2016年百色市中考数学试题及答案解析版

2016 年广西百色市中考数学试卷 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．三角形的内角和等于（ ） A．90° B．180° C．300° D．360° 2．计算：23=（ ） A．5 B．6 C．8 D．9 3．如图，直线 a、b 被直线 c 所截，下列条件能使 a∥b 的是（ ） A．∠1=∠6 B．∠2=∠6 C．∠1=∠3 D．∠5=∠7 4．在不透明口袋内有形状、大小、质地完全一样的 5 个小球，其中红球 3 个，白球 2 个， 随机抽取一个小球是红球的概率是（ ） A． B． C． D． 5．今年百色市九年级参加中考人数约有 38900 人，数据 38900 用科学记数法表示为（ ） A．3.89×102B．389×102C．3.89×104D．3.89×105 6．如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则 BC=（ ） A．6 B．6 C．6 D．12 7．分解因式：16﹣x2=（ ） A．（4﹣x）（4+x） B．（x﹣4）（x+4） C．（8+x）（8﹣x） D．（4﹣x）2 8．下列关系式正确的是（ ） A．35.5°=35°5′ B．35.5°=35°50′ C．35.5°＜35°5′ D．35.5°＞35°5′ 9．为了了解某班同学一周的课外阅读量，任选班上 15 名同学进行调查，统计如表，则下列 说法错误的是（ ） 阅读量（单位：本/周） 0 1 2 3 4 人数（单位：人） 1[来源:Z#xx#k.Com] 4 6 2 2 A．中位数是 2 B．平均数是 2 C．众数是 2 D．极差是 2 10．直线 y=kx+3 经过点 A（2，1），则不等式 kx+3≥0 的解集是（ ） A．x≤3 B．x≥3 C．x≥﹣3 D．x≤0 11．A、B 两地相距 160 千米，甲车和乙车的平均速度之比为 4：5，两车同时从 A 地出发 到 B 地，乙车比甲车早到 30 分钟，若求甲车的平均速度，设甲车平均速度为 4x 千米/小时， 则所列方程是（ ） A． ﹣ =30 B． ﹣ = C． ﹣ = D． + =30 12．如图，正△ABC 的边长为 2，过点 B 的直线 l⊥AB，且△ABC 与△A′BC′关于直线 l 对 称，D 为线段 BC′上一动点，则 AD+CD 的最小值是（ ） A．4 B．3 C．2 D．2+ 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13． 的倒数是 ． 14．若点 A（x，2）在第二象限，则 x 的取值范围是 ． 15．如图，⊙O 的直径 AB 过弦 CD 的中点 E，若∠C=25°，则∠D= ． 16．某几何体的三视图如图所示，则组成该几何体的小正方体的个数是 ． 17．一组数据 2，4，a，7，7 的平均数 =5，则方差 S2= ． 18．观察下列各式的规律： （a﹣b）（a+b）=a2﹣b2 （a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3 （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4 … 可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）= ． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分） 19．计算： +2sin60°+|3﹣ |﹣（ ﹣π）0． 20．解方程组： ． 21．△ABC 的顶点坐标为 A（﹣2，3）、B（﹣3，1）、C（﹣1，2），以坐标原点 O 为旋转 中心，顺时针旋转 90°，得到△A′B′C′，点 B′、C′分别是点 B、C 的对应点． （1）求过点 B′的反比例函数解析式； （2）求线段 CC′的长． 22．已知平行四边形 ABCD 中，CE 平分∠BCD 且交 AD 于点 E，AF∥CE，且交 BC 于点 F． （1）求证：△ABF≌△CDE； （2）如图，若∠1=65°，求∠B 的大小． 23．某校在践行“社会主义核心价值观”演讲比赛中，对名列前 20 名的选手的综合分数 m 进 行分组统计，结果如表所示： 组号 分组 频数 一 6≤m＜7 2 二 7≤m＜8 7 三 8≤m＜9 a 四 9≤m≤10 2 （1）求 a 的值； （2）若用扇形图来描述，求分数在 8≤m＜9 内所对应的扇形图的圆心角大小； （3）将在第一组内的两名选手记为：A1、A2，在第四组内的两名选手记为：B1、B2，从第 一组和第四组中随机选取2名选手进行调研座谈，求第一组至少有1名选手被选中的概率（用 树状图或列表法列出所有可能结果）． 24．在直角墙角 AOB（OA⊥OB，且 OA、OB 长度不限）中，要砌 20m 长的墙，与直角墙 角 AOB 围成地面为矩形的储仓，且地面矩形 AOBC 的面积为 96m2． （1）求这地面矩形的长； （2）有规格为 0.80×0.80 和 1.00×1.00（单位：m）的地板砖单价分别为 55 元/块和 80 元/块， 若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖 费用较少？ 