2016年乐山市中考数学试卷（解析版）

乐山市 2016 年高中阶段教育学校招生统一考试 数 学 本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共 8 页．考生作答时，须将答案答 在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分 150 分．考试时间 120 分钟．考试结束后， 将本试题卷和答题卡一并交回．考生作答时，不能使用任何型号的计算器． 第一部分（选择题 共 30 分） 注意事项： 1．选择题必须使用 2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上． 2．本部分共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分． 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项符合题目要求． 1.下列四个数中，最大的数是 ( )A 0 ( )B 2 ( )C 3 ( )D 4 答案：D 考点：考查实数大小的比较，难度较小。 解析：最大的数为 4。 2．图 1 是由四个大小完全相同的正方体组成的几何体，那么它的俯视图是 答案：B 考点：考查三视图。 解析：俯视图是物体向下正投影得到的视图，上面往下看，能看到三个小正方形，左边两个，右边 一个，故选 B。 3．如图 2 ，CE 是 ABC 的外角 ACD 的平分线，若 35B   ， 60ACE   ，则 A  ( )A 35 ( )B 95 ( )C 85 ( )D 75 答案：C 考点：考查三角形的外角和定理，角平分线的性质。 解析：依题意，得：∠ACD＝120°，又∠ACD＝∠B＋∠A，所以，∠A＝120°－35°＝85 4．下列等式一定成立的是 ( )A 2 3 5m n mn  ( )B 3 2 6( ) =m m ( )C 2 3 6m m m  ( )D 2 2 2( )m n m n   答案：B 考点：考查乘方运算。 解析：积的乘方等于积中每个因式分别乘方，所以， 3 2 6( ) =m m 正确。 5.如图3 ，在 Rt ABC 中， 90BAC   ， AD BC 于点 D ，则下列结论不正确．．．的是 ( )A sin ADB AB  ( )B sin ACB BC  ( )C sin ADB AC  ( )D sin CDB AC  答案：C 考点：考查正弦函数的概念。 解析：由正弦函数的定义，知：A、B 正确，又∠CAD＝∠B， 所以，sin sin CDB CAD AC    ，D 也正确，故不正确的是 C。 6. 不等式组 2 0 2 1 0 x x      的所有整数解是 ( )A 1 、 0 ( )B 2 、 1 ( )C 0、1 ( )D 2 、 1 、 0 答案：A 考点：考查不等式组的解法。 解析：解不等式组，得： 12 2x   ，整数有－1.0。 7. 如图 4，C 、 D 是以线段 AB 为直径的⊙O 上两点，若CA CD ，且 40ACD   ， 则 CAB  ( )A 10 ( )B 20 ( )C 30 ( )D 40 答案：B 考点：考查圆的性质，等腰三角形的性质。 解析：∠CAD＝∠B＝∠D＝ 1 2 （180°－40°）＝70°， 又 AB 为直径，所以，∠CAB＝90°－70°＝20°， 8．现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、 2 、3 、 4 、5 、 6 . 同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9 的概率是 ( )A 1 3 ( )B 1 6 ( )C 1 9 ( )D 1 12 答案：C 考点：考查概率问题。 解析：投掷这两枚骰子，所有可能共有 36 种，其中点数之和为 9 的有（3,6），（4,5），（5,4）， （6,3）共 4 种，所以，所求概率为： 4 1 36 9  。 9. 若 t 为 实 数 ， 关 于 x 的 方 程 2 4 2 0x x t    的 两 个 非 负 实 数 根 为 a 、 b ， 则 代 数 式 2 2( 1)( 1)a b  的最小值是 ( )A 15 ( )B 16 ( )C 15 ( )D 16 答案：A 考点：考查一元二次方程根与系数关系，二次函数的性质。 解析：依题意，得： 4, 2a b ab t    2 2( 1)( 1)a b  ＝ 2 2 2( ) ( ) 1ab a b   ＝ 2 2( ) ( ) 2 1ab a b ab    ＝ 2( 2) 2( 2) 15t t    ＝ 2 2 15t t  ， 又 16 4( 2) 0 2 0 t ab t          ，得 2 6t  ， 所以，当t ＝2 时， 2 2 15t t  有最小值－15。 