2016年宁夏中考数学试题解析版

2016 年宁夏中考数学试卷 一、选择题 1．某地一天的最高气温是 8℃，最低气温是﹣2℃，则该地这天的温差是（ ） A．10℃ B．﹣10℃ C．6℃ D．﹣6℃ 2．下列计算正确的是（ ） A． + = B．（﹣a2）2=﹣a4 C．（a﹣2）2=a2﹣4 D． ÷ = （a≥0，b＞0） 3．已知 x，y 满足方程组 ，则 x+y 的值为（ ） A．9 B．7 C．5 D．3 4．为响应“书香校响园”建设的号召，在全校形成良好的阅读氛围，随机调查了部分学生平均每天阅 读时间，统计结果如图所示，则本次调查中阅读时间为的众数和中位数分别是（ ） A．2 和 1 B．1.25 和 1 C．1 和 1 D．1 和 1.25 5．菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F 分别是 AD，CD 边上的中点，连接 EF．若 EF= ， BD=2，则菱形 ABCD 的面积为（ ） A．2 B． C．6 D．8 6．由若干个相同的小正方体组合而成的一个几何体的三视图如图所示，则组成这个几何体的小正方 形个数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．某校要从甲、乙、丙、丁四名学生中选一名参加“汉字听写”大赛，选拔中每名学生的平均成绩 及 其方差 s2 如表所示，如果要选拔一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，则应选择的学生是（ ） 甲 乙 丙 丁 8.9 9.5 9.5 8.9 s2 0.92 0.92 1.01 1.03 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．正比例函数 y1=k1x 的图象与反比例函数 y2= 的图象相交于 A，B 两点，其中点 B 的横坐标为 ﹣2，当 y1＜y2 时，x 的取值范围是（ ） A．x＜﹣2 或 x＞2 B．x＜﹣2 或 0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0 或 0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0 或 x＞2 二、填空题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 9．分解因式：mn2﹣m= ． 10．若二次函数 y=x2﹣2x+m 的图象与 x 轴有两个交点，则 m 的取值范围是 ． 11．实数 a 在数轴上的位置如图，则|a﹣3|= ． 12．用一个圆心角为 180°，半径为 4 的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径 为 ． 13．在平行四边形 ABCD 中，∠BAD 的平分线 AE 交 BC 于点 E，且 BE=3，若平行四边形 ABCD 的周长是 16，则 EC 等于 ． 14．如图，Rt△AOB 中，∠AOB=90°，OA 在 x 轴上，OB 在 y 轴上，点 A，B 的坐标分别为（ ， 0），（0，1），把 Rt△AOB 沿着 AB 对折得到 Rt△AO′B，则点 O′的坐标为 ． 15．已知正△ABC 的边长为 6，那么能够完全覆盖这个正△ABC 的最小圆的半径是 ． 16．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△A′B′C′由△ABC 绕点 P 旋转得到，则点 P 的坐标 为 ． 三、解答题（本题共 6 道题，每题 6 分，共 36 分） 17．解不等式组 ． 18．化简求值：（ ） ，其中 a=2+ ． 19．在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A（2，﹣1），B（3，﹣3），C（0，﹣4） （1）画出△ABC 关于原点 O 成中心对称的△A1B1C1； （2）画出△A1B1C1 关于 y 轴对称的△A2B2C2． 20．为了解学生的体能情况，随机选取了 1000 名学生进行调查，并记录了他们对长跑、短跑、跳绳、 跳远四个项目的喜欢情况，整理成以下统计表，其中“√”表示喜欢，“×”表示不喜欢． 长跑 短跑 跳绳 跳远 200 √ × √ √ 300 × √ × √ 150 √ √ √ × 200 √ × √ × 150 √ × × × （1）估计学生同时喜欢短跑和跳绳的概率； （2）估计学生在长跑、短跑、跳绳、跳远中同时喜欢三个项目的概率； （3）如果学生喜欢长跑、则该同学同时喜欢短跑、跳绳、跳远中哪项的可能性大？ 21．