2016年丹东市中考数学试题及答案解析版

2016 年辽宁省丹东市中考数学试卷 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题 3 分，共 24 分） 1．﹣3 的倒数是（ ） A．3B． C．﹣ D．﹣3 2．2016 年 1 月 19 日，国家统计局公布了 2015 年宏观经济数据，初步核算，全年国内生产 总值为 676000 亿元．676000 用科学记数法表示为（ ） A．6.76×106B．6.76×105C．67.6×105D．0.676×106 3．如图所示几何体的左视图为（ ） A． B． C． D． 4．一组数据 8，3，8，6，7，8，7 的众数和中位数分别是（ ） A．8，6B．7，6C．7，8D．8，7 5．下列计算结果正确的是（ ） A．a8÷a4=a2B．a2•a3=a6C．（a3）2=a6D．（﹣2a2）3=8a6 6．二元一次方程组 的解为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在▱ ABCD 中，BF 平分∠ABC，交 AD 于点 F，CE 平分∠BCD，交 AD 于点 E， AB=6，EF=2，则 BC 长为（ ） A．8B．10C．12D．14 8．如图，在△ABC 中，AD 和 BE 是高，∠ABE=45°，点 F 是 AB 的中点，AD 与 FE、BE 分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD= AE2； ④S△ABC=4S△ADF．其中正确的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9．分解因式：xy2﹣x= ． 10．不等式组 的解集为 ． 11．一个袋中装有两个红球、三个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，摸 到红球的概率是 ． 12．反比例函数 y= 的图象经过点（2，3），则 k= ． 13．某公司今年 4 月份营业额为 60 万元，6 月份营业额达到 100 万元，设该公司 5、6 两个 月营业额的月均增长率为 x，则可列方程为 ． 14．观察下列数据：﹣2， ，﹣ ， ，﹣ ，…，它们是按一定规律排列的，依照此 规律，第 11 个数据是 ． 15．如图，正方形 ABCD 边长为 3，连接 AC，AE 平分∠CAD，交 BC 的延长线于点 E，FA⊥AE， 交 CB 延长线于点 F，则 EF 的长为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，A、B 两点分别在 x 轴、y 轴上，OA=3，OB=4，连接 AB．点 P 在平面内，若以点 P、A、B 为顶点的三角形与△AOB 全等（点 P 与点 O 不重合），则点 P 的坐标为 ． 三、解答题（每小题 8 分，共 16 分） 17．计算：4sin60°+|3﹣ |﹣（ ）﹣1+（π﹣2016）0． 18．在平面直角坐标系中，△ABC 的位置如图所示（每个小方格都是边长为 1 个单位长度 的正方形）． （1）将△ABC 沿 x 轴方向向左平移 6 个单位，画出平移后得到的△A1B1C1； （2）将△ABC 绕着点 A 顺时针旋转 90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点 B2、 C2 的坐标． 四、（每小题 10 分，共 20 分） 19．为了促进学生多样化发展，某校组织开展了社团活动，分别设置了体育类、艺术类、文 学类及其它类社团（要求人人参与社团，每人只能选择一项）．为了解学生喜爱哪种社团活 动，学校做了一次抽样调查．根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据 图中提供的信息，完成下列问题： （1）此次共调查了多少人？ （2）求文学社团在扇形统计图中所占圆心角的度数； （3）请将条形统计图补充完整； （4）若该校有 1500 名学生，请估计喜欢体育类社团的学生有多少人？ 20．甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字 2，3， 5．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上． （1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画 树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率； （2）若两人抽取的数字和为 2 的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为 5 的倍数，则乙获胜．这 个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释． 五、（每小题 10 分，共 20 分） 21．某商场购进甲、乙两种商品，乙商品的单价是甲商品单价的 2 倍，购买 240 元甲商品的 数量比购买 300 元乙商品的数量多 15 件，求两种商品单价各为多少元？ 22．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点 D，CE⊥AD， 交 AD 的延长线于点 E． （1）求证：∠BDC=∠A； （2）若 CE=4，DE=2，求 AD 的长． 