北京四中九年级数学上期中试卷及答案

北京四中 2012 九年级期中数学试卷 （考试时间为 120 分钟，试卷满分为 120 分） 班级 学号 姓名 分数 一、选择题（每小题 4 分，共 32 分．下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是 符合题意的．） 1．下列事件是必然事件的是（ ）． A．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和是 6 B．掷一枚硬币，正面朝上 C．3 个人分成两组，一定有两个人分在一组 D．打开电视，正在播放动画片 2．抛物线 2( 1) 2y x   可以由抛物线 2xy  平移而得到，下列平移正确的是 （ ）． A．先向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 B．先向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位 C．先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 D．先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位 3．已知一顶圆锥形纸帽底面圆的半径为 10cm，母线长为 50cm，则圆锥形纸帽 的侧面积为（ ）． A． 2250 cm B． 2500 cm C． 2750 cm D． 21000 cm 4．两圆半径分别为 2 和 3，圆心坐标分别为（1，0）和（-4，0），则两圆的位置 关系是（ ）． A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 5．同时投掷两枚硬币，出现两枚都是正面的概率为（ ）． A． 1 4 B． 1 3 C． 3 4 D． 1 2 6．如图，在平面直角坐标系中，点 P 在第一象限，⊙ P 与 x 轴 相切于点Q ，与 y 轴交于 (0 2)M ， ， (0 8)N ， 两点，则点 P 的坐标是 （ ）． A．(5 3)， B．(3 5)， C．(5 4)， D．(4 5)， 7．抛物线 2 1y x kx   与 2y x x k   相交，有一个交点在 x 轴上，则 k 的值为 （ ）． Q P O N x y M A．0 B． 2 C．−1 D． 1 4 8．如图，在直角梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， 90C   ， 6cmCD  ， AD＝2cm，动点 P、Q 同时从点 B 出发，点 P 沿 BA、AD、DC 运 动到点C 停止，点Q 沿 BC 运动到C 点停止，两点运动时的速度 都是 1cm/s，而当点 P 到达点 A 时，点Q 正好到达点C ． 设 P 点运动的时间为 (s)t ， BPQ△ 的面积为 y 2(cm ) ．下图中能正确表示整个运 动中 y 关于t 的函数关系的大致图象是（ ）． A． B． C． D． 二．填空题（每小题 4 分，本题共 16 分） 9．正六边形边长为 3，则其边心距是___________cm． 10．函数 2 2 3( 2 2)y x x x      的最小值为_________，最大值为__________． 11．如图，在△ABC 中，BC=4，以点 A 为圆心，2 为半径的⊙A 与 BC 相切于点 D，交 AB 于 E，交 AC 于 F，点 P 是⊙A 上一 点 ， 且 ∠ EPF=40 ° ， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 是 _______________． 12． 已知二次函数 2y ax bx c   满足：（1） a b c  ； （2） 0a b c   ；（3）图象与 x 轴有 2 个交点，且两交点间的距离小于 2；则以下结 论中正确的有 ． ① 0a  ② 0a b c   ③ 0c  ④ 2 0a b  ⑤ 1 2 4 b a   三．解答题（每小题 5 分，本题共 30 分） 13 ． 计 算 ：   3 0 3 122 1250        14 ． 用 配 方 法 解 方 程 ： 21 2 3 02 x x   15． 已知 2 2 1( 1) ( 3)m my m x m x m      ，当 m 为何值时，是二次函数？ 16．如图，在半径为 6 cm 的⊙O 中，圆心 O 到弦 AB 的距离 OC 为 3 cm．试求： （1）弦 AB 的长； （2） AB⌒ 的长． 17．