在等边△ABC 中，点 D，E 分别在边 BC、AC 上，若 CD=2，过点 D 作 DE∥AB，过点 E 作 EF⊥DE，交 BC 的延长线于点 F，求 EF 的长． 22．某种型号油电混合动力汽车，从 A 地到 B 地燃油行驶纯燃油费用 76 元，从 A 地到 B 地用电行 驶纯电费用 26 元，已知每行驶 1 千米，纯燃油费用比纯用电费用多 0.5 元． （1）求每行驶 1 千米纯用电的费用； （2）若要使从 A 地到 B 地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过 39 元，则至少用电行驶多少 千米？ 四、解答题（本题共 4 道题，其中 23 题、24 题每题 8 分，25 题、26 题每题 10 分，共 36 分） 23．已知△ABC，以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC 于 D，BC 于 E，连接 ED，若 ED=EC． （1）求证：AB=AC； （2）若 AB=4，BC=2 ，求 CD 的长． 24．如图，Rt△ABO 的顶点 O 在坐标原点，点 B 在 x 轴上，∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=2 ， 反比例函数 y= （x＞0）的图象经过 OA 的中点 C，交 AB 于点 D． （1）求反比例函数的关系式； （2）连接 CD，求四边形 CDBO 的面积． 25．某种水彩笔，在购买时，若同时额外购买笔芯，每个优惠价为 3 元，使用期间，若备用笔芯不 足时需另外购买，每个 5 元．现要对在购买水彩笔时应同时购买几个笔芯作出选择，为此收集了这 种水彩笔在使用期内需要更换笔芯个数的 30 组数据，整理绘制出下面的条形统计图： 设 x 表示水彩笔在使用期内需要更换的笔芯个数，y 表示每支水彩笔在购买笔芯上所需要的费用（单 位：元），n 表示购买水彩笔的同时购买的笔芯个数． （1）若 n=9，求 y 与 x 的函数关系式； （2）若要使这 30 支水彩笔“更换笔芯的个数不大于同时购买笔芯的个数”的频率不小于 0.5，确定 n 的最小值； （3）假设这 30 支笔在购买时，每支笔同时购买 9 个笔芯，或每支笔同时购买 10 个笔芯，分别计算 这 30 支笔在购买笔芯所需费用的平均数，以费用最省作为选择依据，判断购买一支水彩笔的同时应 购买 9 个还是 10 个笔芯． 26．在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=4，动点 Q 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度，沿 AB 向点 B 移动；同时点 P 从点 B 出发，仍以每秒 1 个单位的速度，沿 BC 向点 C 移动，连接 QP，QD，PD．若 两个点同时运动的时间为 x 秒（0＜x≤3），解答下列问题： （1）设△QPD 的面积为 S，用含 x 的函数关系式表示 S；当 x 为何值时，S 有最大值？并求出最小 值； （2）是否存在 x 的值，使得 QP⊥DP？试说明理由． 2016 年宁夏中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1．某地一天的最高气温是 8℃，最低气温是﹣2℃，则该地这天的温差是（ ） A．10℃ B．﹣10℃ C．6℃ D．﹣6℃ 【考点】有理数的减法． 【专题】应用题；实数． 【分析】根据题意算式，计算即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：8﹣（﹣2）=8+2=10， 则该地这天的温差是 10℃， 故选 A 【点评】此题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解本题的关键． 2．下列计算正确的是（ ） A． + = B．（﹣a2）2=﹣a4 C．（a﹣2）2=a2﹣4 D． ÷ = （a≥0，b＞0） 【考点】二次根式的混合运算；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式． 【分析】分别利用二次根式混合运算法则以及积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则、完全平方 公式计算得出答案． 【解答】解：A、 + 无法计算，故此选项错误； B、（﹣a2）2=a4，故此选项错误； C、（a﹣2）2=a2﹣4a+4，故此选项错误； D、 ÷ = （a≥0，b＞0），正确． 故选：D． 【点评】此题主要考查了二次根式混合运算以及积的乘方运算以及幂的乘方运算、完全平方公式等 知识，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3．