10．如图 5，在反比例函数 2y x   的图象上有一动点 A ，连接 AO 并延长交图象的另一支于点 B ， 在第一象限内有一点C ，满足 AC BC ，当点 A 运动时，点C 始终在函数 ky x  的 图象上运动，若 tan 2CAB  ，则 k 的值为 ( )A 2 ( )B 4 ( )C 6 ( )D 8 答案：D 考点：考查双曲线的，三角形的相似，三角函数概念。 解析：连结 CO，由双曲线关于原点对称，知 AO＝BO，又 CA＝CB， 所以，CO⊥AB，因为 tan 2CAB  ，所以， CO AO ＝2 作 AE⊥x 轴，CD⊥x 轴于 E、D 点。 则有△OCD∽△OEA，所以， AE OE AO OD CD OC   ＝ 1 2 设 C（m，n），则有 A（－ 1 1,2 2n m ）， 所以， kn m  ①， 1 2 12 2 m n   ② 解①②得：k＝8 第二部分（非选择题 共 120 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分． 11．计算： 5  __▲__. 答案：5 考点：考查绝对值的概念，难度较小。 解析： 5  5 12．因式分解： 3 2a ab  __▲__. 答案： ))(( babaa  考点：考查提公因式法，平方差公式。 解析： 3 2a ab  2 2( )a a b ＝ ))(( babaa  13．如图 6，在 ABC 中， D 、 E 分别是边 AB 、 AC 上的点，且 DE ∥ BC ， 若 ADE 与 ABC 的周长之比为 2:3 ， 4AD  ，则 DB  ___▲__. 答案：2 考点：考查相似三角形的性质。 解析：依题意，有△ADE∽△ABC，因为 ADE 与 ABC 的周长之比为 2:3 ， 所以， 2 3 AD AB  ，由 AD＝4，得：AB＝6，所以，DB＝6－4＝2 14．在数轴上表示实数 a 的点如图 7 所示，化简 2( 5) 2a a   的结果为___▲__. 答案：3 考点：考查数轴，二次根式及绝对值。 解析：由图可知 2 5a  ，所以，原式＝ ( 5) 2a a    ＝3 15. 如图 8，在 Rt ABC 中， 90ACB   ， 2 3AC  ,以点C 为圆心，CB 的长为半径画弧，与 AB 边交于点 D ,将 BD 绕点 D 旋转 0180 后点 B 与点 A 恰好重合，则图中阴影部分的面积为 ___▲__. 答案： 22 3 3  考点：考查三角形，扇形的面积公式。 解析：依题意，有 AD＝BD，又 90ACB   ，所以，有 CB＝CD＝BD，即三角形 BCD 为等边三角形 ∠BCD＝∠B＝60°，∠A＝∠ACD＝30°， 由 2 3AC  ，求得：BC＝2，AB＝4， BCDBD BCDS SS 弓形 扇形＝ － ＝ 60 4 23 3360 3   － ＝ － ， 阴影部分面积为： ACD ADS S S 弓形＝ － ＝ 23 3)3 －( － ＝ 22 3 3  16.高斯函数 x ，也称为取整函数，即 x 表示不超过 x 的最大整数. 例如： 2.3 2 ， 1.5 2   . 则下列结论： ①   2.1 1 2    ； ②    0x x   ； ③ 若 1 3x   ，则 x 的取值范围是 2 3x  ； ④ 当 1 1x   时，   1 1x x    的值为 0 、1、 2 . 其中正确的结论有___▲__（写出所有正确结论的序号）. 答案：①③ 考点：考查应用知识解决问题的能力。 解析：①   2.1 1 3 1 2       ，正确； ②取特殊值 x ＝1 时，    [1] [ 1] 1 2 1x x         ，故错误； ③ 若 1 3x   ，则3 1 4x   ，即 x 的取值范围是 2 3x  ，正确； ④ 当 1 1x   时，有 1x  ， 1x  不能同时大于 1 小于 2， 则   1 1x x    的值可取不到 2 ，错误。 三、本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分. 17. 计算： 0 112016 sin 45 3 2     . 考点：考查实数的运算。 解析： 原式 2 2 11 2 2 3     2 3  . 18. 解方程： 1 132 2 x x x    . 考点：考查分式方程。 