2016年茂名市中考数学试题解析版

2016 年广东省茂名市中考数学试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1．2016 的相反数是（ ） A．﹣2016 B．2016 C．﹣ D． 2．2015 年茂名市生产总值约 2450 亿元，将 2450 用科学记数法表示为（ ） A．0.245×104B．2.45×103C．24.5×102D．2.45×1011 3．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A．球 B．三棱柱 C．圆柱 D．圆锥 4．下列事件中，是必然事件的是（ ） A．两条线段可以组成一个三角形 B．400 人中有两个人的生日在同一天 C．早上的太阳从西方升起 D．打开电视机，它正在播放动画片 5．如图，直线 a、b 被直线 c 所截，若 a∥b，∠1=60°，那么∠2 的度数为（ ） A．120° B．90° C．60° D．30° 6．下列各式计算正确的是（ ） A．a2•a3=a6B．（a2）3=a5C．a2+3a2=4a4D．a4÷a2=a2 7．下列说法正确的是（ ） A．长方体的截面一定是长方形 B．了解一批日光灯的使用寿命适合采用的调查方式是普查 C．一个圆形和它平移后所得的圆形全等 D．多边形的外角和不一定都等于 360° 8．不等式组 的解集在数轴上表示为（ ） A． B． C． D． 9．如图，A、B、C 是⊙O 上的三点，∠B=75°，则∠AOC 的度数是（ ） A．150° B．140° C．130° D．120° 10．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：求 100 匹马恰好拉了 100 片瓦，已知 1 匹 大马能拉 3 片瓦，3 匹小马能拉 1 片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有 x 匹，小马有 y 匹，那 么可列方程组为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 11．一组数据 2、4、5、6、8 的中位数是 ． 12．已知∠A=100°，那么∠A 补角为 度． 13．因式分解：x2﹣2x= ． 14．已知矩形的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，若 AO=1，那么 BD= ． 15．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点 B 顺时针旋转到△A1BO1 的位置，使点 A 的对应点 A1 落 在直线 y= x 上，再将△A1BO1 绕点 A1 顺时针旋转到△A1B1O2 的位置，使点 O1 的对应点 O2 落在直线 y= x 上，依次进行下去…，若点 A 的坐标是（0，1），点 B的坐标是（ ，1），则点 A8 的横坐标 是 ． 三、解答题（共 10 小题，满分 75 分） 16．计算：（﹣1）2016+ ﹣|﹣ |﹣（π﹣3.14）0． 17．先化简，再求值：x（x﹣2）+（x+1）2，其中 x=1． 18．某同学要证明命题“平行四边形的对边相等．”是正确的，他画出了图形，并写出了如下已知和不完整的 求证． 已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形． 求证：AB=CD， （1）补全求证部分； （2）请你写出证明过程． 证明： ． 19．为了解茂名某水果批发市场荔枝的销售情况，某部门对该市场的三种荔枝品种 A、B、C 在 6 月上半月 的销售进行调查统计，绘制成如下两个统计图（均不完整）．请你结合图中的信息，解答下列问题： （1）该市场 6 月上半月共销售这三种荔枝多少吨？ （2）该市场某商场计划六月下半月进货 A、B、C 三种荔枝共 500 千克，根据该市场 6 月上半月的销售情 况，求该商场应购进 C 品种荔枝多少千克比较合理？ 20．有四张正面分别标有数字 1，2，3，4 的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上 洗均匀． （1）随机抽取一张卡片，求抽到数字“2”的概率； （2）随机抽取一张卡片，然后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法求出第一次抽到 数字“1”且第二次抽到数字“2”的概率． 21．如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆 CD 的高度，先在教学楼的底端 A 点处，观测到旗 杆顶端 C 的仰角∠CAD=60°，然后爬到教学楼上的 B 处，观测到旗杆底端 D 的俯角是 30°，已知教学楼 AB 高 4 米． （1）求教学楼与旗杆的水平距离 AD；（结果保留根号） （2）求旗杆 CD 的高度． 22．如图，一次函数 y=x+b 的图象与反比例函数 y= （k 为常数，k≠0）的图象交于点 A（﹣1，4）和点 B （a，1）． （1）求反比例函数的表达式和 a、b 的值； （2）若 A、O 两点关于直线 l 对称，请连接 AO，并求出直线 l 与线段 AO 的交点坐标． 23．某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活动计划书的部分信息： “读书节”活动计划书 书本类别 A 类 B 类 进价（单位：元） 18 12 备注 1、用不超过 16800 元购进 A、B 两类图书共 1000 本； 2、A 类图书不少于 600 本； … （1）陈经理查看计划数时发现：A 类图书的标价是 B 类图书标价的 1.5 倍，若顾客用 540 元购买的图书， 能单独购买 A 类图书的数量恰好比单独购买 B 类图书的数量少 10 本，请求出 A、B 两类图书的标价； （2）经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，A 类图书每 本标价降低 a 元（0＜a＜5）销售，B 类图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？ 