2016年济宁市中考数学试题解析版

2016 年山东省济宁市中考数学试卷 [来源:学|科|网 Z|X|X|K] 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求 1．在：0，﹣2，1， 这四个数中，最小的数是（ ） A．0 B．﹣2 C．1 D． 2．下列计算正确的是（ ） A．x2•x3=x5 B．x6+x6=x12 C．（x2）3=x5 D．x﹣1=x 3．如图，直线 a∥b，点 B 在直线 b 上，且 AB⊥BC，∠1=55°，那么∠2 的度数是（ ） A．20° B．30° C．35° D．50° 4．如图，几何体是由 3 个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是（ ） A． B． C． D． 5．如图，在⊙O 中， = ，∠AOB=40°，则∠ADC 的度数是（ ） A．40° B．30° C．20° D．15° 6．已知 x﹣2y=3，那么代数式 3﹣2x+4y 的值是（ ） A．﹣3 B．0 C．6 D．9 7．如图，将△ABE 向右平移 2cm 得到△DCF，如果△ABE 的周长是 16cm，那么四边形 ABFD 的周长是（ ） A．16cmB．18cmC．20cmD．21cm 8．在学校开展的“争做最优秀中学生”的一次演讲比赛中，编号 1，2，3，4，5 的五位同学 最后成绩如下表所示： 参赛者 编号 1 2 3 4 5 成绩/ 分 96 88 86 93 86 那么这五位同学演讲成绩的众数与中位数依次是（ ） A．96，88， B．86，86 C．88，86 D．86，88 9．如图，在 4×4 正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个 白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是（ ） A． B． C． D． 10．如图，O 为坐标原点，四边形 OACB 是菱形，OB 在 x 轴的正半轴上，sin∠AOB= ， 反比例函数 y= 在第一象限内的图象经过点 A，与 BC 交于点 F，则△AOF 的面积等于 （ ） A．60 B．80 C．30 D．40 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分 11．若式子 有意义，则实数 x 的取值范围是 ． 12．如图，△ABC 中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为 D、E，AD、CE 交于点 H，请你 添加一个适当的条件： ，使△AEH≌△CEB． 13．如图，AB∥CD∥EF，AF 与 BE 相交于点 G，且 AG=2，GD=1，DF=5，那么 的值 等于 ． 14．已知 A，B 两地相距 160km，一辆汽车从 A 地到 B 地的速度比原来提高了 25%，结果 比原来提前 0.4h 到达，这辆汽车原来的速度是 km/h． 15．按一定规律排列的一列数： ，1，1，□， ， ， ，…请你仔细观察，按照此规律 方框内的数字应为 ． 三、解答题：本大题共 7 小题，共 55 分 16．先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2，其中 a=﹣1，b= ． 17．2016 年 6 月 15 日是父亲节，某商店老板统计了这四年父亲节当天剃须刀销售情况，以 下是根据该商店剃须刀销售的相关数据所绘制统计图的一部分． 请根据图 1、图 2 解答下列问题： （1）近四年父亲节当天剃须刀销售总额一共是 5.8 万元，请将图 1 中的统计图补充完整； （2）计算该店 2015 年父亲节当天甲品牌剃须刀的销售额． 18．某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为 6 米，坡面 BC 的坡度为 1：1，为了方便行 人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为 1： ． （1）求新坡面的坡角 a； （2）原天桥底部正前方 8 米处（PB 的长）的文化墙 PM 是否需要拆桥？请说明理由． 19．某地 2014 年为做好“精准扶贫”，授入资金 1280 万元用于一滴安置，并规划投入资金逐 年增加，2016 年在 2014 年的基础上增加投入资金 1600 万元 ． （1）从 2014 年到 2016 年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ （2）在 2016 年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于 500 万元用于优先搬迁租 房奖励，规定前 1000 户（含第 1000 户）每户每天奖励 8 元，1000 户以后每户每天补助 5 元，按租房 400 天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？ 