2016年岳阳市中考数学试题解析版

2016 年湖南省岳阳市中考数学试卷 一、选择题（本大题 8 道小题，每小题 3 分，满分 24 分） 1．下列各数中为无理数的是（ ） A．﹣1 B．3.14 C．π D．0 2．下列运算结果正确的是（ ） A．a2+a3=a5 B．（a2）3=a6 C．a2•a3=a6 D．3a﹣2a=1 3．函数 y= 中自变量 x 的取值范围是（ ） A．x≥0 B．x＞4 C．x＜4 D．x≥4 4．某小学校足球队 22 名队员年龄情况如下： 年龄（岁） 12 11 10 9 人数 4 10 6 2 则这个队队员年龄的众数和中位数分别是（ ） A．11，10 B．11，11 C．10，9 D．10，11 5．如图是某几何体的三视图，则该几何体可能是（ ） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．长方体 6．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ） A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm 7．下列说法错误的是（ ） A．角平分线上的点到角的两边的距离相等 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．菱形的对角线相等 D．平行四边形是中心对称图形 8．对于实数 a，b，我们定义符号 max{a，b}的意义为：当 a≥b 时，max{a，b}=a；当 a＜b 时，max{a，b ] =b；如：max{4，﹣2}=4，max{3，3}=3，若关于 x 的函数为 y=max{x+3， ﹣x+1}，则该函数的最小值是（ ） A．0 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分） 9．如图所示，数轴上点 A 所表示的数的相反数是 ． 10．因式分解：6x2﹣3x= ． 11．在半径为 6cm 的圆中，120°的圆心角所对的弧长为 cm． 12．为加快“一极三宜”江湖名城建设，总投资 124000 万元的岳阳三荷机场及交通产业园， 预计 2016 年建好主体工程，将 124000 万元用科学记数法表示为 元． 13．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BCD=110°，则∠BAD= 度． 14．如图，一山坡的坡度为 i=1： ，小辰从山脚 A 出发，沿山坡向上走了 200 米到达点 B， 则小辰上升了 米． 15．如图，一次函数 y=kx+b（k、b 为常数，且 k≠0）和反比例函数 y= （x＞0）的图象交 于 A、B 两点，利用函数图象直接写出不等式 ＜kx+b 的解集是 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为 1 个单位长，P1，P2，P3，…， 均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1， ﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据这个规律，点 P2016 的坐标为 ． 三、解答题（本大题共 8 道小题，满分 64 分） 17．计算：（ ）﹣1﹣ +2tan60°﹣（2﹣ ）0． 18．已知：如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，且 BE=CF，EF⊥DF， 求证：BF=CD． 19．已知不等式组 （1）求不等式组的解集，并写出它的所有整数解； （2）在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘，请用画树状图或列表的方法求 积为正数的概率． 20．我市某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．已知 学校与君山岛相距 24 千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均 速度是学生步行平均速度的 2.5 倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务 人员所花时间比学生少用了 3.6 小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时． 21．某学校环保志愿者协会对该市城区的空气质量进行调查，从全年 365 天中随机抽取了 80 天的空气质量指数（AQI）数据，绘制出三幅不完整的统计图表．请根据图表中提供的信 息解答下列问题： AQI 指数 质量等级 天数（天） 0﹣50 优 m 51﹣100 良 44 101﹣150 轻度污染 n 151﹣200 中度污染 4 201﹣300 重度污染 2 300 以上 严重污染 2 （1 ）统计表中 m= ，n= ．扇形统计图中，空气质量等级为“良” 的天数占 %； （2）补全条形统计图，并通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共 多少天？ （3）据调查，严重污染的 2 天发生在春节期间，燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原 因，据此，请你提出一条合理化建议． 22．