2016年毕节中考数学试题解析版

2016 年贵州省毕节地区中考数学试卷 一、选择题（本大题共 15 小题，每小题 3 分，共 45 分，在每道小题的四个选项中，只有 一个选项正确，请把你认为正确的选项填涂在相应的答题卡上） 1． 的算术平方根是（ ） A．2 B．±2 C． D． 2．2016 年 5 月下旬，中国大数据博览会在贵阳举行，参加此次大会的人数约有 89000 人， 将 89000 用科学记数法表示为（ ） A．89×103B．8.9×104C．8.9×103D．0.89×105 3．下列运算正确的是（ ） A．﹣2（a+b）=﹣2a+2b B．（a2）3=a5C．a3+4a= a3D．3a2•2a3=6a5 4．图中是一个少数名族手鼓的轮廓图，其主视图是（ ） A． B． C． D． 5．为迎接“义务教育均衡发展”检查，我市抽查了某校七年级 8 个班的班额人数，抽查数据 统计如下：52，49，56，54，52，51，55，54，这四组数据的众数是（ ） A．52 和 54 B．52 C．53 D．54 6．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 7．估计 的值在（ ） A．2 到 3 之间 B．3 到 4 之间 C．4 到 5 之间 D．5 到 6 之间 8．如图，直线 a∥b，∠1=85°，∠2=35°，则∠3=（ ） A．85° B．60° C．50° D．35° 9．已知关于 x，y 的方程 x2m﹣n﹣2+4ym+n+1=6 是二元一次方程，则 m，n 的值为（ ） A．m=1，n=﹣1 B．m=﹣1，n=1 C． D． 10．如图，点 A 为反比例函数 图象上一点，过 A 作 AB⊥x 轴于点 B，连接 OA，则 △ABO 的面积为（ ） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 11．下列语句正确的是（ ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等 C．矩形的对角线相等 D．平行四边形是轴对称图形 12．如图，点 A，B，C 在⊙O 上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（ ） A．100° B．72° C．64° D．36° 13．为加快“最美毕节”环境建设，某园林公司增加了人力进行大型树木移植，现在平均每天 比原计划多植树 30 棵，现在植树 400 棵所需时间与原计划植树 300 棵所需时间相同，设现 在平均每天植树 x 棵，则列出的方程为（ ） A． B． C． D． 14．一次函数 y=ax+b（a≠0）与二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图 象可能是（ ） A． B． C． D． 15．如图，正方形 ABCD 的边长为 9，将正方形折叠，使顶点 D 落在 BC 边上的点 E 处， 折痕为 GH．若 BE：EC=2：1，则线段 CH 的长是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，请把答案填在答题卡相应题号后的 横线上） 16．分解因式 3m4﹣48= ． 17．若 a2+5ab﹣b2=0，则 的值为 ． 18．掷两枚质地均匀的骰子，其点数之和大于 10 的概率为 ． 19．在△ABC 中，D 为 AB 边上一点，且∠BCD=∠A．已知 BC= ，AB=3，则 BD= ． 20．如图，分别以边长等于 1 的正方形的四边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积 为 ． 三、解答题（本大题共 7 小题，各题分值见题号后，共 80 分，请解答在答题卡相应题号后， 应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 21．计算： ． 22．已知 （1）化简 A； （2）若 x 满足不等式组 ，且 x 为整数时，求 A 的值． 23．为进一步发展基础教育，自 2014 年以来，某县加大了教育经费的投入，2014 年该县投 入教育经费 6000 万元．2016 年投入教育经费 8640 万元．假设该县这两年投入教育经费的 年平均增长率相同． （1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率； （2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算 2017 年该县投入教育 经费多少万元． 24．