2016年成都市中考数学试题解析版

2016 年四川省成都市中考数学试卷 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分 1．在﹣3，﹣1，1，3 四个数中，比﹣2 小的数是（ ） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 2．如图所示的几何体是由 5 个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 3．成都地铁自开通以来，发展速度不断加快，现已成为成都市民主要出行方式之一．今年 4 月 29 日成都地铁安全运输乘客约 181 万乘次，又一次刷新客流纪录，这也是今年以来第 四次客流纪录的刷新，用科学记数法表示 181 万为（ ） A．18.1×105 B．1.81×106 C．1.81×107 D．181×104 4．计算（﹣x3y）2 的结果是（ ） A．﹣x5y B．x6y C．﹣x3y2 D．x6y2 5．如图，l1∥l2，∠1=56°，则∠2 的度数为（ ） A．34° B．56° C．124° D．146° 6．平面直角坐标系中，点 P（﹣2，3）关于 x 轴对称的点的坐标为（ ） A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2） 7．分式方程 =1 的解为（ ） A．x=﹣2 B．x=﹣3 C．x=2 D．x=3 8．学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛， 各组的平时成绩的平均数 （单位：分）及方差 s2 如表所示： 甲 乙 丙 丁 7 8 8 7 s2 1 1.2 1 1.8 如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．二次函数 y=2x2﹣3 的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是（ ） A．抛物线开口向下 B．抛物线经过点（2，3） C．抛物线的对称轴是直线 x=1 D．抛物线与 x 轴有两个交点 10．如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，若∠OCA=50°，AB=4，则 的长为（ ） A． π B． π C． π D． π 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分 11．已知|a+2|=0，则 a= ． 12．如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B= ． 13．已知 P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点都在反比例函数 y= 的图象上，且 x1＜x2＜0，则 y1 y2（填“＞”或“＜”）． 14．如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，对角线 AC，BD 相交于点 O，AE 垂直平分 OB 于点 E，则 AD 的长为 ． 三、解答题：本大共 6 小题，共 54 分 15．（1）计算：（﹣2）3+ ﹣2sin30°+0 （2）已知关于 x 的方程 3x2+2x﹣m=0 没有实数解，求实数 m 的取值范围． 16．化简：（x﹣ ）÷ ． 17．在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实 践活动，如图，在测点 A 处安置测倾器，量出高度 AB=1.5m，测得旗杆顶端 D 的仰角 ∠DBE=32°，量出测点 A 到旗杆底部 C 的水平距离 AC=20m，根据测量数据，求旗杆 CD 的高度．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62） 18．在四张编号为 A，B，C，D 的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图 所示正整数后，背面朝上，洗匀放好，现从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的卡片中 随机抽取一张． （1）请用树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果（卡片用 A，B，C， D 表示）； （2）我们知道，满足 a2+b2=c2 的三个正整数 a，b，c 成为勾股数，求抽到的两张卡片上的 数都是勾股数的概率． 19．