已知关于 x 的方程 x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）已知方程的一个根为 x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5 的值（要 求先化简再求值）． 23．数学活动﹣旋转变换 （1）如图①，在△ABC 中，∠ABC=130°，将△ABC 绕点 C 逆时针旋转 50°得到△A′B′C， 连接 BB′，求∠A′B′B 的大小； （2）如图②，在△ABC 中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，将△ABC 绕点 C 逆时针旋转 60°得到△A′B′C，连接 BB′，以 A′为圆心，A′B′长为半径作圆． （Ⅰ）猜想：直线 BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论； （Ⅱ）连接 A′B，求线段 A′B 的长度； （3）如图③，在△ABC 中，∠ABC=α（90°＜α＜180°），AB=m，BC=n，将△ABC 绕点 C 逆时针旋转 2β角度（0°＜2β＜180°）得到△A′B′C，连接 A′B 和 BB′，以 A′为圆心，A′B′长 为半径作圆，问：角α与角β满足什么条件时，直线 BB′与⊙A′相切，请说明理由，并求此条 件下线段 A′B 的长度（结果用角α或角β的三角函数及字母 m、n 所组成的式子表示） 24．如图①，直线 y= x+4 交于 x 轴于点 A，交 y 轴于点 C，过 A、C 两点的抛物线 F1 交 x 轴于另一点 B（1，0）． （1）求抛物线 F1 所表示的二次函数的表 达式； （2）若点 M 是抛物线 F1 位于第二象限图象上的一点，设四边形 MAOC 和△BOC 的面积 分别为 S 四边形 MAOC 和 S△BOC，记 S=S 四边形 MAOC﹣S△BOC，求 S 最大时点 M 的坐标及 S 的最 大值； （3）如图②，将抛物线 F1 沿 y 轴翻折并“复制”得到抛物线 F2，点 A、B 与（2）中所求的 点 M 的对应点分别为 A′、B′、M′，过点 M′作 M′E⊥x 轴于点 E，交直线 A′C 于点 D，在 x 轴上是否存在点 P，使得以 A′、D、P 为顶点的三角形与△AB′C 相似？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 2016 年湖南省岳阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题 8 道小题，每小题 3 分，满分 24 分） 1．下列各数中为无理数的是（ ） A．﹣1 B．3.14 C．π D．0 【考点】无理数． 菁优网版 权所有 【分析】π是圆周率，是无限不循环小数，所以π是无理数． 【解答】解：∵π是无限不循环小数， ∴π是无理数． 故选 C． 2．下列运算结果正确的是（ ） A．a2+a3=a5 B．（a2）3=a6 C．a2•a3=a6 D．3a﹣2a=1 【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法． 菁优网版 权所有 【分析】利用幂的有关运算性质逐一计算后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、a2 与 a3 不是同类项，不能合并，故错误； B、（a2）3=a6，正确，符合题意； C、a2•a3=a5，故错误； D、3a﹣2a=a，故错误， 故选 B． 3．函数 y= 中自变量 x 的取值范围是（ ） A．x≥0 B．x＞4 C．x＜4 D．x≥4 【考点】函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件． 菁优网版 权所有 【分析】根据二次根式有意义的条件可得出 x﹣4≥0，解该不等式即可得出结论． 【解答】解：∵x﹣4≥0， ∴x≥4． 故选 D． 4．某小学校足球队 22 名队员年龄情况如下： 年龄（岁） 12 11 10 9 人数 4 10 6 2 则这个队队员年龄的众数和中位数分别是（ ） A．11，10 B．11，11 C．10，9 D．10，11 【考点】众数；中位数．菁优网版 权所有 【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可． 【解答】解：年龄是 11 岁的人数最多，有 10 个人，则众数是 11； 把这些数从小到大排列，中位数是第 11，12 个数的平均数， 则中位数是 =11； 故选 B． 5．如图是某几何体的三视图，则该几何体可能是（ ） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．长方体 【考点】由三视图判断几何体． 菁优网版 权所有 【分析】根据一个空间几何体的主视图和俯视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是 柱体，进而根据左视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案． 【解答】解：∵几何体的主视图和俯视图都是宽度相等的长方形， ∴该几何体是一个柱体， 又∵俯视图是一个圆， ∴该几何体是一个圆柱． 故选 A． 6．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ） A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm 【考点】三角形三边关系． 菁优网版 权所有 【分析】依据三角形任意两边之和大于第三边求解即可． 