北京东城区初三数学期末考试题及答案

东城区 2012—2013 学年第一学期期末统一检测 初三数学试题 2013.1 学校 班级 姓名 考号 考 生 须 知 1．本试卷共 6 页，共五道大题，25 道小题，满分 120 分.考试时间 120 分钟. 2．在试卷上准确填写学校名称、班级、姓名和考号. 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效. 4．在答题卡上选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．下列一元二次方程中有两个相等的．．．．．．实数根的是 A． 2 2 4 0x x   B． 2 2 6 0x x   C． 2 4 4 0x x   D． 2 3 5 0x x   2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 3．如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB 于点 C，若 AB=4，OC=1， 则⊙O 的半径为 A． 3 B． 5 C． 2 5 D．6 4. 从 1，2，3，4 这四个数中，随机抽取两个相加，和为偶数的概率为 A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 5 6 5．若将抛物线 y= 22x 先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位得到一个新的抛物线，则 新抛物线的顶点坐标是 A． ( 2,1) B． ( 2, 1)  C． (2,1) D． (2, 1) 6．如图，在△ABC 中，若 DE∥BC，AD∶BD=1∶2，若△ADE 的面积等于 2，则△ABC 的面积等于 A.6 B.8 C.12 D.18 7．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2 3 ， 则阴影部分图形的面积为 A．4π B．2π C．π D． 2π 3 8. 已知点 A（0，2），B（2，0），点 C 在 2y x 的图象上，若 △ ABC 的面积为 2，则这样的 C 点有 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9 ．已知 x=1 是方程 x2+bx-2=0 的一个 根，则 b 的值是 ；方程 的另一个根 是 ． 10．点 A（ 1x ， 1y ）、B（ 2x ， 2y ）在二次函数 2 2 1y x x   的图象上，若 2x ＞ 1x ＞1， 则 1y 与 2y 的大小关系是 1y 2y ．（用“＞”、“＜”、“=”填空） 11．两块大小一样斜边为 4 且含有 30°角的三角板如图水平放置.将△CDE 绕 C 点按逆时针 方向旋转，当 E 点恰好落在 AB 边上的 'E 点时， 'EE 的长度为 ． 12．如图所示，在 △ABC 中，BC=6，E，F 分别是 AB，AC 的中点，点 P 在射线 EF 上，BP 交 CE 于D，点 Q 在 CE 上且 BQ 平分∠CBP，设 BP= y ，PE= x .当 CQ= 2 1 CE 时，y 与 x 之间的函数关系式是 ； 当 CQ= n 1 CE（ n 为不小于 2 的常数）时， y 与 x 之间的函数关系式是 . 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13． 解方程： 23 1 6x x  . 14．小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示，它的底面半径 OB=3cm，高 OC=4cm，求这个圆锥形漏斗的侧面积． 15．如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上， 判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由． 16．画图： （1）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△OAB 的顶点都在格点上，请将△OAB 绕点 O 顺时针旋转 90°，画出旋转后的△OA′B′； （2）在 4×4 的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格 中，与其余四个正方形组成的新图形是一个中心对称图形.在图 1，图 2 中分别画出两 种符合题意的图形. 17．已知关于 x 的一元二次方程 (m -2)x2 + 2mx + m +3 = 0 有两个不相等的实数根. (1)求 m 的取值范围； (2)当 m 取满足条件的最大整数时，求方程的根. 18．