2016年潍坊市中考数学试题及答案解析版

2016 年山东省潍坊市中考数学试卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分 1．计算：20•2﹣3=（ ） A．﹣ B． C．0 D．8 2．下列科学计算器的按键中，其上面标注的符号是轴对称图形但不是中心对称图形的是 （ ） A． B． C． D． 3．如图，几何体是由底面圆心在同一条直线上的三个圆柱构成的，其俯视图是（ ） A． B． C． D． 4．近日，记者从潍坊市统计局获悉，2016 年第一季度潍坊全市实现生产总值 1256.77 亿元， 将 1256.77 亿用科学记数法可表示为（精确到百亿位）（ ） A．1.2×1011B．1.3×1011C．1.26×1011D．0.13×1012 5．实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是（ ） A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b 6．关于 x 的一元二次方程 x2﹣ x+sinα=0 有两个相等的实数根，则锐角α等于（ ） A．15° B．30° C．45° D．60° 7．木杆 AB 斜靠在墙壁上，当木杆的上端 A 沿墙壁 NO 竖直下滑时，木杆的底端 B 也随之 沿着射线 OM 方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点 P 随之下落的路线，其中正确的是 （ ） A． B． C． D． 8．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式 a+1 的是（ ） A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1 9．如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与 x 轴相切于点 A（8，0），与 y 轴分别交于点 B（0， 4）和点 C（0，16），则圆心 M 到坐标原点 O 的距离是（ ） A．10 B．8 C．4 D．2 10．若关于 x 的方程 + =3 的解为正数，则 m 的取值范围是（ ） A．m＜ B．m＜ 且 m≠ C．m＞﹣ D．m＞﹣ 且 m≠﹣ 11．如图，在 Rt△ABC 中，∠A=30°，BC=2 ，以直角边 AC 为直径作⊙O 交 AB 于点 D， 则图中阴影部分的面积是（ ） A． ﹣ B． ﹣ C． ﹣ D． ﹣ 12．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值 x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果 程序操作进行了三次才停止，那么 x 的取值范围是（ ） A．x≥11 B．11≤x＜23 C．11＜x≤23 D．x≤23 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分 13．计算： （ + ）= ． 14．若 3x2nym 与 x4﹣nyn﹣1 是同类项，则 m+n= ． 15．超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表： 测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩（分数） 70 80 92 将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按 5：3：2 的比例计入总成绩，则该应聘者 的总成绩是 分． 16．已知反比例函数 y= （k≠0）的图象经过（3，﹣1），则当 1＜y＜3 时，自变量 x 的取 值范围是 ． 17．已知∠AOB=60°，点 P 是∠AOB 的平分线 OC 上的动点，点 M 在边 OA 上，且 OM=4， 则点 P 到点 M 与到边 OA 的距离之和的最小值是 ． 18．在平面直角坐标系中，直线 l：y=x﹣1 与 x 轴交于点 A1，如图所示依次作正方形 A1B1C1O、 正方形 A2B2C2C1、…、正方形 AnBnCnCn﹣1，使得点 A1、A2、A3、…在直线 l 上，点 C1、C2、 C3、…在 y 轴正半轴上，则点 Bn 的坐标是 ． 三、解答题：本大题共 7 小题，共 66 分 19．关于 x 的方程 3x2+mx﹣8=0 有一个根是 ，求另一个根及 m 的值． 20．今年 5 月，某大型商业集团随机抽取所属的 m 家商业连锁店进行评估，将各连锁店按 照评估成绩分成了 A、B、C、D 四个等级，绘制了如图尚不完整的统计图表． 评估成绩 n（分） 评定等级 频数 90≤n≤100 A 2 80≤n＜90 B 70≤n＜80 C 15 n＜70 D 6 根据以上信息解答下列问题： （1）求 m 的值； （2）在扇形统计图中，求 B 等级所在扇形的圆心角的大小；（结果用度、分、秒表示） （3）从评估成绩不少于 80 分的连锁店中任选 2 家介绍营销经验，求其中至少有一家是 A 等级的概率． 21．正方形 ABCD 内接于⊙O，如图所示，在劣弧 上取一点 E，连接 DE、BE，过点 D 作 DF∥BE 交⊙O 于点 F，连接 BF、AF，且 AF 与 DE 相交于点 G，求证： （1）四边形 EBFD 是矩形； （2）DG=BE． 