如图，在平面直角坐标 xOy 中，正比例函数 y=kx 的图象与反比例函数 y= 的图象都经 过点 A（2，﹣2）． （1）分别求这两个函数的表达式； （2）将直线 OA 向上平移 3 个单位长度后与 y 轴交于点 B，与反比例函数图象在第四象限 内的交点为 C，连接 AB，AC，求点 C 的坐标及△ABC 的面积． 20．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，以 CB 为半径作⊙C，交 AC 于点 D，交 AC 的延 长线于点 E，连接 ED，BE． （1）求证：△ABD∽△AEB； （2）当 = 时，求 tanE； （3）在（2）的条件下，作∠BAC 的平分线，与 BE 交于点 F，若 AF=2，求⊙C 的半径． 四、填空题：每小题 4 分，共 20 分 21．第十二届全国人大四次会议审议通过的《中华人民共和国慈善法》将于今年 9 月 1 日正 式实施，为了了解居民对慈善法的知晓情况，某街道办从辖区居民中随机选取了部分居民进 行调查，并将调查结果绘制成如图所示的扇形图．若该辖区约有居民 9000 人，则可以估计 其中对慈善法“非常清楚”的居民约有 人． 22．已知 是方程组 的解，则代数式（a+b）（a﹣b）的值为 ． 23．如图，△ABC 内接于⊙O，AH⊥BC 于点 H，若 AC=24，AH=18，⊙O 的半径 OC=13， 则 AB= ． 24．实数 a，n，m，b 满足 a＜n＜m＜b，这四个数在数轴上对应的点分别为 A，N，M，B （如图），若 AM2=BM•AB，BN2=AN•AB，则称 m 为 a，b 的“大黄金数”，n 为 a，b 的“小 黄金数”，当 b﹣a=2 时，a，b 的大黄金数与小黄金数之差 m﹣n= ． 25．如图，面积为 6 的平行四边形纸片 ABCD 中，AB=3，∠BAD=45°，按下列步骤进行裁 剪和拼图． 第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线 BD 剪开，得到△ABD 和△BCD 纸片，再将 △ABD 纸片沿 AE 剪开（E 为 BD 上任意一点），得到△ABE 和△ADE 纸片； 第二步：如图②，将△ABE 纸片平移至△DCF 处，将△ADE 纸片平移至△BCG 处； 第三步：如图③，将△DCF 纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQM 处（边 PQ 与 DC 重合， △PQM 和△DCF 在 DC 同侧），将△BCG 纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN 处，（边 PR 与 BC 重合，△PRN 和△BCG 在 BC 同侧）． 则由纸片拼成的五边形 PMQRN 中，对角线 MN 长度的最小值为 ． 五、解答题：共 3 个小题，共 30 分 26．某果园有 100 颗橙子树，平均每颗树结 600 个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园 产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估 计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子，假设果园多种了 x 棵橙子树． （1）直接写出平均每棵树结的橙子个数 y（个）与 x 之间的关系； （2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？ 27．如图①，△ABC 中，∠ABC=45°，AH⊥BC 于点 H，点 D 在 AH 上，且 DH=CH，连 结 BD． （1）求证：BD=AC； （2）将△BHD 绕点 H 旋转，得到△EHF（点 B，D 分别与点 E，F 对应），连接 AE． ①如图②，当点 F 落在 AC 上时，（F 不与 C 重合），若 BC=4，tanC=3，求 AE 的长； ②如图③，当△EHF 是由△BHD 绕点 H 逆时针旋转 30°得到时，设射线 CF 与 AE 相交于 点 G，连接 GH，试探究线段 GH 与 EF 之间满足的等量关系，并说明理由． 28．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=a（x+1）2﹣3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C（0，﹣ ），顶点为 D，对称轴与 x 轴交于点 H，过点 H 的直线 l 交抛物线于 P，Q 两点，点 Q 在 y 轴的右侧． （1）求 a 的值及点 A，B 的坐标； （2）当直线 l 将四边形 ABCD 分为面积比为 3：7 的两部分时，求直线 l 的函数表达式； （3）当点 P 位于第二象限时，设 PQ 的中点为 M，点 N 在抛物线上，则以 DP 为对角线的 四边形 DMPN 能否为菱形？