【解答】解：A、因为 2+3=5，所以不能构成三角形，故 A 错误； B、因为 2+4＜6，所以不能构成三角形，故 B 错误； C、因为 3+4＜8，所以不能构成三角形，故 C 错误； D、因为 3+3＞4，所以能构成三角形，故 D 正确． 故选：D． 7．下列说法错误的是（ ） A．角平分线上的点到角的两边的距离相等 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．菱形的对角线相等 D．平行四边形是中心对称图形 【考点】中心对称图形；角平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；菱形的性质．菁优网版 权所有 【分析】A：根据角平分线的性质，可得角平分线上的点到角的两边的距离相等． B：根据直角三角形斜边上的中线的性质，可得直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． C：根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直，但是不一定相等． D：根据中心对称图形的性质，可得常见的中心对称图形有：平行四边形、圆形、正方形、 长方形，据此判断即可． 【解答】解：∵角平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴选项 A 正确； ∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴选项 B 正确； ∵菱形的对角线互相垂直，但是不一定相等， ∴选项 C 不正确； ∵平行四边形是中心对称图形， ∴选项 D 正确． 故选：C． 8．对于实数 a，b，我们定义符号 max{a，b}的意义为：当 a≥b 时，max{a，b}=a；当 a＜b 时，max{a，b ] =b；如：max{4，﹣2}=4，max{3，3}=3，若关于 x 的函数为 y=max{x+3， ﹣x+1}，则该函数的最小值是（ ） A．0 B．2 C．3 D．4 【考点】分段函数．菁优网版 权所有 【分析】分 x≥﹣1 和 x＜﹣1 两种情况进行讨论计算， 【解答】解：当 x+3≥﹣x+1， 即：x≥﹣1 时，y=x+3， ∴当 x=﹣1 时，ymin=2， 当 x+3＜﹣x+1， 即：x＜﹣1 时，y=﹣x+1， ∵x＜﹣1， ∴﹣x＞1， ∴﹣x+1＞2， ∴y＞2， ∴ymin=2， 故选 B 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分） 9．如图所示，数轴上点 A 所表示的数的相反数是 2 ． 【考点】相反数；数轴．菁优网版 权所有 【分析】根据相反数的定义，即可解答． 【解答】解：数轴上点 A 所表示的数是﹣2，﹣2 的相反数是 2， 故答案为：2． 10．因式分解：6x2﹣3x= 3x（2x﹣1） ． 【考点】因式分解-提公因式法． 菁优网版 权所有 【分析】根据提公因式法因式分解的步骤解答即可． 【解答】解：6x2﹣3x=3x（2x﹣1）， 故答案为：3x（2x﹣1）． 11．在半径为 6cm 的圆中，120°的圆心角所对的弧长为 4π cm． 【考点】弧长的计算． 菁优网版 权所有 【分析】直接利用弧长公式求出即可． 【解答】解：半径为 6cm 的圆中，120°的圆心角所对的弧长为： =4π（cm）． 故答案为：4π． 12．为加快“一极三宜”江湖名城建设，总投资 124000 万元的岳阳三荷机场及交通产业园， 预计 2016 年建好主体工程，将 124000 万元用科学记数法表示为 1.24×109 元． 【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版 权所有 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数 绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：124000 万=124000 0000=1.24×109 ， 故答案为：1.24×109． 13．如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BCD=110°，则∠BAD= 70 度． 【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理． 菁优网版 权所有 【分析】根据圆内接四边形的对角互补求∠BAD 的度数即可． 【解答】解：∵四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形， ∴∠BCD+∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补）； 又∵∠BCD=110°， ∴∠BAD=70°． 故答案为：70． 14．如图，一山坡的坡度为 i=1： ，小辰从山脚 A 出发，沿山坡向上走了 200 米到达点 B， 则小辰上升了 100 米． 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 菁优网版 权所有 【分析】根据坡比的定义得到 tan∠A = ，∠A=30°，然后根据含 30 度的直角三角形三 边的关系求解． 【解答】解：根据题意得 tan∠A = = ， 所以∠A=30°， 所以 BC= AB= ×200=100（m）． 故答案为 100． 15．