一点 M，使 MA+MC 的值最小，求出点 M 的坐标； （3）在 x 轴下方的抛物线上，是否存在点 N，使得以 N、A、B 三点为顶点的三角形与△ABC 相似？如果存在，求出点 N 的坐标；如果不存在，请说明理由. 备用图 昌平区 2012—2013 学年第一学期初三年级期末质量抽测 数学试卷参考答案及评分标准 2013．1 一、选择题（共 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 B D A A C D B C 二、填空题（共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分） 题 号 9 10 11 12 答 案 12 1 4 5 32 , 8（各 2 分） 三、解答题（共 6 道小题，第 13、14 题各 4 分，第 15-18 题各 5 分，共 28 分） 13．解：原式= 3 22 2 32 2     ……………… 3 分 =1． …………………………… 4 分 14．解：由题意，易知 30 , 90 ,CAD CDA      3 3 , , 1.7AD CE BE DE AB    . ………………………… 1 分 ∴ tan CDCAD AD   ， …………………… 2 分 ∴ 3 3 3 3 3CD    ． ………………………… 3 分 ∴ 3 1.7 4.7CE    ． ………………………… 4 分 答：这棵树的高度为 4.7 米． 15．解：依题意，得 2 1 0, ( 6) 4 3( 1) 0. k k          ……………… 2 分 解之，得 1, 2. k k     ……………………… 4 分 ∴ 2k  且 1k   ． ………………………… 5 分 16．解：（1）点 A 坐标为 （1，-5） . ……………………… 1 分 如图所示. ………………………3 分 （2）如图所示. ……………………………………5 分 17．解： . …………… 3 分 ∴ 5 7,12 12P P （甲胜） （乙胜） . …………………………… 4 分 ∴甲、乙获胜的机会不相同. ………………… 5 分 18．解：（1）依题意得：0 = - 9 + 6 + m , ∴m = 3. …………………… 1 分 ∴ 2 2 3y x x    . ∴ 抛物线与 x 轴的另一交点 B(-1，0), ………… 2 分 与 y 轴交点 C(0,3). ………………………… 3 分 （2）当 y﹥0 时，-1 < x < 3. …………………… 4 分 （3）当-1≤x≤2 时，0≤y≤4. ……………………………………5 分 四、解答题（共４道小题，每小题 5 分，共 20 分） 19． 解：连接 OT、BC，相交于点 E． ∵直线DT切⊙O于T ， ∴∠OTD = 90°．…………………………… 1分 ∵AD⊥DT于D， ∴∠ADT = 90°． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB = 90°． ……………………………… 2分 ∴∠DCB = 90°． ∴四边形CDTE是矩形． ……………………… 3分 ∴∠CET = 90°, 3CE DT  . ∴ 2 2 3BC CE  . ∵ 3tan 3ABC AC BC    ， ∴∠ABC = 30°． …………………………………… 4分 ∴∠BOT = 60°． ∵OB = OT , ∴△OBT为等边三角形． ∴∠ABT = 60°． …………………………………… 5分 20．解：过点D作 DE AB E 于点 . ∵∠BAC=90°，AD平分∠CAB , ∴∠1= 1 2 ∠CAB=45°. ∵ DE AB ， ∴DE∥AC，∠2=45° . ∴DE=AE， AE CD BE BD  ． …………………………… 2分 ∵ 1tan 2 B  , ∴ 1 2 DE BE  ． ………………………………………… 3分 ∴ 1 2 AE BE  . …………………………………… 4分 ∴ 1 2 CD BD  . …………………………… 5分 21． （1）证明：连接OE. ………………………………… 1分 ∵四边形ABC D是矩形， ∴AD∥BC, ∠C=∠A = 90°． ∴∠3 =∠DBC，∠A BE +∠1 = 90°． ∵OD=OE，∠ABE =∠DBC, ∴∠2=∠3=∠ABE． ∴∠2 +∠1 = 90°． ∴∠BEO=90° ． ∵点E在⊙O上， ∴BE与⊙O相切． ………………………… 2分 （2）解：∵∠ABE =∠DBC， ∴ 1 3 sin sinDBC ABE    ． ∵DC =2 ，∠C = 90°， ∴DB= 6． ………………… 3分 ∵∠A = 90°， ∴BE=3AE. ∵AB = CD =2 ， 利用勾股定理，得 2 2 AE  ， 4 2AD  . ∴ 2 2 7DE  . 连接EF. ∵DF是⊙O的直径， ∴∠DEF=∠A = 90°． ∴AB∥EF． ∴ DEF ∽ DAB ． …………………… 4分 ∴ DE DF AD BD  . ∴ 7 22 64 2 DF . ∴ 21 4DF  . ∴⊙O的半径为 21 8 . …………………………………5分 22．解：150 . …………………………………………… 1分 （1）135°， 13 . ……………………………………… 3分 （2）120°， 7 . …………………………………… 5分 五、解答题（共 3 道小题，第 23 题 7 分，第 24 题 8 分，第 25 题各 9 分，共 24 分） 23．