若能，求出点 N 的坐标；若不能，请说明理由． 2016 年四川省成都市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分 1．在﹣3，﹣1，1，3 四个数中，比﹣2 小的数是（ ） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【考点】有理数大小比较． 【分析】利用两个负数，绝对值大的其值反而小，进而得出答案． 【解答】解：∵|﹣3|=3，|﹣2|=2， ∴比﹣2 小的数是：﹣3． 故选：A． 2．如图所示的几何体是由 5 个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图． 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【解答】解：从上面看易得横着的“ ”字， 故选 C． 3．成都地铁自开通以来，发展速度不断加快，现已成为成都市民主要出行方式之一．今年 4 月 29 日成都地铁安全运输乘客约 181 万乘次，又一次刷新客流纪录，这也是今年以来第 四次客流纪录的刷新，用科学记数法表示 181 万为（ ） A．18.1×105 B．1.81×106 C．1.81×107 D．181×104 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数 绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：181 万=181 0000=1.81×106， 故选：B． 4．计算（﹣x3y）2 的结果是（ ） A．﹣x5y B．x6y C．﹣x3y2 D．x6y2 【考点】幂的乘方与积的乘方． 【分析】首先利用积的乘方运算法则化简求出答案． 【解答】解：（﹣x3y）2=x6y2． 故选：D． 5．如图，l1∥l2，∠1=56°，则∠2 的度数为（ ） A．34° B．56° C．124° D．146° 【考点】平行线的性质． 【分析】根据平行线性质求出∠3=∠1=50°，代入∠2+∠3=180°即可求出∠2． 【解答】解：∵l1∥l2， ∴∠1=∠3， ∵∠1=56°， ∴∠3=56°， ∵∠2+∠3=180°， ∴∠2=124°， 故选 C． 6．平面直角坐标系中，点 P（﹣2，3）关于 x 轴对称的点的坐标为（ ） A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2） 【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标． 【分析】直接利用关于 x 轴对称点的性质，横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得出答案． 【解答】解：点 P（﹣2，3）关于 x 轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣3）． 故选：A． 7．分式方程 =1 的解为（ ） A．x=﹣2 B．x=﹣3 C．x=2 D．x=3 【考点】分式方程的解． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到 分式方程的解． 【解答】解：去分母得：2x=x﹣3， 解得：x=﹣3， 经检验 x=﹣3 是分式方程的解， 故选 B． 8．学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛， 各组的平时成绩的平均数 （单位：分）及方差 s2 如表所示： 甲 乙 丙 丁 7 8 8 7 s2 1 1.2 1 1.8 如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【考点】方差；算术平均数． 【分析】先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态稳定，于是 可决定选丙组去参赛． 【解答】解：因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大， 而丙组的方差比乙组的小， 所以丙组的成绩比较稳定， 所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组． 故选 C． 9．二次函数 y=2x2﹣3 的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是（ ） A．抛物线开口向下 B．抛物线经过点（2，3） C．