2016年长春市中考数学试题解析版

2016 年吉林省长春市中考数学试卷 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分 1．﹣5 的相反数是（ ） A． B． C．﹣5 D．5 2．吉林省在践行社会主义核心价值观活动中，共评选出各级各类“吉林好人”45000 多名，45000 这个数用 科学记数法表示为（ ） A．45×103B．4.5×104C．4.5×105D．0.45×103 3．如图是由 5 个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（ ） A． B． C． D． 4．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 5．把多项式 x2﹣6x+9 分解因式，结果正确的是（ ） A．（x﹣3）2B．（x﹣9）2C．（x+3）（x﹣3） D．（x+9）（x﹣9） 6．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，将 Rt△ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转 48°得到 Rt△A′B′C′，点 A 在边 B′C 上，则∠B′的大小为（ ） A．42° B．48° C．52° D．58° 7．如图，PA、PB 是⊙O 的切线，切点分别为 A、B，若 OA=2，∠P=60°，则 的长为（ ） A． π B．π C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，点 P（1，4）、Q（m，n）在函数 y= （x＞0）的图象上，当 m＞1 时， 过点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足为点 A，B；过点 Q 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足为点 C、D．QD 交 PA 于点 E，随着 m 的增大，四边形 ACQE 的面积（ ） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分 9．计算（ab）3= ． 10．关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值是 ． 11．如图，在△ABC 中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点 B 和点 C 为圆心，大于 BC 一半的长为半 径作圆弧，两弧相交于点 M 和点 N，作直线 MN 交 AB 于点 D；连结 CD．若 AB=6，AC=4，则△ACD 的周长为 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的对称中心与原点重合，顶点 A 的坐标为（﹣1，1）， 顶点 B 在第一象限，若点 B 在直线 y=kx+3 上，则 k 的值为 ． 13．如图，在⊙O 中，AB 是弦，C 是 上一点．若∠OAB=25°，∠OCA=40°，则∠BOC 的大小为 度． 14．如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，顶点 C 的坐标为（4，3），D 是抛物线 y=﹣x2+6x 上一点，且在 x 轴上方，则△BCD 面积的最大值为 ． 三、解答题：本大题共 10 小题，共 78 分 15．先化简，再求值：（a+2）（a﹣2）+a（4﹣a），其中 a= ． 16．一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字 0，1，2，每个小球除数字不同外其余均相同， 小华先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下数字、用 画树状图（或列表）的方法，求小华两次摸出的小球上的数字之和是 3 的概率． 17．A、B 两种型号的机器加工同一种零件，已知 A 型机器比 B 型机器每小时多加工 20 个零件，A 型机 器加工 400 个零件所用时间与 B 型机器加工 300 个零件所用时间相同，求 A 型机器每小时加工零件的个数． 18．某中学为了解该校学生一年的课外阅读量，随机抽取了 n 名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下 条形统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题： （1）求 n 的值； （2）根据统计结果，估计该校 1100 名学生中一年的课外阅读量超过 10 本的人数． 19．如图，为了解测量长春解放纪念碑的高度 AB，在与纪念碑底部 B 相距 27 米的 C 处，用高 1.5 米的测 角仪 DC 测得纪念碑顶端 A 的仰角为 47°，求纪念碑的高度（结果精确到 0.1 米） 【参考数据：sin47°=0.731，cos47°=0.682，tan47°=1.072】 20．如图，在▱ ABCD 中，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 AD 的延长线上，且 DF=BE，BE 与 CD 交于点 G （1）求证：BD∥EF； （2）若 = ，BE=4，求 EC 的长． 