2016年内江市中考数学试题解析版

四川省内江市 2016 年中考数学试卷（解析版） A 卷(共 100 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 36 分) 1．－2016 的倒数是( ) A．－2016 B．－ 1 2016 C． 1 2016 D．2016 [答案]B [考点]实数的运算。 [解析]非零整数 n 的倒数是 1 n ，故－2016 的倒数是 1 2016 =－ 1 2016 ，故选 B． 2．2016 年“五一”假期期间，某市接待旅游总人数达到了 9180 000 人次，将 9180 000 用科学记数 法表示应为( ) A．918×104 B．9.18×105 C．9.18×106 D．9.18×107 [答案]C [考点]科学记数法。 [解析] 把一个大于 10 的数表示成 a×10n(1≤a＜10，n 是正整数)的形式，这种记数的方法叫科学记 数法．科学记数法中，a 是由原数的各位数字组成且只有一位整数的数，n 比原数的整数位数少 1．故 选 C． 3．将一副直角三角板如图 1 放置，使含 30°角的三角板的直角边和含 45°角的三角板一条直角边在 同一条直线上，则∠1 的度数为( ) A．75° B．65° C．45° D．30° [答案]A [考点]三角形的内角和、外角定理。 [解析]方法一：∠1 的对顶角所在的三角形中另两个角的度数分别为 60°，45°，∴∠1＝180°－(60° ＋45°)＝75°． 方法二：∠1 可看作是某个三角形的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和计算． 故选 A． 图 1 30° 45° 1 4．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A． B． C． D． [答案]A [考点]中心对称与轴对称图形。 [解析]选项 B 中的图形是轴对称图形，选项 C 中的图形是中心对称图形，选项 D 中的图形既不是轴 对称图形也不是中心对称图形．只有选项 A 中的图形符合题意． 故选 A． 5．下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是( ) A． B． C． D． [答案]B [考点]三视图。 [解析] 选项 A 选项 B 选项 C 选项 D 主视图 三角形 矩形 矩形 梯形 俯视图 圆(含圆心) 矩形 圆 矩形 故选 B． 6．在函数 y＝ 3 4 x x   中，自变量 x 的取值范围是( ) A．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3 且 x≠4 [答案]D [考点]二次根式与分式的意义。 [解析]欲使根式有意义，则需 x－3≥0；欲使分式有意义，则需 x－4≠0． ∴x 的取值范围是 3 0, 4 0. x x    ≥ ≠ 解得 x≥3 且 x≠4．故选 D． 7．某校有 25 名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，取前 13 名参加决赛，其中一名同学已经知道 自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这 25 名同学成绩的( ) A．最高分 B．中位数 C．方差 D．平均数 [答案]B [考点]统计。 [解析]这里中位数是预赛成绩排序后第 13 名同学的成绩，成绩大于中位数则能进入决赛，否则不能． 故选 B． 8．甲、乙两人同时分别从 A，B 两地沿同一条公路骑自行车到 C 地，已知 A，C 两地间的距离为 110 千米，B，C 两地间的距离为 100 千米，甲骑自行车的平均速度比乙快 2 千米/时，结果两人同时到 达 C 地，求两人的平均速度分别为多少．为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为 x 千米/时，由 题意列出方程，其中正确的是( ) A． 110 2x  ＝ 100 x B． 1100 x ＝ 100 2x  C． 110 2x  ＝100 x D． 1100 x ＝ 100 2x  [答案]A [考点]分式方程，应用题。 [解析]依题意可知甲骑自行车的平均速度为(x＋2)千米/时．因为他们同时到达 C 地，即甲行驶 110 千米所需的时间与乙行驶 100 千米所需时间相等，所以 110 2x  ＝100 x ． 故选 A． 9．下列命题中，真命题是( ) A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 [答案]C [考点]特殊四边形的判定。 [解析]满足选项 A 或选项 B 中的条件时，不能推出四边形是平行四边形，因此它们都是假命题．由 选项 D 中的条件只能推出四边形是菱形，因此也是假例题．只有选项 C 中的命题是真命题． 故选 C． 10．如图 2，点 A，B，C 在⊙O 上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为( ) A．π－4 B． 2 3 π－1 C．π－2 D． 2 3 π－2 O A CB 图 2 [答案]C [考点]同弧所对圆心与圆周角的关系，扇形面积公式、三角形面积公式。 [解析]∵∠O＝2∠A＝2×45°＝90°． ∴S 阴影＝S 扇形 OBC－S△OBC＝ 290 2 360   － 1 2 ×2×2＝π－2． 故选 C． 11．已知等边三角形的边长为 3，点 P 为等边三角形内任意一点，则点 P 到三边的距离之和为( ) A． 