抛物线的对称轴是直线 x=1 D．抛物线与 x 轴有两个交点 【考点】二次函数的性质． 【分析】根据二次函数的性质对 A、C 进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对 B 进行判断；利用方程 2x2﹣3=0 解的情况对 D 进行判断． 【解答】解：A、a=2，则抛物线 y=2x2﹣3 的开口向上，所以 A 选项错误； B、当 x=2 时，y=2×4﹣3=5，则抛物线不经过点（2，3），所以 B 选项错误； C、抛物线的对称轴为直线 x=0，所以 C 选项错误； D、当 y=0 时，2x2﹣3=0，此方程有两个不相等的实数解，所以 D 选项正确． 故选 D． 10．如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，若∠OCA=50°，AB=4，则 的长为（ ） A． π B． π C． π D． π 【考点】弧长的计算；圆周角定理． 【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠A 的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC 的度 数，再利用弧长公式求出答案． 【解答】解：∵∠OCA=50°，OA=OC， ∴∠A=50°， ∴∠BOC=100°， ∵AB=4， ∴BO=2， ∴ 的长为： = π． 故选：B． 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分 11．已知|a+2|=0，则 a= ﹣2 ． 【考点】绝对值． 【分析】根据绝对值的意义得出 a+2=0，即可得出结果． 【解答】解：由绝对值的意义得：a+2=0， 解得：a=﹣2； 故答案为：﹣2． 12．如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B= 120° ． 【考点】全等三角形的性质． 【分析】根据全等三角形的性质求出∠C 的度数，根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′， ∴∠C=∠C′=24°， ∴∠B=180°﹣∠A﹣∠B=120°， 故答案为：120°． 13．已知 P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点都在反比例函数 y= 的图象上，且 x1＜x2＜0，则 y1 ＞ y2（填“＞”或“＜”）． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质． 【分析】根据一次函数的系数 k 的值可知，该函数在 x＜0 内单调递减，再结合 x1＜x2＜0， 即可得出结论． 【解答】解：在反比例函数 y= 中 k=2＞0， ∴该函数在 x＜0 内单调递减． ∵x1＜x2＜0， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 14．如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，对角线 AC，BD 相交于点 O，AE 垂直平分 OB 于点 E，则 AD 的长为 3 ． 【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质． 【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出 OA=AB=OB=3，得出 BD=2OB=6，由 勾股定理求出 AD 即可． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴OB=OD，OA=OC，AC=BD， ∴OA=OB， ∵AE 垂直平分 OB， ∴AB=AO， ∴OA=AB=OB=3， ∴BD=2OB=6， ∴AD= = =3 ； 故答案为：3 ． 三、解答题：本大共 6 小题，共 54 分 15．（1）计算：（﹣2）3+ ﹣2sin30°+0 （2）已知关于 x 的方程 3x2+2x﹣m=0 没有实数解，求实数 m 的取值范围． 【考点】实数的运算；根的判别式；特殊角的三角函数值． 【分析】（1）直接利用有理数的乘方运算法则以及特殊角的三角函数值和零指数幂的性质分 别化简求出答案； （2）直接利用根的判别式进而求出 m 的取值范围． 【解答】解：（1）（﹣2）3+ ﹣2sin30°+0 =﹣8+4﹣1+1 =﹣4； （2）∵3x2+2x﹣m=0 没有实数解， ∴b2﹣4ac=4﹣4×3（﹣m）＜0， 解得：m＜ ， 故实数 m 的取值范围是：m＜ ． 16．化简：（x﹣ ）÷ ． 