22．如图，直立于地面上的电线杆 AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是 BC、 CD，测得 BC=6 米，CD=4 米，∠BCD=150°，在 D 处测得电线杆顶端 A 的仰角为 30°，试 求电线杆的高度（结果保留根号） 23．旅游公司在景区内配置了 50 辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只 能出租一次，且每辆车的日租金 x（元）是 5 的倍数．发现每天的营运规律如下：当 x 不超 过 100 元时，观光车能全部租出；当 x 超过 100 元时，每辆车的日租金每增加 5 元，租出去 的观光车就会减少 1 辆．已知所有观光车每天的管理费是 1100 元． （1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应 为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费） （2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？ 24．如图，在菱形 ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于 点 F． （1）如图 1，连接 AC 分别交 DE、DF 于点 M、N，求证：MN= AC； （2）如图 2，将△EDF 以点 D 为旋转中心旋转，其两边 DE′、DF′分别与直线 AB、BC 相 交于点 G、P，连接 GP，当△DGP 的面积等于 3 时，求旋转角的大小并指明旋转方向． 25．如图，已知抛物线 y= x2+bx+c 经过△ABC 的三个顶点，其中点 A（0，1），点 B（﹣ 9，10），AC∥x 轴，点 P 时直线 AC 下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式；（2）过点 P 且与 y 轴平行的直线 l 与直线 AB、AC 分别交于点 E、 F，当四边形 AECP 的面积最大时，求点 P 的坐标； （3）当点 P 为抛物线的顶点时，在直线 AC 上是否存在点 Q，使得以 C、P、Q 为顶点的三 角形与△ABC 相似，若存在，求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由． 2016 年山东省潍坊市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分 1．计算：20•2﹣3=（ ） A．﹣ B． C．0 D．8 【考点】负整数指数幂；零指数幂． 【分析】直接利用负整数指数幂的性质结合零指数幂的性质分析得出答案． 【解答】解：20•2﹣3=1× = ． 故选：B． 2．下列科学计算器的按键中，其上面标注的符号是轴对称图形但不是中心对称图形的是 （ ） A． B． C． D． 【考点】中心对称图形；轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确． 故选：D． 3．如图，几何体是由底面圆心在同一条直线上的三个圆柱构成的，其俯视图是（ ） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图． 【分析】根据俯视图的概念和看得到的边都应用实线表现在三视图中、看不到，又实际存在 的，又没有被其他边挡住的边用虚线表现在三视图中解答即可． 【解答】解：图中几何体的俯视图是 C 选项中的图形． 故选：C． 4．近日，记者从潍坊市统计局获悉，2016 年第一季度潍坊全市实现生产总值 1256.77 亿元， 将 1256.77 亿用科学记数法可表示为（精确到百亿位）（ ） A．1.2×1011B．1.3×1011C．1.26×1011D．0.13×1012 【考点】科学记数法与有效数字． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数 绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将 1256.77 亿用科学记数法可表示为 1.3×1011． 故选 B． 5．实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是（ ） A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b 【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴． 【分析】直接利用数轴上 a，b 的位置，进而得出 a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次 根式的性质化简得出答案． 【解答】解：如图所示：a＜0，a﹣b＜0， 则|a|+ =﹣a﹣（a﹣b） =﹣2a+b． 故选：A． 6．关于 x 的一元二次方程 x2﹣ x+sinα=0 有两个相等的实数根，则锐角α等于（ ） A．15° B．30° C．45° D．60° 【考点】根的判别式；特殊角的三角函数值． 【分析】由方程有两个相等的实数根，结合根的判别式可得出 sinα= ，再由α为锐角，即可 得出结论． 