解析： 方程两边同乘 2x ， 得 )1()2(31  xx ，………………………………… （3 分） 即 1631  xx ，…………………………………（6 分） 则 62  x …………………………………（7 分） 得 3x . 检验，当 3x 时， 02 x . 所以，原方程的解为 3x .……………………………………（9 分） 19. 如图 9，在正方形 ABCD 中， E 是边 AB 的中点， F 是边 BC 的中点，连结CE 、 DF . 求证:CE DF . 考点：三角形全等。 解析： ABCD 是正方形， BCAB  ， 90 FCDEBC .………(3 分) 又 E 、 F 分别是 AB 、 BC 的中点，  CFBE  ，………………………(5 分)  DFCCEB  ，………………………(7 分)  CE DF .………………………(9 分) 四、本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分． 20. 先化简再求值： 2 3 2( )1 2 1 x xx x x x     ，其中 x 满足 2 2 0x x   . 考点：分式的求值。 解析： 原式= 2 ( 1) 3 2 1 2 1 x x x x x x x      ………………（1 分） = 2 22 2 1 1 2 x x x x x x     ………………（2 分） = 2( 2) ( 1) 1 2 x x x x x    ………………（4 分） = )1( xx = xx 2 .………………（7 分）  2 2 0x x   ， 22  xx ， 即原式=2. ………………（10 分） 21. 甲、乙两名射击运动员中进行射击比赛，两人在相同条件下各射击 10 次，射击的成绩如图 10 所示. 根据图中信息，回答下列问题： （1）甲的平均数是_____▲______，乙的中位数是______▲________； （2）分别计算甲、乙成绩的方差，并从计算结果来分析，你认为哪位运动员的射击成绩更稳定？ 考点：统计的相关知识。 解析： 解：（1）8，7.5 ；………………（4 分） （2） 1 (7 10 ... 7) 810x     乙 ；………………（5 分） 2S 甲      2 2 21 6 8 10 8 ... 7 8 1.610          ………………（7 分） 2S乙 =      2 2 21 7 8 10 8 ... 7 8 1.210          ………………（9 分） 2 2S S 乙 甲 ，∴乙运动员的射击成绩更稳定.…………（10 分） 22.如图 11，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在 A 处接到指挥部通知， 在他们东北方向距离12 海里的 B 处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东 75 方向以每小时10 海里的速 度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14 海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C 处成功 拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间. 考点：勾股定理，应用数学知识解决实际问题。 解析： 设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为 x 小时. 如图 1 所示，由题得 45 75 120ABC       ，…………………（1 分） 12AB  ， 10BC x ， 14AC x 过点 A 作 AD CB 的延长线于点 D ， 在 Rt ABD 中， 12, 60AB ABD    ， ∴ 6, 6 3BD AD  . ∴ 10 6CD x  .…………………（3 分） 在 Rt ACD 中，由勾股定理得：     22 214 10 6 6 3x x   …………（7 分） 解此方程得 1 2 32, 4x x   （不合题意舍去）. 答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为 2 小时…………（10 分） 五、本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分. 23．如图 12，反比例函数 ky x  与一次函数 y ax b  的图象交于点 (2,2)A 、 1( , )2B n . （1）求这两个函数解析式； （2）将一次函数 y ax b  的图象沿 y 轴向下平移 m 个单位，使平移后的图象与反比例函数 ky x  的图象有且只有一个交点，求 m 的值. 