21．甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，甲车匀速前往 B 地，到达 B 地立即以另一速度按原路匀速返 回到 A 地；乙车匀速前往 A 地，设甲、乙两车距 A 地的路程为 y（千米），甲车行驶的时间为 x（时）， y 与 x 之间的函数图象如图所示 （1）求甲车从 A 地到达 B 地的行驶时间； （2）求甲车返回时 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）求乙车到达 A 地时甲车距 A 地的路程． 22．感知：如图 1，AD 平分∠BAC．∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC． 探究：如图 2，AD 平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°，求证：DB=DC． 应用：如图 3，四边形 ABCD 中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC=a，则 AB﹣AC= （用含 a 的代数式表示） 23．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB=8，∠BAD=60°，点 E 从点 A 出发，沿 AB 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 B 运动，当点 E 不与点 A 重合时，过点 E 作 EF⊥AD 于点 F，作 EG∥AD 交 AC 于点 G，过点 G 作 GH⊥AD 交 AD（或 AD 的延长线）于点 H，得到矩形 EFHG，设点 E 运动的时间为 t 秒 （1）求线段 EF 的长（用含 t 的代数式表示）； （2）求点 H 与点 D 重合时 t 的值； （3）设矩形 EFHG 与菱形 ABCD 重叠部分图形的面积与 S 平方单位，求 S 与 t 之间的函数关系式； （4）矩形 EFHG 的对角线 EH 与 FG 相交于点 O′，当 OO′∥AD 时，t 的值为 ；当 OO′⊥AD 时，t 的值为 ． 24．如图，在平面直角坐标系中，有抛物线 y=a（x﹣h）2．抛物线 y=a（x﹣3）2+4 经过原点，与 x 轴正 半轴交于点 A，与其对称轴交于点 B，P 是抛物线 y=a（x﹣3）2+4 上一点，且在 x 轴上方，过点 P 作 x 轴 的垂线交抛物线 y=（x﹣h）2 于点 Q，过点 Q 作 PQ 的垂线交抛物线 y=（x﹣h）2 于点 Q′（不与点 Q 重合）， 连结 PQ′，设点 P 的横坐标为 m． （1）求 a 的值； （2）当抛物线 y=a（x﹣h）2 经过原点时，设△PQQ′与△OAB 重叠部分图形的周长为 l． ①求 的值； ②求 l 与 m 之间的函数关系式； （3）当 h 为何值时，存在点 P，使以点 O，A，Q，Q′为顶点的四边形是轴对称图形？直接写出 h 的值． 2016 年吉林省长春市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分 1．﹣5 的相反数是（ ） A． B． C．﹣5 D．5 【考点】相反数． 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【解答】解：﹣5 的相反数是 5． 故选：D． 【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 2．吉林省在践行社会主义核心价值观活动中，共评选出各级各类“吉林好人”45000 多名，45000 这个数用 科学记数法表示为（ ） A．45×103B．4.5×104C．4.5×105D．0.45×103 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数 变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于 10 时，n 是正 数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数． 【解答】解：45000 这个数用科学记数法表示为 4.5×104， 故选：B． 【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3．如图是由 5 个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图． 【分析】从上面看到的平面图形即为该组合体的俯视图，据此求解． 【解答】解：从上面看共有 2 行，上面一行有 3 个正方形，第二行中间有一个正方形， 故选 C． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图的知识，解题的关键是了解俯视图的定义，属于基础题，难度不 大． 4．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集． 【分析】分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【解答】解： ，由①得，x＞﹣2，由②得，x≤3， 故不等式组的解集为：﹣2＜x≤3． 在数轴上表示为： ． 故选 C． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找 不到”的原则是解答此题的关键． 5．把多项式 x2﹣6x+9 分解因式，结果正确的是（ ） A．（x﹣3）2B．（x﹣9）2C．（x+3）（x﹣3） D．（x+9）（x﹣9） 【考点】因式分解-运用公式法． 【专题】计算题；因式分解． 【分析】原式利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：x2﹣6x+9=（x﹣3）2， 故选 A 【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 6．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，将 Rt△ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转 48°得到 Rt△A′B′C′，点 A 在边 B′C 上，则∠B′的大小为（ ） A．42° B．48° C．52° D．58° 【考点】旋转的性质． 【分析】先根据旋转的性质得出∠A′=∠BAC=90°，∠ACA′=48°，然后在直角△A′CB′中利用直角三角形两 锐角互余求出∠B′=90°﹣∠ACA′=42°． 【解答】解：∵在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，将 Rt△ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转 48°得到 Rt△A′B′C′， ∴∠A′=∠BAC=90°，∠ACA′=48°， ∴∠B′=90°﹣∠ACA′=42°． 故选 A． 【点评】本题考查了转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋 转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形两锐角互余的性质． 7．如图，PA、PB 是⊙O 的切线，切点分别为 A、B，若 OA=2，∠P=60°，则 的长为（ ） A． π B．π C． D． 【考点】弧长的计算；切线的性质． 【专题】计算题；与圆有关的计算． 【分析】由 PA 与 PB 为圆的两条切线，利用切线的性质得到两个角为直角，再利用四边形内角和定理求 出∠AOB 的度数，利用弧长公式求出 的长即可． 【解答】解：∵PA、PB 是⊙O 的切线， ∴∠OBP=∠OAP=90°， 在四边形 APBO 中，∠P=60°， ∴∠AOB=120°， ∵OA=2， ∴ 的长 l= = π， 故选 C 【点评】此题考查了弧长的计算，以及切线的性质，熟练掌握弧长公式是解本题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，点 P（1，4）、Q（m，n）在函数 y= （x＞0）的图象上，当 m＞1 时， 过点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足为点 A，B；过点 Q 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足为点 C、D．QD 交 PA 于点 E，随着 m 的增大，四边形 ACQE 的面积（ ） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义． 【分析】首先利用 m 和 n 表示出 AC 和 AQ 的长，则四边形 ACQE 的面积即可利用 m、n 表示，然后根据 函数的性质判断． 【解答】解：AC=m﹣1，CQ=n， 则 S 四边形 ACQE=AC•CQ=（m﹣1）n=mn﹣n． ∵P（1，4）、Q（m，n）在函数 y= （x＞0）的图象上， ∴mn=k=4（常数）． ∴S 四边形 ACQE=AC•CQ=4﹣n， ∵当 m＞1 时，n 随 m 的增大而减小， ∴S 四边形 ACQE=4﹣n 随 m 的增大而增大． 故选 B． 【点评】本题考查了二次函数的性质以及矩形的面积的计算，利用 n 表示出四边形 ACQE 的面积是关键． 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分 9．计算（ab）3= a3b3 ． 【考点】幂的乘方与积的乘方． 【专题】计算题；整式． 【分析】原式利用积的乘方运算法则计算即可得到结果． 【解答】解：原式=a3b3， 故答案为：a3b3 【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10．关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值是 1 ． 【考点】根的判别式． 【分析】由于关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m=0 有两个相等的实数根，可知其判别式为 0，据此列出关于 m 的方程，解答即可． 【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m=0 有两个相等的实数根， ∴△=0， ∴22﹣4m=0， ∴m=1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根， 则可得△=0，此题难度不大． 