【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣ x+sinα=0 有两个相等的实数根， ∴△= ﹣4sinα=2﹣4sinα=0， 解得：sinα= ， ∵α为锐角， ∴α=30°． 故选 B． 7．木杆 AB 斜靠在墙壁上，当木杆的上端 A 沿墙壁 NO 竖直下滑时，木杆的底端 B 也随之 沿着射线 OM 方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点 P 随之下落的路线，其中正确的是 （ ） A． B． C． D． 【考点】轨迹；直角三角形斜边上的中线． 【分析】先连接 OP，易知 OP 是 Rt△AOB 斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半，可得 OP= AB，由于木杆不管如何滑动，长度都不变，那么 OP 就是一个 定值，那么 P 点就在以 O 为圆心的圆弧上． 【解答】解：如右图， 连接 OP，由于 OP 是 Rt△AOB 斜边上的中线， 所以 OP= AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是 OP 是一个定值，点 P 就在以 O 为圆心的圆弧上，那么中点 P 下落的路线是一段弧线． 故选 D． 8．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式 a+1 的是（ ） A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1 【考点】因式分解的意义． 【分析】先把各个多项式分解因式，即可得出结果． 【解答】解：∵a2﹣1=（a+1）（a﹣1）， a2+a=a（a+1）， a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1）， （a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2， ∴结果中不含有因式 a+1 的是选项 C； 故选：C． 9．如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与 x 轴相切于点 A（8，0），与 y 轴分别交于点 B（0， 4）和点 C（0，16），则圆心 M 到坐标原点 O 的距离是（ ） A．10 B．8 C．4 D．2 【考点】切线的性质；坐标与图形性质． 【分析】如图连接 BM、OM，AM，作 MH⊥BC 于 H，先证明四边形 OAMH 是矩形，根据 垂径定理求出 HB，在 RT△AOM 中求出 OM 即可． 【解答】解：如图连接 BM、OM，AM，作 MH⊥BC 于 H． ∵⊙M 与 x 轴相切于点 A（8，0）， ∴AM⊥OA，OA=8， ∴∠OAM=∠MH0=∠HOA=90°， ∴四边形 OAMH 是矩形， ∴AM=OH， ∵MH⊥BC， ∴HC=HB=6， ∴OH=AM=10， 在 RT△AOM 中，OM= = =2 ． 故选 D． 10．若关于 x 的方程 + =3 的解为正数，则 m 的取值范围是（ ） A．m＜ B．m＜ 且 m≠ C．m＞﹣ D．m＞﹣ 且 m≠﹣ 【考点】分式方程的解． 【分析】直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出 x 的取值范围，进而得 出答案． 【解答】解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9， 整理得：2x=﹣2m+9， 解得：x= ， ∵关于 x 的方程 + =3 的解为正数， ∴﹣2m+9＞0， 级的：m＜ ， 当 x=3 时，x= =3， 解得：m= ， 故 m 的取值范围是：m＜ 且 m≠ ． 故选：B． 11．如图，在 Rt△ABC 中，∠A=30°，BC=2 ，以直角边 AC 为直径作⊙O 交 AB 于点 D， 则图中阴影部分的面积是（ ） A． ﹣ B． ﹣ C． ﹣ D． ﹣ 【考点】扇形面积的计算；含 30 度角的直角三角形． 【分析】连接连接 OD、CD，根据 S 阴=S△ABC﹣S△ACD﹣（S 扇形 OCD﹣S△OCD）计算即可解决 问题． 【解答】解：如图连接 OD、CD． ∵AC 是直径， ∴∠ADC=90°， ∵∠A=30°， ∴∠ACD=90°﹣∠A=60°， ∵OC=OD， ∴△OCD 是等边三角形， ∵BC 是切线． ∴∠ACB=90°，∵BC=2 ， ∴AB=4 ，AC=6， ∴S 阴=S△ABC﹣S△ACD﹣（S 扇形 OCD﹣S△OCD） = ×6×2 ﹣ ×3× ﹣（ ﹣ ×32） = ﹣ π． 故选 A． 12．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值 x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果 程序操作进行了三次才停止，那么 x 的取值范围是（ ） A．x≥11 B．11≤x＜23 C．11＜x≤23 D．x≤23 【考点】一元一次不等式组的应用． 【分析】根据运算程序，前两次运算结果小于等于 95，第三次运算结果大于 95 列出不等式 组，然后求解即可． 