考点：反比例函数、一次函数的图象及其性质，一元二次方程。 解析： （1） (2,2)A 在反比例函数 ky x  的图象上， 4k .………………………（1 分）  反比例函数的解析式为 4y x  . 又 1( , )2B n 在反比例函数 4y x  的图象上， 42 1 n ，得 8n ，…………………（2 分） 由 (2,2)A 、 1( ,8)2B 在一次函数 y ax b  的图象上， 得      ba ba 2 18 22 ，解得 10,4  ba .………………………（4 分）  一次函数的解析式为 104  xy .………………………（5 分） (2) 将 直 线 104  xy 向 下 平 移 m 个 单 位 得 直 线 的 解 析 式 为 mxy  104 ，………………（6 分） 直线 mxy  104 与双曲线 4y x  有且只有一个交点， 令 xmx 4104  ，得 04)10(4 2  xmx ， 064)10( 2  m ，解得 2m 或18.…………………（10 分） 24．如图 13，在 ABC 中，AB AC ,以 AC 边为直径作⊙O 交 BC 边于点 D ,过点 D 作 DE AB 于点 E ， ED 、 AC 的延长线交于点 F . （1）求证： EF 是⊙O 的切线； （2）若 3 2EB  ,且 3sin 5CFD  ,求⊙O 的半径与线段 AE 的长. 考点：圆的切线的判定，圆的性质的应用。 解析： （1）证明：如图 2 所示，连结OD ， ∵ AB AC ，∴ B ACD   . ∵OC OD ，∴ ODC OCD   . ∴ B ODC   ，∴OD ∥ AB .…………（2 分） ∵ DE AB ，∴OD EF . ∴ EF 是⊙O 的切线…………（5 分） （2）在 Rt ODF 和 Rt AEF 中， ∵ 3sin 5CFD  ，∴ 3 5 OD AE OF AF   . 设 3OD x ，则 5OF x .∴ 6AB AC x  ， 8AF x .…………（6 分） ∵ 3 2EB  ，∴ 36 2AE x  .…………（7 分） ∴ 36 32 8 5 x x   ，解得 x = 5 4 ，…………（9 分） ∴⊙O 的半径长为15 4 ， AE =6 ……………………（10 分） 六、本大题共 2 小题，第 25 题 12 分，第 26 题 13 分，共 25 分. 25．如图14，在直角坐标系 xoy 中，矩形OABC 的顶点 A 、C 分别在 x 轴和 y 轴正半轴上，点 B 的 坐标是 (5 2)， ，点 P 是CB 边上一动点（不与点C 、点 B 重合），连结OP 、 AP ，过点O 作射 线OE 交 AP 的延长线于点 E ，交CB 边于点 M ，且 AOP COM   ，令CP x ，MP y . （1）当 x 为何值时，OP AP ？ （2）求 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （3）在点 P 的运动过程中，是否存在 x ，使 OCM 的面积与 ABP 的面积之和等于 EMP 的面 积.若存在，请求 x 的值；若不存在，请说明理由. 考点：三角形的相似的判定及其应用。 解析： （1）如图3 所示，由题意知， 5, 2, 90OA BC AB OC B OCM         ， BC ∥OA ∵OP AP ，∴ 90OPC APB APB PAB         . ∴ OPC PAB   .……………………(1 分) ∴ OPC ∽ PAB .……………………(2 分) ∴ CP OC AB PB  ，即 2 2 5 x x   ，解得 1 24, 1x x  （不合题意,舍去）. ∴当 4x  时，OP AP .……………………(4 分) （2）如图3 所示，∵ BC ∥OA ，∴ CPO AOP   . ∵ AOP COM   ，∴ COM CPO   . ∵ OCM PCO   ，∴ OCM ∽ PCO .……………………(6 分) ∴ CM CO CO CP  ，即 2 2 x y x   . ∴ 4y x x   ， x 的取值范围是 2 5x  .……………………(8 分) （3）假设存在 x 符合题意. 如图 3 所示，过 E 作 ED OA 于点 D ，交 MP 于点 F ， 则 2DF AB  . ∵ OCM 与 ABP 面积之和等于 EMP 的面积， ∴ 12 5 52EOA OABCS S ED     矩 . ∴ 4, 2ED EF  .…………………(9 分) ∵ PM ∥OA ，∴ EMP ∽ EOA . ∴ EF MP ED OA  .