20．如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，延长 CB 至点 F，使 CF=CA，连 接 AF，∠ACF 的平分线分别交 AF，AB，BD 于点 E，N，M，连接 EO． （1）已知 BD= ，求正方形 ABCD 的边长； （2）猜想线段 EM 与 CN 的数量关系并加以证明． 21．已知点 P（x0，y0）和直线 y=kx+b，则点 P 到直线 y=kx+b 的距离证明可用公式 d= 计算． 例如：求点 P（﹣1，2）到直线 y=3x+7 的距离． 解：因为直线 y=3x+7，其中 k=3，b=7． 所以点 P（﹣1，2）到直线 y=3x+7 的距离为： d= = = = ． 根据以上材料，解答下列问题： （1）求点 P（1，﹣1）到直线 y=x﹣1 的距离； （2）已知⊙Q 的圆心 Q 坐标为（0，5），半径 r 为 2，判断⊙Q 与直线 y= x+9 的位置关 系并说明理由； （3）已知直线 y=﹣2x+4 与 y=﹣2x﹣6 平行，求这两条直线之间的距离． 22．如图，已知抛物线 m：y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的顶点 A 在 x 轴上，并过点 B（0，1）， 直线 n：y=﹣ x+ 与 x 轴交于点 D，与抛物线 m 的对称轴 l 交于点 F，过 B 点的直线 BE 与直线 n 相交于点 E（﹣7，7）． （1）求抛物线 m 的解析式； （2）P 是 l 上的一个动点，若以 B，E，P 为顶点的三角形的周长最小，求点 P 的坐标； （3）抛物线 m 上是否存在一动点 Q，使以线段 FQ 为直径的圆恰好经过点 D？若存在，求 点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 2016 年山东省济宁市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求 1．在：0，﹣2，1， 这四个数中，最小的数是（ ） A．0 B．﹣2 C．1 D． 【考点】有理数大小比较． 【分析】根据有理数大小比较的法则解答． 【解答】解：∵在 0，﹣2，1， 这四个数中，只有﹣2 是负数， ∴最小的数是﹣2． 故选 B． 2．下列计算正确的是（ ） A．x2•x3=x5 B．x6+x6=x12 C．（x2）3=x5 D．x﹣1=x 【考点】负整数指数幂；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 【分析】原式利用同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方及负整数指数幂法则计算，即可 作出判断． 【解答】解：A、原式=x5，正确； B、原式=2x6，错误； C、原式=x6，错误； D、原式= ，错误， 故选 A 3．如图，直线 a∥b，点 B 在直线 b 上，且 AB⊥BC，∠1=55°，那么∠2 的度数是（ ） A．20° B．30° C．35° D．50°w!w!w.!x!k!b!1.com 【考点】平行线的性质． 【分析】由垂线的性质和平角的定义求出∠3 的度数，再由平行线的性质即可得出∠2 的度 数． 【解答】解：∵AB⊥BC， ∴∠ABC=90°， ∴∠3=180°﹣90°﹣∠1=35°， ∵a∥b， ∴∠2=∠3=35°． 故选：C． 4．如图，几何体是由 3 个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是（ ） A． B． C． D． 【考点】简单几何体的三视图． 【分析】观察几何体，找出左视图即可． 【解答】解：如图，几何体是由 3 个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是 ， 故选 D 5．如图，在⊙O 中， = ，∠AOB=40°，则∠ADC 的度数是（ ） A．40° B．30° C．20° D．15° 【考点】圆心角、弧、弦的关系． 【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC=∠AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结 论． 【解答】解：∵在⊙O 中， = ， ∴∠AOC=∠AOB， ∵∠AOB=40°， ∴∠AOC=40°， ∴∠ADC= ∠AOC=20°， 故选 C． 6．已知 x﹣2y=3，那么代数式 3﹣2x+4y 的值是（ ） A．