11．如图，在△ABC 中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点 B 和点 C 为圆心，大于 BC 一半的长为半 径作圆弧，两弧相交于点 M 和点 N，作直线 MN 交 AB 于点 D；连结 CD．若 AB=6，AC=4，则△ACD 的周长为 10 ． 【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质． 【分析】根据题意可知直线 MN 是线段 BC 的垂直平分线，推出 DC=DB，可以证明△ADC 的周长=AC+AB， 由此即可解决问题． 【解答】解：由题意直线 MN 是线段 BC 的垂直平分线， ∵点 D 在直线 MN 上， ∴DC=DB， ∴△ADC 的周长=AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB， ∵AB=6，AC=4， ∴△ACD 的周长为 10． 故答案为 10． 【点评】本题考查基本作图、线段垂直平分线性质、三角形周长等知识，解题的关键是学会转化，把△ADC 的周长转化为求 AC+AB 来解决，属于基础题，中考常考题型． 12．如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的对称中心与原点重合，顶点 A 的坐标为（﹣1，1）， 顶点 B 在第一象限，若点 B 在直线 y=kx+3 上，则 k 的值为 ﹣2 ． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质． 【分析】先求出 B 点坐标，再代入直线 y=kx+3，求出 k 的值即可． 【解答】解：∵正方形 ABCD 的对称中心与原点重合，顶点 A 的坐标为（﹣1，1）， ∴B（1，1）． ∵点 B 在直线 y=kx+3 上， ∴1=k+3，解得 k=﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的 解析式是解答此题的关键． 13．如图，在⊙O 中，AB 是弦，C 是 上一点．若∠OAB=25°，∠OCA=40°，则∠BOC 的大小为 30 度． 【考点】圆周角定理． 【分析】由∠BAO=25°，利用等腰三角形的性质，可求得∠AOB 的度数，又由∠OCA=40°，可求得∠CAO 的度数，继而求得∠AOC 的度数，则可求得答案． 【解答】解：∵∠BAO=25°，OA=OB， ∴∠B=∠BAO=25°， ∴∠AOB=180°﹣∠BAO﹣∠B=130°， ∵∠ACO=40°，OA=OC， ∴∠C=∠CAO=40°， ∴∠AOC=180°﹣∠CAO﹣∠C=100°， ∴∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=30°． 故答案为 30°． 【点评】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．注意利用等腰三角形的性质求解是关键． 14．如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，顶点 C 的坐标为（4，3），D 是抛物线 y=﹣x2+6x 上一点，且在 x 轴上方，则△BCD 面积的最大值为 ． 【考点】二次函数的性质；菱形的性质． 【分析】设 D（x，﹣x2+6x），根据勾股定理求得 OC，根据菱形的性质得出 BC，然后根据三角形面积公 式得出∴S△BCD= ×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣ （x﹣3）2+ ，根据二次函数的性质即可求得最大值． 【解答】解：∵D 是抛物线 y=﹣x2+6x 上一点， ∴设 D（x，﹣x2+6x）， ∵顶点 C 的坐标为（4，3）， ∴OC= =5， ∵四边形 OABC 是菱形， ∴BC=OC=5，BC∥x 轴， ∴S△BCD= ×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣ （x﹣3）2+ ， ∵﹣ ＜0， ∴S△BCD 有最大值，最大值为 ， 故答案为 ． 【点评】本题库存了菱形的性质，二次函数的性质，注意数与形的结合是解决本题的关键． 三、解答题：本大题共 10 小题，共 78 分 15．先化简，再求值：（a+2）（a﹣2）+a（4﹣a），其中 a= ． 【考点】整式的混合运算—化简求值． 【专题】计算题；探究型． 【分析】根据平方差公式和单项式乘以多项式可以对原式化简，然后将 a= 代入化简后的式子，即可解答 本题． 【解答】解：（a+2）（a﹣2）+a（4﹣a） =a2﹣4+4a﹣a2 =4a﹣4， 当 a= 时，原式= ． 【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法． 16．一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字 0，1，2，每个小球除数字不同外其余均相同， 小华先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下数字、用 画树状图（或列表）的方法，求小华两次摸出的小球上的数字之和是 3 的概率． 【考点】列表法与树状图法． 