已知 x，y 满足方程组 ，则 x+y 的值为（ ） A．9 B．7 C．5 D．3 【考点】二元一次方程组的解． 【专题】计算题；一次方程（组）及应用． 【分析】方程组两方程相加求出 x+y 的值即可． 【解答】解： ， ①+②得：4x+4y=20， 则 x+y=5， 故选 C 【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的 值． 4．为响应“书香校响园”建设的号召，在全校形成良好的阅读氛围，随机调查了部分学生平均每天阅 读时间，统计结果如图所示，则本次调查中阅读时间为的众数和中位数分别是（ ） A．2 和 1 B．1.25 和 1 C．1 和 1 D．1 和 1.25 【考点】众数；条形统计图；中位数． 【分析】由统计图可知阅读时间为 1 小数的有 19 人，人数最多，所以众数为 1 小时；总人数为 40， 得到中位数应为第 20 与第 21 个的平均数，而第 20 个数和第 21 个数都是 1（小时），即可确定出 中位数为 1 小时． 【解答】解：由统计图可知众数为 1 小时； 共有：8+19+10+3=40 人，中位数应为第 20 与第 21 个的平均数， 而第 20 个数和第 21 个数都是 1（小时），则中位数是 1 小时． 故选 C． 【点评】此题考查中位数、众数的求法： ①给定 n 个数据，按从小到大排序，如果 n 为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果 n 为偶数， 位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这 组数据里的数． ②给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．如果一组数据存在众数，则众数 一定是数据集里的数． 5．菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F 分别是 AD，CD 边上的中点，连接 EF．若 EF= ， BD=2，则菱形 ABCD 的面积为（ ） A．2 B． C．6 D．8 【考点】菱形的性质；三角形中位线定理． 【分析】根据中位线定理可得对角线 AC 的长，再由菱形面积等于对角线乘积的一半可得答案． 【解答】解：∵E，F 分别是 AD，CD 边上的中点，EF= ， ∴AC=2EF=2 ， 又∵BD=2， ∴菱形 ABCD 的面积 S= ×AC×BD= ×2 ×2=2 ， 故选：A． 【点评】本题主要考查菱形的性质与中位线定理，熟练掌握中位线定理和菱形面积公式是关键． 6．由若干个相同的小正方体组合而成的一个几何体的三视图如图所示，则组成这个几何体的小正方 形个数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】由三视图判断几何体． 【分析】利用主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，进而判 断图形形状，即可得出小正方体的个数． 【解答】解：综合三视图，我们可以得出，这个几何模型的底层有 3+1=4 个小正方体，第二有 1 个 小正方体， 因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是 4+1=5 个． 故选：C． 【点评】本题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的 考查．掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”是解题的关键． 7．某校要从甲、乙、丙、丁四名学生中选一名参加“汉字听写”大赛，选拔中每名学生的平均成绩 及 其方差 s2 如表所示，如果要选拔一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，则应选择的学生是（ ） 甲 乙 丙 丁 8.9 9.5 9.5 8.9 s2 0.92 0.92 1.01 1.03 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【考点】方差． 【分析】从平均成绩分析乙和丙要比甲和丁好，从方差分析甲和乙的成绩比丙和丁稳定，综合两个 方面可选出乙． 【解答】解：根据平均成绩可得乙和丙要比甲和丁好，根据方差可得甲和乙的成绩比丙和丁稳定， 因此要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，因选择乙； 故选 B． 