2016年内江市中考数学试卷及答案

四川省内江市 2016 年中考数学试卷 A 卷(共 100 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 36 分) 1．－2016 的倒数是( ) A．－2016 B．－ 1 2016 C． 1 2016 D．2016 2．2016 年“五一”假期期间，某市接待旅游总人数达到了 9180 000 人次，将 9180 000 用科学记数法表示 应为( ) A．918×104 B．9.18×105 C．9.18×106 D．9.18×107 3．将一副直角三角板如图 1 放置，使含 30°角的三角板的直角边和含 45°角的三角板一条直角边在同一条直 线上，则∠1 的度数为( ) A．75° B．65° C．45° D．30° 图 1 30° 45° 1 4．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A． B． C． D． 5．下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是( ) A． B． C． D． 6．在函数 y＝ 3 4 x x   中，自变量 x 的取值范围是( ) A．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3 且 x≠4 7．某校有 25 名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，取前 13 名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的 成绩，能否进入决赛，只需要再知道这 25 名同学成绩的( ) A．最高分 B．中位数 C．方差 D．平均数 8．甲、乙两人同时分别从 A，B 两地沿同一条公路骑自行车到 C 地，已知 A，C 两地间的距离为 110 千米， B，C 两地间的距离为 100 千米，甲骑自行车的平均速度比乙快 2 千米/时，结果两人同时到达 C 地，求两 人的平均速度分别为多少．为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为 x 千米/时，由题意列出方程，其中 正确的是( ) A． 110 2x  ＝ 100 x B． 1100 x ＝ 100 2x  C． 110 2x  ＝ 100 x D． 1100 x ＝ 100 2x  9．下列命题中，真命题是( ) A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 10．如图 2，点 A，B，C 在⊙O 上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为( ) A．π－4 B． 2 3 π－1 C．π－2 D． 2 3 π－2 O A CB 图 2 11．已知等边三角形的边长为 3，点 P 为等边三角形内任意一点，则点 P 到三边的距离之和为( ) A． 3 2 B． 3 3 2 C． 3 2 D．不能确定 12．一组正方形按如图 3 所示的方式放置，其中顶点 B1 在 y 轴上，顶点 C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3…… 在 x 轴 上 ， 已 知 正 方 形 A1B1C1D1 的 边 长 为 1 ， ∠B1C1O ＝ 60° ， B1C1∥B2C2∥B3C3…… 则 正 方 形 A2016B2016C2016D2016 的边长是( ) A．( 1 2 )2015 B．( 1 2 )2016 C．( 3 3 )2016 D．( 3 3 )2015 xO y C1 D1 A1 B1 E1 E2 E3 E4C2 D2 A2 B2 C3 D3 A3 B3 图 3 二、填空题(每小题 5 分，共 20 分) 13．分解因式：ax2－ay2＝______． 14．化简：( 2 3 a a  ＋ 9 3 a )÷ 3a a  ＝______． 15．如图 4，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点 E，则 OE＝______． D O C E B A 图 4 16．将一些半径相同的小圆按如图 5 所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形有______个小圆．(用含 n 的代数式表示) 第 1 个图 第 2 个图 第 3 个图 第 4 个图 图 5 三、解答题(本大题共 5 小题，共 44 分) 17．(7 分)计算：|－3|＋ 3 · tan 30°－ 3 8 －(2016－π)0＋( 1 2 )－1． 18．(9 分)如图 6 所示，△ABC 中，D 是 BC 边上一点，E 是 AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线交 CE 的延 长线于 F，且 AF＝BD，连接 BF． (1)求证：D 是 BC 的中点； (2)若 AB＝AC，试判断四边形 AFBD 的形状，并证明你的结论． D C E F B A 图 6 19．(9 分)某学校为了增强学生体质，决定开放以下体育课外活动项目：A．篮球、B．乒乓球、C．跳绳、 D．踢毽子．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两 幅不完整的统计图(如图 7(1)，图 7(2))，请回答下列问题： (1)这次被调查的学生共有_______人； (2)请你将条形统计图补充完整； (3)在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学任选两名参加乒乓球 比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答)． 30° D CB A 图 7(1) 项目 人数/人 100 80 20 40 0 60 DA CB 20 40 80 图 7(2) 20．(9 分)如图 8，禁渔期间，我渔政船在 A 处发现正北方向 B 处有一艘可疑船只，测得 A，B 两处距离为 200 海里，可疑船只正沿南偏东 45°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东 30°方向前去拦截，经历 4 小时刚好 在 C 处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度(结果保留根号)． 