为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉子的意识，某校举办了首届“汉字听写大赛”， 学生经选拔后进入决赛，测试同时听写 100 个汉字，每正确听写出一个汉字得 1 分，本次决 赛，学生成绩为 x（分），且 50≤x＜100，将其按分数段分为五组，绘制出以下不完整表格： 组别 成绩 x（分） 频数（人数） 频率 一 50≤x＜60 2 0.04 二 60≤x＜70 10 0.2 三 70≤x＜80 14 b 四 80≤x＜90 a 0.32 五 90≤x＜100 8 0.16 请根据表格提供的信息，解答以下问题： （1）本次决赛共有 名学生参加； （2）直接写出表中 a= ，b= ； （3）请补全下面相应的频数分布直方图； （4）若决赛成绩不低于 80 分为优秀，则本次大赛的优秀率为 ． 25．如图，已知△ABC 中，AB=AC，把△ABC 绕 A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连 接 BD，CE 交于点 F． （1）求证：△AEC≌△ADB； （2）若 AB=2，∠BAC=45°，当四边形 ADFC 是菱形时，求 BF 的长． 26．如图，在△ABC 中，D 为 AC 上一点，且 CD=CB，以 BC 为直径作⊙O，交 BD 于点 E， 连接 CE，过 D 作 DF⊥AB 于点 F，∠BCD=2∠ABD． （1）求证：AB 是⊙O 的切线； （2）若∠A=60°，DF= ，求⊙O 的直径 BC 的长． 27．如图，已知抛物线 y=x2+bx 与直线 y=2x+4 交于 A（a，8）、B 两点，点 P 是抛物线上 A、 B 之间的一个动点，过点 P 分别作 x 轴、y 轴的平行线与直线 AB 交于点 C 和点 E． （1）求抛物线的解析式； （2）若 C 为 AB 中点，求 PC 的长； （3）如图，以 PC，PE 为边构造矩形 PCDE，设点 D 的坐标为（m，n），请求出 m，n 之间 的关系式． 2016 年贵州省毕节地区中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 15 小题，每小题 3 分，共 45 分，在每道小题的四个选项中，只有 一个选项正确，请把你认为正确的选项填涂在相应的答题卡上） 1． 的算术平方根是（ ） A．2 B．±2 C． D． 【考点】立方根；算术平方根． 【分析】首先根据立方根的定义求出 的值，然后再利用算术平方根的定义即可求出结果． 【解答】解： =2，2 的算术平方根是 ． 故选：C． 2．2016 年 5 月下旬，中国大数据博览会在贵阳举行，参加此次大会的人数约有 89000 人， 将 89000 用科学记数法表示为（ ） A．89×103B．8.9×104C．8.9×103D．0.89×105 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数 绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将 89000 用科学记数法表示为：8.9×104． 故选：B． 3．下列运算正确的是（ ） A．﹣2（a+b）=﹣2a+2b B．（a2）3=a5C．a3+4a= a3D．3a2•2a3=6a5 【考点】单项式乘单项式；合并同类项；去括号与添括号；幂的乘方与积的乘方． 【分析】A、原式去括号得到结果，即可作出判断； B、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断； C、原式不能合并，错误； D、原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、原式=﹣2a﹣2b，错误； B、原式=a6，错误； C、原式不能合并，错误； D、原式=6a5，正确， 故选 D 4．图中是一个少数名族手鼓的轮廓图，其主视图是（ ） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图． 【分析】直接利用几何体的形状结合主视图的观察角度得出答案． 【解答】解：由几何体可得：其主视图为： ． 故选：B． 5．为迎接“义务教育均衡发展”检查，我市抽查了某校七年级 8 个班的班额人数，抽查数据 统计如下：52，49，56，54，52，51，55，54，这四组数据的众数是（ ） A．52 和 54 B．52 C．53 D．54 【考点】众数． 【分析】根据众数的定义找出出现次数最多的数即可． 【解答】解：∵数据中 52 和 54 均出现了 2 次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是 52 和 54， 故选：A． 6．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【考点】线段垂直平分线的性质；角平分线的性质． 【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可． 