2016年安徽省中考数学试题解析版

2016 年安徽省中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分） 1．﹣2 的绝对值是（ ） A．﹣2 B．2 C．±2 D． 2．计算 a10÷a2（a≠0）的结果是（ ） A．a5 B．a﹣5 C．a8 D．a﹣8 3．2016 年 3 月份我省农产品实现出口额 8362 万美元，其中 8362 万用科学记数法表示为 （ ） A．8.362×107 B．83.62×106 C．0.8362×108 D．8.362×108 4．如图，一个放置在水平桌面上的圆柱，它的主（正）视图是（ ） A． B． C． D． 5．方程 =3 的解是（ ） A．﹣ B． C．﹣4 D．4 6．2014 年我省财政收入比 2013 年增长 8.9%，2015 年比 2014 年增长 9.5%，若 2013 年和 2015 年我省财政收入分别为 a 亿元和 b 亿元，则 a、b 之间满足的关系式为（ ） A．b=a（1+8.9%+9.5%） B．b=a（1+8.9%×9.5%） C．b=a（1+8.9%）（1+9.5%） D．b=a（1+8.9%）2（1+9.5%） 7．自来水公司调查了若干用户的月用水量 x（单位：吨），按月用水量将用户分成 A、B、 C、D、E 五组进行统计，并制作了如图所示的扇形统计图．已知除 B 组以外，参与调查的 用户共 64 户，则所有参与调查的用户中月用水量在 6 吨以下的共有（ ） 组别 月用水量 x（单位：吨） A 0≤x＜3 B 3≤x＜6 C 6≤x＜9 D 9≤x＜12 E x≥12 A．18 户B．20 户C．22 户D．24 户 8．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段 AC 的长为（ ） A．4 B．4 C．6 D．4 9．一段笔直的公路 AC 长 20 千米，途中有一处休息点 B，AB 长 15 千米，甲、乙两名长跑 爱好者同时从点 A 出发，甲以 15 千米/时的速度匀速跑至点 B，原地休息半小时后，再以 10 千米/时的速度匀速跑至终点 C；乙以 12 千米/时的速度匀速跑至终点 C，下列选项中， 能正确反映甲、乙两人出发后 2 小时内运动路程 y（千米）与时间 x（小时）函数关系的图 象是（ ） A． B． C． D． 10．如图，Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足 ∠PAB=∠PBC，则线段 CP 长的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 11．不等式 x﹣2≥1 的解集是 ． 12．因式分解：a3﹣a= ． 13．如图，已知⊙O 的半径为 2，A 为⊙O 外一点，过点 A 作⊙O 的一条切线 AB，切点是 B，AO 的延长线交⊙O 于点 C，若∠BAC=30°，则劣弧 的长为 ． 14．如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=6，BC=10，点 E 在 CD 上，将△BCE 沿 BE 折叠， 点 C 恰落在边 AD 上的点 F 处；点 G 在 AF 上，将△ABG 沿 BG 折叠，点 A 恰落在线段 BF 上的点 H 处，有下列结论： ①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG= S△FGH；④AG+DF=FG． 其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都选上） 三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 15．计算：（﹣2016）0+ +tan45°． 16．解方程：x2﹣2x=4． 四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 17．如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 12×12 网格中，给出了四边形 ABCD 的两条边 AB 与 BC，且四边形 ABCD 是一个轴对称图形，其对称轴为直线 AC． （1）试在图中标出点 D，并画出该四边形的另两条边； （2）将四边形 ABCD 向下平移 5 个单位，画出平移后得到的四边形 A′B′C′D′． 18．（1）观察下列图形与等式的关系，并填空： （2）观察下图，根据（1）中结论，计算图中黑球的个数，用含有 n 的代数式填空： 1+3+5+…+（2n﹣1）+（ ）+（2n﹣1）+…+5+3+1= ． 五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分） 19．如图，河的两岸 l1 与 l2 相互平行，A、B 是 l1 上的两点，C、D 是 l2 上的两点，某人在 点 A 处测得∠CAB=90°，∠DAB=30°，再沿 AB 方向前进 20 米到达点 E（点 E 在线段 AB 上），测得∠DEB=60°，求 C、D 两点间的距离． 