【点评】此题主要考查了方差和平均数，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差 越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数 据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 8．正比例函数 y1=k1x 的图象与反比例函数 y2= 的图象相交于 A，B 两点，其中点 B 的横坐标为 ﹣2，当 y1＜y2 时，x 的取值范围是（ ） A．x＜﹣2 或 x＞2 B．x＜﹣2 或 0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0 或 0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0 或 x＞2 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】由正、反比例函数的对称性结合点 B 的横坐标，即可得出点 A 的横坐标，再根据两函数图 象的上下关系结合交点的横坐标，即可得出结论． 【解答】解：∵正比例和反比例均关于原点 O 对称，且点 B 的横坐标为﹣2， ∴点 A 的横坐标为 2． 观察函数图象，发现： 当 x＜﹣2 或 0＜x＜2 时，一次函数图象在反比例函数图象的下方， ∴当 y1＜y2 时，x 的取值范围是 x＜﹣2 或 0＜x＜2． 故选 B． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数的性质以及正比例函数的性质， 解题的关键是求出点 A 的横坐标．本题属于基础题，难度不大，根据正、反比例的对称性求出点 A 的横坐标，再根据两函数的上下位置关系结合交点坐标即可求出不等式的解集． 二、填空题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 9．分解因式：mn2﹣m= m（n+1）（n﹣1） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】先提取公因式 m，再利用平方差公式进行二次分解．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）． 【解答】解：mn2﹣m， =m（n2﹣1）， =m（n+1）（n﹣1）． 【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后再利用平方差公式进行二次分解 因式，也是难点所在． 10．若二次函数 y=x2﹣2x+m 的图象与 x 轴有两个交点，则 m 的取值范围是 m＜1 ． 【考点】抛物线与 x 轴的交点． 【分析】根据△＞0 ⇔ 抛物线与 x 轴有两个交点，列出不等式即可解决问题． 【解答】解：∵二次函数 y=x2﹣2x+m 的图象与 x 轴有两个交点， ∴△＞0， ∴4﹣4m＞0， ∴m＜1． 故答案为 m＜1 【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点，解题的关键是记住△=0 ⇔ 抛物线与 x 轴只有一个交点，△ ＞0 ⇔ 抛物线与 x 轴有两个交点，△＜0 ⇔ 抛物线与 x 轴没有交点，属于中考常考题型． 11．实数 a 在数轴上的位置如图，则|a﹣3|= 3﹣a ． 【考点】实数与数轴． 【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得 a 与 3 的关系，根据差的绝对值是大 数减小数，可得答案． 【解答】解：由数轴上点的位置关系，得 a＜3． |a﹣3|=3﹣a， 故答案为：3﹣a． 【点评】本题考查了实数与数轴，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大得出 a 与 3 的关系 是解题关键，注意差的绝对值是大数减小数． 12．用一个圆心角为 180°，半径为 4 的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 2 ． 【考点】圆锥的计算． 【分析】设这个圆锥的底面圆的半径为 R，根据扇形的弧长等于这个圆锥的底面圆的周长，列出方 程即可解决问题 【解答】解：设这个圆锥的底面圆的半径为 R， 由题意：2πR= ， 解得 R=2． 故答案为 2． 【点评】本题考查圆锥的计算、扇形的弧长公式、圆的周长公式等知识，解题的关键是理解扇形的 弧长等于这个圆锥的底面圆的周长，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型． 13．在平行四边形 ABCD 中，∠BAD 的平分线 AE 交 BC 于点 E，且 BE=3，若平行四边形 ABCD 的周长是 16，则 EC 等于 2 ． 