2016年聊城市中考数学试题解析版

2016 年山东省聊城市中考数学试卷 一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 3 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．在实数﹣ ，﹣2，0， 中，最小的实数是（ ） A．﹣2 B．0 C．﹣ D． 2．如图，AB∥CD，∠B=68°，∠E=20°，则∠D 的度数为（ ） A．28° B．38° C．48° D．88° 3．地球的体积约为 1012 立方千米，太阳的体积约为 1.4×1018 立方千米，地球的体积约是太阳体积的倍数是 （ ） A．7.1×10﹣6B．7.1×10﹣7C．1.4×106D．1.4×107 4．把 8a3﹣8a2+2a 进行因式分解，结果正确的是（ ） A．2a（4a2﹣4a+1） B．8a2（a﹣1） C．2a（2a﹣1）2D．2a（2a+1）2 5．某体校要从四名射击选手中选拔一名参加省体育运动会，选拔赛中每名选手连续射靶 10 次，他们各自 的平均成绩 及其方差 S2 如表所示： 甲 乙 丙 丁 （环） 8.4 8.6 8.6 7.6 S2 0.74 0.56 0.94 1.92 如果要选出一名成绩高且发挥稳定的选手参赛，则应选择的选手是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．用若干个大小相同的小正方形体组合成的几何体的主视图和俯视图如图所示，下面所给的四个选项中， 不可能是这个几何体的左视图的是（ ） A． B． C． D． 7．二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数且 a≠0）的图象如图所示，则一次函数 y=ax+b 与反比例函数 y= 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 8．在如图的 2016 年 6 月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（ ） A．27 B．51 C．69 D．72 9．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，F 是 上一点，且 = ，连接 CF 并延长交 AD 的延长线于点 E， 连接 AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E 的度数为（ ） A．45° B．50° C．55° D．60° 10．不等式组 的解集是 x＞1，则 m 的取值范围是（ ） A．m≥1 B．m≤1 C．m≥0 D．m≤0 11．如图，把一张矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，点 A 落在 CD 边上的点 A′处，点 B 落在点 B′处，若∠2=40°， 则图中∠1 的度数为（ ） A．115° B．120° C．130° D．140° 12．聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标，如图， 点 O 是摩天轮的圆心，长为 110 米的 AB 是其垂直地面的直径，小莹在地面 C 点处利用测角仪测得摩天轮 的最高点 A 的仰角为 33°，测得圆心 O 的仰角为 21°，则小莹所在 C 点到直径 AB 所在直线的距离约为 （tan33°≈0.65，t an21°≈0.38）（ ） A．169 米 B．204 米 C．240 米 D．407 米 二、填空题（本题共 5 个小题，每小题 3 分，只要求填写最后结果） 13．计算： = ． 14．如果关于 x 的一元二次方程 kx2﹣3x﹣1=0 有两个不相等的实根，那么 k 的取值范围是 ． 15．如图，已知圆锥的高为 ，高所在直线与母线的夹角为 30°，圆锥的侧面积为 ． 16．如图，随机地闭合开关 S1，S2，S3，S4，S5 中的三个，能够使灯泡 L1，L2 同时发光的概率是 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，边长为 1 的正方形 OA1B1C1 的两边在坐标轴上，以它的对角线 OB1 为边 作正方形 OB1B2C2，再以正方形 OB1B2C2 的对角线 OB2 为边作正方形 OB2B3C3，以此类推…、则正方形 OB2015B2016C2016 的顶点 B2016 的坐标是 ． 三、解答题（本题共 8 个小题，共 69 分，解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 18．