20．如图，一次函数 y=kx+b 的图象分别与反比例函数 y= 的图象在第一象限交于点 A（4， 3），与 y 轴的负半轴交于点 B，且 OA=OB． （1）求函数 y=kx+b 和 y= 的表达式； （2）已知点 C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点 M，使得 MB=MC，求此时点 M 的坐标． 六、（本大题满分 12 分） 21．一袋中装有形状大小都相同的四个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是 1，4，7， 8．现规定从袋中任取一个小球，对应的数字作为一个两位数的个位数；然后将小球放回袋 中并搅拌均匀，再任取一个小球，对应的数字作为这个两位数的十位数． （1）写出按上述规定得到所有可能的两位数； （2）从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于 4 且小于 7 的概率． 七、（本大题满分 12 分） 22．如图，二次函数 y=ax2+bx 的图象经过点 A（2，4）与 B（6，0）． （1）求 a，b 的值； （2）点 C 是该二次函数图象上 A，B 两点之间的一动点，横坐标为 x（2＜x＜6），写出四 边形 OACB 的面积 S 关于点 C 的横坐标 x 的函数表达式，并求 S 的最大值． 八、（本大题满分 14 分） 23．如图 1，A，B 分别在射线 OA，ON 上，且∠MON 为钝角，现以线段 OA，OB 为斜边 向∠MON 的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点 C，D，E 分别是 OA， OB，AB 的中点． （1）求证：△PCE≌△EDQ； （2）延长 PC，QD 交于点 R． ①如图 1，若∠MON=150°，求证：△ABR 为等边三角形； ②如图 3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON 大小和 的值． 2016 年安徽省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分） 1．﹣2 的绝对值是（ ） A．﹣2 B．2 C．±2 D． 【考点】绝对值． 【分析】直接利用数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，进而得出答案． 【解答】解：﹣2 的绝对值是：2． 故选：B． 2．计算 a10÷a2（a≠0）的结果是（ ） A．a5 B．a﹣5 C．a8 D．a﹣8 【考点】同底数幂的除法；负整数指数幂． 【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则化简求出答案． 【解答】解：a10÷a2（a≠0）=a8． 故选：C． 3．2016 年 3 月份我省农产品实现出口额 8362 万美元，其中 8362 万用科学记数法表示为 （ ） A．8.362×107 B．83.62×106 C．0.8362×108 D．8.362×108 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数 绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：8362 万=8362 0000=8.362×107， 故选：A． 4．如图，一个放置在水平桌面上的圆柱，它的主（正）视图是（ ） A． B． C． D． 【考点】简单几何体的三视图． 【分析】根据三视图的定义求解． 【解答】解：圆柱的主（正）视图为矩形． 故选 C． 5．方程 =3 的解是（ ） A．﹣ B． C．﹣4 D．4 【考点】分式方程的解． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到 分式方程的解． 【解答】解：去分母得：2x+1=3x﹣3， 解得：x=4， 经检验 x=4 是分式方程的解， 故选 D． 6．2014 年我省财政收入比 2013 年增长 8.9%，2015 年比 2014 年增长 9.5%，若 2013 年和 2015 年我省财政收入分别为 a 亿元和 b 亿元，则 a、b 之间满足的关系式为（ ） A．b=a（1+8.9%+9.5%） B．b=a（1+8.9%×9.5%） C．b=a（1+8.9%）（1+9.5%） D．b=a（1+8.9%）2（1+9.5%） 【考点】列代数式． 【分析】根据 2013 年我省财政收入和 2014 年我省财政收入比 2013 年增长 8.9%，求出 2014 年我省财政收入，再根据出 2015 年比 2014 年增长 9.5%，2015 年我省财政收为 b 亿元， 即可得出 a、b 之间的关系式． 