24．如图，在△ABC 中，∠C=90°，D、F 是 AB 边上的两点，以 DF 为直径的⊙O 与 BC 相交于点 E，连接 EF，过 F 作 FG⊥BC 于点 G，其中∠OFE= ∠A． （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）若 sinB= ，⊙O 的半径为 r，求△EHG 的面积（用含 r 的代数式表示）． 25．如图，抛物线 y=﹣x2+bx+c 经过 A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的 顶点，抛物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 E，连接 BD． （1）求经过 A，B，C 三点的抛物线的函数表达式； （2）点 P 是线段 BD 上一点，当 PE=PC 时，求点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，过点 P 作 PF⊥x 轴于点 F，G 为抛物线上一动点，M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，当以 F、M、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M 的坐标． 2016 年广东省茂名市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1．2016 的相反数是（ ） A．﹣2016 B．2016 C．﹣ D． 【考点】相反数． 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【解答】解：2016 的相反数是﹣2016． 故选：A． 【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 2．2015 年茂名市生产总值约 2450 亿元，将 2450 用科学记数法表示为（ ） A．0.245×104B．2.45×103C．24.5×102D．2.45×1011 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变 成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当 原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：2450=2.45×103， 故选 B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整 数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A．球 B．三棱柱 C．圆柱 D．圆锥 【考点】由三视图判断几何体． 【分析】根据几何体的三视图，对各个选项进行分析，用排除法得到答案． 【解答】解：根据主视图是三角形，圆柱和球不符合要求，A、C 错误； 根据俯视图是圆，三棱柱不符合要求，A 错误； 根据几何体的三视图，圆锥符合要求． 故选：D． 【点评】本题考查的是几何体的三视图，掌握主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看， 所得到的图形是解题的关键． 4．下列事件中，是必然事件的是（ ） A．两条线段可以组成一个三角形 B．400 人中有两个人的生日在同一天 C．早上的太阳从西方升起 D．打开电视机，它正在播放动画片 【考点】随机事件． 【分析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，可得答案． 【解答】解：A、两条线段可以组成一个三角形是不可能事件，故 A 错误； B、400 人中有两个人的生日在同一天是必然事件，故 B 正确； C、早上的太阳从西方升起是不可能事件，故 C 错误； D、打开电视机，它正在播放动画片是随机事件，故 D 错误； 故选：B． 【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事 件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即 随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 5．如图，直线 a、b 被直线 c 所截，若 a∥b，∠1=60°，那么∠2 的度数为（ ） A．120° B．90° C．60° D．30° 【考点】平行线的性质． 【分析】利用两直线平行，同位角相等就可求出． 【解答】解：∵直线被直线 a、b 被直线 c 所截，且 a∥b，∠1=48° ∴∠2=48°． 故选 C． 【点评】本题考查了平行线的性质，应用的知识为两直线平行，同位角相等． 6．下列各式计算正确的是（ ） A．a2•a3=a6B．（a2）3=a5C．a2+3a2=4a4D．a4÷a2=a2 【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；合并同类项法则；同底 数幂相除，底数不变指数相减对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、a2•a3=a2+3=a5，故本选项错误； B、（a2）3=a2×3=a6，故本选项错误； C、a2+3a2=4a2，故本选项错误； D、a4÷a2=a4﹣2=a2，故本选项正确． 故选 D． 【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则 是解题的关键． 7．下列说法正确的是（ ） A．长方体的截面一定是长方形 B．了解一批日光灯的使用寿命适合采用的调查方式是普查 C．一个圆形和它平移后所得的圆形全等 D．