【解答】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交 点， 故选：D． 7．估计 的值在（ ） A．2 到 3 之间 B．3 到 4 之间 C．4 到 5 之间 D．5 到 6 之间 【考点】估算无理数的大小． 【分析】利用”夹逼法“得出 的范围，继而也可得出 的范围． 【解答】解：∵2= ＜ =3， ∴3＜ ＜4， 故选 B． 8．如图，直线 a∥b，∠1=85°，∠2=35°，则∠3=（ ） A．85° B．60° C．50° D．35° 【考点】平行线的性质． 【分析】先利用三角形的外角定理求出∠4 的度数，再利用平行线的性质得∠3=∠4=50°． 【解答】解：在△ABC 中， ∵∠1=85°，∠2=35°， ∴∠4=85°﹣35°=50°， ∵a∥b， ∴∠3=∠4=50°， 故选 C． 9．已知关于 x，y 的方程 x2m﹣n﹣2+4ym+n+1=6 是二元一次方程，则 m，n 的值为（ ） A．m=1，n=﹣1 B．m=﹣1，n=1 C． D． 【考点】二元一次方程的定义． 【分析】利用二元一次方程的定义判断即可． 【解答】解：∵方程 x2m﹣n﹣2+4ym+n+1=6 是二元一次方程， ∴ ， 解得： ， 故选 A 10．如图，点 A 为反比例函数 图象上一点，过 A 作 AB⊥x 轴于点 B，连接 OA，则 △ABO 的面积为（ ） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义． 【分析】根据反比例函数系数 k 的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂 线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|，且保持不变，可计算出答案． 【解答】解：△ABO 的面积为： ×|﹣4|=2， 故选 D． 11．下列语句正确的是（ ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等 C．矩形的对角线相等 D．平行四边形是轴对称图形 【考点】矩形的性质；全等三角形的判定；菱形的判定；轴对称图形． 【分析】由菱形的判定方法得出选项 A 错误；由全等三角形的判定方法得出选项 B 错误； 由矩形的性质得出选项 C 正确；由平行四边形的性质得出选项 D 错误；即可得出结论． 【解答】解：∵对角线互相垂直的四边形不一定是菱形， ∴选项 A 错误； ∵有两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等， ∴选项 B 错误； ∵矩形的对角线相等， ∴选项 C 正确； ∵平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形， ∴选项 D 错误； 故选：C． 12．如图，点 A，B，C 在⊙O 上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（ ） A．100° B．72° C．64° D．36° 【考点】圆周角定理． 【分析】连接 OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠C=28°，根据等腰三角形的性质解 答即可． 【解答】解：连接 OA， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠C=28°， ∴∠OAB=64°， ∵OA=OB， ∴∠B=∠OAB=64°， 故选：C． 13．为加快“最美毕节”环境建设，某园林公司增加了人力进行大型树木移植，现在平均每天 比原计划多植树 30 棵，现在植树 400 棵所需时间与原计划植树 300 棵所需时间相同，设现 在平均每天植树 x 棵，则列出的方程为（ ） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出分式方程． 【分析】设现在平均每天植树 x 棵，则原计划每天植树（x﹣30）棵，根据：现在植树 400 棵所需时间=原计划植树 300 棵所需时间，这一等量关系列出分式方程即可． 【解答】解：设现在平均每天植树 x 棵，则原计划每天植树（x﹣30）棵， 根据题意，可列方程： = ， 故选：A． 14．一次函数 y=ax+b（a≠0）与二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图 象可能是（ ） A． B． C． D． 【考点】二次函数的图象；一次函数的图象． 【分析】本题可先由一次函数 y=ax+b 图象得到字母系数的正负，再与二次函数 y=ax2+bx+c 的图象相比较看是否一致． 