如图，点 A，B，C，D 在⊙O 上，O 点在∠D 的内部，四边形 OABC 为平行四边形， 求∠OAD+∠OCD 的度数． 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19．随着我国经济的发展，越来越多的人愿意走出国门旅游. 据有关报道，我国 2010 年和 2012 年公民出境旅游总人数分别约为 6000 万人次，8640 万人次， 求这两年我国公民 出境旅游总人数的年平均增长率. 20. 如图，PB 切⊙O 于 B 点，直线 PO 交⊙O 于点 E，F，过点 B 作 PO 的垂线 BA，垂足为 点 D，交⊙O 于点 A，延长 AO 交⊙O 于点 C，连结 BC，AF． （1）求证：直线 PA 为⊙O 的切线； （2）若 BC＝6， AD ∶ FD =1∶2，求⊙O 的半径的长． 21. 某小区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨 余、可回收和其他三类，分别记为 a，b ， c ，并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾” 箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱，分别记为 A，B，C. （1）若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图的方法求垃圾投放正确的概率； （2）为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总 1 000 吨 生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）： A B C a 400 100 100 b 30 240 30 c 20 20 60 试估计“．厨余垃圾．．．．”．投放正确的概率. 22．“十八大”报告一大亮点就是关注民生问题，交通问题已经成了全社会关注的热点.为了 解新建道路的通行能力，某研究表明，某种情况 下，车流速度V (单位：千米／时)是车流密度 x (单位：辆／千米)的函数，函数图象如 图所示. （1）求V 关于 x 的函数表达式； （2）车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量 P =车流速度V × 车流密度 x .若车流速度V 低于 80 千米／时，求当车流密度 x 为多少时，车流量 P (单位：辆／时)达到最大，并求出这一最大值． 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23．已知，二次函数 2y ax bx  的图象如图所示. （1）若二次函数的对称轴方程为 1x  ，求二次函数的解析式； （2）已知一次函数 y kx n  ，点 ( ,0)P m 是 x 轴上的一个动点．若在（1）的条件下， 过点 P 垂直于 x 轴的直线交这个一次函数的图象于点 M，交二次函数 2y ax bx  的图象于点 N．若只有当 1＜m＜ 5 3 时，点 M 位于点 N 的上方，求这个一次函数的解析式； （3）若一元二次方程 2 0ax bx q   有实数根，请你构造恰 当的函数，根据图象直接写出 q 的最大值． 24．如图 1，在等腰直角△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点 E 是 BC 边上一点，∠DEF=45° 且角的两边分别与边 AB，射线 CA 交于点 P，Q. （1）如图 2，若点 E 为 BC 中点，将∠DEF 绕着点 E 逆时针旋转，DE 与边 AB 交于点 P， EF 与 CA 的延长线交于点 Q.设 BP 为 x，CQ 为 y，试求 y 与 x 的函数关系式，并写 出自变量 x 的取值范围； （2）如图 3，点 E 在边 BC 上沿 B 到 C 的方向运动（不与 B，C 重合），且 DE 始终经过 点 A,EF 与边 AC 交于 Q 点．探究：在∠DEF 运动过程中，△AEQ 能否构成等腰三 角形，若能，求出 BE 的长；若不能，请说明理由． 25. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 2( 1) 6y x m x m      交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B（0 , 3），顶点 C 位于第二象限，连结 AB，AC，BC． (1) 求抛物线的解析式； (2) 点 D 是 y 轴正半轴上一点，且在 B 点上方，若∠DCB=∠CAB，请你猜想并证明 CD 与 AC 的位置关系； (3) 设与△AOB 重合的△EFG 从△AOB 的位置出发，沿 x 轴负方向平移 t 个单位长度(0 ＜t≤3)时，△EFG 与△ABC 重叠部分的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式． 