多边形的外角和不一定都等于 360° 【考点】多边形内角与外角；截一个几何体；平移的性质；全面调查与抽样调查． 【专题】多边形与平行四边形． 【分析】A、长方体的截面不一定是长方形，错误； B、调查日光灯的使用寿命适合抽样调查，错误； C、利用平移的性质判断即可； D、多边形的外角和是确定的，错误． 【解答】解：A、长方体的截面不一定是长方形，错误； B、了解一批日光灯的使用寿命适合采用的调查方式是抽样调查，错误； C、一个圆形和它平移后所得的圆形全等，正确； D、多边形的外角和为 360°，错误， 故选 C 【点评】此题考查了多边形内角与外角，截一个几何体，平移的性质，以及全面调查与抽样调查，弄清各 自的定义及性质是解本题的关键． 8．不等式组 的解集在数轴上表示为（ ） A． B． C． D． 【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集． 【分析】分别求出各选项的解集，并做出判断． 【解答】解：不等式组 的解集为﹣1＜x≤1， A：数轴表示解集为无解，故选项 A 错误； B：数轴表示解集为﹣1＜x≤1，故选项 B 正确； C：数轴表示解集为 x≤﹣1，故选项 C 错误； D：数轴表示解集为 x≥1，故选项 D 错误； 故选 B 【点评】本题考查了利用数轴表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点， 一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心 点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 9．如图，A、B、C 是⊙O 上的三点，∠B=75°，则∠AOC 的度数是（ ） A．150° B．140° C．130° D．120° 【考点】圆周角定理． 【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论． 【解答】解：∵A、B、C 是⊙O 上的三点，∠B=75°， ∴∠AOC=2∠B=150°． 故选 A． 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧 所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 10．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：求 100 匹马恰好拉了 100 片瓦，已知 1 匹 大马能拉 3 片瓦，3 匹小马能拉 1 片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有 x 匹，小马有 y 匹，那 么可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组． 【分析】设有 x 匹大马，y 匹小马，根据 100 匹马恰好拉了 100 片瓦，已知一匹大马能拉 3 片瓦，3 匹小马 能拉 1 片瓦，列方程组即可． 【解答】解：设有 x 匹大马，y 匹小马，根据题意得 ， 故选 C 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组． 二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 11．一组数据 2、4、5、6、8 的中位数是 5 ． 【考点】中位数． 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数． 【解答】解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：2、4、5、6、8． 位于最中间的数是 5， 所以这组数的中位数是 5． 故答案为：5． 【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序， 然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则 找中间两位数的平均数． 12．已知∠A=100°，那么∠A 补角为 80 度． 【考点】余角和补角． 【专题】计算题；实数． 【分析】根据两个角之和为 180°时，两角互补求出所求角度数即可． 【解答】解：如果∠A=100°，那么∠A 补角为 80°， 故答案为：80 【点评】此题考查了余角和补角，熟练掌握补角的定义是解本题的关键． 13．因式分解：x2﹣2x= x（x﹣2） ． 【考点】因式分解-提公因式法． 【专题】计算题． 【分析】原式提取 x 即可得到结果． 【解答】解：原式=x（x﹣2）， 故答案为：x（x﹣2） 【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 14．已知矩形的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，若 AO=1，那么 BD= 2 ． 【考点】矩形的性质． 【分析】根据矩形的性质：矩形的对角线互相平分且相等，求解即可． 【解答】解：在矩形 ABCD 中， ∵角线 AC 与 BD 相交于点 O，AO=1， ∴AO=CO=BO=DO=1， ∴BD=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了矩形的性质，解答本题的关键是掌握矩形的对角线互相平分且相等的性质． 15．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点 B 顺时针旋转到△A1BO1 的位置，使点 A 的对应点 A1 落 在直线 y= x 上，再将△A1BO1 绕点 A1 顺时针旋转到△A1B1O2 的位置，使点 O1 的对应点 O2 落在直线 y= x 上，依次进行下去…，若点 A 的坐标是（0，1），点 B 的坐标是（ ，1），则点 A8 的横坐标是 6 +6 ． 【考点】坐标与图形变化-旋转；一次函数图象与几何变换． 