﹣3 B．0 C．6 D．9 【考点】代数式求值． 【分析】将 3﹣2x+4y 变形为 3﹣2（x﹣2y），然后代入数值进行计算即可． 【解答】解：∵x﹣2y=3， ∴3﹣2x+4y=3﹣2（x﹣2y）=3﹣2×3=﹣3； 故选：A． 7．如图，将△ABE 向右平移 2cm 得到△DCF，如果△ABE 的周长是 16cm，那么四边形 ABFD 的周长是（ ） A．16cmB．18cmC．20cmD．21cm 【考点】平移的性质． 【分析】先根据平移的性质得到 CF=AD=2cm，AC=DF，而 AB+BC+AC=16cm，则四边形 ABFD 的周长=AB+BC+CF+DF+AD，然后利用整体代入的方法计算即可 【解答】解：∵△ABE 向右平移 2cm 得到△DCF， ∴EF=AD=2cm，AE=DF， ∵△ABE 的周长为 16cm， ∴AB+BE+AE=16cm， ∴四边形 ABFD 的周长=AB+BE+EF+DF+AD =AB+BE+AE+EF+AD =16cm+2cm+2cm =20cm． 故选 C． 8．在学校开展的“争做最优秀中学生”的一次演讲比赛中，编号 1，2，3，4，5 的五位同学 最后成绩如下表所示： 参赛者 编号 1 2 3 4 5 成绩/ 分 96 88 86 93 86 那么这五位同学演讲成绩的众数与中位数依次是（ ） A．96，88， B．86，86 C．88，86 D．86，88 【考点】众数；中位数． 【分析】找出五位同学演讲成绩出现次数最多的分数即为众数，将分数按照从小到大的顺序 排列，找出中位数即可． 【解答】解：这五位同学演讲成绩为 96，88，86，93，86， 按照从小到大的顺序排列为 86，86，88，93，96， 则这五位同学演讲成绩的众数与中位数依次是 86，88， 故选 D 9．如图，在 4×4 正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个 白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是（ ） A． B． C． D． 【考点】概率公式；利用轴对称设计图案． 【分析】由在 4×4 正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有 13 种等可能的 结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有 5 种情况，直接利用概率公式求解即 可求得答案． 【解答】解：∵根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的 小正方形有 13 个，而能构成一个轴对称图形的有 4 个情况， ∴使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是： ． 故选 B． 10．如图，O 为坐标原点，四边形 OACB 是菱形，OB 在 x 轴的正半轴上，sin∠AOB= ， 反比例函数 y= 在第一象限内的图象经过点 A，与 BC 交于点 F，则△AOF 的面积等于 （ ） A．60 B．80 C．30 D．40 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】过点 A 作 AM⊥x 轴于点 M，过点 F 作 FN⊥x 轴于点 N，设 OA=a，BF=b，通过 解直角三角形分别找出点 A、F 的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出 a、b 的值，通过分割图形求面积，最终找出△AOF 的面积等于梯形 AMNF 的面积，利用梯形的 面积公式即可得出结论． 【解答】解：过点 A 作 AM⊥x 轴于点 M，过点 F 作 FN⊥x 轴于点 N，如图所示． 设 OA=a，BF=b， 在 Rt△OAM 中，∠AMO=90°，OA=a，sin∠AOB= ， ∴AM=OA•sin∠AOB= a，OM= = a， ∴点 A 的坐标为（ a， a）． ∵点 A 在反比例函数 y= 的图象上， ∴ a× a= =48， 解得：a=10，或 a=﹣10（舍去）． ∴AM=8，OM=6． ∵四边形 OACB 是菱形， ∴OA=OB=10，BC∥OA， ∴∠FBN=∠AOB． 在 Rt△BNF 中，BF=b，sin∠FBN= ，∠BNF=90°， ∴FN=BF•sin∠FBN= b，BN= = b， ∴点 F 的坐标为（10+ b， b）． ∵点 B 在反比例函数 y= 的图象上， ∴（10+ b）× b=48， 解得：b= ，或 b= （舍去）． ∴FN= ，BN= ﹣5，MN=OB+BN﹣OM= ﹣1． S△AOF=S△AOM+S 梯形 AMNF﹣S△OFN=S 梯形 AMNF= （AM+FN）•MN= （8+ ）× （ ﹣1）= ×（ +1）×（ ﹣1）=40． 