已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的顶点位于 x 轴下方，它到 x 轴的距离为 4， 下表是 x 与 y 的对应值表： x 0 2 y 0 −3 −4 −3 0 （1）求出二次函数的解析式； （2）将表中的空白处填写完整； （3）在右边的坐标系中画出 y=ax2+bx+c 的图象； （4）根据图象回答： 当 x 为何值时， 函数 y=ax2+bx+c 的值大于 0．_______________________ 18．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，O 是 AB 上一点， 以 OA 为半径的⊙O 经过点 D． xO y O C BA O A C D B （1）求证：BC 是⊙O 切线； （2）若 BD=5，DC=3，求 AC 的长． 四．应用题（19 题 6 分，20 题 5 分，21 题 4 分） 19． 桐桐和大诚玩纸牌游戏．下图是同一副扑克中的 4 张扑克牌的正面，将它 们正面朝下洗匀后放在桌上，桐桐先从中抽出一张，大诚从剩余的 3 张牌中也抽 出一张． 桐桐说：若抽出的两张牌的数字都是偶数，你获胜；否则，我获胜． （1）请用列表（或树状图）表示出两人抽牌可能出现的所有结果； （2）若按桐桐说的规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由． 20．某体育品商店在销售中发现：某种体育器材平均每天可售出 20 件，每件可 获利 40 元；若售价减少 1 元，平均每天就可多售出 2 件；若想平均每天销售这 种器材盈利 1200 元，那么每件器材应降价多少元？若想获利最大，应降价多少？ 21．用尺规作图找出该残片所在圆的圆心 O 的位置． （保留作图痕迹，不写作法） 五．解答题（本题 5 分） 22．已知如图，正方形 AEDG 的两个顶点 A、D 都在⊙O 上，AB 为⊙O 直径， 射线线 ED 与⊙O 的另一个交点为 C，试判断线段 AC 与线段 BC 的关系． 六．综合运用（23、25 题 7 分，24 题 8 分） 23．已知： 关于 x 的一元一次方程 kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数 y=ax2−bx+kc（c≠0）的图象与 x 轴一个交点的横坐标为 1． （1）若方程①的根为正整数，求整数 k 的值； （2）求代数式 akc abbkc  22)( 的值； （3）求证： 关于 x 的一元二次方程 ax2−bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根． 24． 已知：如图，在直角坐标系 xoy 中，点 A（2，0），点 B 在第一象限且△OAB 为正三角形，△OAB 的外接圆交 y 轴的正半轴于点 C，过点 C 的圆的切线交 x 轴于点 D． （1）求 B、C 两点的坐标； （2）求直线 CD 的函数解析式； （3）设 E、F 分别是线段 AB、AD 上的两个动点，且 EF 平分四边形 ABCD 的周 长． 试探究：当点 E 运动到什么位置时，△AEF 的面积最大？最大面积是多少？ 第 24 题图 25．抛物线 2 3y ax bx   交 x 轴于 BA、 两点，交 y 轴于点C ，已知抛物线的对 称轴为直线 1x ， 4AB  ． （1）求二次函数 2 3y ax bx   的解析式； （2）在抛物线对称轴上是否存在一点 P ，使点 P 到 CB、 两点距离之差最大？ 若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）平行于 x 轴的一条直线交抛物线于 NM、 两点，若以 MN 为直径的圆恰好 与 x 轴相切，求此圆的半径． 初三期中考试参考答案及评分标准 四中 2011.11．04 一、选择题：（本题共 32 分，每小题 4 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B B A D B B 二、填空题：（本题共 16 分，每小题 4 分） 9． 3 2 2 10． −4， 5 11． 84 9  12． ①②③⑤（少选 1 个 扣 1 分，多选或选错均不得分） 三、 解答题：（本题共 30 分，每小题 5 分） 13． 计算：   3 0 3 122 1250        解：原式=5 2 2 1 27   …………．．4 分（化简运算对一个数给 1 分） =4 2 28 ……………………5 分 14．用配方法解方程： 21 2 3 02 x x   解： 21 ( 4 ) 3 02 x x   ………．．1 分 21 ( 2) 52 x   ………．．3 分 2 10x    ∴ 1 22 10, 2 10x x    ……．．5 分 15．已知 2 2 1( 1) ( 3)m my m x m x m      ，当 m 为何值时，是二次函数？ 