【解答】解：∵2013 年我省财政收入为 a 亿元，2014 年我省财政收入比 2013 年增长 8.9%， ∴2014 年我省财政收入为 a（1+8.9%）亿元， ∵2015 年比 2014 年增长 9.5%，2015 年我省财政收为 b 亿元， ∴2015 年我省财政收为 b=a（1+8.9%）（1+9.5%）； 故选 C． 7．自来水公司调查了若干用户的月用水量 x（单位：吨），按月用水量将用户分成 A、B、 C、D、E 五组进行统计，并制作了如图所示的扇形统计图．已知除 B 组以外，参与调查的 用户共 64 户，则所有参与调查的用户中月用水量在 6 吨以下的共有（ ） 组别 月用水量 x（单位：吨） A 0≤x＜3 B 3≤x＜6 C 6≤x＜9 D 9≤x＜12 E x≥12 A．18 户B．20 户C．22 户D．24 户 【考点】扇形统计图． 【分析】根据除 B 组以外参与调查的用户共 64 户及 A、C、D、E 四组的百分率可得参与调 查的总户数及 B 组的百分率，将总户数乘以月用水量在 6 吨以下（A、B 两组）的百分率可 得答案． 【解答】解：根据题意，参与调查的户数为： =80（户）， 其中 B 组用户数占被调查户数的百分比为：1﹣10%﹣35%﹣30%﹣5%=20%， 则所有参与调查的用户中月用水量在 6 吨以下的共有：80×（10%+20%）=24（户）， 故选：D． 8．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段 AC 的长为（ ） A．4 B．4 C．6 D．4 【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】根据 AD 是中线，得出 CD=4，再根据 AA 证出△CBA∽△CAD，得出 = ，求 出 AC 即可． 【解答】解：∵BC=8， ∴CD=4， 在△CBA 和△CAD 中， ∵∠B=∠DAC，∠C=∠C， ∴△CBA∽△CAD， ∴ = ， ∴AC2=CD•BC=4×8=32， ∴AC=4 ； 故选 B． 9．一段笔直的公路 AC 长 20 千米，途中有一处休息点 B，AB 长 15 千米，甲、乙两名长跑 爱好者同时从点 A 出发，甲以 15 千米/时的速度匀速跑至点 B，原地休息半小时后，再以 10 千米/时的速度匀速跑至终点 C；乙以 12 千米/时的速度匀速跑至终点 C，下列选项中， 能正确反映甲、乙两人出发后 2 小时内运动路程 y（千米）与时间 x（小时）函数关系的图 象是（ ） A． B． C． D． 【考点】函数的图象． 【分析】分别求出甲乙两人到达 C 地的时间，再结合已知条件即可解决问题． 【解答】解；由题意，甲走了 1 小时到了 B 地，在 B 地休息了半个小时，2 小时正好走到 C 地，乙走了 小时到了 C 地，在 C 地休息了 小时． 由此可知正确的图象是 A． 故选 A． 10．如图，Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足 ∠PAB=∠PBC，则线段 CP 长的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 【考点】点与圆的位置关系；圆周角定理． 【分析】首先证明点 P 在以 AB 为直径的⊙O 上，连接 OC 与⊙O 交于点 P，此时 PC 最小， 利用勾股定理求出 OC 即可解决问题． 【解答】解：∵∠ABC=90°， ∴∠ABP+∠PBC=90°， ∵∠PAB=∠PBC， ∴∠BAP+∠ABP=90°， ∴∠APB=90°， ∴点 P 在以 AB 为直径的⊙O 上，连接 OC 交⊙O 于点 P，此时 PC 最小， 在 RT△BCO 中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3， ∴OC= =5， ∴PC=OC=OP=5﹣3=2． ∴PC 最小值为 2． 故选 B． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 11．不等式 x﹣2≥1 的解集是 x≥3 ． 【考点】解一元一次不等式． 【分析】不等式移项合并，即可确定出解集． 【解答】解：不等式 x﹣2≥1， 解得：x≥3， 故答案为：x≥3 12．因式分解：a3﹣a= a（a+1）（a﹣1） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】原式提取 a，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式=a（a2﹣1）=a（a+1）（a﹣1）， 故答案为：a（a+1）（a﹣1） 13．如图，已知⊙O 的半径为 2，A 为⊙O 外一点，过点 A 作⊙O 的一条切线 AB，切点是 B，AO 的延长线交⊙O 于点 C，若∠BAC=30°，则劣弧 的长为 ． 【考点】切线的性质；弧长的计算． 【分析】根据已知条件求出圆心角∠BOC 的大小，然后利用弧长公式即可解决问题． 