计算：（ ﹣ ） ． 19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣ 1，3）． （1）若△ABC 经过平移后得到△A1B1C1，已知点 C1 的坐标为（4，0），写出顶点 A1，B1 的坐标； （2）若△ABC 和△A1B2C2 关于原点 O 成中心对称图形，写出△A1B2C2 的各顶点的坐标； （3）将△ABC 绕着点 O 按顺时针方向旋转 90°得到△A2B3C3，写出△A2B3C3 的各顶点的坐标． 20．如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，点 E 是 AC 的中点，AC=2AB，∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D， 作 AF∥BC，连接 DE 并延长交 AF 于点 F，连接 FC． 求证：四边形 ADCF 是菱形． 21．为了让书籍开拓学生的视野，陶冶学生的情操，向阳中学开展了“五个一”课外阅读活动，为了解全校学 生课外阅读情况，抽样调查了 50 名学生平均每天课外阅读时间（单位：min），将抽查得到的数据分成 5 组，下面是尚未完成的频数、频率分布表： 组别 分组 频数（人数） 频率 1 10≤t＜30 0.16 2 30≤t＜50 20 3 50≤t＜70 0.28 4 70≤t＜90 6 5 90≤t＜110 （1）将表中空格处的数据补全，完成上面的频数、频率分布表； （2）请在给出的平面直角坐标系中画出相应的频数直方图； （3）如果该校有 1500 名学生，请你估计该校共有多少名学生平均每天阅读时间不少于 50min？ 22．为加快城市群的建设与发展，在 A，B 两城市间新建条城际铁路，建成后，铁路运行里程由现在的 120km 缩短至 114km，城际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快 110km，运行时间仅是现行时间的 ，求 建成后的城际铁路在 A，B 两地的运行时间． 23．如图，在直角坐标系中，直线 y=﹣ x 与反比例函数 y= 的图象交于关于原点对称的 A，B 两点，已 知 A 点的纵坐标是 3． （1）求反比例函数的表达式； （2）将直线 y=﹣ x 向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点 C，如果△ABC 的面积为 48，求平移 后的直线的函数表达式． 24．如图，以 Rt△ABC 的直角边 AB 为直径作⊙O，交斜边 AC 于点 D，点 E 为 OB 的中点，连接 CE 并延 长交⊙O 于点 F，点 F 恰好落在 的中点，连接 AF 并延长与 CB 的延长线相交于点 G，连接 OF． （1）求证：OF= BG； ∴AB= =2，即圆锥的母线长为 2， ∴圆锥的侧面积= •2π•1•2=2π． 故答案为 2π． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇 形的半径等于圆锥的母线长． 16．如图，随机地闭合开关 S1，S2，S3，S4，S5 中的三个，能够使灯泡 L1，L2 同时发光的概率是 ． 【考点】概率公式；概率的意义． 【分析】求出随机闭合开关 S1，S2，S3，S4，S5 中的三个，共有几种可能情况，以及能让灯泡L1，L2 同时 发光的有几种可能，由此即可解决问题． 【解答】解：∵随机地闭合开关 S1，S2，S3，S4，S5 中的三个共有 10 种可能，能够使灯泡 L1，L2 同时发 光有 2 种可能（S1，S2，S4 或 S1，S2，S5）． ∴随机地闭合开关 S1，S2，S3，S4，S5 中的三个，能够使灯泡 L1，L2 同时发光的概率是 = ． 故答案为 ． 【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= ． 17．如图，在平面直角坐标系中，边长为 1 的正方形 OA1B1C1 的两边在坐标轴上，以它的对角线 OB1 为边 作正方形 OB1B2C2，再以正方形 OB1B2C2 的对角线 OB2 为边作正方形 OB2B3C3，以此类推…、则正方形 OB2015B2016C2016 的顶点 B2016 的坐标是 （21008，0） ． 【考点】正方形的性质；规律型：点的坐标． 【分析】首先求出 B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9 的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据 规律计算出点 B2016 的坐标． 