【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式即可求出两次摸出的小球上的数字之和是 3 的概率． 【解答】解：列表得： 和 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 ∴P（和为 3）= ． 【点评】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适 合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题的关键是要区分放回实验还是不 放回实验． 17．A、B 两种型号的机器加工同一种零件，已知 A 型机器比 B 型机器每小时多加工 20 个零件，A 型机 器加工 400 个零件所用时间与 B 型机器加工 300 个零件所用时间相同，求 A 型机器每小时加工零件的个数． 【考点】分式方程的应用． 【分析】关键描述语为：“A 型机器加工 400 个零件所用时间与 B 型机器加工 300 个零件所用时间相同”； 等量关系为：400÷A 型机器每小时加工零件的个数=300÷B 型机器每小时加工零件的个数． 【解答】解：设 A 型机器每小时加工零件 x 个，则 B 型机器每小时加工零件（x﹣20）个． 根据题意列方程得： = ， 解得：x=80． 经检验，x=80 是原方程的解． 答：A 型机器每小时加工零件 80 个． 【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 18．某中学为了解该校学生一年的课外阅读量，随机抽取了 n 名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下 条形统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题： （1）求 n 的值； （2）根据统计结果，估计该校 1100 名学生中一年的课外阅读量超过 10 本的人数． 【考点】条形统计图；用样本估计总体． 【分析】（1）可直接由条形统计图，求得 n 的值； （2）首先求得统计图中课外阅读量超过 10 本的百分比，继而求得答案． 【解答】解：（1）根据题意得：n=6+33+26+20+15=100， 答：n 的值为 100； （2）根据题意得： ×1100=385（人）， 答：估计该校 1100 名学生中一年的课外阅读量超过 10 本的人数为：385 人． 【点评】此题考查了条形统计图的知识以及由样本估计总体的知识．注意能准确分析条形统计图是解此题 的关键． 19．如图，为了解测量长春解放纪念碑的高度 AB，在与纪念碑底部 B 相距 27 米的 C 处，用高 1.5 米的测 角仪 DC 测得纪念碑顶端 A 的仰角为 47°，求纪念碑的高度（结果精确到 0.1 米） 【参考数据：sin47°=0.731，cos47°=0.682，tan47°=1.072】 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 【分析】作 DE⊥AB 于 E，根据正切的概念求出 AE 的长，再结合图形根据线段的和差计算即可求解． 【解答】解：作 DE⊥AB 于 E， 由题意得 DE=BC=27 米，∠ADE=47°， 在 Rt△ADE 中，AE=DE•tan∠ADE=27×1.072=28.944 米， AB=AE+BE≈30.4 米， 答：纪念碑的高度约为 30.4 米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的 定义是解题的关键． 20．如图，在▱ ABCD 中，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 AD 的延长线上，且 DF=BE，BE 与 CD 交于点 G （1）求证：BD∥EF； （2）若 = ，BE=4，求 EC 的长． 【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 【分析】（1）根据平行四边的判定与性质，可得答案； （2）根据相似三角形的判定与性质，可得答案． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC． ∵DF=BE， ∴四边形 BEFD 是平行四边形， ∴BD∥EF； （2）∵四边形 BEFD 是平行四边形， ∴DF=BE=4． ∵DF∥EC， ∴△DFG∽CEG， ∴ = ， ∴CE= =4× =6． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性 质． 21．甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，甲车匀速前往 B 地，到达 B 地立即以另一速度按原路匀速返 回到 A 地；乙车匀速前往 A 地，设甲、乙两车距 A 地的路程为 y（千米），甲车行驶的时间为 x（时）， y 与 x 之间的函数图象如图所示 （1）求甲车从 A 地到达 B 地的行驶时间； （2）求甲车返回时 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）求乙车到达 A 地时甲车距 A 地的路程． 【考点】一次函数的应用． 【分析】（1）根据题意列算式即可得到结论； （2）根据题意列方程组即可得到结论； （3）根据题意列算式即可得到结论． 