六、（每小题 10 分，共 20 分） 23．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物 AB 的高度．他们在 C 处仰望建筑物顶端， 测得仰角为 48°，再往建筑物的方向前进 6 米到达 D 处，测得仰角为 64°，求建筑物的高度．（测 角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1 米） （参考数据：sin48°≈ ，tan48°≈ ，sin64°≈ ，tan64°≈2） 24．某片果园有果树 80 棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树 之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果 y （千克），增种果树 x（棵），它们之间的函数关系如图所示． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实 6750 千克？ （3）当增种果树多少棵时，果园的总产量 w（千克）最大？最大产量是多少？ 七、（本题 12 分） 25．如图①，△ABC 与△CDE 是等腰直角三角形，直角边 AC、CD 在同一条直线上，点 M、N 分别是斜边 AB、DE 的中点，点 P 为 AD 的中点，连接 AE、BD． （1）猜想 PM 与 PN 的数量关系及位置关系，请直接写出结论； （2）现将图①中的△CDE 绕着点 C 顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE 与 MP、 BD 分别交于点 G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说 明理由； （3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使 BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出 PM 与 PN 的数量关系，并加以证明． 八、（本题 14 分） 26．如图，抛物线 y=ax2+bx 过 A（4，0），B（1，3）两点，点 C、B 关于抛物线的对称轴 对称，过点 B 作直线 BH⊥x 轴，交 x 轴于点 H． （1）求抛物线的表达式； （2）直接写出点 C 的坐标，并求出△ABC 的面积； （3）点 P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP 的面积为 6 时，求出点 P 的坐标； （4）若点 M 在直线 BH 上运动，点 N 在 x 轴上运动，当以点 C、M、N 为顶点的三角形为 等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN 的面积． 2016 年辽宁省丹东市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题 3 分，共 24 分） 1．﹣3 的倒数是（ ） A．3B． C．﹣ D．﹣3 【考点】倒数． 【分析】利用倒数的定义，直接得出结果． 【解答】解：∵﹣3×（﹣ ）=1， ∴﹣3 的倒数是﹣ ． 故选：C． 2．2016 年 1 月 19 日，国家统计局公布了 2015 年宏观经济数据，初步核算，全年国内生产 总值为 676000 亿元．676000 用科学记数法表示为（ ） A．6.76×106B．6.76×105C．67.6×105D．0.676×106 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 整数位数减 1 即可．当原数绝对值＞10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将 676000 用科学记数法表示为 6.76×105． 故选 B． 3．如图所示几何体的左视图为（ ） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图． 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【解答】解：从左边看第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，第三层一个小正方形， 故选：A． 4．一组数据 8，3，8，6，7，8，7 的众数和中位数分别是（ ） A．8，6B．7，6C．7，8D．8，7 【考点】众数；中位数． 【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可． 【解答】解：把这组数据从小到大排列：3，6，7，7，8，8，8， 8 出现了 3 次，出现的次数最多，则众数是 8； 最中间的数是 7， 则这组数据的中位数是 7． 故选 D． 5．下列计算结果正确的是（ ） A．a8÷a4=a2B．a2•a3=a6C．（a3）2=a6D．