【考点】平行四边形的性质． 【分析】由平行四边形的性质和已知条件证出∠BAE=∠BEA，证出 AB=BE=3；求出 AB+BC=8， 得出 BC=5，即可得出 EC 的长． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC， ∴∠AEB=∠DAE， ∵平行四边形 ABCD 的周长是 16， ∴AB+BC=8， ∵AE 是∠BAD 的平分线， ∴∠BAE=∠DAE， ∴∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE=3， ∴BC=5， ∴EC=BC﹣BE=5﹣3=2； 故答案为：2． 【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出 AB=BE 是解决问题的关键． 14．如图，Rt△AOB 中，∠AOB=90°，OA 在 x 轴上，OB 在 y 轴上，点 A，B 的坐标分别为（ ， 0），（0，1），把 Rt△AOB 沿着 AB 对折得到 Rt△AO′B，则点 O′的坐标为 （ ， ）． ． 【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质． 【分析】作 O′C⊥y 轴于点 C，首先根据点 A，B 的坐标分别为（ ，0），（0，1）得到∠BAO=30°， 从而得出∠OBA=60°，然后根据 Rt△AOB 沿着 AB 对折得到 Rt△AO′B，得到∠CBO′=60°，最后设 BC=x，则 OC′= x，利用勾股定理求得 x 的值即可求解． 【解答】解：如图，作 O′C⊥y 轴于点 C， ∵点 A，B 的坐标分别为（ ，0），（0，1）， ∴OB=1，OA= ， ∴tan∠BAO= = ， ∴∠BAO=30°， ∴∠OBA=60°， ∵Rt△AOB 沿着 AB 对折得到 Rt△AO′B， ∴∠CBO′=60°， ∴设 BC=x，则 OC′= x， ∴x2+（ x）2=1， 解得：x= （负值舍去）， ∴OC=OB+BC=1+ = ， ∴点 O′的坐标为（ ， ）． 故答案为：（ ， ）． 【点评】本题考查了翻折变换及坐标与图形的性质的知识，解题的关键是根据点 A 和点 B 的坐标确 定三角形为特殊三角形，难度不大． 15．已知正△ABC 的边长为 6，那么能够完全覆盖这个正△ABC 的最小圆的半径是 2 ． 【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质． 【分析】能够完全覆盖这个正△ABC 的最小圆的半径是△ABC 外接圆的半径，求出△ABC 外接圆 的半径即可解决问题． 【解答】解：如图，那么能够完全覆盖这个正△ABC 的最小圆的半径就是△ABC 外接圆的半径， 设⊙O 是△ABC 的外接圆，连接 OB，OC，作 OE⊥BC 于 E， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A=60°，∠BOC=2∠A=120°， ∵OB=OC，OE⊥BC， ∴∠BOE=60°，BE=EC=3， ∴sin60°= ， ∴OB=2 ， 故答案为 2 ． 【点评】本题考查等边三角形的性质、三角形外接圆的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是 理解题意，学会转化的思想解决问题，属于中考常考题型． 16．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△A′B′C′由△ABC 绕点 P 旋转得到，则点 P 的坐标为 （1， ﹣1） ． 【考点】坐标与图形变化-旋转． 【分析】连接 AA′，CC′，线段 AA′、CC′的垂直平分线的交点就是点 P． 【解答】解：连接 AA′、CC′， 作线段 AA′的垂直平分线 MN，作线段 CC′的垂直平分线 EF， 直线 MN 和直线 EF 的交点为 P，点 P 就是旋转中心． ∵直线 MN 为：x=1，设直线 CC′为 y=kx+b，由题意： ， ∴ ， ∴直线 CC′为 y= x+ ， ∵直线 EF⊥CC′，经过 CC′中点（ ， ）， ∴直线 EF 为 y=﹣3x+2， 由 得 ， ∴P（1，﹣1）． 故答案为（1，﹣1）． 【点评】本题考查旋转的性质，掌握对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心，是解题的关 键． 三、解答题（本题共 6 道题，每题 6 分，共 36 分） 17．解不等式组 ． 【考点】解一元一次不等式组． 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【解答】解： ，由①得，x＜3，由②得，x≥2， 故不等式组的解集为：2≤x＜3． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小 小找不到”的原则是解答此题的关键． 18．化简求值：（ ） ，其中 a=2+ ． 【考点】实数的运算． 【专题】计算题；分式． 【分析】原式第一项括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形， 约分后两项化简得到最简结果，把 a 的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式 =[ + ] • + = • + = = ， 当 a=2+ 时，原式= +1． 【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19．在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A（2，﹣1），B（3，﹣3），C（0，﹣4） （1）画出△ABC 关于原点 O 成中心对称的△A1B1C1； （2）画出△A1B1C1 关于 y 轴对称的△A2B2C2． 【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换． 【专题】作图题． 【分析】（1）根据网格结构找出点 A、B、C 关于原点对称的点 A1、B1、C1 的位置，然后顺次连接 即可； （2）根据网格结构找出点 A1、B1、C1 关于 y 轴对称的点 A2、B2、C2 的位置，然后顺次连接即可． 【解答】解：（1）△A1B1C1 如图所示； （2）△A2B2C2 如图所示． 【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点 的位置是解题的关键． 20．为了解学生的体能情况，随机选取了 1000 名学生进行调查，并记录了他们对长跑、短跑、跳绳、 跳远四个项目的喜欢情况，整理成以下统计表，其中“√”表示喜欢，“×”表示不喜欢． 长跑 短跑 跳绳 跳远 200 √ × √ √ 300 × √ × √ 150 √ √ √ × 200 √ × √ × 150 √ × × × （1）估计学生同时喜欢短跑和跳绳的概率； （2）估计学生在长跑、短跑、跳绳、跳远中同时喜欢三个项目的概率； （3）如果学生喜欢长跑、则该同学同时喜欢短跑、跳绳、跳远中哪项的可能性大？ 【考点】利用频率估计概率；列表法与树状图法． 【分析】（1）根据求概率的公式即可得到结论； （2）根据求概率的公式即可得到结论； （3）根据求概率的公式求得各项概率进行比较即可得到结论． 【解答】解：（1）同时喜欢短跑和跳绳的概率= = ； （2）同时喜欢三个项目的概率= = ； （3）同时喜欢短跑的概率= = ，同时喜欢跳绳的概率= = ，同时喜欢跳远 的概率= = ， ∵ ， ∴同时喜欢跳绳的可能性大． 【点评】本题考查了利用频率估计概率，求概率，正确的理解题意是解题的关键． 21．在等边△ABC 中，点 D，E 分别在边 BC、AC 上，若 CD=2，过点 D 作 DE∥AB，过点 E 作 EF⊥DE，交 BC 的延长线于点 F，求 EF 的长． 【考点】等边三角形的性质． 【分析】先证明△DEC 是等边三角形，再在 RT△DEC 中求出 EF 即可解决问题． 【解答】解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B=∠ACB=60°， ∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B=60°， ∴△EDC 是等边三角形， ∴DE=DC=2， 在 RT△DEC 中，∵∠DEC=90°，DE=2， ∴DF=2DE=4， ∴EF= = =2 ． 【点评】不同考查等边三角形的性质、直角三角形中 30 度角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定 理等知识，解题的关键是利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型． 22．某种型号油电混合动力汽车，从 A 地到 B 地燃油行驶纯燃油费用 76 元，从 A 地到 B 地用电行 驶纯电费用 26 元，已知每行驶 1 千米，纯燃油费用比纯用电费用多 0.5 元． （1）求每行驶 1 千米纯用电的费用； （2）若要使从 A 地到 B 地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过 39 元，则至少用电行驶多少 千米？ 【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用． 