北 C A B 30° 45° 图 8 北 C A B 30° 45° 答案图 H 21．(10 分)如图 9，在 Rt △ABC 中，∠ABC＝90°，AC 的垂直平分线分别与 AC，BC 及 AB 的延长线相交于 点 D，E，F．⊙O 是△BEF 的外接圆，∠EBF 的平分线交 EF 于点 G，交⊙O 于点 H，连接 BD，FH． (1)试判断 BD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)当 AB＝BE＝1 时，求⊙O 的面积； (3)在(2)的条件下，求 HG·HB 的值． D G H O C E FBA 图 9 D G H O C E FBA 答案图 B 卷 一、填空题(每小题 6 分，共 24 分) 22．任取不等式组 3 0, 2 5 0 k k    ≤ ＞ 的一个整数解，则能使关于 x 的方程：2x＋k＝－1 的解为非负数的概率为 ______． 23．如图 10，点 A 在双曲线 y＝ 5 x 上，点 B 在双曲线 y＝ 8 x 上，且 AB∥x 轴，则△OAB 的面积等于______． x y O 图 10 BA y＝ 8 x y＝ 5 x x y O－1 1 图 11 x y O C B A E D 图 12 24．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图 11 所示，且 P＝|2a＋b|＋|3b－2c|，Q＝|2a－b|－|3b＋2c|，则 P，Q 的大小关系是______． 25．如图 12 所示，已知点 C(1，0)，直线 y＝－x＋7 与两坐标轴分别交于 A，B 两点，D，E 分别是 AB， OA 上的动点，则△CDE 周长的最小值是______． 二、解答题(每小题 12 分，共 36 分) 26．(12 分)问题引入： (1)如图 13①，在△ABC 中，点 O 是∠ABC 和∠ACB 平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝______(用α表 示)；如图 13②，∠CBO＝ 1 3 ∠ABC，∠BCO＝ 1 3 ∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝______(用α表示)． (2)如图 13③，∠CBO＝ 1 3 ∠DBC，∠BCO＝ 1 3 ∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______(用α表示)，并说明 理由． 类比研究： (3)BO，CO 分别是△ABC 的外角∠DBC，∠ECB 的 n 等分线，它们交于点 O，∠CBO＝ 1 n ∠DBC，∠BCO ＝ 1 n ∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______． O CB A 图 13② A B C O 图 13① O CB A ED 图 13③ 27．(12 分)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为 30 米的篱 笆围成．已知墙长为 18 米(如图 14 所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为 x 米． (1)若苗圃园的面积为 72 平方米，求 x； (2)若平行于墙的一边长不小于 8 米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小 值；如果没有，请说明理由； (3)当这个苗圃园的面积不小于 100 平方米时，直接写出 x 的取值范围． 18m 苗圃园 图 14 28．(12 分)如图 15，已知抛物线 C：y＝x2－3x＋m，直线 l：y＝kx(k＞0)，当 k＝1 时，抛物线 C 与直线 l 只有一个公共点． (1)求 m 的值； (2)若直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 A，B，直线 l 与直线 l1：y＝－3x＋b 交于点 P，且 1 OA ＋ 1 OB ＝ 2 OP ， 求 b 的值； (3)在(2)的条件下，设直线 l1 与 y 轴交于点 Q，问：是否存在实数 k 使 S△APQ＝S△BPQ，若存在，求 k 的值；若 不存在，说明理由． x y O l1 Q P B A l 图 15 x y O l1 Q P B A l 答案图 C E D 参考答案 A 卷(共 100 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 36 分) 1．B 2．C 3．A 4．A 5．B 6．D 7、B 8、A 9．C 10．C 11．B 12．D 二、填空题(每小题 5 分，共 20 分) 13．a(x－y)(x＋y)． 14．a． 15． 12 5 16．n2＋n＋4 三、解答题(本大题共 5 小题，共 44 分) 17．解：原式＝3＋ 3 × 3 3 －2－1＋2 5 分 ＝3＋1－2－1＋2·························································································· 6 分 ＝3．········································································································· 7 分 18．(1)证明：∵点 E 是 AD 的中点，∴AE＝DE． ∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE． ∴△EAF≌△EDC．······················································································ 3 分 ∴AF＝DC． ∵AF＝BD， ∴BD＝DC，即 D 是 BC 的中点．···································································· 5 分 (2)四边形 AFBD 是矩形．证明如下： ∵AF∥BD，AF＝BD， ∴四边形 AFBD 是平行四边形．