25．如图，已知 AB 为⊙O 的直径，AC 为⊙O 的切线，OC 交⊙O 于点 D，BD 的延长线交 AC 于点 E． （1）求证：∠1=∠CAD； （2）若 AE=EC=2，求⊙O 的半径． 26．正方形 OABC 的边长为 4，对角线相交于点 P，抛物线 L 经过 O、P、A 三点，点 E 是 正方形内的抛物线上的动点． （1）建立适当的平面直角坐标系， ①直接写出 O、P、A 三点坐标； ②求抛物线 L 的解析式； （2）求△OAE 与△OCE 面积之和的最大值． 2016 年广西百色市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．三角形的内角和等于（ ） A．90° B．180° C．300° D．360° 【考点】三角形内角和定理． 【分析】利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为 180°即可解本题 【解答】解：因为三角形的内角和为 180 度． 所以 B 正确． 故选 B． 2．计算：23=（ ） A．5 B．6 C．8 D．9 【考点】有理数的乘方． 【分析】根据立方的计算法则计算即可求解． 【解答】解：23=8． 故选：C． 3．如图，直线 a、b 被直线 c 所截，下列条件能使 a∥b 的是（ ） A．∠1=∠6 B．∠2=∠6 C．∠1=∠3 D．∠5=∠7 【考点】平行线的判定． 【分析】利用平行线的判定方法判断即可． 【解答】解：∵∠2=∠6（已知）， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）， 则能使 a∥b 的条件是∠2=∠6， 故选 B 4．在不透明口袋内有形状、大小、质地完全一样的 5 个小球，其中红球 3 个，白球 2 个， 随机抽取一个小球是红球的概率是（ ） A． B． C． D． 【考点】概率公式． 【分析】用红球的个数除以所有球的个数即可求得抽到红球的概率． 【解答】解：∵共有 5 个球，其中红球有 3 个， ∴P（摸到红球）= ， 故选 C． 5．今年百色市九年级参加中考人数约有 38900 人，数据 38900 用科学记数法表示为（ ） A．3.89×102B．389×102C．3.89×104D．3.89×105 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数 绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将 38900 用科学记数法表示为 3.89×104． 故选 C． 6．如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则 BC=（ ） A．6 B．6 C．6 D．12 【考点】含 30 度角的直角三角形． 【分析】根据 30°所对的直角边等于斜边的一半求解． 【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=12， ∴BC=12sin30°=12× =6， 故答选 A． 7．分解因式：16﹣x2=（ ） A．（4﹣x）（4+x） B．（x﹣4）（x+4） C．（8+x）（8﹣x） D．（4﹣x）2 【考点】因式分解-运用公式法． 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案． 【解答】解：16﹣x2=（4﹣x）（4+x）． 故选：A． 8．下列关系式正确的是（ ） A．35.5°=35°5′ B．35.5°=35°50′ C．35.5°＜35°5′ D．35.5°＞35°5′ 【考点】度分秒的换算． 【分析】根据大单位化小单位乘以进率，可得答案． 【解答】解：A、35.5°=35°30′，35°30′＞35°5′，故 A 错误； B、35.5°=35°30′，35°30′＜35°50′，故 B 错误； C、35.5°=35°30′，35°30′＞35°5′，故 C 错误； D、35.5°=35°30′，35°30′＞35°5′，故 D 正确； 故选：D． 9．为了了解某班同学一周的课外阅读量，任选班上 15 名同学进行调查，统计如表，则下列 说法错误的是（ ） 阅读量（单位：本/周） 0 1 2 3 4 人数（单位：人） 1 4 6 2 2 A．中位数是 2 B．平均数是 2 C．众数是 2 D．极差是 2 【考点】极差；加权平均数；中位数；众数． 【分析】根据表格中的数据，求出中位数，平均数，众数，极差，即可做出判断． 【解答】解：15 名同学一周的课外阅读量为 0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，4， 4， 中位数为 2； 平均数为（0×1+1×4+2×6+3×2+4×2）÷15=2； 众数为 2； 极差为 4﹣0=4； 所以 A、B、C 正确，D 错误． 