【解答】解：∵AB 是⊙O 切线， ∴AB⊥OB， ∴∠ABO=90°， ∵∠A=30°， ∴∠AOB=90°﹣∠A=60°， ∴∠BOC=120°， ∴ 的长为 = ． 故答案为 ． 14．如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=6，BC=10，点 E 在 CD 上，将△BCE 沿 BE 折叠， 点 C 恰落在边 AD 上的点 F 处；点 G 在 AF 上，将△ABG 沿 BG 折叠，点 A 恰落在线段 BF 上的点 H 处，有下列结论： ①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG= S△FGH；④AG+DF=FG． 其中正确的是 ①③④ ．（把所有正确结论的序号都选上） 【考点】相似形综合题． 【分析】由折叠性质得∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，则在 Rt△ABF 中利用勾股定理可计 算出 AF=8，所以 DF=AD﹣AF=2，设 EF=x，则 CE=x，DE=CD﹣CE=6﹣x，在 Rt△DEF 中利用勾股定理得（6﹣x）2+22=x2，解得 x= ，即 ED= ；再利用折叠性质得∠3=∠4， BH=BA=6，AG=HG，易得∠2+∠3=45°，于是可对①进行判断；设 AG=y，则 GH=y，GF=8 ﹣y，在 Rt△HGF 中利用勾股定理得到 y2+42=（8﹣y）2，解得 y=3，则 AG=GH=3，GF=5， 由于∠A=∠D 和 ≠ ，可判断△ABG 与△DEF 不相似，则可对②进行判断；根据三角 形面积公式可对③进行判断；利用 AG=3，GF=5，DF=2 可对④进行判断． 【解答】解：∵△BCE 沿 BE 折叠，点 C 恰落在边 AD 上的点 F 处， ∴∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10， 在 Rt△ABF 中，∵AB=6，BF=10， ∴AF= =8， ∴DF=AD﹣AF=10﹣8=2， 设 EF=x，则 CE=x，DE=CD﹣CE=6﹣x， 在 Rt△DEF 中，∵DE2+DF2=EF2， ∴（6﹣x）2+22=x2，解得 x= ， ∴ED= ， ∵△ABG 沿 BG 折叠，点 A 恰落在线段 BF 上的点 H 处， ∴∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG， ∴∠2+∠3= ∠ABC=45°，所以①正确； HF=BF﹣BH=10﹣6=4， 设 AG=y，则 GH=y，GF=8﹣y， 在 Rt△HGF 中，∵GH2+HF2=GF2， ∴y2+42=（8﹣y）2，解得 y=3， ∴AG=GH=3，GF=5， ∵∠A=∠D， = = ， = ， ∴ ≠ ， ∴△ABG 与△DEF 不相似，所以②错误； ∵S△ABG= •6•3=9，S△FGH= •GH•HF= ×3×4=6， ∴S△ABG= S△FGH，所以③正确； ∵AG+DF=3+2=5，而 GF=5， ∴AG+DF=GF，所以④正确． 故答案为①③④． 三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 15．计算：（﹣2016）0+ +tan45°． 【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值． 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及立方根的性质分别化简求出答案． 【解答】解：（﹣2016）0+ +tan45° =1﹣2+1 =0． 16．解方程：x2﹣2x=4． 【考点】解一元二次方程-配方法；零指数幂． 【分析】在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就 是常数，然后利用平方根的定义即可求解 【解答】解：配方 x2﹣2x+1=4+1 ∴（x﹣1）2=5 ∴x=1± ∴x1=1+ ，x2=1﹣ ． 四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 17．如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 12×12 网格中，给出了四边形 ABCD 的两条边 AB 与 BC，且四边形 ABCD 是一个轴对称图形，其对称轴为直线 AC． （1）试在图中标出点 D，并画出该四边形的另两条边； （2）将四边形 ABCD 向下平移 5 个单位，画出平移后得到的四边形 A′B′C′D′． 【考点】作图-平移变换． 【分析】（1）画出点 B 关于直线 AC 的对称点 D 即可解决问题． （2）将四边形 ABCD 各个点向下平移 5 个单位即可得到四边形 A′B′C′D′． 【解答】解：（1）点 D 以及四边形 ABCD 另两条边如图所示． （2）得到的四边形 A′B′C′D′如图所示． 