【考点】分式的混合运算． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形， 约分即可得到结果． 【解答】解：原式= • = • =x+1． 17．在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实 践活动，如图，在测点 A 处安置测倾器，量出高度 AB=1.5m，测得旗杆顶端 D 的仰角 ∠DBE=32°，量出测点 A 到旗杆底部 C 的水平距离 AC=20m，根据测量数据，求旗杆 CD 的高度．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 【分析】根据题意得AC=20米，AB=1.5米，过点B做BE⊥CD，交CD于点E，利用∠DBE=32°， 得到 DE=BEtan32°后再加上 CE 即可求得 CD 的高度． 【解答】解：由题意得 AC=20 米，AB=1.5 米， ∵∠DBE=32°， ∴DE=BEtan32°≈20×0.62=12.4 米， ∴CD=DE+CE=DE+AB=12.4+1.5≈13.9（米）． 答：旗杆 CD 的高度约 13.9 米． 18．在四张编号为 A，B，C，D 的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图 所示正整数后，背面朝上，洗匀放好，现从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的卡片中 随机抽取一张． （1）请用树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果（卡片用 A，B，C， D 表示）； （2）我们知道，满足 a2+b2=c2 的三个正整数 a，b，c 成为勾股数，求抽到的两张卡片上的 数都是勾股数的概率． 【考点】列表法与树状图法；勾股数． 【分析】（1）利用树状图展示 12 种等可能的结果数； （2）根据勾股数可判定只有 A 卡片上的三个数不是勾股数，则可从 12 种等可能的结果数 中找出抽到的两张卡片上的数都是勾股数的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数； （2）抽到的两张卡片上的数都是勾股数的结果数为 6， 所以抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率= = ． 19．如图，在平面直角坐标 xOy 中，正比例函数 y=kx 的图象与反比例函数 y= 的图象都经 过点 A（2，﹣2）． （1）分别求这两个函数的表达式； （2）将直线 OA 向上平移 3 个单位长度后与 y 轴交于点 B，与反比例函数图象在第四象限 内的交点为 C，连接 AB，AC，求点 C 的坐标及△ABC 的面积． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）将点 A 坐标（2，﹣2）分别代入 y=kx、y= 求得 k、m 的值即可； （2）由题意得平移后直线解析式，即可知点 B 坐标，联立方程组求解可得第四象限内的交 点 C 得坐标，割补法求解可得三角形的面积． 【解答】解：（1）根据题意，将点 A（2，﹣2）代入 y=kx，得：﹣2=2k， 解得：k=﹣1， ∴正比例函数的解析式为：y=﹣x， 将点 A（2，﹣2）代入 y= ，得：﹣2= ， 解得：m=﹣4； ∴反比例函数的解析式为：y=﹣ ； （2）直线 OA：y=﹣x 向上平移 3 个单位后解析式为：y=﹣x+3， 则点 B 的坐标为（0，3）， 联立两函数解析式 ，解得： 或 ， ∴第四象限内的交点 C 的坐标为（4，﹣1）， ∴S△ABC= ×（1+5）×4﹣ ×5×2﹣ ×2×1=6． 20．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，以 CB 为半径作⊙C，交 AC 于点 D，交 AC 的延 长线于点 E，连接 ED，BE． （1）求证：△ABD∽△AEB； （2）当 = 时，求 tanE； （3）在（2）的条件下，作∠BAC 的平分线，与 BE 交于点 F，若 AF=2，求⊙C 的半径． 【考点】圆的综合题． 【分析】（1）要证明△ABD∽△AEB，已经有一组对应角是公共角，只需要再找出另一组 对应角相等即可． （2）由于 AB：BC=4：3，可设 AB=4，BC=3，求出 AC 的值，再利用（1）中结论可得 AB2=AD•AE，进而求出 AE 的值，所以 tanE= = ． （3）设设 AB=4x，BC=3x，由于已知 AF 的值，构造直角三角形后利用勾股定理列方程求 出 x 的值，即可知道半径 3x 的值． 