【解答】解：由题意得， ， 解不等式①得，x≤47， 解不等式②得，x≤23， 解不等式③得，x＞11， 所以，x 的取值范围是 11＜x≤23． 故选 C． 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分 13．计算： （ + ）= 12 ． 【考点】二次根式的混合运算． 【分析】先把 化简，再本括号内合并，然后进行二次根式的乘法运算． 【解答】解：原式= •（ +3 ） = ×4 =12． 故答案为 12． 14．若 3x2nym 与 x4﹣nyn﹣1 是同类项，则 m+n= ． 【考点】同类项． 【分析】直接利用同类项的定义得出关于 m，n 的等式，进而求出答案． 【解答】解：∵3x2nym 与 x4﹣nyn﹣1 是同类项， ∴ ， 解得： 则 m+n= + = ． 故答案为： ． 15．超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表： 测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩（分数） 70 80 92 将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按 5：3：2 的比例计入总成绩，则该应聘者 的总成绩是 77.4 分． 【考点】加权平均数． 【分析】根据该应聘者的总成绩=创新能力×所占的比值+综合知识×所占的比值+语言表达× 所占的比值即可求得． 【解答】解：根据题意，该应聘者的总成绩是：70× +80× +92× =77.4（分）， 故答案为：77.4． 16．已知反比例函数 y= （k≠0）的图象经过（3，﹣1），则当 1＜y＜3 时，自变量 x 的取 值范围是 ﹣3＜x＜﹣1 ． 【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】根据反比例函数过点（3，﹣1）结合反比例函数图象上点的坐标特征可求出 k 值， 根据 k 值可得出反比例函数在每个象限内的函数图象都单增，分别代入 y=1、y=3 求出 x 值， 即可得出结论． 【解答】解：∵反比例函数 y= （k≠0）的图象经过（3，﹣1）， ∴k=3×（﹣1）=﹣3， ∴反比例函数的解析式为 y= ． ∵反比例函数 y= 中 k=﹣3， ∴该反比例函数的图象经过第二、四象限，且在每个象限内均单增． 当 y=1 时，x= =﹣3； 当 y=3 时，x= =﹣1． ∴1＜y＜3 时，自变量 x 的取值范围是﹣3＜x＜﹣1． 故答案为：﹣3＜x＜﹣1． 17．已知∠AOB=60°，点 P 是∠AOB 的平分线 OC 上的动点，点 M 在边 OA 上，且 OM=4， 则点 P 到点 M 与到边 OA 的距离之和的最小值是 2 ． 【考点】轴对称-最短路线问题． 【分析】过 M 作 MN′⊥OB 于 N′，交 OC 于 P，即 MN′的长度等于点 P 到点 M 与到边 OA 的距离之和的最小值，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：过 M 作 MN′⊥OB 于 N′，交 OC 于 P， 则 MN′的长度等于 PM+PN 的最小值， 即 MN′的长度等于点 P 到点 M 与到边 OA 的距离之和的最小值， ∵∠ON′M=90°，OM=4， ∴MN′=OM•sin60°=2 ， ∴点 P 到点 M 与到边 OA 的距离之和的最小值为 2 ． 18．在平面直角坐标系中，直线 l：y=x﹣1 与 x 轴交于点 A1，如图所示依次作正方形 A1B1C1O、 正方形 A2B2C2C1、…、正方形 AnBnCnCn﹣1，使得点 A1、A2、A3、…在直线 l 上，点 C1、C2、 C3、…在 y 轴正半轴上，则点 Bn 的坐标是 （2n﹣1，2n﹣1） ． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质． 【分析】先求出 B1、B2、B3 的坐标，探究规律后即可解决问题． 【解答】解：∵y=x﹣1 与 x 轴交于点 A1， ∴A1 点坐标（1，0）， ∵四边形 A1B1C1O 是正方形， ∴B1 坐标（1，1）， ∵C1A2∥x 轴， ∴A2 坐标（2，1）， ∵四边形 A2B2C2C1 是正方形， ∴B2 坐标（2，3）， ∵C2A3∥x 轴， ∴A3 坐标（4，3）， ∵四边形 A3B3C3C2 是正方形， ∴B3（4，7）， ∵B1（20，21﹣1），B2（21，22﹣1），B3（22，23﹣1），…， ∴Bn 坐标（2n﹣1，2n﹣1）． 故答案为（2n﹣1，2n﹣1）． 三、解答题：本大题共 7 小题，共 66 分 19．关于 x 的方程 3x2+mx﹣8=0 有一个根是 ，求另一个根及 m 的值． 【考点】根与系数的关系． 【分析】由于 x= 是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出 m 的值，然后由根与系数 的关系来求方程的另一根． 【解答】解：设方程的另一根为 t． 依题意得：3×（ ）2+ m﹣8=0， 解得 m=10． 又 t=﹣ ， 所以 t=﹣4． 综上所述，另一个根是﹣4，m 的值为 10． 20．今年 5 月，某大型商业集团随机抽取所属的 m 家商业连锁店进行评估，将各连锁店按 照评估成绩分成了 A、B、C、D 四个等级，绘制了如图尚不完整的统计图表． 