故选 D． 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分 11．若式子 有意义，则实数 x 的取值范围是 x≥1 ． 【考点】二次根式有意义的条件． 【分析】根据二次根式的性质可以得到 x﹣1 是非负数，由此即可求解． 【解答】解：依题意得 x﹣1≥0， ∴x≥1． 故答案为：x≥1． 12．如图，△ABC 中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为 D、E，AD、CE 交于点 H，请你 添加一个适当的条件： AH=CB 等（只要符合要求即可） ，使△AEH≌△CEB． 【考点】全等三角形的判定． 【分析】开放型题型，根据垂直关系，可以判断△AEH 与△CEB 有两对对应角相等，就只 需要找它们的一对对应边相等就可以了． 【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为 D、E， ∴∠BEC=∠AEC=90°， 在 Rt△AEH 中，∠EAH=90°﹣∠AHE， 又∵∠EAH=∠BAD， ∴∠BAD=90°﹣∠AHE， 在 Rt△AEH 和 Rt△CDH 中，∠CHD=∠AHE， ∴∠EAH=∠DCH， ∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE， 所以根据 AAS 添加 AH=CB 或 EH=EB； 根据 ASA 添加 AE=CE． 可证△AEH≌△CEB． 故填空答案：AH=CB 或 EH=EB 或 AE=CE． 13．如图，AB∥CD∥EF，AF 与 BE 相交于点 G，且 AG=2，GD=1，D F=5，那么 的值 等于 ． 【考点】平行线分线段成比例． 【分析】首先求出 AD 的长度，然后根据平行线分线段成比例定理，列出比例式 即 可得到结论． 【解答】解：∵AG=2，GD=1， ∴AD=3， ∵AB∥CD∥EF， ∴ = ， 故答案为： ． 14．已知 A，B 两地相距 160km，一辆汽车从 A 地到 B 地的速度比原来提高了 25%，结果 比原来提前 0.4h 到达，这辆汽车原来的速度是 80 km/h． 【考点】分式方程的应用． 【分析】设这辆汽车原来的速度是 xkm/h，由题意列出分式方程，解方程求出 x 的值即可． 【解答】解：设这辆汽车原来的速度是 xkm/h，由题意列方程得： ， 解得：x=80 经检验，x=80 是原方程的解， 所以这辆汽车原来的速度是 80km/h． 故答案为：80． 15．按一定规律排列的一列数： ，1，1，□， ， ， ，…请你仔细观察，按照此规律 方框内的数字应为 ． 【考点】规律型：数字的变化类． 【分析】把整数 1 化为 ，可以发现后一个数的分子恰是前面数的分母，分析即可求解． 【解答】解：把整数 1 化为 ，得 ， ， ，（ ）， ， ， … 可以发现后一个数的分子恰是前面数的分母， 所以，第 4 个数的分子是 2，分母是 3， 故答案为： ． 新$课$标$第$一$网 三、解答题：本大题共 7 小题，共 55 分 16．先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2，其中 a=﹣1，b= ． 【考点】整式的混合运算—化简求值． 【分析】原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果， 把 a 与 b 的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式=a2﹣2ab+a2+2ab+b2=2a2+b2， 当 a=﹣1，b= 时，原式=2+2=4． 17．2016 年 6 月 15 日是父亲节，某商店老板统计了这四年父亲节当天剃须刀销售情况，以 下是根据该商店剃须刀销售的相关数据所绘制统计图的一部分． 请根据图 1、图 2 解答下列问题： （1）近四年父亲节当天剃须刀销售总额一共是 5.8 万元，请将图 1 中的统计图补充完整； （2）计算该店 2015 年父亲节当天甲品牌剃须刀的销售额． 【考点】条形统计图；折线统计图． 【分析】（1）将销售总额减去 2012、2014、2015 年的销售总额，求出 2013 年的销售额，补 全条形统计图即可； （2）将 2015 年的销售总额乘以甲品牌剃须刀所占百分比即可． 【解答】解：（1）2013 年父亲节当天剃须刀的销售额为 5.8﹣1.7﹣1.2﹣1.3=1.6（万元）， 补全条形图如图： （2）1.3×17%=0.221（万元）． 答：该店 2015 年父亲节当天甲品牌剃须刀的销售额为 0.221 万元． 18．