故选 D． 10．直线 y=kx+3 经过点 A（2，1），则不等式 kx+3≥0 的解集是（ ） A．x≤3 B．x≥3 C．x≥﹣3 D．x≤0 【考点】一次函数与一元一次不等式． 【分析】首先把点 A（2，1）代入 y=kx+3 中，可得 k 的值，再解不等式 kx+3≥0 即可． 【解答】解：∵y=kx+3 经过点 A（2，1）， ∴1=2k+3， 解得：k=﹣1， ∴一次函数解析式为：y=﹣x+3， ﹣x+3≥0， 解得：x≤3． 故选 A． 11．A、B 两地相距 160 千米，甲车和乙车的平均速度之比为 4：5，两车同时从 A 地出发 到 B 地，乙车比甲车早到 30 分钟，若求甲车的平均速度，设甲车平均速度为 4x 千米/小时， 则所列方程是（ ） A． ﹣ =30 B． ﹣ = C． ﹣ = D． + =30 【考点】由实际问题抽象出分式方程． 【分析】设甲车平均速度为 4x 千米/小时，则乙车平均速度为 5x 千米/小时，根据两车同时 从 A 地出发到 B 地，乙车比甲车早到 30 分钟列出方程即可． 【解答】解：设甲车平均速度为 4x 千米/小时，则乙车平均速度为 5x 千米/小时， 根据题意得， ﹣ = ． 故选 B． 12．如图，正△ABC 的边长为 2，过点 B 的直线 l⊥AB，且△ABC 与△A′BC′关于直线 l 对 称，D 为线段 BC′上一动点，则 AD+CD 的最小值是（ ） A．4 B．3 C．2 D．2+ 【考点】轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质． 【分析】连接 CC′，连接 A′C 交 y 轴于点 D，连接 AD，此时 AD+CD 的值最小，根据等边 三角形的性质即可得出四边形 CBA′C′为菱形，根据菱形的性质即可求出 A′C 的长度，从而 得出结论． 【解答】解：连接 CC′，连接 A′C 交 l 于点 D，连接 AD，此时 AD+CD 的值最小，如图所 示． ∵△ABC 与△A′BC′为正三角形，且△ABC 与△A′BC′关于直线 l 对称， ∴四边形 CBA′C′为边长为 2 的菱形，且∠BA′C′=60°， ∴A′C=2× A′B=2 ． 故选 C． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13． 的倒数是 3 ． 【考点】倒数． 【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可． 【解答】解：∵ ×3=1， ∴ 的倒数是 3． 故答案为：3． 14．若点 A（x，2）在第二象限，则 x 的取值范围是 x＜0 ． 【考点】点的坐标． 【分析】根据第二象限内点的横坐标小于零，可得答案． 【解答】解：由点 A（x，2）在第二象限，得 x＜0， 故答案为：x＜0． 15．如图，⊙O 的直径 AB 过弦 CD 的中点 E，若∠C=25°，则∠D= 65° ． 【考点】圆周角定理． 【分析】先根据圆周角定理求出∠A 的度数，再由垂径定理求出∠AED 的度数，进而可得 出结论． 【解答】解：∵∠C=25°， ∴∠A=∠C=25°． ∵⊙O 的直径 AB 过弦 CD 的中点 E， ∴AB⊥CD， ∴∠AED=90°， ∴∠D=90°﹣25°=65°．[来源:Z#xx#k.Com] 故答案为：65°． 16．某几何体的三视图如图所示，则组成该几何体的小正方体的个数是 5 ． 【考点】由三视图判断几何体． 【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行 3 列，故可 得出该几何体的小正方体的个数． 【解答】解：综合三视图，我们可得出，这个几何体的底层应该有 4 个小正方体，第二层应 该有 1 个小正方体， 因此搭成这个几何体的小正方体的个数为 4+1=5 个； 故答案为：5． 17．一组数据 2，4，a，7，7 的平均数 =5，则方差 S2= 3.6 ． 【考点】方差；算术平均数． 【分析】根据平均数的计算公式： = ，先求出 a 的值，再代入方差公式 S2= [（x1﹣ ）2+（x2﹣ ）2+…+（xn﹣ ）2 ] 进行计算即可． 【解答】解：∵数据 2，4，a，7，7 的平均数 =5， ∴2+4+a+7+7=25， 解得 a=5， ∴方差 s2= [（2﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（7﹣5）2+（7﹣5）2 ] =3.6； 故答案为：3.6． 18．观察下列各式的规律： （a﹣b）（a+b）=a2﹣b2 （a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3 （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4 … 可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）= a2017﹣b2017 ． 