【解答】解：（1）300÷（180÷1.5）=2.5（小时）， 答：甲车从 A 地到达 B 地的行驶时间是 2.5 小时； （2）设甲车返回时 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b， ∴ ， 解得： ， ∴甲车返回时 y 与 x 之间的函数关系式是 y=﹣100x+550； （3）300÷[（300﹣180）÷1.5 ] =3.75 小时， 当 x=3.75 时，y=175 千米， 答：乙车到达 A 地时甲车距 A 地的路程是 175 千米． 【点评】本题考查了待定系数法一次函数的解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时求出一次 函数的解析式是关键． 22．感知：如图 1，AD 平分∠BAC．∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC． 探究：如图 2，AD 平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°，求证：DB=DC． 应用：如图 3，四边形 ABCD 中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC=a，则 AB﹣AC= a （用含 a 的代 数式表示） 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】探究：欲证明 DB=DC，只要证明△DFC≌△DEB 即可． 应用：先证明△DFC≌△DEB，再证明△ADF≌△ADE，结合 BD= EB 即可解决问题． 【解答】探究： 证明：如图②中，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F， ∵DA 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF， ∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°， ∴∠B=∠FCD， 在△DFC 和△DEB 中， ， ∴△DFC≌△DEB， ∴DC=DB． 应用：解；如图③连接 AD、DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F， ∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°， ∴∠B=∠FCD， 在△DFC 和△DEB 中， ， ∴△DFC≌△DEB， ∴DF=DE，CF=BE， 在 RT△ADF 和 RT△ADE 中， ， ∴△ADF≌△ADE， ∴AF=AE， ∴AB﹣AC=（AE+BE）﹣（AF﹣CF）=2BE， 在 RT△DEB 中，∵∠DEB=90°，∠B=∠EDB=45°，BD=a， ∴BE= a， ∴AB﹣AC= a． 故答案为 a． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识， 解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型． 23．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB=8，∠BAD=60°，点 E 从点 A 出发，沿 AB 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 B 运动，当点 E 不与点 A 重合时，过点 E 作 EF⊥AD 于点 F，作 EG∥AD 交 AC 于点 G，过点 G 作 GH⊥AD 交 AD（或 AD 的延长线）于点 H，得到矩形 EFHG，设点 E 运动的时间为 t 秒 （1）求线段 EF 的长（用含 t 的代数式表示）； （2）求点 H 与点 D 重合时 t 的值； （3）设矩形 EFHG 与菱形 ABCD 重叠部分图形的面积与 S 平方单位，求 S 与 t 之间的函数关系式； （4）矩形 EFHG 的对角线 EH 与 FG 相交于点 O′，当 OO′∥AD 时，t 的值为 4 ；当 OO′⊥AD 时，t 的值为 3 ． 【考点】四边形综合题． 【分析】（1）由题意知：AE=2t，由锐角三角函数即可得出 EF= t； （2）当 H 与 D 重合时，FH=GH=8﹣t，由菱形的性质和 EG∥AD 可知，AE=EG，解得 t= ； （3）矩形 EFHG 与菱形 ABCD 重叠部分图形需要分以下两种情况讨论：①当 H 在线段 AD 上，此时重合 的部分为矩形 EFHG；②当 H 在线段 AD 的延长线上时，重合的部分为五边形； （4）当 OO′∥AD 时，此时点 E 与 B 重合；当 OO′⊥AD 时，过点 O 作 OM⊥AD 于点 M，EF 与 OA 相交 于点 N，然后分别求出 O′M、O′F、FM，利用勾股定理列出方程即可求得 t 的值． 