【解答】解：（1）∵∠ABC=90°， ∴∠ABD=90°﹣∠DBC， 由题意知：DE 是直径， ∴∠DBE=90°， ∴∠E=90°﹣∠BDE， ∵BC=CD， ∴∠DBC=∠BDE， ∴∠ABD=∠E， ∵∠A=∠A， ∴△ABD∽△AEB； （2）∵AB：BC=4：3， ∴设 AB=4，BC=3， ∴AC= =5， ∵BC=CD=3， ∴AD=AC﹣CD=5﹣3=2， 由（1）可知：△ABD∽△AEB， ∴ = = ， ∴AB2=AD•AE， ∴42=2AE， ∴AE=8， 在 Rt△DBE 中 tanE= = = = ； （3）过点 F 作 FM⊥AE 于点 M， ∵AB：BC=4：3， ∴设 AB=4x，BC=3x， ∴由（2）可知；AE=8x，AD=2x， ∴DE=AE﹣AD=6x， ∵AF 平分∠BAC， ∴ = ， ∴ = = ， ∵tanE= ， ∴cosE= ，sinE= ， ∴ = ， ∴BE= ， ∴EF= BE= ， ∴sinE= = ， ∴MF= ， ∵tanE= ， ∴ME=2MF= ， ∴AM=AE﹣ME= ， ∵AF2=AM2+MF2， ∴4= + ， ∴x= ， ∴⊙C 的半径为：3x= ． 四、填空题：每小题 4 分，共 20 分 21．第十二届全国人大四次会议审议通过的《中华人民共和国慈善法》将于今年 9 月 1 日正 式实施，为了了解居民对慈善法的知晓情况，某街道办从辖区居民中随机选取了部分居民进 行调查，并将调查结果绘制成如图所示的扇形图．若该辖区约有居民 9000 人，则可以估计 其中对慈善法“非常清楚”的居民约有 2700 人． 【考点】扇形统计图；用样本估计总体． 【分析】先求出非常清楚所占的百分百，再乘以该辖区的总居民，即可得出答案． 【解答】解：根据题意得： 9000×（1﹣30%﹣15%﹣ ×100%） =9000×30% =2700（人）． 答：可以估计其中对慈善法“非常清楚”的居民约有 2700 人． 故答案为：2700． 22．已知 是方程组 的解，则代数式（a+b）（a﹣b）的值为 ﹣8 ． 【考点】二元一次方程组的解． 【分析】把 x 与 y 的值代入方程组求出 a 与 b 的值，代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：把 代入方程组得： ， ①×3+②×2 得：5a=﹣5，即 a=﹣1， 把 a=﹣1 代入①得：b=﹣3， 则原式=a2﹣b2=1﹣9=﹣8， 故答案为：﹣8 23．如图，△ABC 内接于⊙O，AH⊥BC 于点 H，若 AC=24，AH=18，⊙O 的半径 OC=13， 则 AB= ． 【考点】三角形的外接圆与外心． 【分析】首先作直径 AE，连接 CE，易证得△ABH∽△AEC，然后由相似三角形的对应边 成比例，即可求得⊙O 半径． 【解答】解：作直径 AE，连接 CE， ∴∠ACE=90°， ∵AH⊥BC， ∴∠AHB=90°， ∴∠ACE=∠ADB， ∵∠B=∠E， ∴△ABH∽△AEC， ∴ = ， ∴AB= ， ∵AC=24，AH=18，AE=2OC=26， ∴AB= = ， 故答案为： ． 24．实数 a，n，m，b 满足 a＜n＜m＜b，这四个数在数轴上对应的点分别为 A，N，M，B （如图），若 AM2=BM•AB，BN2=AN•AB，则称 m 为 a，b 的“大黄金数”，n 为 a，b 的“小 黄金数”，当 b﹣a=2 时，a，b 的大黄金数与小黄金数之差 m﹣n= ﹣4 ． 【考点】实数与数轴． 【分析】先把各线段长表示出来，分别代入到 AM2=BM•AB，BN2=AN•AB 中，列方程组； 两式相减后再将 b﹣a=2 和 m﹣n=x 整体代入，即可求出． 【解答】解：由题意得：AM=m﹣a，BM=b﹣m，AB=b﹣a，BN=b﹣n，AN=n﹣a， 代入 AM2=BM•AB，BN2=AN•AB 得： ， ②﹣①得：（b﹣n）2﹣（m﹣a）2=（b﹣a）（n﹣a﹣b+m）， 设 m﹣n=x，则（b﹣n+m﹣a）（b﹣n﹣m+a）=2（n﹣a﹣b+m）， 2+x=﹣2， x=﹣4， 则 m﹣n=﹣4．故答案为：﹣4． 25．如图，面积为 6 的平行四边形纸片 ABCD 中，AB=3，∠BAD=45°，按下列步骤进行裁 剪和拼图． 第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线 BD 剪开，得到△ABD 和△BCD 纸片，再将 △ABD 纸片沿 AE 剪开（E 为 BD 上任意一点），得到△ABE 和△ADE 纸片； 第二步：如图②，将△ABE 纸片平移至△DCF 处，将△ADE 纸片平移至△BCG 处； 第三步：如图③，将△DCF 纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQM 处（边 PQ 与 DC 重合， △PQM 和△DCF 在 DC 同侧），将△BCG 纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN 处，（边 PR 与 BC 重合，△PRN 和△BCG 在 BC 同侧）． 