【考点】平方差公式；多项式乘多项式． 【分析】根据已知等式，归纳总结得到一般性规律，写出所求式子结果即可． 【解答】解：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2； （a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3； （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4； … 可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）=a2017﹣b2017， 故答案为：a2017﹣b2017 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分） 19．计算： +2sin60°+|3﹣ |﹣（ ﹣π）0． 【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值． 【分析】本题涉及二次根式化简、特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂 4 个考点．在 计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算 法则求得计算结果． 【解答】解： +2sin60°+|3﹣ |﹣（ ﹣π）0 =3+2× +3﹣ ﹣1 =3+ +3﹣ ﹣1 =5． 20．解方程组： ． 【考点】解二元一次方程组． 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【解答】解： ， ①×8+②得：33x=33，即 x=1， 把 x=1 代入①得：y=1， 则方程组的解为 ． 21．△ABC 的顶点坐标为 A（﹣2，3）、B（﹣3，1）、C（﹣1，2），以坐标原点 O 为旋转 中心，顺时针旋转 90°，得到△A′B′C′，点 B′、C′分别是点 B、C 的对应点． （1）求过点 B′的反比例函数解析式； （2）求线段 CC′的长． 【考点】待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形变化-旋转． 【分析】（1）据图形旋转方向以及旋转中心和旋转角度得出对应点，根据待定系数法，即可 求出解． （2）根据勾股定理求得 OC，然后根据旋转的旋转求得 OC′，最后根据勾股定理即可求得． 【解答】解：（1）如图所示：由图知 B 点的坐标为（﹣3，1），根据旋转中心 O，旋转方向 顺时针，旋转角度 90°， 点 B 的对应点 B′的坐标为（1，3）， 设过点 B′的反比例函数解析式为 y= ， ∴k=3×1=3， ∴过点 B′的反比例函数解析式为 y= ． （2）∵C（﹣1，2）， ∴OC= = ， ∵△ABC 以坐标原点 O 为旋转中心，顺时针旋转 90°， ∴OC′=OC= ， ∴CC′= = ． 22．已知平行四边形 ABCD 中，CE 平分∠BCD 且交 AD 于点 E，AF∥CE，且交 BC 于点 F． （1）求证：△ABF≌△CDE； （2）如图，若∠1=65°，求∠B 的大小． 【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）由平行四边形的性质得出 AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，得出∠1=∠DCE， 证出∠AFB=∠1，由 AAS 证明△ABF≌△CDE 即可； （2）由（1）得∠1=∠DCE=65°，由平行四边形的性质和三角形内角和定理即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D， ∴∠1=∠DCE， ∵AF∥CE， ∴∠AFB=∠ECB， ∵CE 平分∠BCD， ∴∠DCE=∠ECB， ∴∠AFB=∠1， 在△ABF 和△CDE 中， ， ∴△ABF≌△CDE（AAS）； （2）解：由（1）得：∠1=∠ECB，∠DCE=∠ECB， ∴∠1=∠DCE=65°， ∴∠B=∠D=180°﹣2×65°=50°． 23．某校在践行“社会主义核心价值观”演讲比赛中，对名列前 20 名的选手的综合分数 m 进 行分组统计，结果如表所示： 组号 分组 频数 一 6≤m＜7 2 二 7≤m＜8 7 三 8≤m＜9 a 四 9≤m≤10 2 （1）求 a 的值； （2）若用扇形图来描述，求分数在 8≤m＜9 内所对应的扇形图的圆心角大小； （3）将在第一组内的两名选手记为：A1、A2，在第四组内的两名选手记为：B1、B2，从第 一组和第四组中随机选取2名选手进行调研座谈，求第一组至少有1名选手被选中的概率（用 树状图或列表法列出所有可能结果）． 【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图． 