18．（1）观察下列图形与等式的关系，并填空： （2）观察下图，根据（1）中结论，计算图中黑球的个数，用含有 n 的代数式填空： 1+3+5+…+（2n﹣1）+（ 2n+1 ）+（2n﹣1）+…+5+3+1= 2n2+2n+1 ． 【考点】规律型：图形的变化类． 【分析】（1）根据 1+3+5+7=16 可得出 16=42；设第 n 幅图中球的个数为 an，列出部分 an 的 值，根据数据的变化找出变化规律“an﹣1=1+3+5+…+（2n﹣1）=n2”，依此规律即可解决问题； （2）观察（1）可将（2）图中得黑球分三部分，1 到 n 行，第 n+1 行，n+2 行到 2n+1 行， 再结合（1）的规律即可得出结论． 【解答】解：（1）1+3+5+7=16=42， 设第 n 幅图中球的个数为 an， 观察，发现规律：a1=1+3=22，a2=1+3+5=32，a3=1+3+5+7=42，…， ∴an﹣1=1+3+5+…+（2n﹣1）=n2． 故答案为：42；n2． （2）观察图形发现： 图中黑球可分三部分，1 到 n 行，第 n+1 行，n+2 行到 2n+1 行， 即 1+3+5+…+（2n﹣1）+[2（n+1）﹣1 ] +（2n﹣1）+…+5+3+1， =1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3+1， =an﹣1+（2n+1）+an﹣1， =n2+2n+1+n2， =2n2+2n+1． 故答案为：2n+1；2n2+2n+1． 五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分） 19．如图，河的两岸 l1 与 l2 相互平行，A、B 是 l1 上的两点，C、D 是 l2 上的两点，某人在 点 A 处测得∠CAB=90°，∠DAB=30°，再沿 AB 方向前进 20 米到达点 E（点 E 在线段 AB 上），测得∠DEB=60°，求 C、D 两点间的距离． 【考点】两点间的距离． 【分析】直接利用等腰三角形的判定与性质得出 DE=AE=20，进而求出 EF 的长，再得出四 边形 ACDF 为矩形，则 CD=AF=AE+EF 求出答案． 【解答】解：过点 D 作 l1 的垂线，垂足为 F， ∵∠DEB=60°，∠DAB=30°， ∴∠ADE=∠DEB﹣∠DAB=30°， ∴△ADE 为等腰三角形， ∴DE=AE=20， 在 Rt△DEF 中，EF=DE•cos60°=20× =10， ∵DF⊥AF， ∴∠DFB=90°， ∴AC∥DF， 由已知 l1∥l2， ∴CD∥AF， ∴四边形 ACDF 为矩形，CD=AF=AE+EF=30， 答：C、D 两点间的距离为 30m． 20．如图，一次函数 y=kx+b 的图象分别与反比例函数 y= 的图象在第一象限交于点 A（4， 3），与 y 轴的负半轴交于点 B，且 OA=OB． （1）求函数 y=kx+b 和 y= 的表达式； （2）已知点 C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点 M，使得 MB=MC，求此时点 M 的坐标． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）设点 M 的坐标为（x，2x﹣5），根据 MB=MC，得到 ，即可解答． 【解答】解：（1）把点 A（4，3）代入函数 y= 得：a=3×4=12， ∴y= ． OA= =5， ∵OA=OB， ∴OB=5， ∴点 B 的坐标为（0，﹣5）， 把 B（0，﹣5），A（4，3）代入 y=kx+b 得： 解得： ∴y=2x﹣5． （2）∵点 M 在一次函数 y=2x﹣5 上， ∴设点 M 的坐标为（x，2x﹣5）， ∵MB=MC， ∴ 解得：x=2.5， ∴点 M 的坐标为（2.5，0）． 六、（本大题满分 12 分） 21．一袋中装有形状大小都相同的四个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是 1，4，7， 8．现规定从袋中任取一个小球，对应的数字作为一个两位数的个位数；然后将小球放回袋 中并搅拌均匀，再任取一个小球，对应的数字作为这个两位数的十位数． （1）写出按上述规定得到所有可能的两位数； （2）从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于 4 且小于 7 的概率． 【考点】列表法与树状图法；算术平方根． 【分析】（1）利用树状图展示所有 16 种等可能的结果数，然后把它们分别写出来； （2）利用算术平方根的定义找出大于 16 小于 49 的数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）画树状图： 共有 16 种等可能的结果数，它们是：11，41，71，81，14，44，74，84，17，47，77，87， 18，48，78，88； （2）算术平方根大于 4 且小于 7 的结果数为 6， 所以算术平方根大于 4 且小于 7 的概率= = ． 