（﹣2a2）3=8a6 【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的 乘方，底数不变指数相乘；积的乘方法则，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对 各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、a8÷a4=a4，故 A 错误； B、a2•a3=a5，故 B 错误； C、（a3）2=a6，故 C 正确； D、（﹣2a2）3=﹣8a6，故 D 错误． 故选：C． 6．二元一次方程组 的解为（ ） A． B． C． D． 【考点】二元一次方程组的解． 【分析】根据加减消元法，可得方程组的解． 【解答】解： ①+②，得 3x=9， 解得 x=3， 把 x=3 代入①， 得 3+y=5， y=2， 所以原方程组的解为 ． 故选 C． 7．如图，在▱ ABCD 中，BF 平分∠ABC，交 AD 于点 F，CE 平分∠BCD，交 AD 于点 E， AB=6，EF=2，则 BC 长为（ ） A．8B．10C．12D．14 【考点】平行四边形的性质． 【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB，得出 AF=AB=6，同理可证 DE=DC=6，再由 EF 的长，即可求出 BC 的长． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，DC=AB=6，AD=BC， ∴∠AFB=∠FBC， ∵BF 平分∠ABC， ∴∠ABF=∠FBC， 则∠ABF=∠AFB， ∴AF=AB=6， 同理可证：DE=DC=6， ∵EF=AF+DE﹣AD=2， 即 6+6﹣AD=2， 解得：AD=10； 故选：B． 8．如图，在△ABC 中，AD 和 BE 是高，∠ABE=45°，点 F 是 AB 的中点，AD 与 FE、BE 分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD= AE2； ④S△ABC=4S△ADF．其中正确的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出 FD= AB，证明△ABE 是等腰直角三角形， 得出 AE=BE，证出 FE= AB，延长 FD=FE，①正确； 证出∠ABC=∠C，得出 AB=AC，由等腰三角形的性质得出 BC=2CD， ∠BAD=∠CAD=∠CBE，由 ASA 证明△AEH≌△BEC，得出 AH=BC=2CD，②正确； 证明△ABD～△BCE，得出 = ，即 BC•AD=AB•BE，再由等腰直角三角形的性质和三 角形的面积得出 BC•AD= AE2；③正确； 由 F 是 AB 的中点，BD=CD，得出 S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正确；即可得出结论． 【解答】解：∵在△ABC 中，AD 和 BE 是高， ∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°， ∵点 F 是 AB 的中点， ∴FD= AB， ∵∠ABE=45°， ∴△ABE 是等腰直角三角形， ∴AE=BE， ∵点 F 是 AB 的中点， ∴FE= AB， ∴FD=FE，①正确； ∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°， ∴∠ABC=∠C， ∴AB=AC， ∵AD⊥BC， ∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE， 在△AEH 和△BEC 中， ， ∴△AEH≌△BEC（ASA）， ∴AH=BC=2CD，②正确； ∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB， ∴△ABD～△BCE， ∴ = ，即 BC•AD=AB•BE， ∵ AE2=AB•AE=AB•BE，BC•AD=AC•BE=AB•BE， ∴BC•AD= AE2；③正确； ∵F 是 AB 的中点，BD=CD，∴ S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正确； 故选：D． 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9．分解因式：xy2﹣x= x（y﹣1）（y+1） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】先提取公因式 x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【解答】解：xy2﹣x， =x（y2﹣1）， =x（y﹣1）（y+1）． 故答案为：x（y﹣1）（y+1）． 10．不等式组 的解集为 2＜x＜6 ． 【考点】解一元一次不等式组． 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【解答】解： ，由①得，x＞2，由②得，x＜6， 故不等式组的解集为：2＜x＜6． 故答案为：2＜x＜6． 11．一个袋中装有两个红球、三个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，摸 到红球的概率是 \frac{2}{5} ． 【考点】概率公式． 