【分析】先求出点 A2，A4，A6…的横坐标，探究规律即可解决问题． 【解答】解：由题意点 A2 的横坐标 （ +1）， 点 A4 的横坐标 3（ +1）， 点 A6 的横坐标 （ +1）， 点 A8 的横坐标 6（ +1）． 故答案为 6 +6． 【点评】本题考查坐标与图形的变换﹣旋转，一次函数图形与几何变换等知识，解题的关键是学会从特殊 到一般，探究规律，由规律解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题（共 10 小题，满分 75 分） 16．计算：（﹣1）2016+ ﹣|﹣ |﹣（π﹣3.14）0． 【考点】实数的运算；零指数幂． 【分析】分别利用有理数的乘方运算法则结合零指数幂的性质和绝对值的性质、二次根式的性质分别化简 求出答案． 【解答】解：（﹣1）2016+ ﹣|﹣ |﹣（π﹣3.14）0 =1+2 ﹣ ﹣1 = ． 【点评】此题主要考查了有理数的乘方运算、零指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式的性质等知识， 正确把握相关性质是解题关键． 17．先化简，再求值：x（x﹣2）+（x+1）2，其中 x=1． 【考点】整式的混合运算—化简求值． 【专题】计算题；整式． 【分析】原式利用单项式乘以多项式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把 x 的值代入计算 即可求出值． 【解答】解：原式=x2﹣2x+x2+2x+1=2x2+1， 当 x=1 时，原式=2+1=3． 【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．某同学要证明命题“平行四边形的对边相等．”是正确的，他画出了图形，并写出了如下已知和不完整的 求证． 已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形． 求证：AB=CD， BC=DA （1）补全求证部分； （2）请你写出证明过程． 证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC， 在△ABC 和△CDA 中， ， ∴△ABC≌△CDA（ASA）， ∴AB=CD，BC=DA． ． 【考点】平行四边形的性质． 【分析】（1）根据题意容易得出结论； （2）连接 AC，与平行四边形的性质得出 AB∥CD，AD∥BC，证出∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，由 ASA 证明△ABC≌△CDA，得出对应边相等即可． 【解答】（1）已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形． 求证：AB=CD，BC=DA； 故答案为：BC=DA； （2）证明：连接 AC，如图所示： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC， 在△ABC 和△CDA 中， ， ∴△ABC≌△CDA（ASA）， ∴AB=CD，BC=DA； 故答案为： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC， 在△ABC 和△CDA 中， ， ∴△ABC≌△CDA（ASA）， ∴AB=CD，BC=DA． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形对边平行的性质， 证明三角形全等是解决问题的关键． 19．为了解茂名某水果批发市场荔枝的销售情况，某部门对该市场的三种荔枝品种 A、B、C 在 6 月上半月 的销售进行调查统计，绘制成如下两个统计图（均不完整）．请你结合图中的信息，解答下列问题： （1）该市场 6 月上半月共销售这三种荔枝多少吨？ （2）该市场某商场计划六月下半月进货 A、B、C 三种荔枝共 500 千克，根据该市场 6 月上半月的销售情 况，求该商场应购进 C 品种荔枝多少千克比较合理？ 【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 【分析】（1）根据 B 品种有 120 吨，占 30%即可求得调查的这三种荔枝的总吨数； （2）总数量 500 乘以 C 品种荔枝的吨数所占的百分比即可求解． 【解答】解：（1）120÷30%=400（吨）． 答：该市场 6 月上半月共销售这三种荔枝 400 吨； （2）500× =300（千克）． 答：该商场应购进 C 品种荔枝 300 千克比较合理． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的 信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的 百分比大小． 20．有四张正面分别标有数字 1，2，3，4 的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上 洗均匀． （1）随机抽取一张卡片，求抽到数字“2”的概率； （2）随机抽取一张卡片，然后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法求出第一次抽到 数字“1”且第二次抽到数字“2”的概率． 【考点】列表法与树状图法． 【分析】（1）根据概率公式直接解答； （2）列出树状图，找到所有可能的结果，再找到第一次抽到数字“1”且第二次抽到数字“2”的数目，即可求 出其概率． 【解答】解： （1）∵四张正面分别标有数字 1，2，3，4 的不透明卡片， ∴随机抽取一张卡片，求抽到数字“2”的概率= ； （2）列树状图为： 由树形图可知：第一次抽到数字“1”且第二次抽到数字“2”的概率= ． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适 合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放 回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21．