七、（本大题满分 12 分） 22．如图，二次函数 y=ax2+bx 的图象经过点 A（2，4）与 B（6，0）． （1）求 a，b 的值； （2）点 C 是该二次函数图象上 A，B 两点之间的一动点，横坐标为 x（2＜x＜6），写出四 边形 OACB 的面积 S 关于点 C 的横坐标 x 的函数表达式，并求 S 的最大值． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值． 【分析】（1）把 A 与 B 坐标代入二次函数解析式求出 a 与 b 的值即可； （2）如图，过 A 作 x 轴的垂直，垂足为 D（2，0），连接 CD，过 C 作 CE⊥AD，CF⊥x 轴，垂足分别为 E，F，分别表示出三角形 OAD，三角形 ACD，以及三角形 BCD 的面积， 之和即为 S，确定出 S 关于 x 的函数解析式，并求出 x 的范围，利用二次函数性质即可确定 出 S 的最大值，以及此时 x 的值． 【解答】解：（1）将 A（2，4）与 B（6，0）代入 y=ax2+bx， 得 ，解得： ； （2）如图，过 A 作 x 轴的垂直，垂足为 D（2，0），连接 CD，过 C 作 CE⊥AD，CF⊥x 轴，垂足分别为 E，F， S△OAD= OD•AD= ×2×4=4； S△ACD= AD•CE= ×4×（x﹣2）=2x﹣4； S△BCD= BD•CF= ×4×（﹣ x2+3x）=﹣x2+6x， 则 S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x﹣4﹣x2+6x=﹣x2+8x， ∴S 关于 x 的函数表达式为 S=﹣x2+8x（2＜x＜6）， ∵S=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16， ∴当 x=4 时，四边形 OACB 的面积 S 有最大值，最大值为 16． 八、（本大题满分 14 分） 23．如图 1，A，B 分别在射线 OA，ON 上，且∠MON 为钝角，现以线段 OA，OB 为斜边 向∠MON 的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点 C，D，E 分别是 OA， OB，AB 的中点． （1）求证：△PCE≌△EDQ； （2）延长 PC，QD 交于点 R． ①如图 1，若∠MON=150°，求证：△ABR 为等边三角形； ②如图 3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON 大小和 的值． 【考点】相似形综合题． 【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到 DE=OC，∥OC，CE=OD，CE∥OD，推出四边 形 ODEC 是平行四边形，于是得到∠OCE=∠ODE，根据等腰直角三角形的定义得到 ∠PCO=∠QDO=90°，根据等腰直角三角形的性质得到得到 PC=ED，CE=DQ，即可得到结 论 （2）①连接 RO，由于 PR 与 QR 分别是 OA，OB 的垂直平分线，得到 AP=OR=RB，由等 腰三角形的性质得到∠ARC=∠ORC，∠ORQ=∠BRO，根据四边形的内角和得到 ∠CRD=30°，即可得到结论； ②由（1）得，EQ=EP，∠DEQ=∠CPE，推出∠PEQ=∠ACR=90°，证得△PEQ 是等腰直角 三角形，根据相似三角形的性质得到 ARB=∠PEQ=90°，根据四边形的内角和得到 ∠MON=135°，求得∠APB=90°，根据等腰直角三角形的性质得到结论． 【解答】（1）证明：∵点 C、D、E 分别是 OA，OB，AB 的中点， ∴DE=OC，∥OC，CE=OD，CE∥OD， ∴四边形 ODEC 是平行四边形， ∴∠OCE=∠ODE， ∵△OAP，△OBQ 是等腰直角三角形， ∴∠PCO=∠QDO=90°， ∴∠PCE=∠PCO+∠OCE=∠QDO=∠ODQ=∠EDQ， ∵PC= AO=OC=ED，CE=OD= OB=DQ， 在△PCE 与△EDQ 中， ， ∴△PCE≌△EDQ； （2）①如图 2，连接 RO， ∵PR 与 QR 分别是 OA，OB 的垂直平分线， ∴AP=OR=RB， ∴∠ARC=∠ORC，∠ORQ=∠BRO， ∵∠RCO=∠RDO=90°，∠COD=150°， ∴∠CRD=30°， ∴∠ARB=60°， ∴△ARB 是等边三角形； ②由（1）得，EQ=EP，∠DEQ=∠CPE， ∴∠PEQ=∠CED﹣∠CEP﹣∠DEQ=∠ACE﹣∠CEP﹣∠CPE=∠ACE﹣ ∠RCE=∠ACR=90°， ∴△PEQ 是等腰直角三角形，∵△ARB∽△PEQ，∴∠ARB=∠PEQ=90°， ∴∠OCR=∠ODR=90°，∠CRD= ∠ARB=45°， ∴∠MON=135°， 此时 P，O，B 在一条直线上，△PAB 为直角三角形，且∠APB=90°， ∴AB=2PE=2× PQ= PQ，∴ = ． 2016 年 6 月 25 日