某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为 6 米，坡面 BC 的坡度为 1：1，为了方便行 人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为 1： ． （1）求新坡面的坡角 a； （2）原天桥底部正前方 8 米处（PB 的长）的文化墙 PM 是否需要拆桥？请说明理由． 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 【分析】（1）由新坡面的坡度为 1： ，可得 tanα=tan∠CAB= = ，然后由特殊角的三 角函数值，求得答案； （2）首先过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，由坡面 BC 的坡度为 1：1，新坡面的坡度为 1： ．即 可求得 AD，BD 的长，继而求得 AB 的长，则可求得答案． 【解答】解：（1）∵新坡面的坡度为 1： ， ∴tanα=tan∠CAB= = ， ∴∠α=30°． 答：新坡面的坡角 a 为 30°； （2）文化墙 PM 不需要拆除． 过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，则 CD=6， ∵坡面 BC 的坡度为 1：1，新坡面的坡度为 1： ， ∴BD=CD=6，AD=6 ， ∴AB=AD﹣BD=6 ﹣6＜8， ∴文化墙 PM 不需要拆除． 19．某地 2014 年为做好“精准扶贫”，授入资金 1280 万元用于一滴安置，并规划投入资金逐 年增加，2016 年在 2014 年的基础上增加投入资金 1600 万元． （1）从 2014 年到 2016 年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ （2）在 2016 年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于 500 万元用于优先搬迁租 房奖励，规定前 1000 户（含第 1000 户）每户每天奖励 8 元，1000 户以后每户每天补助 5 元，按租房 400 天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？ 【考点】一元二次方程的应用． 【分析】（1）设年平均增长率为 x，根据：2014 年投入资金给×（1+增长率）2=2016 年投入 资金，列出方程组求解可得； （2）设今年该地有 a 户享受到优先搬迁租房奖励，根据：前 1000 户获得的奖励总数+1000 户以后获得的奖励总和≥500 万，列不等式求解可得． 【解答】解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为 x，根据题意， 得：1280（1+x）2=1280+1600， 解得：x=0.5 或 x=﹣2.25（舍）， 答：从 2014 年到 2016 年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为 50%； （2）设今年该地有 a 户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意， 得：1000×8×400+（a﹣1000）×5×400≥5000000， 解得：a≥1900， 答：今年该地至少有 1900 户享受到优先搬迁租房奖励． 20．如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，延长 CB 至点 F，使 CF=CA，连 接 AF，∠ACF 的平分线分别交 AF，AB，BD 于点 E，N，M，连接 EO． （1）已知 BD= ，求正方形 ABCD 的边长； （2）猜想线段 EM 与 CN 的数量关系并加以证明． 【考点】正方形的性质． 【分析】（1）根据正方形的性质以及勾股定理即可求得； （2）根据等腰三角形三线合一的性质证得 CE⊥AF，进一步得出∠BAF=∠BCN，然后通 过证得△ABF≌△CBN 得出 AF=CN，进而证得△ABF∽△COM，根据相似三角形的性质和 正方形的性质即可证得 CN= CM． 【解答】解：（1）∵四边形 ABCD 是正方形， ∴△ABD 是等腰直角三角形， ∴2AB2=BD2， ∵BD= ， ∴AB=1， ∴正方形 ABCD 的边长为 1； （2）CN= CM． 证明：∵CF=CA，AF 是∠ACF 的平分线， ∴CE⊥AF， ∴∠AEN=∠CBN=90°， ∵∠ANE=∠CNB， ∴∠BAF=∠BCN， 在△ABF 和△CBN 中， ， ∴△ABF≌△CBN（AAS）， ∴AF=CN， ∵∠BAF=∠BCN，∠ACN=∠BCN， ∴∠BAF=∠OCM， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC⊥BD， ∴∠ABF=∠COM=90°， ∴△ABF∽△COM， ∴ = ， ∴ = = ， 即 CN= CM． 