【解答】解：∵正方形 OA1B1C1 边长为 1， ∴OB1= ， ∵正方形 OB1B2C2 是正方形 OA1B1C1 的对角线 OB1 为边， ∴OB2=2， ∴B2 点坐标为（0，2）， 同理可知 OB3=2 ， ∴B3 点坐标为（﹣2，2）， 同理可知 OB4=4，B4 点坐标为（﹣4，0）， B5 点坐标为（﹣4，﹣4），B6 点坐标为（0，﹣8）， B7（8，﹣8），B8（16，0） B9（16，16），B10（0，32）， 由规律可以发现，每经过 8 次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来 的 倍， ∵2016÷8=252 ∴B2016 的纵横坐标符号与点 B8 的相同，横坐标为正值，纵坐标是 0， ∴B2016 的坐标为（21008，0）． 故答案为：（21008，0）． 【点评】本题主要考查正方形的性质和坐标与图 形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发 现每经过 8 次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的 倍． 三、解答题（本题共 8 个小题，共 69 分，解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 18．计算：（ ﹣ ） ． 【考点】分式的混合运算． 【专题】计算题；分式． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到 结果． 【解答】解：原式= • = • =﹣ ． 【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣ 1，3）． （1）若△ABC 经过平移后得到△A1B1C1，已知点 C1 的坐标为（4，0），写出顶点 A1，B1 的坐标； （2）若△ABC 和△A1B2C2 关于原点 O 成中心对称图形，写出△A1B2C2 的各顶点的坐标； （3）将△ABC 绕着点 O 按顺时针方向旋转 90°得到△A2B3C3，写出△A2B3C3 的各顶点的坐标． 【考点】坐标与图形变化-旋转；坐标与图形变化-平移． 【专题】作图题． 【分析】（1）利用点 C 和点 C1 的坐标变化得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出顶点 A1，B1 的坐标； （2）根据关于原点对称的点的坐标特征求解； （3）利用网格和旋转的性质画出△A2B3C3，然后写出△A2B3C3 的各顶点的坐标． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1 为所作， 因为点 C（﹣1，3）平移后的对应点 C1 的坐标为（4，0）， 所以△ABC 先向右平移 5 个单位，再向下平移 3 个单位得到△A1B1C1， 所以点 A1 的坐标为（2，2），B1 点的坐标为（3，﹣2）； （2）因为△ABC 和△A1B2C2 关于原点 O 成中心对称图形， 所以 A2（3，﹣5），B2（2，﹣1），C2（1，﹣3）； （3）如图，△A2B3C3 为所作，A3（5，3），B3（1，2），C3（3，1）； 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求 出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 20．如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，点 E 是 AC 的中点，AC=2AB，∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D， 作 AF∥BC，连接 DE 并延长交 AF 于点 F，连接 FC． 求证：四边形 ADCF 是菱形． 【考点】菱形的判定． 【专题】证明题． 【分析】先证明△AEF≌△CED，推出四边形 ADCF 是平行四边形，再证明∠DAC=∠ACB，推出 DA=DC， 由此即可证明． 【解答】证明：∵AF∥CD， ∴∠AFE=∠CDE， 在△AFE 和△CDE 中， ， ∴△AEF≌△CED， ∴AF=CD，∵AF∥CD， ∴四边形 ADCF 是平行四边形， ∵∠B=90°，∠ACB=30°， ∴∠CAB=60°， ∵AD 平分∠CAB， ∴∠DAC=∠DAB=30°=∠ACD， ∴DA=DC， ∴四边形 ADCF 是菱形． 