【专题】方程与不等式． 【分析】（1）根据某种型号油电混合动力汽车，从 A 地到 B 地燃油行驶纯燃油费用 76 元，从 A 地 到 B 地用电行驶纯电费用 26 元，已知每行驶 1 千米，纯燃油费用比纯用电费用多 0.5 元，可以列出 相应的分式方程，然后解分式方程即可解答本题； （2）根据（1）中用电每千米的费用和本问中的信息可以列出相应的不等式，解不等式即可解答本 题． 【解答】解：（1）设每行驶 1 千米纯用电的费用为 x 元， = 解得，x=0.26 经检验，x=0.26 是原分式方程的解， 即每行驶 1 千米纯用电的费用为 0.26 元； （2）从 A 地到 B 地油电混合行驶，用电行驶 y 千米， 0.26y+（ ﹣y）×（0.26+0.50）≤39 解得，y≥74， 即至少用电行驶 74 千米． 【点评】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的 分式方程与不等式，注意分式方程在最后要检验． 四、解答题（本题共 4 道题，其中 23 题、24 题每题 8 分，25 题、26 题每题 10 分，共 36 分） 23．已知△ABC，以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC 于 D，BC 于 E，连接 ED，若 ED=EC． （1）求证：AB=AC； （2）若 AB=4，BC=2 ，求 CD 的长． 【考点】圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理． 【分析】（1）由等腰三角形的性质得到∠EDC=∠C，由圆外接四边形的性质得到∠EDC=∠B，由 此推得∠B=∠C，由等腰三角形的判定即可证得结论； （2）连接 AE，由 AB 为直径，可证得 AE⊥BC，由（1）知 AB=AC，由“三线合一”定理得到 BE=CE= BC= ，由割线定理可证得结论． 【解答】（1）证明：∵ED=EC， ∴∠EDC=∠C， ∵∠EDC=∠B， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC； （2）解：连接 AE， ∵AB 为直径， ∴AE⊥BC， 由（1）知 AB=AC， ∴BE=CE= BC= ， ∵CE•CB=CD•CA，AC=AB=4， ∴ •2 =4CD， ∴CD= ． 【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题 的关键． 24．如图，Rt△ABO 的顶点 O 在坐标原点，点 B 在 x 轴上，∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=2 ， 反比例函数 y= （x＞0）的图象经过 OA 的中点 C，交 AB 于点 D． （1）求反比例函数的关系式； （2）连接 CD，求四边形 CDBO 的面积． 【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数 k 的几何意义． 【分析】（1）解直角三角形求得 AB，作 CE⊥OB 于 E，根据平行线分线段成比例定理和三角形中 位线的性质求得 C 的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）求得 D 的坐标，进而求得 AD 的长，得出△ACD 的面积，然后根据 S 四边形 CDBO=S△AOB﹣S△ACD 即可求得． 【解答】解：（1）∵∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=2 ， ∴AB= OB=2， 作 CE⊥OB 于 E， ∵∠ABO=90°， ∴CE∥AB， ∴OC=AC， ∴OE=BE= OB= ，CE= AB=1， ∴C（ ，1）， ∵反比例函数 y= （x＞0）的图象经过 OA 的中点 C， ∴1= ， ∴k= ， ∴反比例函数的关系式为 y= ； （2）∵OB=2 ， ∴D 的横坐标为 2 ， 代入 y= 得，y= ， ∴D（2 ， ）， ∴BD= ， ∵AB=2， ∴AD= ， ∴S△ACD= AD•BE= × × = ， ∴S 四边形 CDBO=S△AOB﹣S△ACD= OB•AB﹣ = ×2 ×2﹣ = ． 【点评】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式，解决本题的关键是明确反比例函数图象上点 的坐标特征． 25．某种水彩笔，在购买时，若同时额外购买笔芯，每个优惠价为 3 元，使用期间，若备用笔芯不 足时需另外购买，每个 5 元．