【分析】先求出球的总数，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：∵一个袋中装有两个红球、三个白球， ∴球的总数=2+3=5， ∴从中任意摸出一个球，摸到红球的概率= ． 故答案为： ． 12．反比例函数 y= 的图象经过点（2，3），则 k= 7 ． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】根据点的坐标以及反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于 k 的一元一次方 程，解方程即可得出结论． 【解答】解：∵反比例函数 y= 的图象经过点（2，3）， ∴k﹣1=2×3， 解得：k=7． 故答案为：7． 13．某公司今年 4 月份营业额为 60 万元，6 月份营业额达到 100 万元，设该公司 5、6 两个 月营业额的月均增长率为 x，则可列方程为 60（1+x）2=100 ． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【分析】设平均每月的增长率为 x，根据 4 月份的营业额为 60 万元，6 月份的营业额为 100 万元，分别表示出 5，6 月的营业额，即可列出方程． 【解答】解：设平均每月的增长率为 x， 根据题意可得：60（1+x）2=100． 故答案为：60（1+x）2=100． 14．观察下列数据：﹣2， ，﹣ ， ，﹣ ，…，它们是按一定规律排列的，依照此 规律，第 11 个数据是 ﹣\frac{122}{11} ． 【考点】规律型：数字的变化类． 【分析】根据题意可得：所有数据分母为连续正整数，第奇数个是负数，且分子是连续正整 数的平方加 1，进而得出答案． 【解答】解：∵﹣2=﹣ ， ，﹣ ， ，﹣ ，…， ∴第 11 个数据是：﹣ =﹣ ． 故答案为：﹣ ． 15．如图，正方形 ABCD 边长为 3，连接 AC，AE 平分∠CAD，交 BC 的延长线于点 E，FA⊥AE， 交 CB 延长线于点 F，则 EF 的长为 6\sqrt{2} ． 【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质． 【分析】利用正方形的性质和勾股定理可得 AC 的长，由角平分线的性质和平行线的性质可 得∠CAE=∠E，易得 CE=CA，由 FA⊥AE，可得∠FAC=∠F，易得 CF=AC，可得 EF 的长． 【解答】解：∵四边形 ABCD 为正方形，且边长为 3， ∴AC=3 ， ∵AE 平分∠CAD， ∴∠CAE=∠DAE， ∵AD∥CE， ∴∠DAE=∠E， ∴∠CAE=∠E， ∴CE=CA=3 ， ∵FA⊥AE， ∴∠FAC+∠CAE=90°，∠F+∠E=90°， ∴∠FAC=∠F， ∴CF=AC=3 ， ∴EF=CF+CE=3 =6 ， 故答案为：6 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，A、B 两点分别在 x 轴、y 轴上，OA=3，OB=4，连接 AB．点 P 在平面内，若以点 P、A、B 为顶点的三角形与△AOB 全等（点 P 与点 O 不重合），则点 P 的坐标为 （3，4）或（\frac{96}{25}，\frac{72}{25}）或（﹣\frac{21}{25}，\frac{28}{25}） ． 【考点】全等三角形的判定；坐标与图形性质． 【分析】由条件可知 AB 为两三角形的公共边，且△AOB 为直角三角形，当△AOB 和△APB 全等时，则可知△APB 为直角三角形，再分三种情况进行讨论，可得出 P 点的坐标． 【解答】解：如图所示： ①∵OA=3，OB=4， ∴P1（3，4）； ②连结 OP2， 设 AB 的解析式为 y=kx+b，则 ， 解得 ． 故 AB 的解析式为 y=﹣ x+4， 则 OP2 的解析式为 y= x， 联立方程组得 ， 解得 ， 则 P2（ ， ）； ③连结 P2P3， ∵（3+0）÷2=1.5， （0+4）÷2=2， ∴E（1.5，2）， ∵1.5×2﹣ =﹣ ， 2×2﹣ = ， ∴P3（﹣ ， ）． 故点 P 的坐标为（3，4）或（ ， ）或（﹣ ， ）． 故答案为：（3，4）或（ ， ）或（﹣ ， ）． 三、解答题（每小题 8 分，共 16 分） 17．计算：4sin60°+|3﹣ |﹣（ ）﹣1+（π﹣2016）0． 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式 4sin60°+|3﹣ |﹣（ ）﹣1+（π﹣2016）0 的值是多少即可． 【解答】解：4sin60°+|3﹣ |﹣（ ）﹣1+（π﹣2016）0 =4× +2 ﹣3﹣2+1 =2 +2 ﹣4 =4 ﹣4 18．在平面直角坐标系中，△ABC 的位置如图所示（每个小方格都是边长为 1 个单位长度 的正方形）． （1）将△ABC 沿 x 轴方向向左平移 6 个单位，画出平移后得到的△A1B1C1； （2）将△ABC 绕着点 A 顺时针旋转 90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点 B2、 C2 的坐标． 【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换． 