解：依题设，若原函数为二次函数，则有 2 1 0 2 1 2 m m m       ………．2 分 解得 m=3 ………．．．5 分 16．如图，在半径为 6 cm 的⊙O 中，圆心 O 到弦 AB 的距离 OC 为 3 cm．试求： （1） 弦 AB 的长； （2） AB⌒ 的长． 解：依题设有 OC⊥AB 于 C，又∵AB 为⊙O 的弦 ∴ AC=BC= 1 2 AB ……… 2 分 连结 OA 则 2 2AC OA OC  又∵OA=6，OC=3 ∴ AC=3 3 ∴ AB=6 3 ………3 分 （2）由（1）知，在 Rt△ACO 中，OA=6，OC=3 ∴ ∠OAC=30° ∴ ∠AOC=60° ∴ ∠AOB=120° ………4 分 ∴ AB⌒ = 1 23 OA  = 4 ………．．5 分 17．已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的顶点位于 x 轴下方，它到 x 轴的距离为 4， 下表是 x 与 y 的对应值表： x -1 0 1 2 3 y 0 -3 -4 -3 0 （1）求出二次函数的解析式； 解：由上表可知，二次函数图象的对称轴为直线 x=1， 顶点坐标为（1，4） ……1 分 ∴ 二次函数解析式可变形为 2( 1) 4y a x   又由图象过（0，-3），有-3=a-4，解得 a=1 ∴ 二次函数解析式为 2 2 3y x x   ．．．．．2 分 （2）将表中的空白处填写完整； ．．．．．3 分 （3）在右边的坐标系中画出 y=ax2+bx+c 的图象； ………4 分 （4）根据图象回答： 当 x 为何值时， 函数 y=ax2+bx+c 的值大于 0．x3．．．．．5 分 18．如图，在△ABC 中，∠C=90°， AD 是∠BAC 的平分线，O 是 AB 上一点， 以 OA 为半径的⊙O 经过点 D． （1）求证： BC 是⊙O 切线； O C BA （2）若 BD=5， DC=3， 求 AC 的长． 解：（1）证明： 如图 1，连接 OD． ∵ OA=OD， AD 平分∠BAC， ∴ ∠ODA=∠OAD， ∠OAD=∠CAD． ………………1 分 ∴ ∠ODA=∠CAD． ∴ OD//AC． …………………………………2 分 ∴ ∠ODB=∠C=90． ∴ BC 是⊙O 的切线． ……………………………3 分 图 1 （2）解法一： 如图 2，过 D 作 DE⊥AB 于 E． ∴ ∠AED=∠C=90． 又∵ AD=AD， ∠EAD=∠CAD， ∴ △AED≌△ACD． ∴ AE=AC， DE=DC=3． 在 Rt△BED 中，∠BED =90，由勾股定理，得 图 2 BE= 422  DEBD ． ………………………………………………………4 分 设 AC=x（x>0）， 则 AE=x． 在 Rt△ABC 中，∠C=90， BC=BD+DC=8， AB=x+4， 由勾股定理，得 x2 +82= （x+4） 2． 解得 x=6． 即 AC=6． …………………………………………………………5 分 解法二： 如图 3，延长 AC 到 E，使得 AE=AB． ∵ AD=AD， ∠EAD =∠BAD， ∴ △AED≌△ABD． ∴ ED=BD=5． 在 Rt△DCE 中，∠DCE=90， 由勾股定理，得 CE= 422  DCDE ． ………… ……………4 分 图 3 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90， BC=BD+DC=8， 由勾股定理，得 AC2 +BC2= AB 2． 即 AC2 +82=（AC+4） 2． 解得 AC=6． …………………………………………………………5 分 19． 解：（1） 树状图为： 共有 12 种可能结果． ···················································································· 3 分 （2）游戏公平． ····················································································· 4 分 ∵ 两张牌的数字都是偶数有 6 种结果： D C A O B E B D C A O E B D C A O （6，10），（6，12），（10，6），（10，12），（12，6），（12，10）． ∴ 桐桐获胜的概率 P= 12 6 = 2 1 ． ··································································· 5 分 大诚获胜的概率也为 2 1 ．············································································ 6 分 ∴ 游戏公平． 