现要对在购买水彩笔时应同时购买几个笔芯作出选择，为此收集了这 种水彩笔在使用期内需要更换笔芯个数的 30 组数据，整理绘制出下面的条形统计图： 设 x 表示水彩笔在使用期内需要更换的笔芯个数，y 表示每支水彩笔在购买笔芯上所需要的费用（单 位：元），n 表示购买水彩笔的同时购买的笔芯个数． （1）若 n=9，求 y 与 x 的函数关系式； （2）若要使这 30 支水彩笔“更换笔芯的个数不大于同时购买笔芯的个数”的频率不小于 0.5，确定 n 的最小值； （3）假设这 30 支笔在购买时，每支笔同时购买 9 个笔芯，或每支笔同时购买 10 个笔芯，分别计算 这 30 支笔在购买笔芯所需费用的平均数，以费用最省作为选择依据，判断购买一支水彩笔的同时应 购买 9 个还是 10 个笔芯． 【考点】一次函数的应用；频数与频率；条形统计图． 【分析】（1）根据题意列出函数关系式； （2）由条形统计图得到需要更换笔芯的个数为 7 个对应的频数为 4，8 个对应的频数为 6，9 个对应 的频数为 8，即可． （3）分两种情况计算 【解答】解：（1）当 n=9 时，y= = ； （2）根据题意，“更换笔芯的个数不大于同时购买笔芯的个数”的频率不小于 0.5，则“更换笔芯的个 数不大于同时购买笔芯的个数”的频数大于 30×0.5=15， 根据统计图可得，需要更换笔芯的个数为 7 个对应的频数为 4，8 个对应的频数为 6，9 个对应的频 数为 8， 因此当 n=9 时，“更换笔芯的个数不大于同时购买笔芯的个数”的频数=4+6+8=18＞15． 因此 n 的最小值为 9． （3）若每支笔同时购买 9 个笔芯， 则所需费用总和=（4+6+8）×3×9+7×（3×9+5×1）+5×（3×9+5×2）=895， 若每支笔同时购买 10 个笔芯， 则所需费用总和=（4+6+8+7）×3×10+5×（3×10+5×1）=925， 因此应购买 9 个笔芯． 【点评】此题是一次函数的应用，主要考查了一次函数的性质，统计图，解本题的关键是统计图的 分析． 26．在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=4，动点 Q 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度，沿 AB 向点 B 移动；同时点 P 从点 B 出发，仍以每秒 1 个单位的速度，沿 BC 向点 C 移动，连接 QP，QD，PD．若 两个点同时运动的时间为 x 秒（0＜x≤3），解答下列问题： （1）设△QPD 的面积为 S，用含 x 的函数关系式表示 S；当 x 为何值时，S 有最大值？并求出最小 值； （2）是否存在 x 的值，使得 QP⊥DP？试说明理由． 【考点】四边形综合题． 【分析】（1）可用 x 表示出 AQ、BQ、BP、CP，从而可表示出 S△ADQ、S△BPQ、S△PCD 的面积，则 可表示出 S，再利用二次函数的增减性可求得是否有最大值，并能求得其最小值； （2）用 x 表示出 BQ、BP、PC，当 QP⊥DP 时，可证明△BPQ∽△CDP，利用相似三角形的性质可 得到关于 x 的方程，可求得 x 的值． 【解答】解： （1）∵四边形 ABCD 为矩形， ∴BC=AD=4，CD=AB=3， 当运动 x 秒时，则 AQ=x，BP=x， ∴BQ=AB﹣AQ=3﹣x，CP=BC﹣BP=4﹣x， ∴S△ADQ= AD•AQ= ×4x=2x，S△BPQ= BQ•BP= （3﹣x）x= x﹣ x2，S△PCD= PC•CD= •（4 ﹣x）•3=6﹣ x， 又 S 矩形 ABCD=AB•BC=3×4=12， ∴S=S 矩形 ABCD﹣S△ADQ﹣S△BPQ﹣S△PCD=12﹣2x﹣（ x﹣ x2）﹣（6﹣ x）= x2﹣2x+6= （x﹣2） 2+4， 即 S= （x﹣2）2+4， ∴S 为开口向上的二次函数，且对称轴为 x=2， ∴当 0＜x＜2 时，S 随 x 的增大而减小，当 2＜x≤3 时，S 随 x 的增大而增大， 又当 x=0 时，S=5，当 S=3 时，S= ，但 x 的范围内取不到 x=0， ∴S 不存在最大值，当 x=2 时，S 有最小值，最小值为 4； （2）存在，理由如下： 由（1）可知 BQ=3﹣x，BP=x，CP=4﹣x， 当 QP⊥DP 时，则∠BPQ+∠DPC=∠DPC+∠PDC， ∴∠BPQ=∠PDC，且∠B=∠C， ∴△BPQ∽△PCD， ∴ = ，即 = ，解得 x= （舍去）或 x= ， ∴当 x= 时 QP⊥DP． 【点评】本题为四边形的综合应用，涉及知识点有矩形的性质、二次函数的最值、相似三角形的判 定和性质及方程思想等．在（1）中求得 S 关于 x 的关系式后，求 S 的最值时需要注意 x 的范围，在 （2）中证明三角形相似是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．