21 世纪教育网 东城区 2012-2013 学年第一学期期末统一检测 初三数学试题参考答案及评分标准 2013.1 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B A B D D D 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 题号 9 10 11 12 答案 1；-2 1 2y y＜ 3  y= –x+6； y= –x+6(n–1) 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13. 解方程： 23 1 6x x  ． 解：移项，得 23 6 1x x  ． ………………..1 分 二次项系数化为 1，得 2 12 3x x  ． ………………..2 分 配方 2 4( 1) 3x   ． ………………..4 分 由此可得 1 2 31 3x   ， 2 2 31 3x   . ………………..5 分 14. 解：根据题意，由勾股定理可知 2 2 2BC BO CO  . ∴ 5BC  cm. ………………..2 分 ∴ 圆锥形漏斗的侧面积= 15OB BC    cm2 ． ………………..5 分 15．解：△ABC 和△DEF 相似． ………………..1 分 由勾股定理，得 2 5AB  ， 5AC  ，BC=5， DE=4，DF=2， 2 5EF  ． ………………..3 分 5 2 2 AB AC BC DE DF EF    5 2  ， ………………..4 分 ∴△ABC∽△DEF． ………………..5 分 16．（1） ………………..3 分 （2） ………………..5 分 17．解：(1) ∵ 关于 x 的一元二次方程(m -2)x2 + 2mx + m +3 = 0 有两个不相等的实数根， ∴ 2 0m  ，即 2m  . ………………..1 分 又 ∵ 2(2 ) 4( 2)( 3) 4( 6)m m m m        ， ∴ 0  即 4( 6) 0m   ． 解得 6m  ． ∴ m 的取值范围是 6m  且 m  2． ………………..2 分 (2)在 6m  且 m  2 的范围内，最大整数 m 为 5． ………………..3 分 此时，方程化为 23 10 8 0x x   ． ∴ 方程的根为 1 2x   ， 2 4 3x   ． ………………..5 分 18．解： ∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形， ∴ ∠B+∠D=180°． ………………..1 分 ∵ 四边形 OABC 为平行四边形， ∴ ∠AOC=∠B． ………………..2 分 又由题意可知 ∠AOC=2∠D． ∴ 可求 ∠D=60°． ………………..3 分 连结 OD，可得 AO=OD，CO=OD． ∴ ∠OAD=∠ODA，∠OCD=∠ODC． ………………..4 分 ∴ ∠OAD+∠OCD=∠ODA+∠ODC=∠D=60°．………………..5 分 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19. 解：设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 x．………………..1 分 根据题意得 26000(1 ) 8640x  ．………………..2 分 解得 1 0.2x  ， 1 2.2x   （不合题意，舍去）．………………..4 分 答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 20%． ………………..5 分 20．解：（1）证明：如图，连接 OB ． ∵ PB 是⊙O 的切线， ∴ ∠PBO＝90°． ∵ OA＝OB，BA⊥PO 于 D， ∴ AD＝BD，∠POA＝∠POB． 又∵ PO＝PO， ∴ △PAO≌△PBO． ∴ ∠PAO＝∠PBO＝90°． ∴ 直线 PA 为⊙O 的切线． ………………..2 分 （2）∵ OA＝OC，AD＝BD，BC＝6， ∴ OD＝ 1 2 BC＝3． 设 AD＝x． ∵ AD ∶ FD =1∶2， ∴ FD＝2x，OA＝OF＝2x－3． 在 Rt△AOD 中，由勾股定理 ，得(2x－3)2＝x2＋32． 解之得，x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去）． ∴ AD＝4，OA＝2x－3＝5． 即⊙O 的半径的长 5． ………………..5 分 21. 