3 2 B． 3 3 2 C． 3 2 D．不能确定 [答案]B [考点]勾股定理，三角形面积公式，应用数学知识解决问题的能力。 [解析]如图，△ABC 是等边三角形，AB＝3，点 P 是三角形内任意一点，过点 P 分别向三边 AB，BC， CA 作垂线，垂足依次为 D，E，F，过点 A 作 AH⊥BC 于 H．则 BH＝ 3 2 ，AH＝ 2 2AB BH ＝ 3 3 2 ． 连接 PA，PB，PC，则 S△PAB＋S△PBC＋S△PCA＝S△ABC． ∴ 1 2 AB·PD＋ 1 2 BC·PE＋ 1 2 CA·PF＝ 1 2 BC·AH． ∴PD＋PE＋PF＝AH＝ 3 3 2 ． 故选 B． P B A D E F 答案图 CH 12．一组正方形按如图 3 所示的方式放置，其中顶点 B1 在 y 轴上，顶点 C1，E1，E2，C2，E3，E4， C3……在 x 轴上，已知正方形 A1B1C1D1 的边长为 1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方 形 A2016B2016C2016D2016 的边长是( ) A．( 1 2 )2015 B．( 1 2 )2016 C．( 3 3 )2016 D．( 3 3 )2015 xO y C1 D1 A1 B1 E1 E2 E3 E4C2 D2 A2 B2 C3 D3 A3 B3 图 3 [答案] D [考点]三角形的相似，推理、猜想。 [解析]易知△B2C2E2∽△C1D1E1，∴ 2 2 1 1 B C C D ＝ 2 2 1 1 B E C E ＝ 1 1 1 1 D E C E ＝ tan 30°． ∴B2C2＝C1D1· tan 30°＝ 3 3 ．∴C2D2＝ 3 3 ． 同理，B3C3＝C2D2· tan 30°＝( 3 3 )2； 由此猜想 BnCn＝( 3 3 )n－1． 当 n＝2016 时，B2016C2016＝( 3 3 )2015． 故选 D． 二、填空题(每小题 5 分，共 20 分) 13．分解因式：ax2－ay2＝______． [答案]a(x－y)(x＋y)． [考点]因式分解。 [解析]先提取公因式 a，再用平方差公式分解． 原式＝a(x2－y2)＝a(x－y)(x＋y)． 故选答案为：a(x－y)(x＋y)． 14．化简：( 2 3 a a  ＋ 9 3 a )÷ 3a a  ＝______． [答案]a． [考点]分式的化简。 [解析]先算小括号，再算除法． 原式＝( 2 3 a a  － 9 3a  )÷ 3a a  ＝ 2 9 3 a a   ÷ 3a a  ＝(a＋3)· 3 a a  ＝a． 故答案为：a． 15．如图 4，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点 E，则 OE＝______． D O C E B A 图 4 [答案]12 5 [考点]菱形的性质，勾股定理，三角形面积公式。 [解析]∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴OB＝3，OC＝4，∠BOC＝90°． ∴BC＝ 2 2OB OC ＝5． ∵S△OBC＝ 1 2 OB·OC，又 S△OBC＝ 1 2 BC·OE， ∴OB·OC＝BC·OE，即 3×4＝5OE． ∴OE＝12 5 ． 故答案为：12 5 ． 16．将一些半径相同的小圆按如图 5 所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形有______个小圆．(用 含 n 的代数式表示) 第 1 个图 第 2 个图 第 3 个图 第 4 个图 图 5 [答案] n2＋n＋4 [考点]规律探索。 [解析]每个图由外围的 4 个小圆和中间的“矩形”组成，矩形的面积等于长成宽．由此可知 第 1 个图中小圆的个数＝1×2＋4， 第 2 个图中小圆的个数＝2×3＋4， 第 3 个图中小圆的个数＝3×4＋4， …… 第 n 个图中小圆的个数＝n(n＋1)＋4＝n2＋n＋4． 故答案为：n2＋n＋4． 三、解答题(本大题共 5 小题，共 44 分) 17．(7 分)计算：|－3|＋ 3 · tan 30°－ 3 8 －(2016－π)0＋( 1 2 )－1． [考点]实数运算。 解：原式＝3＋ 3 × 3 3 －2－1＋2··································································5 分 ＝3＋1－2－1＋2·························································································· 6 分 ＝3．········································································································· 7 分 18．(9 分)如图 6 所示，△ABC 中，D 是 BC 边上一点，E 是 AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线交 CE 的延长线于 F，且 AF＝BD，连接 BF． (1)求证：D 是 BC 的中点； (2)若 AB＝AC，试判断四边形 AFBD 的形状，并证明你的结论． D C E F B A 图 6 [考点]三角形例行，特殊四边形的性质与判定。 (1)证明：∵点 E 是 AD 的中点，∴AE＝DE． ∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE． ∴△EAF≌△EDC．······················································································ 3 分 ∴AF＝DC． ∵AF＝BD， ∴BD＝DC，即 D 是 BC 的中点．···································································· 5 分 (2)四边形 AFBD 是矩形．证明如下： ∵AF∥BD，AF＝BD， ∴四边形 AFBD 是平行四边形．······································································ 7 分 ∵AB＝AC，又由(1)可知 D 是 BC 的中点， ∴AD⊥BC． ∴□AFBD 是矩形．······················································································ 9 分 19．(9 分)某学校为了增强学生体质，决定开放以下体育课外活动项目：A．篮球、B．乒乓球、C．跳 绳、D．踢毽子．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结 果绘制成了两幅不完整的统计图(如图 7(1)，图 7(2))，请回答下列问题： (1)这次被调查的学生共有_______人； (2)请你将条形统计图补充完整； (3)在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学任选两名参加 乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答)． 30° D CB A 图 7(1) 项目 人数/人 100 80 20 40 0 60 DA CB 20 40 80 图 7(2) [考点]统计图、概率。 解：(1)由扇形统计图可知：扇形 A 的圆心角是 36°， 所以喜欢 A 项目的人数占被调查人数的百分比＝ 36 360 ×100%＝10%．···················· 1 分 由条形图可知：喜欢 A 类项目的人数有 20 人， 所以被调查的学生共有 20÷10%＝200(人)．······················································ 2 分 (2)喜欢 C 项目的人数＝200－(20＋80＋40)＝60(人)，·········································· 3 分 因此在条形图中补画高度为 60 的长方条，如图所示． 项目 人数/人 100 80 20 40 0 60 DA CB 20 40 80 60 答案图 ··········································································· 4 分 (3)画树状图如下： 甲 乙 丙 丁 乙 甲 丙 丁 丙 甲 乙 丁 丁 甲 乙 丙 或者列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 分··················································································································7 从树状图或表格中可知，从四名同学中任选两名共有 12 种结果，每种结果出现的可能性相等，其中 选中甲乙两位同学(记为事件 A)有 2 种结果，所以 P(A)＝ 2 12 ＝ 1 6 ．·························································································· 9 分 20．(9 分)如图 8，禁渔期间，我渔政船在 A 处发现正北方向 B 处有一艘可疑船只，测得 A，B 两处 距离为 200 海里，可疑船只正沿南偏东 45°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东 30°方向前去拦截，经 历 4 小时刚好在 C 处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度(结果保留根号)． 北 C A B 30° 45° 图 8 北 C A B 30° 45° 答案图 H [考点]三角函数、解决实际问题。 解：如图，过点 C 作 CH⊥AB 于 H，则△BCH 是等腰直角三角形．设 CH＝x， 则 BH＝x，AH＝CH÷ tan 30°＝ 3 x．····························································· 2 分 ∵AB＝200，∴x＋ 3 x＝200． ∴x＝ 200 3 1 ＝100( 3 －1)．·········································································· 4 分 ∴BC＝ 2 x＝100( 6 － 2 )．