如图，一次函数 y=kx+b（k、b 为常数，且 k≠0）和反比例函数 y= （x＞0）的图象交 于 A、B 两点，利用函数图象直接写出不等式 ＜kx+b 的解集是 1＜x＜4 ． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 菁优网版 权所有 【分析】先根据图形得出 A、B 的坐标，根据两点的坐标和图形得出不等式的解集即可． 【解答】解：∵由图象可知：A（1，4），B（4，1），x＞0， ∴不等式 ＜kx+b 的解集为 1＜x＜4， 故答案为：1＜x＜4． 16．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为 1 个单位长，P1，P2，P3，…， 均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1， ﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据这个规律，点 P2016 的坐标为 ． 【考点】规律型：点的坐标．菁优网版 权所有 【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为 4 的倍数的点在第四象限的角平分线上，被 4 除余 1 的点在第三象限的角平分线上，被 4 除余 2 的点在第二象限的角平分线上，被 4 除 余 3 的点在第一象限的角平分线上，点 P2016 的在第四象限的角平分线上，且横纵坐标的绝 对值=2016÷4，再根据第四项象限内点的符号得出答案即可． 【解答】解：由规律可得，2016÷4=504， ∴点 P2016 的在第四象限的角平分线上， ∵点 P4（1，﹣1），点 P8（2，﹣2），点 P12（3，﹣3）， ∴点 P2016， 故答案为． 三、解答题（本大题共 8 道小题，满分 64 分） 17．计算：（ ）﹣1﹣ +2tan60°﹣（2﹣ ）0． 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 菁优网版 权所有 【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式性质，以及特殊角的三角函数值 计算即可得到结果． 【解答】解：原式=3﹣2 +2 ﹣1 =2． 18．已知：如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，且 BE=CF，EF⊥DF， 求证：BF=CD． 【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质． 菁优网版 权所有 【分析】由四边形 ABCD 为矩形，得到四个角为直角，再由 EF 与 FD 垂直，利用平角定义 得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用 ASA 得到三角形 BEF 与三角 形 CFD 全等，利用全等三角形对应边相等即可得证． 【解答】证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠B=∠C=90°， ∵EF⊥DF， ∴∠EFD=90°， ∴∠EFB+∠CFD=90°， ∵∠EFB+∠BEF=90°， ∴∠BEF=∠CFD， 在△BEF 和△CFD 中， ， ∴△BEF≌△CFD（ASA）， ∴BF=CD． 19．已知不等式组 （1）求不等式组的解集，并写出它的所有整数解； （2）在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘，请用画树状图或列表的方法求 积为正数的概率． 【考点】列表法与树状图法；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解． 菁优网版 权所有 【分析】（1）首先分别解不等式①②，然后求得不等式组的解集，继而求得它的所有整数 解； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与积为正数的情况， 再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）由①得：x＞﹣2， 由②得：x≤2， ∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤2， ∴它的所有整数解为：﹣1，0，1，2； （2）画树状图得： ∵共有 12 种等可能的结果，积为正数的有 2 种情况， ∴积为正数的概率为： = ． 20．我市某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．已知 学校与君山岛相距 24 千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均 速度是学生步行平均速度的 2.5 倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务 人员所花时间比学生少用了 3.6 小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时． 【考点】分式方程的应用． 菁优网版 权所有 【分析】设学生步行的平均速度是每小时 x 千米，服务人员骑自行车的平均速度是每小时 2.5x 千米，根据学校与君山岛距离为 24 千米，服务人员所花时间比学生少用了 3.6 小时， 可列方程求解． 【解答】解：设学生步行的平均速度是每小时 x 千米． 服务人员骑自行车的平均速度是每小时 2.5x 千米， 根据题意： ﹣ =3.6， 解得：x=3， 经检验，x=3 是所列方程的解，且符合题意． 