…………………(10 分) 即 2 4 5 y ，解得 5 2y  . ∴由（2） 4y x x   得， 4 5 2x x   .………(11 分) 解得 1 2 5 89 5 89,4 4x x   （不合题意舍去）. ……………………(12 分) ∴在点 P 的运动过程中，存在 5 89 4x  ，使 OCM 与 ABP 面积之和等于 EMP 的面积. 26．在直角坐标系 xoy 中， (0,2)A 、 ( 1,0)B  ，将 ABO 经过旋转、平移变化后得到如图15.1所 示的 BCD . （1）求经过 A 、 B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）连结 AC ，点 P 是位于线段 BC 上方的抛物线上一动点，若直线 PC 将 ABC 的面积分成1:3 两部分，求此时点 P 的坐标； （3）现将 ABO 、 BCD 分别向下、向左以1: 2的速度同时平移，求出在此运动过程中 ABO 与 BCD 重叠部分面积的最大值. 考点：二次函数，三角形相似，考查解决问题的能力。 解析： （1）∵ (0,2)A 、 ( 1,0)B  ，将 ABO 经过旋转、平移变化得到如图 4.1所示的 BCD ， ∴ 2, 1, 90BD OA CD OB BDC AOB         .∴  1,1C .…………………(1 分) 设经过 A 、 B 、C 三点的抛物线解析式为 2y ax bx c   ， 则有 0 1 2 a b c a b c c          ，解得： 3 1, , 22 2a b c    . ∴抛物线解析式为 23 1 22 2y x x    .…………………(4 分) （2）如图 4.1 所示，设直线 PC 与 AB 交于点 E . ∵直线 PC 将 ABC 的面积分成1:3 两部分， ∴ 1 3 AE BE  或 3AE BE  ，…………………(5 分) 过 E 作 EF OB 于点 F ，则 EF ∥OA . ∴ BEF ∽ BAO ,∴ EF BE BF AO BA BO   . ∴当 1 3 AE BE  时， 3 2 4 1 EF BF  ， ∴ 3 3,2 4EF BF  ，∴ 1 3( , )4 2E  .…………………(6 分) 设直线 PC 解析式为 y mx n  ，则可求得其解析式为 2 7 5 5y x   ， ∴ 23 1 2 722 2 5 5x x x      ，∴ 1 2 2 , 15x x   （舍去）， ∴ 1 2 39( , )5 25P  .…………………(7 分) 当 3AE BE  时，同理可得 2 6 23( , )7 49P  .…………………(8 分) （3）设 ABO 平移的距离为t ， 1 1 1A B O 与 2 1 1B C D 重叠部分的面积为 S . 可由已知求出 1 1A B 的解析式为 2 2y x t   ， 1 1A B 与 x 轴交点坐标为 2( ,0)2 t  . 1 2C B 的解析式为 1 1 2 2y x t   ， 1 2C B 与 y 轴交点坐标为 1(0, )2t  . ………(9 分) ①如图 4.2 所示，当 30 5t  时， 1 1 1A B O 与 2 1 1B C D 重叠部分为四边形. 设 1 1A B 与 x 轴交于点 M ， 1 2C B 与 y 轴交于点 N ， 1 1A B 与 1 2C B 交于点 Q ，连结OQ . 由 2 2 1 1 2 2 y x t y x t       ，得 4 3 3 5 3 tx ty     ，∴ 4 3 5( , )3 3 t tQ  .……………(10 分) ∴ 1 2 5 1 1 3 4( )2 2 3 2 2 3QMO QNO t t tS S S t            213 1 12 4t t    . ∴ S 的最大值为 25 52 .…………………(11 分) ②如图 4.3所示，当 3 4 5 5t  时， 1 1 1A B O 与 2 1 1B C D 重叠部分为直角三角形. 设 1 1A B 与 x 轴交于点 H ， 1 1A B 与 1 1C D 交于点G .则 (1 2 ,4 5 )G t t  ， 1 2 4 51 22 2 t tD H t     ， 1 4 5D G t  . ∴ 2 1 1 1 1 4 5 1(4 5 ) (5 4)2 2 2 4 tS D H D G t t       .…………………(12 分) ∴当 3 4 5 5t  时， S 的最大值为 1 4 . 综上所述，在此运动过程中 ABO 与 BCD 重叠部分面积的最大值为 25 52 .…………………(13 分)