······································································ 6 分 ∵两船行驶 4 小时相遇， ∴可疑船只航行的平均速度＝100( 6 － 2 )÷4＝45( 6 － 2 )．·························8 分 答：可疑船只航行的平均速度是每小时 45( 6 － 2 )海里．································· 9 分 21．(10 分)如图 9，在 Rt △ABC 中，∠ABC＝90°，AC 的垂直平分线分别与 AC，BC 及 AB 的延长 线相交于点 D，E，F．⊙O 是△BEF 的外接圆，∠EBF 的平分线交 EF 于点 G，交⊙O 于点 H，连 接 BD，FH． (1)试判断 BD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)当 AB＝BE＝1 时，求⊙O 的面积； (3)在(2)的条件下，求 HG·HB 的值． D G H O C E FBA 图 9 D G H O C E FBA 答案图 [考点]切线的性质与判定定理，三角形的全等，直角三角形斜边上中线定理、勾股定理。 (1)直线 BD 与⊙O 相切．理由如下： 如图，连接 OB，∵BD 是 Rt △ABC 斜边上的中线，∴DB＝DC． ∴∠DBC＝∠C． ∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB＝∠CED． ∵∠C＋∠CED＝90°， ∴∠DBC＋∠OBE＝90°． ∴BD 与⊙O 相切；·······················································································3 分 (2)连接 AE．∵AB＝BE＝1，∴AE＝ 2 ． ∵DF 垂直平分 AC，∴CE＝AE＝ 2 ．∴BC＝1＋ 2 ．····································· 4 分 ∵∠C＋∠CAB＝90°，∠DFA＋∠CAB＝90°， ∴∠CAB＝∠DFA． 又∠CBA＝∠FBE＝90°，AB＝BE， ∴△CAB≌△FEB．∴BF＝BC＝1＋ 2 ．·························································5 分 ∴EF2＝BE2＋BF2＝12＋(1＋ 2 )2＝4＋2 2 ．···················································6 分 ∴S⊙O＝ 1 4 π·EF2＝ 2 2 2  π．········································································ 7 分 (3)∵AB＝BE，∠ABE＝90°，∴∠AEB＝45°． ∵EA＝EC，∴∠C＝22.5°．··········································································· 8 分 ∴∠H＝∠BEG＝∠CED＝90°－22.5°＝67.5°． ∵BH 平分∠CBF，∴∠EBG＝∠HBF＝45°． ∴∠BGE＝∠BFH＝67.5°． ∴BG＝BE＝1，BH＝BF＝1＋ 2 ．·································································9 分 ∴GH＝BH－BG＝ 2 ． ∴HB·HG＝ 2 ×(1＋ 2 )＝2＋ 2 ．··························································10 分 B 卷 一、填空题(每小题 6 分，共 24 分) 22．任取不等式组 3 0, 2 5 0 k k    ≤ ＞ 的一个整数解，则能使关于 x 的方程：2x＋k＝－1 的解为非负数的概 率为______． [答案] 1 3 [考点]解不等式组，概率。 [解析]不等式组 3 0, 2 5 0 k k    ≤ ＞ 的解集为－ 5 2 ＜k≤3，其整数解为 k＝－2，－1，0，1，2，3． 其中，当 k＝－2，－1 时，方程 2x＋k＝－1 的解为非负数． 所以所求概率 P＝ 2 6 ＝ 1 3 ． 故答案为： 1 3 ． 23．如图 10，点 A 在双曲线 y＝ 5 x 上，点 B 在双曲线 y＝ 8 x 上，且 AB∥x 轴，则△OAB 的面积等于 ______． [答案] 3 2 [考点]反比例函数，三角形的面积公式。 [解析]设点 A 的坐标为(a， 5 a )． ∵AB∥x 轴，∴点 B 的纵坐标为 5 a ． 将 y＝ 5 a 代入 y＝ 8 x ，求得 x＝ 8 5 a ． ∴AB＝ 8 5 a －a＝ 3 5 a ． ∴S△OAB＝ 1 2 · 3 5 a · 5 a ＝ 3 2 ． 故答案为： 3 2 ． x y O 图 10 BA y＝ 8 x y＝ 5 x x y O－1 1 图 11 x y O C B A E D 图 12 24．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图 11 所示，且 P＝|2a＋b|＋|3b－2c|，Q＝|2a－b|－|3b＋ 2c|，则 P，Q 的大小关系是______． [答案]P＞Q [考点]二次函数的图象及性质。 [解析]∵抛物线的开口向下，∴a＜0．∵－ 2 b a ＝1，∴b＞0 且 a＝－ 2 b ． ∴|2a＋b|＝0，|2a－b|＝b－2a． ∵抛物线与 y 轴的正半轴相交，∴c＞0．∴|3b＋2c|＝3b＋2c． 