【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，故本选项错误； B、由抛物线可知，a＞0，x=﹣ ＞0，得 b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误； C、由抛物线可知，a＜0，x=﹣ ＜0，得 b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确； D、由抛物线可知，a＜0，x=﹣ ＜0，得 b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0 故本选项错误． 故选 C． 15．如图，正方形 ABCD 的边长为 9，将正方形折叠，使顶点 D 落在 BC 边上的点 E 处， 折痕为 GH．若 BE：EC=2：1，则线段 CH 的长是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）． 【分析】根据折叠的性质可得 DH=EH，在直角△CEH 中，若设 CH=x，则 DH=EH=9﹣x， CE=3cm，可以根据勾股定理列出方程，从而解出 CH 的长． 【解答】解：由题意设 CH=xcm，则 DH=EH=（9﹣x）cm， ∵BE：EC=2：1， ∴CE= BC=3cm ∴在 Rt△ECH 中，EH2=EC2+CH2， 即（9﹣x）2=32+x2， 解得：x=4，即 CH=4cm． 故选（B） 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，请把答案填在答题卡相应题号后的 横线上） 16．分解因式 3m4﹣48= 3（m2+4）（m+2）（m﹣2） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式把原式进行因式分解即可． 【解答】解：3m4﹣48=3（m4﹣42） =3（m2+4）（m2﹣4） =3（m2+4）（m+2）（m﹣2）． 故答案为：3（m2+4）（m+2）（m﹣2）． 17．若 a2+5ab﹣b2=0，则 的值为 5 ． 【考点】分式的化简求值． 【分析】先根据题意得出 b2﹣a2=5ab，再由分式的减法法则把原式进行化简，进而可得出结 论． 【解答】解：∵a2+5ab﹣b2=0， ∴ ﹣ = = =5． 故答案为：5． 18．掷两枚质地均匀的骰子，其点数之和大于 10 的概率为 ． 【考点】列表法与树状图法． 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其点数之和大于 10 的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 ∵两次抛掷骰子总共有 36 种情况，而和大于 10 的只有：（5，6），（6，5），（6，6）三种情 况， ∴点数之和大于 10 的概率为： ． 故答案为： ． 19．在△ABC 中，D 为 AB 边上一点，且∠BCD=∠A．已知 BC= ，AB=3，则 BD= ． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】证明△DCB≌△CAB，得 = ，由此即可解决问题． 【解答】解：∵∠BCD=∠A，∠B=∠B， ∴△DCB≌△CAB， ∴ = ， ∴ = ， ∴BD= ． 故答案为 ． 20．如图，分别以边长等于 1 的正方形的四边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 π ﹣1 ． 【考点】扇形面积的计算． 【分析】如图，作辅助线；首先求出半圆 O 的面积，其次求出△ABP 的面积；观察图形可 以发现：阴影部分的面积=4（S 半圆 O﹣S△ABP），求出值，即可解决问题． 【解答】解：如图，连接 PA、PB、OP； 则 S 半圆 O= = ，S△ABP= AB•OP= ×1× = ， 由题意得：图中阴影部分的面积=4（S 半圆 O﹣S△ABP） =4（ ﹣ ）= π﹣1， 故答案为： π﹣1． 三、解答题（本大题共 7 小题，各题分值见题号后，共 80 分，请解答在答题卡相应题号后， 应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 21．计算： ． 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质化简，进而 求出答案． 【解答】解：原式=1+ ﹣1﹣ ﹣2× +1 = ﹣ ﹣ +1 =1﹣ ． 22．已知 （1）化简 A； （2）若 x 满足不等式组 ，且 x 为整数时，求 A 的值． 【考点】分式的混合运算；一元一次不等式组的整数解． 