答：学生步行的平均速度是每小时 3 千米． 21．某学校环保志愿者协会对该市城区的空气质量进行调查，从全年 365 天中随机抽取了 80 天的空气质量指数（AQI）数据，绘制出三幅不完整的统计图表．请根据图表中提供的信 息解答下列问题： AQI 指数 质量等级 天数（天） 0﹣50 优 m 51﹣100 良 44 101﹣150 轻度污染 n 151﹣200 中度污染 4 201﹣300 重度污染 2 300 以上 严重污染 2 （1 ）统计表中 m= 20 ，n= 8 ．扇形统计图中，空气质量等级为“良”的天数占 55 %； （2）补全条形统计图，并通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共 多少天？ （3）据调查，严重污染的 2 天发生在春节期间，燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原 因，据此，请你提出一条合理化建议． 【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 菁优网版 权所有 【分析】（1）由 A 占 25%，即可求得 m 的值，继而求得 n 的值，然后求得空气质量等级为 “良”的天数占的百分比； （2）首先由（1）补全统计图，然后利用样本估计总体的知识求解即可求得答案； （3）提出合理建议，比如不燃放烟花爆竹或少燃放烟花爆竹等． 【解答】解：（1）∵m=80×25%=20，n=80﹣20﹣44﹣4﹣2﹣2=8， ∴空气质量等级为“良”的天数占： ×100%=55%． 故答案为：20，8，55； （2）估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共：365×（25%+55%）=292（天）， 答：估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共 292 天； 补全统计图： （3）建议不要燃放烟花爆竹． 22．已知关于 x 的方程 x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）已知方程的一个根为 x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5 的值（要 求先化简再求值）． 【考点】根的判别式；一元二次方程的解．菁优网版 权所有 【分析】（1）找出 a，b 及 c，表示出根的判别式，变形后得到其值大于 0，即可得证． （2）把 x=0 代入方程即可求 m 的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可． 【解答】解：（1）∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0． ∴△=（2m+1）2﹣4m（m+1）=1＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）∵x=0 是此方程的一个根， ∴把 x=0 代入方程中得到 m（m+1）=0， ∴m=0 或 m=﹣1， 把 m=0 或 m=﹣1 代入（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=4m2﹣4m+1+9﹣m2+7m﹣ 5=3m2+3m+5， 可得：（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=5，或（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=3 ﹣3+5=5． 23．数学活动﹣旋转变换 （1）如图①，在△ABC 中，∠ABC=130°，将△ABC 绕点 C 逆时针旋转 50°得到△A′B′C， 连接 BB′，求∠A′B′B 的大小； （2）如图②，在△ABC 中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，将△ABC 绕点 C 逆时针旋转 60°得到△A′B′C，连接 BB′，以 A′为圆心，A′B′长为半径作圆． （Ⅰ）猜想：直线 BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论； （Ⅱ）连接 A′B，求线段 A′B 的长度； （3）如图③，在△ABC 中，∠ABC=α（90°＜α＜180°），AB=m，BC=n，将△ABC 绕点 C 逆时针旋转 2β角度（0°＜2β＜180°）得到△A′B′C，连接 A′B 和 BB′，以 A′为圆心，A′B′长 为半径作圆，问：角α与角β满足什么条件时，直线 BB′与⊙A′相切，请说明理由，并求此条 件下线段 A′B 的长度（结果用角α或角β的三角函数及字母 m、n 所组成的式子表示） 【考点】圆的综合题． 菁优网版 权所有 【分析】（1）根据∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C，只要求出∠A′B′B 即可． （2）（Ⅰ）结论：直线 BB′、是⊙A′的切线．只要证明∠A′B′B=90°即可．（Ⅱ）在 RT△ABB′ 中，利用勾股定理计算即可． （3）如图③中，当α+β=180°时，直线 BB′、是⊙A′的切线．只要证明∠A′B′B=90°即可解决 问题．在△CBB′中求出 BB′，再在 RT△A′B′B 中利用勾股定理即可． 