【分析】（1）根基被调查人数为 20 和表格中的数据可以求得 a 的值； （2）根据表格中的数据可以得到分数在 8≤m＜9 内所对应的扇形图的圆心角大； （3）根据题意可以写出所有的可能性，从而可以得到第一组至少有 1 名选手被选中的概率． 【解答】解：（1）由题意可得， a=20﹣2﹣7﹣2=9， 即 a 的值是 9； （2）由题意可得， 分数在 8≤m＜9 内所对应的扇形图的圆心角为：360°× =36°； （3）由题意可得，所有的可能性如下图所示， 故第一组至少有 1 名选手被选中的概率是： = ， 即第一组至少有 1 名选手被选中的概率是 ． 24．在直角墙角 AOB（OA⊥OB，且 OA、OB 长度不限）中，要砌 20m 长的墙，与直角墙 角 AOB 围成地面为矩形的储仓，且地面矩形 AOBC 的面积为 96m2． （1）求这地面矩形的长； （2）有规格为 0.80×0.80 和 1.00×1.00（单位：m）的地板砖单价分别为 55 元/块和 80 元/块， 若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖 费用较少？ 【考点】一元二次方程的应用． 【分析】（1）根据题意表示出长方形的长，进而利用长×宽=面积，求出即可； （2）分别计算出每一规格的地板砖所需的费用，然后比较即可． 【解答】（1）设这地面矩形的长是 xm，则依题意得： x（20﹣x）=96， 解得 x1=12，x2=8（舍去）， 答：这地面矩形的长是 12 米； （2）规格为 0.80×0.80 所需的费用：96×（0.80×0.80）×55=8250（元）． 规格为 1.00×1.00 所需的费用：96×（1.00×1.00）×80=7680（元）． 因为 8250＜7680， 所以采用规格为 1.00×1.00 所需的费用较少． 25．如图，已知 AB 为⊙O 的直径，AC 为⊙O 的切线，OC 交⊙O 于点 D，BD 的延长线交 AC 于点 E． （1）求证：∠1=∠CAD； （2）若 AE=EC=2，求⊙O 的半径． 【考点】切线的性质． 【分析】（1）由 AB 为⊙O 的直径，AC 为⊙O 的切线，易证得∠CAD=∠BDO，继而证得 结论； （2）由（1）易证得△CAD∽△CDE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得 CD 的长， 再利用勾股定理，求得答案． 【解答】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ADO+∠BDO=90°， ∵AC 为⊙O 的切线， ∴OA⊥AC， ∴∠OAD+∠CAD=90°， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∵∠1=∠BDO， ∴∠1=∠CAD； （2）解：∵∠1=∠CAD，∠C=∠C， ∴△CAD∽△CDE， ∴CD：CA=CE：CD， ∴CD2=CA•CE， ∵AE=EC=2， ∴AC=AE+EC=4， ∴CD=2 ， 设⊙O 的半径为 x，则 OA=OD=x， 则 Rt△AOC 中，OA2+AC2=OC2， ∴x2+42=（2 +x）2， 解得：x= ． ∴⊙O 的半径为 ． 26．正方形 OABC 的边长为 4，对角线相交于点 P，抛物线 L 经过O、P、A 三点，点 E 是 正方形内的抛物线上的动点． （1）建立适当的平面直角坐标系， ①直接写出 O、P、A 三点坐标； ②求抛物线 L 的解析式； （2）求△OAE 与△OCE 面积之和的最大值． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）以 O 点为原点，线段 OA 所在的直线为 x 轴，线段 OC 所在的直线为 y 轴建 立直角坐标系．①根据正方形的边长结合正方形的性质即可得出点 O、P、A 三点的坐标； ②设抛物线 L 的解析式为 y=ax2+bx+c，结合点 O、P、A 的坐标利用待定系数法即可求出 抛物线的解析式； （2）由点 E 为正方形内的抛物线上的动点，设出点 E 的坐标，结合三角形的面积公式找出 S△OAE+SOCE 关于 m 的函数解析式，根据二次函数的性质即可得出结论． 【解答】解：（1）以 O 点为原点，线段 OA 所在的直线为 x 轴，线段 OC 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系，如图所示． ①∵正方形 OABC 的边长为 4，对角线相交于点 P， ∴点 O 的坐标为（0，0），点 A 的坐标为（4，0），点 P 的坐标为（2，2）． ②设抛物线 L 的解析式为 y=ax2+bx+c， ∵抛物线 L 经过 O、P、A 三点， ∴有 ， 解得： ， ∴抛物线 L 的解析式为 y=﹣ +2x． （2）∵点 E 是正方形内的抛物线上的动点， ∴设点 E 的坐标为（m，﹣ +2m）（0＜m＜4）， ∴S△OAE+S OCE= OA•yE+ OC•xE=﹣m2+4m+2m=﹣（m﹣3）2+9， ∴当 m=3 时，△OAE 与△OCE 面积之和最大，最大值为 9． 2016 年 7 月 11 日