如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆 CD 的高度，先在教学楼的底端 A 点处，观测到旗 杆顶端 C 的仰角∠CAD=60°，然后爬到教学楼上的 B 处，观测到旗杆底端 D 的俯角是 30°，已知教学楼 AB 高 4 米． （1）求教学楼与旗杆的水平距离 AD；（结果保留根号） （2）求旗杆 CD 的高度． 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 【分析】（1）根据题意得出∠ADB=30°，进而利用锐角三角函数关系得出 AD 的长； （2）利用（1）中所求，结合 CD=AD•tan60°求出答案． 【解答】解：（1）∵教学楼 B 点处观测到旗杆底端 D 的俯角是 30°， ∴∠ADB=30°， 在 Rt△ABD 中，∠BAD=90°，∠ADB=30°，AB=4m， ∴AD= = =4 （m）， 答：教学楼与旗杆的水平距离是 4 m； （2）∵在 Rt△ACD 中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，AD=4 m， ∴CD=AD•tan60°=4 × =12（m）， 答：旗杆 CD 的高度是 12m． 【点评】此题主要考查了解直角三角的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键． 22．如图，一次函数 y=x+b 的图象与反比例函数 y= （k 为常数，k≠0）的图象交于点 A（﹣1，4）和点 B （a，1）． （1）求反比例函数的表达式和 a、b 的值； （2）若 A、O 两点关于直线 l 对称，请连接 AO，并求出直线 l 与线段 AO 的交点坐标． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式． 【分析】（1）由点 A 的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出 k 值，从而得出反比例函数解 析式；再将点 A、B 坐标分别代入一次函数 y=x+b 中得出关于 a、b 的二元一次方程组，解方程组即可得出 结论； （2）连接 AO，设线段 AO 与直线 l 相交于点 M．由 A、O 两点关于直线 l 对称，可得出点 M 为线段 AO 的中点，再结合点 A、O 的坐标即可得出结论． 【解答】解：（1）∵点 A（﹣1，4）在反比例函数 y= （k 为常数，k≠0）的图象上， ∴k=﹣1×4=﹣4， ∴反比例函数解析式为 y=﹣ ． 把点 A（﹣1，4）、B（a，1）分别代入 y=x+b 中， 得： ，解得： ． （2）连接 AO，设线段 AO 与直线 l 相交于点 M，如图所示． ∵A、O 两点关于直线 l 对称， ∴点 M 为线段 OA 的中点， ∵点 A（﹣1，4）、O（0，0）， ∴点 M 的坐标为（﹣ ，2）． ∴直线 l 与线段 AO 的交点坐标为（﹣ ，2）． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、解二元一次方程组以 及中点坐标公式，解题的关键是：（1）由点的坐标利用待定系数法求函数系数；（2）得出点 M 为线段 AO 的中点．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，巧妙的利用了中点坐标公式降低了难度． 23．某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活动计划书的部分信息： “读书节”活动计划书[来源:Z*xx*k.Com] 书本类别 A 类 B 类 进价（单位：元） 18 12 备注 1、用不超过 16800 元购进 A、B 两类图书共 1000 本； 2、A 类图书不少于 600 本； … （1）陈经理查看计划数时发现：A 类图书的标价是 B 类图书标价的 1.5 倍，若顾客用 540 元购买的图书， 能单独购买 A 类图书的数量恰好比单独购买 B 类图书的数量少 10 本，请求出 A、B 两类图书的标价； （2）经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，A 类图书每 本标价降低 a 元（0＜a＜5）销售，B 类图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？ 【考点】一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式组的应用． 【分析】（1）先设 B 类图书的标价为 x 元，则由题意可知 A 类图书的标价为 1.5x，然后根据题意列出方程， 求解即可． （2）先设购进 A 类图书 t 本，总利润为 w 元，则购进 B 类图书为（1000﹣t）本，根据题目中所给的信息 列出不等式组，求出 t 的取值范围，然后根据总利润 w=总售价﹣总成本，求出最佳的进货方案． 【解答】解：（1）设 B 类图书的标价为 x 元，则 A 类图书的标价为 1.5x元， 根据题意可得 ﹣10= ， 化简得：540﹣10x=360， 解得：x=18， 经检验：x=18 是原分式方程的解，且符合题意， 则 A 类图书的标价为：1.5x=1.5×18=27（元）， 答：A 类图书的标价为 27 元，B 类图书的标价为 18 元； （2）设购进 A 类图书 t 本，总利润为 w 元，A 类图书的标价为（27﹣a）元（0＜a＜5）， 由题意得， ， 解得：600≤t≤800， 则总利润 w=（27﹣a﹣18）t+（18﹣12）（1000﹣t） =（9﹣a）t+6（1000﹣t） =6000+（3﹣a）t， 故当 0＜a＜3 时，3﹣a＞0，t=800 时，总利润最大； 当 3≤a＜5 时，3﹣a＜0，t=600 时，总利润最大； 答：当 A 类图书每本降价少于 3 元时，A 类图书购进 800 本，B 类图书购进 200 本时，利润最大；当 A 类 图书每本降价大于等于 3 元，小于 5 元时，A 类图书购进 600 本，B 类图书购进 400 本时，利润最大． 