21．已知点 P（x0，y0）和直线 y=kx+b，则点 P 到直线 y=kx+b 的距离证明可用公式 d= 计算． 例如：求点 P（﹣1，2）到直线 y=3x+7 的距离． 解：因为直线 y=3x+7，其中 k=3，b=7． 所以点 P（﹣1，2）到直线 y=3x+7 的距离为： d= = = = ． 根据以上材料，解答下列问题： （1）求点 P（1，﹣1）到直线 y=x﹣1 的距离； （2）已知⊙Q 的圆心 Q 坐标为（0，5），半径 r 为 2，判断⊙Q 与直线 y= x+9 的位置关 系并说明理由； （3）已知直线 y=﹣2x+4 与 y=﹣2x﹣6 平行，求这两条直线之间的距离． 【考点】一次函数综合题． 【分析】（1）根据点 P 到直线 y=kx+b 的距离公式直接计算即可； （2）先利用点到直线的距离公式计算出圆心 Q 到直线 y= x+9，然后根据切线的判定方法 可判断⊙Q 与直线 y= x+9 相切； （3）利用两平行线间的距离定义，在直线 y=﹣2x+4 上任意取一点，然后计算这个点到直 线 y=﹣2x﹣6 的距离即可． 【解答】解：（1）因为直线 y=x﹣1，其中 k=1，b=﹣1， 所以点 P（1，﹣1）到直线 y=x﹣1 的距离为： d= = = = ； （2）⊙Q 与直线 y= x+9 的位置关系为相切． 理由如下： 圆心 Q（0，5）到直线 y= x+9 的距离为：d= = =2， 而⊙O 的半径 r 为 2，即 d=r， 所以⊙Q 与直线 y= x+9 相切； （3）当 x=0 时，y=﹣2x+4=4，即点（0，4）在直线 y=﹣2x+4， 因为点（0，4）到直线 y=﹣2x﹣6 的距离为：d= = =2 ， 因为直线 y=﹣2x+4 与 y=﹣2x﹣6 平行， 所以这两条直线之间的距离为 2 ． 22．如图，已知抛物线 m：y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的顶点 A 在 x 轴上，并过点 B（0，1）， 直线 n：y=﹣ x+ 与 x 轴交于点 D，与抛物线 m 的对称轴 l 交于点 F，过 B 点的直线 BE 与直线 n 相交于点 E（﹣7，7）． （1）求抛物线 m 的解析式； （2）P 是 l 上的一个动点，若以 B，E，P 为顶点的三角形的周长最小，求点 P 的坐标； （3）抛物线 m 上是否存在一动点 Q，使以线段 FQ 为直径的圆恰好经过点 D？若存在，求 点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）抛物线顶点在 x 轴上则可得出顶点纵坐标为 0，将解析式进行配方就可以求出 a 的值，继而得出函数解析式； （2）利用轴对称求最短路径的方法，首先通过 B 点关于 l 的对称点 B′来确定 P 点位置，再 求出直线 B′E 的解析式，进而得出 P 点坐标； （3）可以先求出直线 FD 的解析式，结合以线段 FQ 为直径的圆恰好经过点 D 这个条件， 明确∠FDG=90°，得出直线 DG 解析式的 k 值与直线 FD 解析式的 k 值乘积为﹣1，利用 D 点坐标求出直线 DG 解析式，将点 Q 坐标用抛物线解析式表示后代入 DG 直线解析式可求 出点 Q 坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线 y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的顶点 A 在 x 轴上 ∴配方得 y=a（x﹣3）2﹣9a+1，则有﹣9a+1=0，解得 a= ∴A 点坐标为（3，0），抛物线 m 的解析式为 y= x2﹣ x+1； （2）∵点 B 关于对称轴直线 x=3 的对称点 B′为（6，1） ∴连接 EB′交 l 于点 P，如图所示 设直线 EB′的解析式为 y=kx+b，把（﹣7，7）（6，1）代入得 解得 ， 则函数解析式为 y=﹣ x+ 把 x=3 代入解得 y= ， ∴点 P 坐标为（3， ）； （3）∵y=﹣ x+ 与 x 轴交于点 D， ∴点 D 坐标为（7，0）， ∵y=﹣ x+ 与抛物线 m 的对称轴 l 交于点 F， ∴点 F 坐标为（3，2）， 求得 FD 的直线解析式为 y=﹣ x+ ，若以 FQ 为直径的圆经过点 D，可得∠FDQ=90°，则 DQ 的直线解析式的 k 值为 2， 设 DQ 的直线解析式为 y=2x+b，把（7，0）代入解得 b=﹣14，则 DQ 的直线解析式为 y=2x ﹣14， 设点 Q 的 坐标为（a， ），把点 Q 代入 y=2x﹣14 得 =2a﹣14 解得 a1=9，a2=15． ∴点 Q 坐标为（9，4）或（15，16）． 2016 年 6 月 25 日