则由纸片拼成的五边形 PMQRN 中，对角线 MN 长度的最小值为 ． 【考点】平移的性质． 【分析】根据平移和翻折的性质得到△MPN 是等腰直角三角形，于是得到当 PM 最小时， 对角线 MN 最小，即 AE 取最小值，当 AE⊥BD 时，AE 取最小值，过 D 作 DF⊥AB 于 F， 根据平行四边形的面积得到 DF=2，根据等腰直角三角形的性质得到 AF=DF=2，由勾股定理 得到 BD= = ，根据三角形的面积得到 AE= = = ，即可得到结 论． 【解答】解：∵△ABE≌△CDF≌△PMQ， ∴AE=DF=PM，∠EAB=∠FDC=∠MPQ， ∵△ADE≌△BCG≌△PNR， ∴AE=BG=PN，∠DAE=∠CBG=∠RPN， ∴PM=PN， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠DAB=∠DCB=45°， ∴∠MPN=90°， ∴△MPN 是等腰直角三角形， 当 PM 最小时，对角线 MN 最小，即 AE 取最小值， ∴当 AE⊥BD 时，AE 取最小值， 过 D 作 DF⊥AB 于 F， ∵平行四边形 ABCD 的面积为 6，AB=3， ∴DF=2， ∵∠DAB=45°， ∴AF=DF=2， ∴BF=1， ∴BD= = ， ∴AE= = = ， ∴MN= AE= ， 故答案为： ． 五、解答题：共 3 个小题，共 30 分 26．某果园有 100 颗橙子树，平均每颗树结 600 个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园 产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估 计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子，假设果园多种了 x 棵橙子树． （1）直接写出平均每棵树结的橙子个数 y（个）与 x 之间的关系； （2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？ 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）根据每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子列式即可； （2）根据题意列出函数解析式，利用配方法把二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质 进行解答即可． 【解答】解：（1）平均每棵树结的橙子个数 y（个）与 x 之间的关系为：y=600﹣5x（0≤x ＜120）； （2）设果园多种 x 棵橙子树时，可使橙子的总产量为 w， 则 w= =﹣5x2+100x+60000 =﹣5（x﹣10）2+60500， 则果园多种 10 棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为 60500 个． 27．如图①，△ABC 中，∠ABC=45°，AH⊥BC 于点 H，点 D 在 AH 上，且 DH=CH，连 结 BD． （1）求证：BD=AC； （2）将△BHD 绕点 H 旋转，得到△EHF（点 B，D 分别与点 E，F 对应），连接 AE． ①如图②，当点 F 落在 AC 上时，（F 不与 C 重合），若 BC=4，tanC=3，求 AE 的长； ②如图③，当△EHF 是由△BHD 绕点 H 逆时针旋转 30°得到时，设射线 CF 与 AE 相交于 点 G，连接 GH，试探究线段 GH 与 EF 之间满足的等量关系，并说明理由． 【考点】几何变换综合题． 【分析】（1）先判断出 AH=BH，再判断出△BHD≌△AHC 即可； （2）①先根据 tanC=3，求出 AH=3，CH=1，然后根据△EHA≌△FHC，得到，HP=3AP， AE=2AP，最后用勾股定理即可； ②先判断出△AGQ∽△CHQ，得到 ，然后判断出△AQC∽△GQH，用相似比即可． 