【解答】解：（1）由题意知：AE=2t，0≤t≤4， ∵∠BAD=60°，∠AFE=90°， ∴sin∠BAD= ， ∴EF= t； （2）∵AE=2t，∠AEF=30°， ∴AF=t， 当 H 与 D 重合时， 此时 FH=8﹣t， ∴GE=8﹣t， ∵EG∥AD， ∴∠EGA=30°， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴∠BAC=30°， ∴∠BAC=∠EGA=30°， ∴AE=EG， ∴2t=8﹣t， ∴t= ； （3）当 0≤t≤ 时， 此时矩形 EFHG 与菱形 ABCD 重叠部分图形为矩形 EFHG， ∴由（2）可知：AE=EG=2t， ∴S=EF•EG= t•2t=2 t2， 当 ＜t≤4 时，如图 1， 设 CD 与 HG 交于点 I， 此时矩形 EFHG 与菱形 ABCD 重叠部分图形为五边形 FEGID， ∵AE=2t， ∴AF=t，EF= t， ∴DF=8﹣t， ∵AE=EG=FH=2t， ∴DH=2t﹣（8﹣t）=3t﹣8， ∵∠HDI=∠BAD=60°， ∴tan∠HDI= ， ∴HI= DH， ∴S=EF•EG﹣ DH•HI=2 t2﹣ （3t﹣8）2=﹣ t2+24 t﹣32 ； （4）当 OO′∥AD 时，如图 2 此时点 E 与 B 重合， ∴t=4； 当 OO′⊥AD 时，如图 3， 过点 O 作 OM⊥AD 于点 M，EF 与 OA 相交于点 N， 由（2）可知：AF=t，AE=EG=2t， ∴FN= t，FM=t， ∵O′O⊥AD，O′是 FG 的中点， ∴O′O 是△FNG 的中位线， ∴O′O= FN= t， ∵AB=8， ∴由勾股定理可求得：OA=4 ∴OM=2 ， ∴O′M=2 ﹣ t， ∵FE= t，EG=2t， ∴由勾股定理可求得：FG2=7t2， ∴由矩形的性质可知：O′F2= FG2， ∵由勾股定理可知：O′F2=O′M2+FM2， ∴ t2=（2 ﹣ t）2+t2， ∴t=3 或 t=﹣6（舍去）． 故答案为：t=4；t=3． 【点评】本题考查四边形的综合问题，涉及矩形和菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数，解方程等知识， 综合程度较高，考查学生灵活运用知识的能力． 24．如图，在平面直角坐标系中，有抛物线 y=a（x﹣h）2．抛物线 y=a（x﹣3）2+4 经过原点，与 x 轴正 半轴交于点 A，与其对称轴交于点 B，P 是抛物线 y=a（x﹣3）2+4 上一点，且在 x 轴上方，过点 P 作 x 轴 的垂线交抛物线 y=（x﹣h）2 于点 Q，过点 Q 作 PQ 的垂线交抛物线 y=（x﹣h）2 于点 Q′（不与点 Q 重合）， 连结 PQ′，设点 P 的横坐标为 m． （1）求 a 的值； （2）当抛物线 y=a（x﹣h）2 经过原点时，设△PQQ′与△OAB 重叠部分图形的周长为 l． ①求 的值； ②求 l 与 m 之间的函数关系式； （3）当 h 为何值时，存在点 P，使以点 O，A，Q，Q′为顶点的四边形是轴对称图形？直接写出 h 的值． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）把（0，0）代入 y=a（x﹣3）2+4 即可解决问题． （2）①用 m 的代数式表示 PQ、QQ′，即可解决问题． ②分 0＜m≤3 或 3＜m＜6 两种情形，画出图形，利用相似三角形或锐角三角函数求出相应线段即可解决． （3），①当 h=3 时，两个抛物线对称轴 x=3，四边形 OAQQ′是等腰梯形．②当四边形 OQ′1Q1A 是菱形 时，求出抛物线对称轴即可解决问题． 【解答】解：（1）∵抛物线 y=a（x﹣3）2+4 经过原点， ∴x=0 时，y=0， ∴9a+4=0， ∴a=﹣ ． （2）∵抛物线 y=a（x﹣h）2 经过原点时， ∴h=0，∵a=﹣ ， ∴y=﹣ x2． ①∵P（m，﹣ + m），Q（m，﹣ ）， ∴PQ=﹣ + m﹣（﹣ ）= m，QQ′=2m， ∴ = = ． ②如图 1 中，当 0＜m≤3 时，设 PQ 与 OB 交于点 E，与 OA 交于点 F， ∵ = ，∠PQQ′=∠BMO=90°， ∴△PQQ′∽△BMO， ∴∠QPQ′=∠OBM， ∵EF∥BM， ∴∠OEF=∠OBM， ∴∠OEF=∠QPQ′， ∴OE∥PQ′， ∵ = ， ∴EF= ，OE= ， ∴l=OF+EF+OE=m+ + m=4m， 当 3＜m＜6 时，如图 2 中，设 PQ′与 AB 交于点 H，与 x 轴交于点 G，PQ 交 AB 于 E，交 OA 于 F，作 HM⊥OA 于 M． ∵AF=6﹣m，tan∠EAF= = ， ∴EF= m，AE= ， ∵tan∠PGF= = ，PF=﹣ + ， ∴GF=﹣ m2+2m， ∴AG=﹣ m2+m+6， ∴GM=AM=﹣ m2+ m+3， ∵HG=HA= ，=﹣ m2+ m+5， ∴l=GH+EH+EF+FG=﹣ m2+ +10． 综上所述 l= ． （3）如图 3 中，①当 h=3 时，两个抛物线对称轴 x=3， ∴点 O、A 关于对称轴对称，点 Q，Q′关于对称轴对称， ∴OA∥QQ′，OQ′=AQ， ∴四边形 OAQQ′是等腰梯形，属于轴对称图形． ②当四边形 OQ′1Q1A 是菱形时，OQ′1=OA=6， ∵Q′1Q1=OA=6， ∴点 Q1 的纵坐标为 4， 在 RT△OHQ′1，中，OH=4，OQ′1=6， ∴HQ′1=2 ， ∴h=3﹣2 或 3+2 ， 综上所述 h=3 或 3﹣2 或 3+2 时点 O，A，Q，Q′为顶点的四边形是轴对称图形． 【点评】本题考查二次函数的综合题、相似三角形的性质和判定、菱形的性质、等腰梯形的性质，锐角三 角函数等知识，解题的关键是学会分类讨论，需要正确画出图象解决问题，属于中考压轴题．