【解答】解；（1）如图①中，∵△A′B′C 是由△ABC 旋转得到， ∴∠A′B′C=∠ABC=130°，CB=CB′， ∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=50°， ∴∠CBB′=∠CB′B=65°， ∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=65°． （2）（Ⅰ）结论：直线 BB′、是⊙A′的切线． 理由：如图②中，∵∠A′B′C=∠ABC=150°，CB=CB′， ∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=60°， ∴∠CBB′=∠CB′B=60°， ∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=90°． ∴AB′⊥BB′， ∴直线 BB′、是⊙A′的切线． （Ⅱ）∵在 RT△ABB′中，∵∠AB′B=90°，BB′=BC=5，AB′=AB=3， ∴A′B= = ． （3）如图③中，当α+β=180°时，直线 BB′、是⊙A′的切线． 理由：∵∠A′B′C=∠ABC=α，CB=CB′， ∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=2β， ∴∠CBB′=∠CB′B= ， ∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=α﹣90°+β=180°﹣90°=90°． ∴AB′⊥BB′， ∴直线 BB′、是⊙A′的切线． 在△CBB′中∵CB=CB′=n，∠BCB′=2β， ∴BB′=2•nsinβ， 在 RT△A′BB′中，A′B= = ． 24．如图①，直线 y= x+4 交于 x 轴于点 A，交 y 轴于点 C，过 A、C 两点的抛物线 F1 交 x 轴于另一点 B（1，0）． （1）求抛物线 F1 所表示的二次函数的表达式； （2）若点 M 是抛物线 F1 位于第二象限图象上的一点，设四边形 MAOC 和△BOC 的面积 分别为 S 四边形 MAOC 和 S△BOC，记 S=S 四边形 MAOC﹣S△BOC，求 S 最大时点 M 的坐标及 S 的最 大值； （3）如图②，将抛物线 F1 沿 y 轴翻折并“复制”得到抛物线 F2，点 A、B 与（2）中所求的 点 M 的对应点分别为 A′、B′、M′，过点 M′作 M′E⊥x 轴于点 E，交直线 A′C 于点 D，在 x 轴上是否存在点 P，使得以 A′、D、P 为顶点的三角形与△AB′C 相似？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题． 菁优网版 权所有 【分析】（1）利用一次函数的解析式求出点 A、C 的坐标，然后再利用 B 点坐标即可求出 二次函数的解析式； （2）由于 M 在抛物线 F1 上，所以可设 M（a，﹣ a2﹣ a+4），然后分别计算 S 四边形 MAOC 和 S△BOC，过点 M 作 MD⊥x 轴于点 D，则 S 四边形 MAOC 的值等于△ADM 的面积与梯形 DOCM 的面积之和． （3）由于没有说明点 P 的具体位置，所以需要将点 P 的位置进行分类讨论，当点 P 在 A′ 的右边时，此情况是不存在；当点 P 在 A′的左边时，此时∠DA′P=∠CAB′，若以 A′、D、P 为顶点的三角形与△AB′C 相似，则分为以下两种情况进行讨论：① = ； ② = ． 【解答】解：（1）令 y=0 代入 y= x+4， ∴x=﹣3， A（﹣3，0）， 令 x=0，代入 y= x+4， ∴y=4， ∴C（0，4）， 设抛物线 F1 的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1）， 把 C（0，4）代入上式得，a=﹣ ， ∴y=﹣ x2﹣ x+4， （2）如图①，设点 M（a，﹣ a2﹣ a+4） 其中﹣3＜a＜0 ∵B（1，0），C（0，4）， ∴OB=1，OC=4 ∴S△BOC= OB•OC=2， 过点 M 作 MD⊥x 轴于点 D， ∴MD=﹣ a2﹣ a+4，AD=a+3，OD=﹣a， ∴S 四边形 MAOC= AD•MD+ （MD+OC）•OD = AD•MD+ OD•MD+ OD•OC = + = + = ×3（﹣ a2﹣ a+4）+ ×4×（﹣a） =﹣2a2﹣6a+6 ∴S=S 四边形 MAOC﹣S△BOC =（﹣2a2﹣6a+6）﹣2 =﹣2a2﹣6a+4 =﹣2（a+ ）2+ ∴当 a=﹣ 时， S 有最大值，最大值为 此时，M（﹣ ，5）； （3）如图②，由题意知：M′（ ），B′（﹣1，0），A′（3，0） ∴AB′=2 设直线 A′C 的解析式为：y=kx+b， 把 A′（3，0）和 C（0，4）代入 y=kx+b， 得： ， ∴ ∴y=﹣ x+4， 令 x= 代入 y=﹣ x+4， ∴y=2 ∴ 由勾股定理分别可求得：AC=5，DA′= 设 P（m，0） 当 m＜3 时， 此时点 P 在 A′的左边， ∴∠DA′P=∠CAB′， 当 = 时，△DA′P∽△CAB′， 此时， = （3﹣m）， 解得：m=2， ∴P（2，0） 当 = 时，△DA′P∽△B′AC， 此时， = （3﹣m） m=﹣ ， ∴P（﹣ ，0） 当 m＞3 时， 此时，点 P 在 A′右边， 由于∠CB′O≠∠DA′E， ∴∠AB′C≠∠DA′P ∴此情况，△DA′P 与△B′AC 不能相似， 综上所述，当以 A′、D、P 为顶点的三角形与△AB′C 相似时，点 P 的坐标为（2，0）或（﹣ ，0）． 2016 年 6 月 29 日