解：（1）三类垃圾随机投入三类垃圾箱的树状图如下： ………………..2 分 由树状图可知垃圾投放正确的概率为 3 1 9 3  ；………………..3 分 （2）“厨余垃圾”投放正确的概率为 400 2 400 100 100 3   . ………………..5 分 22. 解：（1）当 280  x 时， 80V . ………………..1 分 当 18828  x 时，设 bkxV  ，由图象可知，      .1880 ,2880 bk bk 解得：      .94 ,2 1 b k ∴ 当 18828  x 时， 942 1  xV . ………………..3 分 （2）根据题意，得 21 1- +94 - 942 2P Vx x x x x       =  21- - 94 44182 x  . 答：当车流密度 x 为 94 辆/千米时，车流量 P 最大，为 4418 辆/时. …………..5 分 23. 解：（1） 二次函数的对称轴方程为 1x  ，由二次函数的图象可知 二次函数的顶点坐标为（1,-3），二次函数与 x 轴的交点坐标为 (0,0),(2,0) ， 于是得到方程组 3, 4 2 0. a b a b       ……………………………………..2 分 解方程得 3, 6. a b     二次函数的解析式为 23 6y x  . ……………………………………..3 分 （2）由（1）得二次函数解析式为 23 6y x  ． 依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别 为1和 5 3 ， 由此可得交点坐标为 (1, 3) 和 5 5( , )3 3  ． …………………………..4 分 将交点坐标分别代入一次函数解析式 y kx n  中， 得 3 5 5 .3 3 k n k n       ， 解得 2 5 k n     ， ． ∴ 一次函数的解析式为 2 5y x  ． ……………………………..6 分 （3）3. ……………………………………………..7 分 24．解：（1）∵ ∠BAC=90°，AB=AC=2， ∴ ∠B=∠C， 2 2BC  ． 又∵ FEB FED DEB EQC C         , DEF C   , ∴ ∠DEB=∠EQC. ∴ △BPE∽△CEQ． ∴ BP CE BE CQ  ． 设 BP 为 x，CQ 为 y， ∴ 2 2 x y  ． ∴ 2y x  ． 自变量 x 的取值范围是 0＜x＜1． ……………………………..3 分 （2）解：∵ ∠AEF=∠B=∠C,且∠AQE＞∠C, ∴ ∠AQE＞∠AEF . ∴ AE≠AQ . 当 AE=EQ 时，可证△ABE≌ECQ. ∴ CE=AB=2 . ∴ BE=BC-EC= 2 2 2 . 当 AQ=EQ 时，可知∠QAE=∠QEA=45°. ∴ AE⊥BC . ∴ 点 E 是 BC 的中点. ∴ BE= 2 . 综上，在∠DEF 运动过程中，△AEQ 能成等腰三角形，此时 BE 的长为 2 2 2 或 2 . ……………………………..7 分 25．解：（1）抛物线 2 2( 1) 6y x m x m      与 y 轴交于点 B（0 , 3）， ∴ 2 6 3.m   ∴ 3.m    抛物线的顶点在第二象限， ∴ 3.m  ∴ 抛物线的解析式为 2 2 3y x x    . ………2 分 （2）猜想： CD AC . ………3 分 证明如下：  A（-3 , 0）， B（0 , 3），C（-1 , 4）， ∴ 3 2, 2 5, 2AB AC BC   . ∴ 2 2 2AB BC AC  . ∴ 90ABC  . ∴ 90CAB ACB     . 又 CAB DCB   , ∴ 90DCB ACB     . ∴ CD AC . ………4 分 （3）当 0＜t≤ 3 2 时，如图， EF 交 AB 于点 Q，GF 交 AC 于点 N，过 N 做 MP//F E 交 x 轴于 P 点，交 BF 的延长线点 M， BF 的延长线交 AC 于点 K． 由△AGN∽△KFN，得 AG PN KF MN  ， 即 3 3 2 t PN PNt   . 解得 PN＝2t． ∴ 2 31 1 1 3= 3 3 (3 ) 2 32 2 2 2FGE QAE AGNS S S S t t t t t             阴影 . 当 3 2 ＜t≤3 时，如图， EF 交 AB 于点 N， 交 AC 于点 M,BF 交 AC 于点 P． 由△AME∽△PMF， 得 AE ME PF MF  ． 即 3 3 3 2 t ME MEt    ． 解得 ME＝2(3－t)． ∴ 2 21 1 1 9= (3 ) 2(3 ) (3 ) 32 2 2 2MAE NAES S S t t t t t           阴影 . 综上所述： S＝ 2 2 3 33 0 ),2 2 1 9 33 ( 3).2 2 2 t t t t t t        ≤ ≤ ( ………………………………………….8 分