【分析】（1）利用点平移的规律写出点 A、B、C 的对应点 A1、B1、C1 的坐标，然后描点 即可得到△A1B1C1； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点 B、C 的对应点 B2、C2，从而得到△AB2C2，再写 出点 B2、C2 的坐标． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1 即为所求； （2）如图，△AB2C2 即为所求，点 B2（4，﹣2），C2（1，﹣3）． 四、（每小题 10 分，共 20 分） 19．为了促进学生多样化发展，某校组织开展了社团活动，分别设置了体育类、艺术类、文 学类及其它类社团（要求人人参与社团，每人只能选择一项）．为了解学生喜爱哪种社团活 动，学校做了一次抽样调查．根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据 图中提供的信息，完成下列问题： （1）此次共调查了多少人？ （2）求文学社团在扇形统计图中所占圆心角的度数； （3）请将条形统计图补充完整； （4）若该校有 1500 名学生，请估计喜欢体育类社团的学生有多少人？ 【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 【分析】（1）根据体育人数 80 人，占 40%，可以求出总人数． （2）根据圆心角=百分比×360°即可解决问题． （3）求出艺术类、其它类社团人数，即可画出条形图． （4）用样本百分比估计总体百分比即可解决问题． 【解答】解： （1）80÷40%=200（人）． ∴此次共调查 200 人． （2） ×360°=108°． ∴文学社团在扇形统计图中所占 圆心角的度数为 108°． （3）补全如图， （4）1500×40%=600（人）． ∴估计该校喜欢体育类社团的学生有 600 人． 20．甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字 2，3， 5．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上． （1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画 树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率； （2）若两人抽取的数字和为 2 的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为 5 的倍数，则乙获胜．这 个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释． 【考点】游戏公平性；列表法与树状图法． 【分析】（1）利用列表法得到所有可能出现的结果，根据概率公式计算即可； （2）分别求出甲、乙获胜的概率，比较即可． 【解答】解：（1）所有可能出现的结果如图： 从表格可以看出，总共有 9 种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的 结果有 3 种，所以两人抽取相同数字的概率为： ； （2）不公平． 从表格可以看出，两人抽取数字和为 2 的倍数有 5 种，两人抽取数字和为 5 的倍数有 3 种， 所以甲获胜的概率为： ，乙获胜的概率为： ． ∵ ＞ ， ∴甲获胜的概率大，游戏不公平． 五、（每小题 10 分，共 20 分） 21．某商场购进甲、乙两种商品，乙商品的单价是甲商品单价的 2 倍，购买 240 元甲商品的 数量比购买 300 元乙商品的数量多 15 件，求两种商品单价各为多少元？ 【考点】分式方程的应用． 【分析】设甲商品的单价为 x 元，乙商品的单价为 2x 元，根据购买 240 元甲商品的数量比 购买 300 元乙商品的数量多 15 件列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【解答】解：设甲商品的单价为 x 元，乙商品的单价为 2x 元， 根据题意，得 ﹣ =15， 解这个方程，得 x=6， 经检验，x=6 是所列方程的根， ∴2x=2×6=12（元）， 答：甲、乙两种商品的单价分别为 6 元、12 元． 22．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点 D，CE⊥AD， 交 AD 的延长线于点 E． （1）求证：∠BDC=∠A； （2）若 CE=4，DE=2，求 AD 的长． 【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质． 【分析】（1）连接 OD，由 CD 是⊙O 切线，得到∠ODC=90°，根据 AB 为⊙O 的直径，得 到∠ADB=90°，等量代换得到∠BDC=∠ADO，根据等腰直角三角形的性质得到 ∠ADO=∠A，即可得到结论； （2）根据垂直的定义得到∠E=∠ADB=90°，根据平行线的性质得到∠DCE=∠BDC，根据 相似三角形的性质得到 ，解方程即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接 OD， ∵CD 是⊙O 切线， ∴∠ODC=90°， 即∠ODB+∠BDC=90°， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， 即∠ODB+∠ADO=90°， ∴∠BDC=∠ADO， ∵OA=OD， ∴∠ADO=∠A， ∴∠BDC=∠A； （2）∵CE⊥AE， ∴∠E=∠ADB=90°， ∴DB∥EC， ∴∠DCE=∠BDC， ∵∠BDC=∠A， ∴∠A=∠DCE， ∵∠E=∠E， ∴△AEC∽△CED， ∴ ， ∴EC2=DE•AE， ∴16=2（2+AD）， ∴AD=6． 