【分析】（1）原式第一项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则 计算即可得到结果； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集， 确定出整数 x 的值，代入计算即可求出 A 的值． 【解答】解：（1）A=（x﹣3）• ﹣1= ﹣1= = ； （2） ， 由①得：x＜1， 由②得：x＞﹣1， ∴不等式组的解集为﹣1＜x＜1，即整数 x=0， 则 A=﹣ ． 23．为进一步发展基础教育，自 2014 年以来，某县加大了教育经费的投入，2014 年该县投 入教育经费 6000 万元．2016 年投入教育经费 8640 万元．假设该县这两年投入教育经费的 年平均增长率相同． （1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率； （2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算 2017 年该县投入教育 经费多少万元． 【考点】一元二次方程的应用． 【分析】（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为 x，根据 2014 年该县投入教育经费 6000 万元和 2016 年投入教育经费 8640 万元列出方程，再求解即可； （2）根据 2016 年该县投入教育经费和每年的增长率，直接得出 2017 年该县投入教育经费 为 8640×（1+0.2），再进行计算即可． 【解答】解：（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为 x，根据题意得： 6000（1+x）2=8640 解得：x=0.2=20%， 答：该县投入教育经费的年平均增长率为 20%； （2）因为 2016 年该县投入教育经费为 8640 万元，且增长率为 20%， 所以 2017 年该县投入教育经费为：y=8640×（1+0.2）=10368（万元）， 答：预算 2017 年该县投入教育经费 10368 万元． 24．为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉子的意识，某校举办了首届“汉字听写大赛”， 学生经选拔后进入决赛，测试同时听写 100 个汉字，每正确听写出一个汉字得 1 分，本次决 赛，学生成绩为 x（分），且 50≤x＜100，将其按分数段分为五组，绘制出以下不完整表格： 组别 成绩 x（分） 频数（人数） 频率 一 50≤x＜60 2 0.04 二 60≤x＜70 10 0.2 三 70≤x＜80 14 b 四 80≤x＜90 a 0.32 五 90≤x＜100 8 0.16 请根据表格提供的信息，解答以下问题： （1）本次决赛共有 50 名学生参加； （2）直接写出表中 a= 16 ，b= 0.28 ； （3）请补全下面相应的频数分布直方图； （4）若决赛成绩不低于 80 分为优秀，则本次大赛的优秀率为 48% ． 【考点】频数（率）分布直方图；频数（率）分布表． 【分析】（1）根据表格中的数据可以求得本次决赛的学生数； （2）根据（1）中决赛学生数，可以求得 a、b 的值； （3）根据（2）中 a 的值，可以将频数分布直方图补充完整； （4）根据表格中的数据可以求得本次大赛的优秀率． 【解答】解：（1）由表格可得， 本次决赛的学生数为：10÷0.2=50， 故答案为：50； （2）a=50×0.32=16，b=14÷50=0.28， 故答案为：16，0.28； （3）补全的频数分布直方图如右图所示， （4）由表格可得， 决赛成绩不低于 80 分为优秀率为：（0.32+0.16）×100%=48%， 故答案为：48%． 25．如图，已知△ABC 中，AB=AC，把△ABC 绕 A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连 接 BD，CE 交于点 F． （1）求证：△AEC≌△ADB； （2）若 AB=2，∠BAC=45°，当四边形 ADFC 是菱形时，求 BF 的长． 【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质． 【分析】（1）由旋转的性质得到三角形 ABC 与三角形 ADE 全等，以及 AB=AC，利用全等 三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用 SAS 得到三角形 AEC 与三角形 ADB 全等即可； （2）根据∠BAC=45°，四边形 ADFC 是菱形，得到∠DBA=∠BAC=45°，再由 AB=AD，得 到三角形 ABD 为等腰直角三角形，求出 BD 的长，由 BD﹣DF 求出 BF 的长即可． 