20．某体育品商店在销售中发现：某种体育器材平均每天可售出 20 件，每件可 获利 40 元；若售价减少 1 元，平均每天就可多售出 2 件．若想平均每天销售这 种器材盈利 1200 元，那么每件器材应降价多少元？若想获利最大，应降价多少？ 解：设若想盈利 1200 元，每件器材应降价 x 元，则有 (40 )(20 2 ) 1200x x   ……………．2 分 可解得 1 210, 20x x  ， 答：若想盈利 1200 元，每件器材降价 10 元或 20 元均可 ………．3 分 设降价 x 元时，盈利为 y 元，则 (40 )(20 2 )y x x   00， 得 k-1>0． …………………………………6 分 ∴ 4ac（k-1）>0． ∵ （a-kc）20， ∴Δ=（a-kc）2+4ac（k-1）>0． 此时方程②有两个不相等的实数根． …………7 分 证法二： （ i ）若 ac0． 故Δ=b2-4ac>0． 此时方程②有两个不相等的实数根． …… 4 分 （ ii ）若 ac>0，∵ 抛物线 y=ax2-bx+kc 与 x 轴有交点， ∴ Δ1=（-b）2-4akc =b2-4akc0． （b2-4ac）-（ b2-4akc）=4ac（k-1）． 由证法一知 k-1>0， ∴ b2-4ac> b2-4akc0． ∴ Δ= b2-4ac>0． 此时方程②有两个不相等的实数根． …………………7 分 综上， 方程②有两个不相等的实数根． 证法三：由已知， a b kc  ，∴ 2 2 2 2 2 4 4 ( ) ( 2 ) 4( 1)b ac b c b kc b c k c          可以证明 2b c 和 c 不能同时为 0（否则 0a  ），而 1 0k   ，因此 2 0  ． 24．解：（1）∵A（2，0）， ∴OA=2． 作 BG⊥OA 于 G， ∵△OAB 为正三角形，∴OG=1，BG= 3 ， ∴B（1， 3 ）． ………………………………1 分 连 AC，∵∠AOC=90°，∠ACO=∠ABO=60°． （第 24 题） 90AOC   ，∴OC= 3 32 ． ∴C（0， 3 32 ）． …………………………………2 分 （2）∵∠AOC=90°，∴AC 是圆的直径， 又∵CD 是圆的切线，∴CD⊥AC． ∴∠OCD=30°，OD= 3 2 ．∴D（ 3 2 ，0）． 设直线 CD 的函数解析式为 y=kx+b（k≠0）， 则         bk b 3 20 3 32 ，解得      3 32 3 b k ∴直线 CD 的解析式为 y= 3 323 x ．…4 分 （3）∵AB=OA=2，OD= 3 2 ，CD=2OD= 3 4 ，BC=OC= 3 32 ， ∴四边形 ABCD 的周长 6+ 3 32 ． 设 AE=t，△AEF 的面积为 S， 则 AF=3+ 3 3 －t，S= t4 3 （3+ t 3 3 ）． ∵S= t4 3 （3+ t 3 3 ）=                2 3 3 7 6 39 4 3 2 t ． ∵点 E、F 分别在线段 AB、AD 上， ∴      3 223 330 20 t t ∴ 23 31  t …………………………6 分 ∴当 t= 6 39  时，S 最大= 8 3 12 37  ．…………8 分 25．（1）设抛物线的解析式为 2( 1)y a x h   ， ∵点 (3 0)B ， 、 0 3C （， ）在抛物线上， （第 24 题） E F ∴ 4 0 3. a h a h       ， 解得 1 4. a h     ， ∴抛物线的解析式为 2 2( 1) 4 2 3y x x x      ． ……………2 分 （2） 2 2 3 ( 1)( 3)y x x x x      ， ∴A（ 1 ，0），B（3，0）． ∴ 2 21 3 10AC    ． ∴PA=PB， ∴ PB PC PA PC   ． ………．．3 分 如图 1，在△PAC 中， PA PC AC  ， 当 P 在 AC 的延长线上时， 10PA PC AC   ． 设直线 AC 的解析式为 y kx b  ， ∴ 0 3. k b b       ， 解得 3 3. k b      ， ∴直线 AC 的解析式为 3 3y x   ． 当 1x  时， 3 3 6y      ． ∴当点 P 的坐标为（1， 6 ）时， PA PC 的最大值为 10 ．……………．5 分 （3）如图 2，当以 MN 为直径的圆与 x 轴相切时， Ny r ． ∵点 N 的横坐标为1 r ， ∴ 2 2( 1) 2( 1) 3 4Ny r r r       ． ∴ 2 4r r  ． 解得 1 1 17 2r  ， 2 1 17 2r   ． ……………．．7 分