六、（每小题 10 分，共 20 分） 23．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物 AB 的高度．他们在 C 处仰望建筑物顶端， 测得仰角为 48°，再往建筑物的方向前进 6 米到达 D 处，测得仰角为 64°，求建筑物的高度．（测 角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1 米） （参考数据：sin48°≈ ，tan48°≈ ，sin64°≈ ，tan64°≈2） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 【分析】Rt△ADB 中用 AB 表示出 BD、Rt△ACB 中用 AB 表示出 BC，根据 CD=BC﹣BD 可得关于 AB 的方程，解方程可得． 【解答】解：根据题意，得∠ADB=64°，∠ACB=48° 在 Rt△ADB 中，tan64°= ， 则 BD= ≈ AB， 在 Rt△ACB 中，tan48°= ， 则 CB= ≈ AB， ∴CD=BC﹣BD 即 6= AB﹣ AB 解得：AB= ≈14.7（米）， ∴建筑物的高度约为 14.7 米． 24．某片果园有果树 80 棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树 之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果 y （千克），增种果树 x（棵），它们之间的函数关系如图所示． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实 6750 千克？ （3）当增种果树多少棵时，果园的总产量 w（千克）最大？最大产量是多少？ 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）函数的表达式为 y=kx+b，把点（12，74），（28，66）代入解方程组即可． （2）列出方程解方程组，再根据实际意义确定 x 的值． （3）构建二次函数，利用二次函数性质解决问题． 【解答】解：（1）设函数的表达式为 y=kx+b，该一次函数过点（12，74），（28，66）， 得 ， 解得 ， ∴该函数的表达式为 y=﹣0.5x+80， （2）根据题意，得， （﹣0.5x+80）（80+x）=6750， 解得，x1=10，x2=70 ∵投入成本最低． ∴x2=70 不满足题意，舍去． ∴增种果树 10 棵时，果园可以收获果实 6750 千克． （3）根据题意，得 w=（﹣0.5x+80）（80+x） =﹣0.5 x2+40 x+6400 =﹣0.5（x﹣40）2+7200 ∵a=﹣0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值 ∴当 x=40 时，w 最大值为 7200 千克． ∴当增种果树 40 棵时果园的最大产量是 7200 千克． 七、（本题 12 分） 25．如图①，△ABC 与△CDE 是等腰直角三角形，直角边 AC、CD 在同一条直线上，点 M、N 分别是斜边 AB、DE 的中点，点 P 为 AD 的中点，连接 AE、BD． （1）猜想 PM 与 PN 的数量关系及位置关系，请直接写出结论； （2）现将图①中的△CDE 绕着点 C 顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE 与 MP、 BD 分别交于点 G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说 明理由； （3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使 BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出 PM 与 PN 的数量关系，并加以证明． 【考点】相似形综合题． 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质易证△ACE≌△BCD，由此可得 AE=BD，再根据三 角形中位线定理即可得到 PM=PN，由平行线的性质可得 PM⊥PN； （2）（1）中的结论仍旧成立，由（1）中的证明思路即可证明； （3）PM=kPN，由已知条件可证明△BCD∽△ACE，所以可得 BD=kAE，因为点 P、M、N 分别为 AD、AB、DE 的中点，所以 PM= BD，PN= AE，进而可证明 PM=kPN． 【解答】解： （1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下： ∵△ACB 和△ECD 是等腰直角三角形， ∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°． 