【解答】解：（1）由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且 AB=AC， ∴AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠DAB， 在△AEC 和△ADB 中， ， ∴△AEC≌△ADB（SAS）； （2）∵四边形 ADFC 是菱形，且∠BAC=45°， ∴∠DBA=∠BAC=45°， 由（1）得：AB=AD， ∴∠DBA=∠BDA=45°， ∴△ABD 为直角边为 2 的等腰直角三角形， ∴BD2=2AB2，即 BD=2 ， ∴AD=DF=FC=AC=AB=2， ∴BF=BD﹣DF=2 ﹣2． 26．如图，在△ABC 中，D 为 AC 上一点，且 CD=CB，以 BC 为直径作⊙O，交 BD 于点 E， 连接 CE，过 D 作 DF⊥AB 于点 F，∠BCD=2∠ABD． （1）求证：AB 是⊙O 的切线； （2）若∠A=60°，DF= ，求⊙O 的直径 BC 的长． 【考点】切线的判定． 【分析】（1）由 CD=CB，∠BCD=2∠ABD，可证得∠BCE=∠ABD，继而求得∠ABC=90°， 则可证得 AB 是⊙O 的切线； （2）由∠A=60°，DF= ，可求得 AF、BF 的长，易证得△ADF∽△ACB，然后由相似三 角形的对应边成比例，求得答案． 【解答】（1）证明：∵CD=CB， ∴∠CBD=∠CDB， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠CBE=90°， ∴∠CBD+∠BCE=∠CDB+∠DCE， ∴∠BCE=∠DCE， 即∠BCD=2∠BCE， ∵∠BCD=2∠ABD， ∴∠ABD=∠BCE， ∴∠CBD+∠ABD=∠CBD+∠BCE=90°， ∴CB⊥AB， ∵CB 为直径， ∴AB 是⊙O 的切线； （2）∵∠A=60°，DF= ， ∴在 Rt△AFD 中，AF= = =1， 在 Rt△BFD 中，BF=DF•tan60°= × =3， ∵DF⊥AB，CB⊥AB， ∴DF∥BC， ∴∠ADF=∠ACB， ∵∠A=∠A， ∴△ADF∽△ACB， ∴ = ， ∴ = ， ∴CB=4 ． 27．如图，已知抛物线 y=x2+bx 与直线 y=2x+4 交于 A（a，8）、B 两点，点 P 是抛物线上 A、 B 之间的一个动点，过点 P 分别作 x 轴、y 轴的平行线与直线 AB 交于点 C 和点 E． （1）求抛物线的解析式； （2）若 C 为 AB 中点，求 PC 的长； （3）如图，以 PC，PE 为边构造矩形 PCDE，设点 D 的坐标为（m，n），请求出 m，n 之间 的关系式． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）把 A 点坐标代入直线方程可求得 a 的值，再代入抛物线可求得 b 的值，可求 得抛物线解析式； （2）联立抛物线和直线解析式可求得 B 点坐标，过 A 作 AQ⊥x 轴，交 x 轴于点 Q，可知 OC= AQ=4，可求得 C 点坐标，结合条件可知 P 点纵坐标，代入抛物线解析式可求得 P 点 坐标，从而可求得 PC 的长； （3）根据矩形的性质可分别用 m、n 表示出 C、P 的坐标，根据 DE=CP，可得到 m、n 的 关系式． 【解答】解： （1）∵A（a，8）是抛物线和直线的交点， ∴A 点在直线上， ∴8=2a+4，解得 a=2， ∴A 点坐标为（2，8）， 又 A 点在抛物线上， ∴8=22+2b，解得 b=2， ∴抛物线解析式为 y=x2+2x； （2）联立抛物线和直线解析式可得 ，解得 ， ， ∴B 点坐标为（﹣2，0）， 如图，过 A 作 AQ⊥x 轴，交 x 轴于点 Q， 则 AQ=8，OQ=OB=2，即 O 为 BQ 的中点， 当 C 为 AB 中点时，则 OC 为△ABQ 的中位线，即 C 点在 y 轴上， ∴OC= AQ=4， ∴C 点坐标为（0，4）， 又 PC∥x 轴， ∴P 点纵坐标为 4， ∵P 点在抛物线线上， ∴4=x2+2x，解得 x=﹣1﹣ 或 x= ﹣1， ∵P 点在 A、B 之间的抛物线上， ∴x=﹣1﹣ 不合题意，舍去， ∴P 点坐标为（ ﹣1，4）， ∴PC= ﹣1﹣0= ﹣1； （3）∵D（m，n），且四边形 PCDE 为矩形， ∴C 点横坐标为 m，E 点纵坐标为 n， ∵C、E 都在直线 y=2x+4 上， ∴C（m，2m+4），E（ ，n）， ∵PC∥x 轴， ∴P 点纵坐标为 2m+4， ∵P 点在抛物线上， ∴2m+4=x2+2x，整理可得 2m+5=（x+1）2，解得 x= ﹣1 或 x=﹣ ﹣1（舍去）， ∴P 点坐标为（ ﹣1，2m+4）， ∴DE= ﹣m，CP= ﹣1﹣m， ∵四边形 PCDE 为矩形， ∴DE=CP，即 ﹣m= ﹣1﹣m， 整理可得 n2﹣4n﹣8m﹣16=0， 即 m、n 之间的关系式为 n2﹣4n﹣8m﹣16=0． 2016 年 7 月 7 日