【点评】本题考查了一次函数的应用，涉及了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的最 值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式组求解． 24．如图，在△ABC 中，∠C=90°，D、F 是 AB 边上的两点，以 DF 为直径的⊙O 与 BC 相交于点 E，连接 EF，过 F 作 FG⊥BC 于点 G，其中∠OFE= ∠A． （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）若 sinB= ，⊙O 的半径为 r，求△EHG 的面积（用含 r 的代数式表示）． 【考点】切线的判定． 【分析】（1）首先连接 OE，由在△ABC 中，∠C=90°，FG⊥BC，可得 FG∥AC，又由∠OFE= ∠A，易 得 EF 平分∠BFG，继而证得 OE∥FG，证得 OE⊥BC，则可得 BC 是⊙O 的切线； （2）由在△OBE 中，sinB= ，⊙O 的半径为 r，可求得 OB，BE 的长，然后由在△BFG 中，求得 BG，FG 的长，则可求得 EG 的长，易证得△EGH∽△FGE，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得答案． 【解答】（1）证明：连接 OE， ∵在△ABC 中，∠C=90°，FG⊥BC， ∴∠BGF=∠C=90°， ∴FG∥AC， ∴∠OFG=∠A， ∴∠OFE= ∠OFG， ∴∠OFE=∠EFG， ∵OE=OF， ∴∠OFE=∠OEF， ∴∠OEF=∠EFG， ∴OE∥FG， ∴OE⊥BC， ∴BC 是⊙O 的切线； （2）解：∵在 Rt△OBE 中，sinB= ，⊙O 的半径为 r， ∴OB= r，BE= r， ∴BF=OB+OF= r， ∴FG=BF•sinB= r， ∴BG= = r， ∴EG=BG﹣BE= r， ∴S△FGE= EG•FG= r2，EG：FG=1：2， ∵BC 是切线， ∴∠GEH=∠EFG， ∵∠EGH=∠FGE， ∴△EGH∽△FGE， ∴ =（ ）= ， ∴S△EHG= S△FGE= r2． 【点评】此题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是 解此题的关键． 25．如图，抛物线 y=﹣x2+bx+c 经过 A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的 顶点，抛物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 E，连接 BD． （1）求经过 A，B，C 三点的抛物线的函数表达式； （2）点 P 是线段 BD 上一点，当 PE=PC 时，求点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，过点 P 作 PF⊥x 轴于点 F，G 为抛物线上一动点，M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，当以 F、M、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M 的坐标． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）利用待定系数法求出过 A，B，C 三点的抛物线的函数表达式； （2）连接 PC、PE，利用公式求出顶点 D 的坐标，利用待定系数法求出直线 BD 的解析式，设出点 P 的坐 标为（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出 PC2 和 PE2，根据题意列出方程，解方程求出 x 的值，计算求出 点 P 的坐标； （3）设点 M 的坐标为（a，0），表示出点 G 的坐标，根据正方形的性质列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）∵抛物线 y=﹣x2+bx+c 经过 A（﹣1，0），B（3，0）两点， ∴ ， 解得， ， ∴经过 A，B，C 三点的抛物线的函数表达式为 y=﹣x2+2x+3； （2）如图 1，连接 PC、PE， x=﹣ =﹣ =1， 当 x=1 时，y=4， ∴点 D 的坐标为（1，4）， 设直线 BD 的解析式为：y=mx+n， 则 ， 解得， ， ∴直线 BD 的解析式为 y=﹣2x+6， 设点 P 的坐标为（x，﹣2x+6）， 则 PC2=x2+（3+2x﹣6）2，PE2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2， ∵PC=PE， ∴x2+（3+2x﹣6）2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2， 解得，x=2， 则 y=﹣2×2+6=2， ∴点 P 的坐标为（2，2）； （3）设点 M 的坐标为（a，0），则点 G 的坐标为（a，﹣a2+2a+3）， ∵以 F、M、G 为顶点的四边形是正方形， ∴FM=MG，即|2﹣a|=|﹣a2+2a+3|， 当 2﹣a=﹣a2+2a+3 时， 整理得，a2﹣3a﹣1=0， 解得，a= ， 当 2﹣a=﹣（﹣a2+2a+3）时， 整理得，a2﹣a﹣5=0， 解得，a= ， ∴当以 F、M、G 为顶点的四边形是正方形时，点 M 的坐标为（ ，0），（ ，0），（ ， 0），（ ，0）． 【点评】本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式以及正方形的性质，掌握二次函 数的图象和性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．