【解答】解：（1）在 Rt△AHB 中，∠ABC=45°， ∴AH=BH， 在△BHD 和△AHC 中， ， ∴△BHD≌△AHC， ∴BD=AC， （2）①如图， 在 Rt△AHC 中， ∵tanC=3， ∴ =3， 设 CH=x， ∴BH=AH=3x， ∵BC=4， ∴3x+x=4， ∴x=1， ∴AH=3，CH=1， 由旋转知，∠EHF=∠BHD=∠AHC=90°，EH=AH=3，CH=DH=FH， ∴∠EHA=∠FHC， ， ∴△EHA≌△FHC， ∴∠EAH=∠C， ∴tan∠EAH=tanC=3， 过点 H 作 HP⊥AE， ∴HP=3AP，AE=2AP， 在 Rt△AHP 中，AP2+HP2=AH2， ∴AP2+（3AP）2=9， ∴AP= ， ∴AE= ； ②由①有，△AEH 和△FHC 都为等腰三角形， ∴∠GAH=∠HCG=90°， ∴△AGQ∽△CHQ， ∴ ， ∴ ， ∵∠AQC=∠GQE， ∴△AQC∽△GQH， ∴ =sin30°= ． 28．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=a（x+1）2﹣3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C（0，﹣ ），顶点为 D，对称轴与 x 轴交于点 H，过点 H 的直线 l 交抛物线于 P，Q 两点，点 Q 在 y 轴的右侧． （1）求 a 的值及点 A，B 的坐标； （2）当直线 l 将四边形 ABCD 分为面积比为 3：7 的两部分时，求直线 l 的函数表达式； （3）当点 P 位于第二象限时，设 PQ 的中点为 M，点 N 在抛物线上，则以 DP 为对角线的 四边形 DMPN 能否为菱形？若能，求出点 N 的坐标；若不能，请说明理由． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）把点 C 代入抛物线解析式即可求出 a，令 y=0，列方程即可求出点 A、B 坐标． （2）先求出四边形 ABCD 面积，分两种情形：①当直线 l 边 AD 相交与点 M1 时，根据 S = ×10=3，求出点 M1 坐标即可解决问题．②当直线 l 边 BC 相交与点 M2 时， 同理可得点 M2 坐标． （3）设 P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点 H（﹣1，0）的直线 PQ 的解析式为 y=kx+b，得 到 b=k，利用方程组求出点 M 坐标，求出直线 DN 解析式，再利用方程组求出点 N 坐标， 列出方程求出 k，即可解决问题． 【解答】解：（1）∵抛物线与 y 轴交于点 C（0，﹣ ）． ∴a﹣3=﹣ ，解得：a= ， ∴y= （x+1）2﹣3 当 y=0 时，有 （x+1）2﹣3=0， ∴x1=2，x2=﹣4， ∴A（﹣4，0），B（2，0）． （2）∵A（﹣4，0），B（2，0），C（0，﹣ ），D（﹣1，﹣3） ∴S 四边形 ABCD=S△ADH+S 梯形 OCDH+S△BOC= ×3×3+ （ +3）×1+ ×2× =10． 从面积分析知，直线 l 只能与边 AD 或 BC 相交，所以有两种情况： ①当直线 l 边 AD 相交与点 M1 时，则 S = ×10=3， ∴ ×3×（﹣y ）=3 ∴y =﹣2，点 M1（﹣2，﹣2），过点 H（﹣1，0）和 M1（﹣2，﹣2）的直线 l 的解析式 为 y=2x+2． ②当直线 l 边 BC 相交与点 M2 时，同理可得点 M2（ ，﹣2），过点 H（﹣1，0）和 M2（ ， ﹣2）的直线 l 的解析式为 y=﹣ x﹣ ． 综上所述：直线 l 的函数表达式为 y=2x+2 或 y=﹣ x﹣ ． （3）设 P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点 H（﹣1，0）的直线 PQ 的解析式为 y=kx+b， ∴﹣k+b=0， ∴b=k， ∴y=kx+k． 由 ， ∴ +（ ﹣k）x﹣ ﹣k=0， ∴x1+x2=﹣2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2， ∵点 M 是线段 PQ 的中点，∴由中点坐标公式的点 M（ k﹣1， k2）． 假设存在这样的 N 点如图，直线 DN∥PQ，设直线 DN 的解析式为 y=kx+k﹣3 由 ，解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1，∴N（3k﹣1，3k2﹣3） ∵四边形 DMPN 是菱形， ∴DN=DM， ∴（3k）2+（3k2）2=（ ）2+（ ）2， 整理得：3k4﹣k2﹣4=0， ∵k2+1＞0， ∴3k2﹣4=0， 解得 k=± ， ∵k＜0， ∴k=﹣ ， ∴P（﹣3 ﹣1，6），M（﹣ ﹣1，2），N（﹣2 ﹣1，1） ∴PM=DN=2 ， ∵PM∥DN， ∴四边形 DMPN 是平行四边形， ∵DM=DN， ∴四边形 DMPN 为菱形， ∴以 DP 为对角线的四边形 DMPN 能成为菱形，此时点 N 的坐标为（﹣2 ﹣1，1）． 2016 年 6 月 21 日