······································································7 分 ∵AB＝AC，又由(1)可知 D 是 BC 的中点， ∴AD⊥BC． ∴□AFBD 是矩形．······················································································ 9 分 19．解：(1)由扇形统计图可知：扇形 A 的圆心角是 36°， 所以喜欢 A 项目的人数占被调查人数的百分比＝ 36 360 ×100%＝10%．···················· 1 分 由条形图可知：喜欢 A 类项目的人数有 20 人， 所以被调查的学生共有 20÷10%＝200(人)．······················································ 2 分 (2)喜欢 C 项目的人数＝200－(20＋80＋40)＝60(人)，·········································· 3 分 因此在条形图中补画高度为 60 的长方条，如图所示． 项目 人数/人 100 80 20 40 0 60 DA CB 20 40 80 60 答案图 ··········································································· 4 分 (3)画树状图如下： 甲 乙 丙 丁 乙 甲 丙 丁 丙 甲 乙 丁 丁 甲 乙 丙 或者列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 分··················································································································7 从树状图或表格中可知，从四名同学中任选两名共有 12 种结果，每种结果出现的可能性相等，其中选中甲 乙两位同学(记为事件 A)有 2 种结果，所以 P(A)＝ 2 12 ＝ 1 6 ．·························································································· 9 分 20．解：如图，过点 C 作 CH⊥AB 于 H，则△BCH 是等腰直角三角形．设 CH＝x， 则 BH＝x，AH＝CH÷ tan 30°＝ 3 x．····························································· 2 分 ∵AB＝200，∴x＋ 3 x＝200． ∴x＝ 200 3 1 ＝100( 3 －1)．·········································································· 4 分 ∴BC＝ 2 x＝100( 6 － 2 )．······································································ 6 分 ∵两船行驶 4 小时相遇， ∴可疑船只航行的平均速度＝100( 6 － 2 )÷4＝45( 6 － 2 )．·························8 分 答：可疑船只航行的平均速度是每小时 45( 6 － 2 )海里．································· 9 分 21．(1)直线 BD 与⊙O 相切．理由如下： 如图，连接 OB，∵BD 是 Rt △ABC 斜边上的中线，∴DB＝DC．x_k_b_1 ∴∠DBC＝∠C． ∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB＝∠CED． ∵∠C＋∠CED＝90°， ∴∠DBC＋∠OBE＝90°． ∴BD 与⊙O 相切；·······················································································3 分 (2)连接 AE．∵AB＝BE＝1，∴AE＝ 2 ． ∵DF 垂直平分 AC，∴CE＝AE＝ 2 ．∴BC＝1＋ 2 ．····································· 4 分 ∵∠C＋∠CAB＝90°，∠DFA＋∠CAB＝90°， ∴∠CAB＝∠DFA． 又∠CBA＝∠FBE＝90°，AB＝BE， ∴△CAB≌△FEB．∴BF＝BC＝1＋ 2 ．·························································5 分 ∴EF2＝BE2＋BF2＝12＋(1＋ 2 )2＝4＋2 2 ．·················································· 6 分 ∴S⊙O＝ 1 4 π·EF2＝ 2 2 2  π．········································································ 7 分 (3)∵AB＝BE，∠ABE＝90°，∴∠AEB＝45°． ∵EA＝EC，∴∠C＝22.5°．··········································································· 8 分 ∴∠H＝∠BEG＝∠CED＝90°－22.5°＝67.5°． ∵BH 平分∠CBF，∴∠EBG＝∠HBF＝45°． ∴∠BGE＝∠BFH＝67.5°． ∴BG＝BE＝1，BH＝BF＝1＋ 2 ．·································································9 分 ∴GH＝BH－BG＝ 2 ． ∴HB·HG＝ 2 ×(1＋ 2 )＝2＋ 2 ．··························································10 分 B 卷 一、填空题(每小题 6 分，共 24 分) 22． 1 3 23． 3 2 24．P＞Q 25、10 二、解答题(每小题 12 分，共 36 分) 26．解：(1)第一个空填：90°＋ 2  ； 2 分 第一个空填：90°＋ 3  ．