由图象可知当 x＝－1 时，y＜0，即 a－b＋c＜0． ∴－ 2 b －b＋c＜0，即 3b－2c＞0．∴|3b－2c|＝3b－2c． ∴P＝0＋3b－2c＝3b－2c＞0， Q＝b－2a－(3b＋2c)＝－(b＋2c)＜0． ∴P＞Q． 故答案为：P＞Q． 25．如图 12 所示，已知点 C(1，0)，直线 y＝－x＋7 与两坐标轴分别交于 A，B 两点，D，E 分别是 AB，OA 上的动点，则△CDE 周长的最小值是______． [答案]10 [考点]勾股定理，对称问题。 [解析]作点 C 关于 y 轴的对称点 C1(－1，0)，点 C 关于 x 轴的对称点 C2，连接 C1C2 交 OA 于点 E， 交 AB 于点 D，则此时△CDE 的周长最小，且最小值等于 C1C2 的长． ∵OA＝OB＝7，∴CB＝6，∠ABC＝45°． ∵AB 垂直平分 CC2， ∴∠CBC2＝90°，C2 的坐标为(7，6)． 在 Rt △C1BC2 中，C1C2＝ 2 2 1 2C B C B ＝ 2 28 6 ＝10． 即△CDE 周长的最小值是 10． x y O 答案图 C B A E D C1 C2 故答案为：10． 二、解答题(每小题 12 分，共 36 分) 26．(12 分)问题引入： (1)如图 13①，在△ABC 中，点 O 是∠ABC 和∠ACB 平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝______(用 α表示)；如图 13②，∠CBO＝ 1 3 ∠ABC，∠BCO＝ 1 3 ∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝______(用α表示)． (2)如图 13③，∠CBO＝ 1 3 ∠DBC，∠BCO＝ 1 3 ∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______(用α表示)， 并说明理由． 类比研究： (3)BO，CO 分别是△ABC 的外角∠DBC，∠ECB 的 n 等分线，它们交于点 O，∠CBO＝ 1 n ∠DBC， ∠BCO＝ 1 n ∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______． O CB A 图 13② A B C O 图 13① O CB A ED 图 13③ [考点]三角形的内角和，猜想、推理。 解：(1)第一个空填：90°＋ 2  ；·······································································2 分 第一个空填：90°＋ 3  ．·················································································4 分 第一空的过程如下：∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－ 1 2 (∠ABC＋∠ACB)＝180°－ 1 2 (180° －∠A)＝90°＋ 2  ． 第二空的过程如下：∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－ 1 3 (∠ABC＋∠ACB)＝180°－ 1 3 (180° －∠A)＝120°＋ 3  ． (2)答案：120°－ 3  ．过程如下： ∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－ 1 3 (∠DBC＋∠ECB)＝180°－ 1 3 (180°＋∠A)＝120°－ 3  ．·········································································································· 8 分 (3)答案：120°－ 3  ．过程如下： ∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－ 1 n (∠DBC＋∠ECB)＝180°－ 1 n (180°＋∠A)＝ 1n n  ·180° － n  ．······································································································12 分 27．(12 分)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为 30 米的篱笆围成．已知墙长为 18 米(如图 14 所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为 x 米． (1)若苗圃园的面积为 72 平方米，求 x； (2)若平行于墙的一边长不小于 8 米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值 和最小值；如果没有，请说明理由； (3)当这个苗圃园的面积不小于 100 平方米时，直接写出 x 的取值范围． 18m 苗圃园 图 14 [考点]应用题，一元二次方程，二次函数。 解：(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30－2x)米．依题意可列方程 x(30－2x)＝72，即 x2－15x＋36＝0．