解：（1）依题意得： 90 , 30 , 8 3ACP APC PA       , ∵cos OCAPC OA   ， ………………………………… 1 分 ∴ 8 3 cos30 12PC    . ………………………… 2 分 ∴PC 的长为 12m . （2）以 P 为原点，PC 所在直线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，可知： 顶点 B(9，12), 抛物线经过原点. …………………… 3 分 ∴设抛物线的解析式为 2( 9) 12y a x   . …4 分 ∴ 20 (0 9) 12a   ，求得 4 27 a   . ∴ 24= 9 +12 27 y x- （ - ) . …………… 5 分 （3）由（1）知 C (12 , 0) , 易求得 4 3AC  . ∴ 12 4 3)A( ， . ……………………………… 6 分 当 x =12 时， 24 32(12 9) 12= 4 3 27 3 y      . ……………… 7 分 ∴小明不能一杆把高尔夫球从 P 点直接打入球洞 A . 24．解：（1）∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴AB=BC=CD=AD=48 . ………………………………… 1 分 又∵ 60A   ， ∴△ABD 是等边三角形. ∴BD=AB=48. ∴BD 的长为 48cm . ………………………… 2 分 （2）如图 1，12 秒后，点 P 走过的路程为 8×12=96， ∴12 秒后点 P 到达点 D（M）. 又∵ 12 秒后，点 Q 走过的路程为 10×12=120， ∴12 秒后点 Q 到达 AB 的中点 N. …………… 3 分 连结 MN，由（1）知△ABD（M）是等边三角形， ∴MN⊥AB 于点 N. ∴ 90ANM  . ∴△AMN 是直角三角形. ……………………………4 分 （3）依题意得，3 秒时点 P 走过的路程为 24cm，点 Q 走过的路程为 3 a cm. ∴ 点 E 是 BD 的中点. ∴ DE = BE = 24. ……………………………5 分 1 当点 Q 在 NB 上时（如图 1）， 1 3NF a ， ∴ 1 24 3BF a  . ∵点 E 是 BD 的中点， 若 EF1⊥DB，则点 F1 与点 A 重合，这种情况不成立. ∴EF1⊥AB 时，∠EF1B=∠ANM = 90°. 由（1）知∠ABD =∠A = 60°, ∴△EF1B∽△MAN. ∴ 1BF BE AN AM  . ∴ 24 3 24 24 48 a  . ∴ 4a  ， 1 12BF  . ………………………… 6 分 2 如图 2，由菱形的轴对称性，当点 Q 在 BC 上时， 2 12BF  . ∴点 Q 走过的路程为 36cm. ∴ 36 12 3 a   . …………… 7 分 3 如图 3，当点 Q 与点 C 重合时，即点 F 与点 C 重合. 由（1）知，△BCD 是等边三角形， ∴EF3⊥BD 于点 E，∠E B F3 =∠A = 60°. ∴△F3EB∽△MNA. 此时，BF3 = 48， ∴点 Q 走过的路程为 72cm. ∴ 72 24 3 a   . …………………………… 8 分 综上所述，若△BEF∽△ANM ，则 a 的值为 4cm/s 或 12cm/s 或 24cm/s. 25．解：（1）∵抛物线的顶点坐标为 4 3C - )（ ， ， ∴抛物线的对称轴为直线 4x   . ∵抛物线在 x 轴上截得的线段 AB 的长为 6， ∴ A(-1 , 0 )，B( -7 , 0 ) . ………………………1 分 设抛物线解析式为  24 3y a x   ， ∴  20 1 4 3a    . 解得， 3 9a   . ∴ 二次函数的解析式为  23 4 39y x    . ……………2分 （2）作点 A 关于 y 轴的对称点 A，可得 A（1.0）. 连接 AC 交 y 轴于一点即点 M，此时 MC + MA 的值最小. 由作法可知，MA = M A. ∴MC + MA = MC + M A= AC. ∴当点 M 在线段 AC 上时，MA + MC 取得最小值. ……………3 分 ∴线段 AC 与 y 轴的交点即为所求点 M. 设直线 C A的解析式为 y kx b  (k≠0)， ∴ 3 4 0 k b, k b.       ∴ 3 3 5 5k , b   . ……………4 分 ∴直线 C A的解析式为 3 3 5 5y x   . ∴点 M 的坐标为( 0， 3 5 ). …………………5 分 （3）由（1）可知，C(－4， 3 )，设对称轴交 x 轴于点 D， ∴AD = 3. ∴在 Rt△ADC 中， 3 3tan CAD  . ∴∠CAD = 30o， ∵AC = BC， ∴∠ABC = ∠CAB = 30o. ∴∠ACB = 120°. …………………………………6 分 ①如果 AB = A N1= 6，过 N1 作 E N1⊥x 轴于 E. 由△ABC∽△BA N1 得∠BA N1 = 120o， 则∠EA N1 = 60o . ∴N1E = 3 3 ，AE =3. ∵A(-1 , 0 )， ∴OE = 2. ∵点 N 在 x 轴下方， ∴点 N2(2， 3 3 ). ………………………………………7 分 ②如果 AB = B N2，由对称性可知 N2(-10， 3 3 ). ……………………8 分 ③如果 N3A = N3B，那么点 N 必在线段 AB 的中垂线即抛物线的对称轴上，在 x 轴下方 的抛物线上不存在这样的点 N. 经检验，点 N1 (2， 3 3 )与 N2 (-10， 3 3 )都在抛物线上 . …………9 分 综上所述，存在这样的点 N，使△NAB∽△ABC，点 N 的坐标为(2， 3 3 )或(-10， 3 3 ).