在△ACE 和△BCD 中 ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE=BD，∠EAC=∠CBD， ∵点 M、N 分别是斜边 AB、DE 的中点，点 P 为 AD 的中点， ∴PM= BD，PN= AE， ∴PM=PM， ∵∠NPD=∠EAC，∠MPN=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°， ∴∠MPA+∠NPC=90°， ∴∠MPN=90°， 即 PM⊥PN； （2）∵△ACB 和△ECD 是等腰直角三角形， ∴AC=BC，EC=CD， ∠ACB=∠ECD=90°． ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE． ∴∠ACE=∠BCD． ∴△ACE≌△BCD． ∴AE=BD，∠CAE=∠CBD． 又∵∠AOC=∠BOE， ∠CAE=∠CBD， ∴∠BHO=∠ACO=90°． ∵点 P、M、N 分别为 AD、AB、DE 的中点， ∴PM= BD，PM∥BD； PN= AE，PN∥AE． ∴PM=PN． ∴∠MGE+∠BHA=180°． ∴∠MGE=90°． ∴∠MPN=90°． ∴PM⊥PN． （3）PM=kPN ∵△ACB 和△ECD 是直角三角形， ∴∠ACB=∠ECD=90°． ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE． ∴∠ACE=∠BCD． ∵BC=kAC，CD=kCE， ∴ =k． ∴△BCD∽△ACE． ∴BD=kAE． ∵点 P、M、N 分别为 AD、AB、DE 的中点， ∴PM= BD，PN= AE． ∴PM=kPN． 八、（本题 14 分） 26．如图，抛物线 y=ax2+bx 过 A（4，0），B（1，3）两点，点 C、B 关于抛物线的对称轴 对称，过点 B 作直线 BH⊥x 轴，交 x 轴于点 H． （1）求抛物线的表达式； （2）直接写出点 C 的坐标，并求出△ABC 的面积； （3）点 P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP 的面积为 6 时，求出点 P 的坐标； （4）若点 M 在直线 BH 上运动，点 N 在 x 轴上运动，当以点 C、M、N 为顶点的三角形为 等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN 的面积． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式； （2）根据二次函数的对称轴 x=2 写出点 C 的坐标为（3，3），根据面积公式求△ABC 的面 积； （3）因为点 P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，设出点 P 的坐标（m，﹣m2+4m），利 用差表示△ABP 的面积，列式计算求出 m 的值，写出点 P 的坐标； （4）分别以点 C、M、N 为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求 CM 或 CN 的长，利用面积公式进行计算． 【解答】解：（1）把点 A（4，0），B（1，3）代入抛物线 y=ax2+bx 中， 得 解得： ， ∴抛物线表达式为：y=﹣x2+4x； （2）点 C 的坐标为（3，3）， 又∵点 B 的坐标为（1，3）， ∴BC=2， ∴S△ABC= ×2×3=3； （3）过 P 点作 PD⊥BH 交 BH 于点 D， 设点 P（m，﹣m2+4m）， 根据题意，得：BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1， ∴S△ABP=S△ABH+S 四边形 HAPD﹣S△BPD， 6= ×3×3+ （3+m﹣1）（m2﹣4m）﹣ （m﹣1）（3+m2﹣4m）， ∴3m2﹣15m=0， m1=0（舍去），m2=5， ∴点 P 坐标为（5，﹣5）． （4）以点 C、M、N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论： ①以点 M 为直角顶点且 M 在 x 轴上方时，如图 2，CM=MN，∠CMN=90°， 则△CBM≌△MHN， ∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1， ∴M（1，2），N（2，0）， 由勾股定理得：MC= = ， ∴S△CMN= × × = ； ②以点 M 为直角顶点且 M 在 x 轴下方时，如图 3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角 形：Rt△NEM 和 Rt△MDC， 得 Rt△NEM≌Rt△MDC， ∴EM=CD=5，MD=ME=2， 由勾股定理得：CM= = ， ∴S△CMN= × × = ； ③以点 N 为直角顶点且 N 在 y 轴左侧时，如图 4，CN=MN，∠MNC=90°，作辅助线， 同理得：CN= = ， ∴S△CMN= × × =17； ④以点 N 为直角顶点且 N 在 y 轴右侧时，作辅助线，如图 5，同理得：CN= = ， ∴S△CMN= × × =5； ⑤以 C 为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形； 综上所述：△CMN 的面积为： 或 或 17 或 5． 2016 年 7 月 13 日