评估成绩 n（分） 评定等级 频数 90≤n≤100 A 2 80≤n＜90 B 70≤n＜80 C 15 n＜70 D 6 根据以上信息解答下列问题： （1）求 m 的值； （2）在扇形统计图中，求 B 等级所在扇形的圆心角的大小；（结果用度、分、秒表示） （3）从评估成绩不少于 80 分的连锁店中任选 2 家介绍营销经验，求其中至少有一家是 A 等级的概率． 【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图． 【分析】（1）由 C 等级频数为 15，占 60%，即可求得 m 的值； （2）首先求得 B 等级的频数，继而求得 B 等级所在扇形的圆心角的大小； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其中至少有一家是 A 等级的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：（1）∵C 等级频数为 15，占 60%， ∴m=15÷60%=25； （2）∵B 等级频数为：25﹣2﹣15﹣6=2， ∴B 等级所在扇形的圆心角的大小为： ×360°=28.8°=28°48′； （3）评估成绩不少于 80 分的连锁店中，有两家等级为 A，有两家等级为 B，画树状图得： ∵共有 12 种等可能的结果，其中至少有一家是 A 等级的有 10 种情况， ∴其中至少有一家是 A 等级的概率为： = ． 21．正方形 ABCD 内接于⊙O，如图所示，在劣弧 上取一点 E，连接 DE、BE，过点 D 作 DF∥BE 交⊙O 于点 F，连接 BF、AF，且 AF 与 DE 相交于点 G，求证： （1）四边形 EBFD 是矩形； （2）DG=BE． 【考点】正方形的性质；矩形的判定；圆周角定理． 【分析】（1）直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出 ∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，∠EDF=90°，进而得出答案； （2）直接利用正方形的性质 的度数是 90°，进而得出 BE=DF，则 BE=DG． 【解答】证明：（1）∵正方形 ABCD 内接于⊙O， ∴∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°， 又∵DF∥BE， ∴∠EDF+∠BED=180°， ∴∠EDF=90°， ∴四边形 EBFD 是矩形； （2））∵正方形 ABCD 内接于⊙O， ∴ 的度数是 90°， ∴∠AFD=45°， 又∵∠GDF=90°， ∴∠DGF=∠DFC=45°， ∴DG=DF， 又∵在矩形 EBFD 中，BE=DF， ∴BE=DG． 22．如图，直立于地面上的电线杆 AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是 BC、 CD，测得 BC=6 米，CD=4 米，∠BCD=150°，在 D 处测得电线杆顶端 A 的仰角为 30°，试 求电线杆的高度（结果保留根号） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 【分析】延长 AD 交 BC 的延长线于 E，作 DF⊥BE 于 F，根据直角三角形的性质和勾股定 理求出 DF、CF 的长，根据正切的定义求出 EF，得到 BE 的长，根据正切的定义解答即可． 【解答】解：延长 AD 交 BC 的延长线于 E，作 DF⊥BE 于 F， ∵∠BCD=150°， ∴∠DCF=30°，又 CD=4， ∴DF=2，CF= =2 ， 由题意得∠E=30°， ∴EF= =2 ， ∴BE=BC+CF+EF=6+4 ， ∴AB=BE×tanE=（6+4 ）× =（2 +4）米， 答：电线杆的高度为（2 +4）米． 23．旅游公司在景区内配置了 50 辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只 能出租一次，且每辆车的日租金 x（元）是 5 的倍数．发现每天的营运规律如下：当 x 不超 过 100 元时，观光车能全部租出；当 x 超过 100 元时，每辆车的日租金每增加 5 元，租出去 的观光车就会减少 1 辆．已知所有观光车每天的管理费是 1100 元． （1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应 为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费） （2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？ 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）观光车全部租出每天的净收入=出租自行车的总收入﹣管理费，根据不等关系： 净收入为正，列出不等式求解即可； （2）由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值． 