·················································································4 分 第一空的过程如下：∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－ 1 2 (∠ABC＋∠ACB)＝180°－ 1 2 (180°－∠A) ＝90°＋ 2  ． 第二空的过程如下：∠B OC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－ 1 3 (∠ABC＋∠ACB)＝180°－ 1 3 (180°－∠A) ＝120°＋ 3  ． (2)答案：120°－ 3  ．过程如下： ∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－ 1 3 (∠DBC＋∠ECB)＝180°－ 1 3 (180°＋∠A)＝120°－ 3  ． 8 分 (3)答案：120°－ 3  ．过程如下： ∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－ 1 n (∠DBC＋∠ECB)＝180°－ 1 n (180°＋∠A)＝ 1n n  ·180°－ n  ．·········································································································12 分 27．解：(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30－2x)米．依题意可列方程 x(30－2x)＝72，即 x2－15x＋36＝0．································································ 2 分 解得 x1＝3，x2＝12．·····················································································4 分 (2)依题意，得 8≤30－2x≤18．解得 6≤x≤11． 面积 S＝x(30－2x)＝－2(x－15 2 )2＋ 225 2 (6≤x≤11)． ①当 x＝ 15 2 时，S 有最大值，S 最大＝ 225 2 ；························································6 分 ②当 x＝11 时，S 有最小值，S 最小＝11×(30－22)＝88．········································8 分 (3)令 x(30－2x)＝100，得 x2－15x＋50＝0． 解得 x1＝5，x2＝10．··················································································· 10 分 ∴x 的取值范围是 5≤x≤10．········································································ 12 分 28．解：(1)∵当 k＝1 时，抛物线 C 与直线 l 只有一个公共点， ∴方程组 2 3 ,y x x m y x       有且只有一组解．····················································· 2 分 消去 y，得 x2－4x＋m＝0，所以此一元二次方程有两个相等的实数根． ∴△＝0，即(－4)2－4m＝0． ∴m＝4．···································································································· 4 分 (2)如图，分别过点 A，P，B 作 y 轴的垂线，垂足依次为 C，D，E， 则△OAC∽△OPD，∴ OP OA ＝ PD AC ． 同理， OP OB ＝ PD BE ． ∵ 1 OA ＋ 1 OB ＝ 2 OP ，∴ OP OA ＋ OP OB ＝2． ∴ PD AC ＋ PD BE ＝2． ∴ 1 AC ＋ 1 BE ＝ 2 PD ，即 AC BE AC BE   ＝ 2 PD ．······················································ 5 分 解方程组 , 3 y kx y x b      得 x＝ 3 b k  ，即 PD＝ 3 b k  ．··········································· 6 分 由方程组 2 , 3 4 y kx y x x      消去 y，得 x2－(k＋3)x＋4＝0． ∵AC，BE 是以上一元二次方程的两根， ∴AC＋BE＝k＋3，AC·BE＝4．·····································································7 分 ∴ 3 4 k  ＝ 2 3 b k  ． 解得 b＝8．·································································································8 分 (3)不存在．理由如下：··················································································9 分 假设存在，则当 S△APQ＝S△BPQ 时有 AP＝PB， 于是 PD－AC＝PE－PD，即 AC＋BE＝2PD． 由(2)可知 AC＋BE＝k＋3，PD＝ 8 3k  ， ∴k＋3＝2× 8 3k  ，即(k＋3)2＝16． 解得 k＝1(舍去 k＝－7)．··············································································11 分 当 k＝1 时，A，B 两点重合，△QAB 不存在． ∴不存在实数 k 使 S△APQ＝S△BPQ．···································································12 分