································································ 2 分 解得 x1＝3，x2＝12．·····················································································4 分 (2)依题意，得 8≤30－2x≤18．解得 6≤x≤11． 面积 S＝x(30－2x)＝－2(x－ 15 2 )2＋ 225 2 (6≤x≤11)． ①当 x＝ 15 2 时，S 有最大值，S 最大＝ 225 2 ；························································6 分 ②当 x＝11 时，S 有最小值，S 最小＝11×(30－22)＝88．········································8 分 (3)令 x(30－2x)＝100，得 x2－15x＋50＝0． 解得 x1＝5，x2＝10．··················································································· 10 分 ∴x 的取值范围是 5≤x≤10．········································································ 12 分 28．(12 分)如图 15，已知抛物线 C：y＝x2－3x＋m，直线 l：y＝kx(k＞0)，当 k＝1 时，抛物线 C 与 直线 l 只有一个公共点． (1)求 m 的值； (2)若直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 A，B，直线 l 与直线 l1：y＝－3x＋b 交于点 P，且 1 OA ＋ 1 OB ＝ 2 OP ，求 b 的值； (3)在(2)的条件下，设直线 l1 与 y 轴交于点 Q，问：是否存在实数 k 使 S△APQ＝S△BPQ，若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由． x y O l1 Q P B A l 图 15 x y O l1 Q P B A l 答案图 C E D [考点]二次函数与一元二次方程的关系，三角形的相似，推理论证的能力。 解：(1)∵当 k＝1 时，抛物线 C 与直线 l 只有一个公共点， ∴方程组 2 3 ,y x x m y x       有且只有一组解．····················································· 2 分 消去 y，得 x2－4x＋m＝0，所以此一元二次方程有两个相等的实数根． ∴△＝0，即(－4)2－4m＝0． ∴m＝4．···································································································· 4 分 (2)如图，分别过点 A，P，B 作 y 轴的垂线，垂足依次为 C，D，E， 则△OAC∽△OPD，∴ OP OA ＝ PD AC ． 同理， OP OB ＝ PD BE ． ∵ 1 OA ＋ 1 OB ＝ 2 OP ，∴ OP OA ＋ OP OB ＝2． ∴ PD AC ＋ PD BE ＝2． ∴ 1 AC ＋ 1 BE ＝ 2 PD ，即 AC BE AC BE   ＝ 2 PD ．······················································ 5 分 解方程组 , 3 y kx y x b      得 x＝ 3 b k  ，即 PD＝ 3 b k  ．··········································· 6 分 由方程组 2 , 3 4 y kx y x x      消去 y，得 x2－(k＋3)x＋4＝0． ∵AC，BE 是以上一元二次方程的两根， ∴AC＋BE＝k＋3，AC·BE＝4．·····································································7 分 ∴ 3 4 k  ＝ 2 3 b k  ． 解得 b＝8．·································································································8 分 (3)不存在．理由如下：··················································································9 分 假设存在，则当 S△APQ＝S△BPQ 时有 AP＝PB， 于是 PD－AC＝PE－PD，即 AC＋BE＝2PD． 由(2)可知 AC＋BE＝k＋3，PD＝ 8 3k  ， ∴k＋3＝2× 8 3k  ，即(k＋3)2＝16． 解得 k＝1(舍去 k＝－7)．··············································································11 分 当 k＝1 时，A，B 两点重合，△QAB 不存在． ∴不存在实数 k 使 S△APQ＝S△BPQ．···································································12 分