【解答】解：（1）由题意知，若观光车能全部租出，则 0＜x≤100， 由 50x﹣1100＞0， 解得 x＞22， 又∵x 是 5 的倍数， ∴每辆车的日租金至少应为 25 元； （2）设每辆车的净收入为 y 元， 当 0＜x≤100 时，y1=50x﹣1100， ∵y1 随 x 的增大而增大， ∴当 x=100 时，y1 的最大值为 50×100﹣1100=3900； 当 x＞100 时， y2=（50﹣ ）x﹣1100 =﹣ x2+70x﹣1100 =﹣ （x﹣175）2+5025， 当 x=175 时，y2 的最大值为 5025， 5025＞3900， 故当每辆车的日租金为 175 元时，每天的净收入最多是 5025 元． 24．如图，在菱形 ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于 点 F． （1）如图 1，连接 AC 分别交 DE、DF 于点 M、N，求证：MN= AC； （2）如图 2，将△EDF 以点 D 为旋转中心旋转，其两边 DE′、DF′分别与直线 AB、BC 相 交于点 G、P，连接 GP，当△DGP 的面积等于 3 时，求旋转角的大小并指明旋转方向． 【考点】旋转的性质；菱形的性质． 【分析】（1）连接 BD，证明△ABD 为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到 AE=EB， 根据相似三角形的性质解答即可； （2）分∠EDF 顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，根据旋转变换的性质解答即可． 【解答】（1）证明：如图 1，连接 BD，交 AC 于 O， 在菱形 ABCD 中，∠BAD=60°，AD=AB， ∴△ABD 为等边三角形， ∵DE⊥AB， ∴AE=EB， ∵AB∥DC， ∴ = = ， 同理， = ， ∴MN= AC； （2）解：∵AB∥DC，∠BAD=60°， ∴∠ADC=120°，又∠ADE=∠CDF=30°， ∴∠EDF=60°， 当∠EDF 顺时针旋转时， 由旋转的性质可知，∠EDG=∠FDP，∠GDP=∠EDF=60°， DE=DF= ，∠DEG=∠DFP=90°， 在△DEG 和△DFP 中， ， ∴△DEG≌△DFP， ∴DG=DP， ∴△DGP 为等边三角形， ∴△DGP 的面积= DG2=3 ， 解得，DG=2 ， 则 cos∠EDG= = ， ∴∠EDG=60°， ∴当顺时针旋转 60°时，△DGP 的面积等于 3 ， 同理可得，当逆时针旋转 60°时，△DGP 的面积也等于 3 ， 综上所述，将△EDF 以点 D 为旋转中心，顺时针或逆时针旋转 60°时，△DGP 的面积等于 3 ． 25．如图，已知抛物线 y= x2+bx+c 经过△ABC 的三个顶点，其中点 A（0，1），点 B（﹣ 9，10），AC∥x 轴，点 P 时直线 AC 下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式；（2）过点 P 且与 y 轴平行的直线 l 与直线 AB、AC 分别交于点 E、 F，当四边形 AECP 的面积最大时，求点 P 的坐标； （3）当点 P 为抛物线的顶点时，在直线 AC 上是否存在点 Q，使得以 C、P、Q 为顶点的三 角形与△ABC 相似，若存在，求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）设点 P（m， m2+2m+1），表示出 PE=﹣ m2﹣3m，再用 S 四边形 AECP=S△AEC+S△APC= AC×PE，建立函数关系式，求出极值即可； （3）先判断出 PF=CF，再得到∠PCF=∠EAF，以 C、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似， 分两种情况计算即可． 【解答】解：（1）∵点 A（0，1）．B（﹣9，10）在抛物线上， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线的解析式为 y= x2+2x+1， （2）∵AC∥x 轴，A（0，1） ∴ x2+2x+1=1， ∴x1=6，x2=0， ∴点 C 的坐标（﹣6，1）， ∵点 A（0，1）．B（﹣9，10）， ∴直线 AB 的解析式为 y=﹣x+1， 设点 P（m， m2+2m+1） ∴E（m，﹣m+1） ∴PE=﹣m+1﹣（ m2+2m+1）=﹣ m2﹣3m， ∵AC⊥EP，AC=6， ∴S 四边形 AECP =S△AEC+S△APC = AC×EF+ AC×PF = AC×（EF+PF） = AC×PE = ×6×（﹣ m2﹣3m） =﹣m2﹣9m =﹣（m+ ）2+ ， ∵﹣6＜m＜0 ∴当 m=﹣ 时，四边形 AECP 的面积的最大值是 ， 此时点 P（﹣ ，﹣ ）． （3）∵y= x2+2x+1= （x+3）2﹣2， ∴P（﹣3，﹣2）， ∴PF=yF﹣yP=3，CF=xF﹣xC=3， ∴PF=CF， ∴∠PCF=45° 同理可得：∠EAF=45°， ∴∠PCF=∠EAF， ∴在直线 AC 上存在满足条件的 Q， 设 Q（t，1）且 AB=9 ，AC=6，CP=3 ∵以 C、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似， ①当△CPQ∽△ABC 时， ∴ ， ∴ ， ∴t=﹣4， ∴Q（﹣4，1） ②当△CQP∽△ABC 时， ∴ ， ∴ ， ∴t=3， ∴Q（3，1）． 2016 年 7 月 11 日