【点评】本题考查菱形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键 是灵活运用这些知识解决问题，属于基础题，中考常考题型． 21．为了让书籍开拓学生的视野，陶冶学生的情操，向阳中学开展了“五个一”课外阅读活动，为了解全校学 生课外阅读情况，抽样调查了 50 名学生平均每天课外阅读时间（单位：min），将抽查得到的数据分成 5 组，下面是尚未完成的频数、频率分布表： 组别 分组 频数（人数） 频率 1 10≤t＜30 0.16 2 30≤t＜50 20 3 50≤t＜70 0.28 4 70≤t＜90 6 5 90≤t＜110 （1）将表中空格处的数据补全，完成上面的频数、频率分布表； （2）请在给出的平面直角坐标系中画出相应的频数直方图； （3）如果该校有 1500 名学生，请你估计该校共有多少名学生平均每天阅读时间不少于 50min？ 【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表． 【专题】计算题；数据的收集与整理． 【分析】（1）根据总人数 50，以及表格中的数据确定出所求数据，填写表格即可； （2）根据表格中的数据作出相应的频数直方图，如图所示； （3）由时间不少于 50min 的百分比，乘以 1500 即可得到结果． 【解答】解：（1）根据题意填写如下： 组别 分组 频数（人数） 频率 1 10≤t＜30 8 0.16 2 30≤t＜50 20 0.40 3 50≤t＜70 14 0.28 4 70≤t＜90 6 0.12 5 90≤t＜110 2 0.04 （2）作出条形统计图，如图所示： （3）根据题意得：1500×（0.28+0.12+0.04）=660（人）， 则该校共有 660 名学生平均每天阅读时间不少于 50min． 【点评】此题考查了频数分布直方图，用样本估计总体，以及频数分布表，弄清题中的数据是解本题的关 键． 22．为加快城市群的建设与发展，在 A，B 两城市间新建条城际铁路，建成后，铁路运行里程由现在的 120km 缩短至 114km，城际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快 110km，运行时间仅是现行时间的 ，求 建成后的城际铁路在 A，B 两地的运行时间． 【考点】分式方程的应用． 【分析】设城际铁路现行速度是 xkm/h，设计时速是（x+110）xkm/h；现行路程是 120km，设计路程是 114km， 由时间= ，运行时间= 现行时间，就可以列方程了． 【解答】解：设城际铁路现行速度是 xkm/h． 由题意得： × = ． 解这个方程得：x=80． 经检验：x=80 是原方程的根，且符合题意． 则 × = × =0.6（h）． 答：建成后的城际铁路在 A，B 两地的运行时间是 0.6h． 【点评】考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 23．如图，在直角坐标系中，直线 y=﹣ x 与反比例函数 y= 的图象交于关于原点对称的 A，B 两点，已 知 A 点的纵坐标是 3． （1）求反比例函数的表达式； （2）将直线 y=﹣ x 向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点 C，如果△ABC 的面积为 48，求平移 后的直线的函数表达式． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）将 y=3 代入一次函数解析式中，求出 x 的值，即可得出点 A 的坐标，再利用反比例函数图象 上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式； （2）根据 A、B 点关于原点对称，可求出点 B 的坐标以及线段 AB 的长度，设出平移后的直线的函数表达 式，根据平行线间的距离公式结合三角形的面积即可得出关于 b 的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：（1）令一次函数 y=﹣ x 中 y=3，则 3=﹣ x， 解得：x=﹣6，即点 A 的坐标为（﹣6，3）． ∵点 A（﹣6，3）在反比例函数 y= 的图象上， ∴k=﹣6×3=﹣18， ∴反比例函数的表达式为 y=﹣ ． （2）∵A、B 两点关于原点对称， ∴点 B 的坐标为（6，﹣3）， ∴AB= =6 ． 设平移后的直线的函数表达式为 y=﹣ x+b（b＞0），即 x+2y﹣2b=0， 直线 y=﹣ x 可变形为 x+2y=0， ∴两直线间的距离 d= = b． ∴S△ABC= AB•d= ×6 × b=48， 解得：b=8． ∴平移后的直线的函数表达式为 y=﹣ x+8． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数图象上点的坐标特征．三角形的面积 公式以及平行线间的距离公式，解题的关键是：（1）求出点 A 的坐标；（2）找出关于 b 的一元一次方程．本 题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用平行线间的距离公式要比通过解直角三角形简洁不少． 24．如图，以 Rt△ABC 的直角边 AB 为直径作⊙O，交斜边 AC 于点 D，点 E 为 OB 的中点，连接 CE 并延 长交⊙O 于点 F，点 F 恰好落在 的中点，连接 AF 并延长与 CB 的延长线相交于点 G，连接 OF． （1）求证：OF= BG； （2）若 AB=4，求 DC 的长． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】（1）直接利用圆周角定理结合平行线的判定方法得出 FO 是△ABG 的中位线，即可得出答案； （2）首选得出△FOE≌△CBE（ASA），则 BC=FO= AB=2，进而得出 AC 的长，再利用相似三角形的判 定与性质得出 DC 的长． 【解答】（1）证明：∵以 Rt△ABC 的直角边 AB 为直径作⊙O，点 F 恰好落在 的中点， ∴ = ， ∴∠AOF=∠BOF， ∵∠ABC=∠ABG=90°， ∴∠AOF=∠ABG， ∴FO∥BG， ∵AO=BO， ∴FO 是△ABG 的中位线， ∴FO= BG； （2）解：在△FOE 和△CBE 中， ， ∴△FOE≌△CBE（ASA）， ∴BC=FO= AB=2， ∴AC= =2 ， 连接 DB， ∵AB 为⊙O 直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ADB=∠ABC， ∵∠BCD=∠ACB， ∴△BCD∽△ACB， ∴ = ， ∴ = ， 解得：DC= ． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，正确得出 △BCD∽△ACB 是解题关键． 25．如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A（﹣3，0），B（9，0）和 C（0，4）．CD 垂直于 y 轴，交抛 物线于点 D，DE 垂直与 x 轴，垂足为 E，l 是抛物线的对称轴，点 F 是抛物线的顶点． （1）求出二次函数的表达式以及点 D 的坐标； （2）若 Rt△AOC 沿 x 轴向右平移到其直角边 OC 与对称轴 l 重合，再沿对称轴 l 向上平移到点 C 与点 F 重 合，得到 Rt△A1O1F，求此时 Rt△A1O1F 与矩形 OCDE 重叠部分的图形的面积； （3）若 Rt△AOC 沿 x 轴向右平移 t 个单位长度（0＜t≤6）得到 Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2 与 Rt△OED 重 叠部分的图形面积记为 S，求 S 与 t 之间的函数表达式，并写出自变量 t 的取值范围． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）用待定系数法求抛物线解析式； （2）由 GH∥A1O1，求出 GH=1，再求出 FH，S 重叠部分=S△A1O1F﹣S△FGH 计算即可； （3）分两种情况①直接用面积公式计算，②用面积差求出即可． 【解答】解：（1）∵抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A（﹣3，0），B（9，0）和 C（0，4）． ∴设抛物线的解析式为 y=a（x+3）（x﹣9）， ∵C（0，4）在抛物线上， ∴4=﹣27a， ∴a=﹣ ， ∴设抛物线的解析式为 y=﹣ （x+3）（x﹣9）=﹣ x2+ x+4， ∵CD 垂直于 y 轴，C（0，4） ∴﹣ x2+ x+4=4， ∴x=6， ∵D（6，4）， （2）如图 1， ∵点 F 是抛物线 y=﹣ x2+ x+4 的顶点， ∴F（3， ）， ∴FH= ， ∵GH∥A1O1， ∴ ， ∴ ， ∴GH=1， ∵Rt△A1O1F 与矩形 OCDE 重叠部分是梯形 A1O1HG， ∴S 重叠部分=S△A1O1F﹣S△FGH= A1O1×O1F﹣ GH×FH= ×3×4﹣ ×1× = ． （3）①当 0＜t≤3 时，如图 2， ∵C2O2∥DE， ∴ ， ∴ ， ∴O2G= t， ∴S=S△OO2G= OO2×O2G= t× t= t2， ②当 3＜t≤6 时，如图 3， ∵C2H∥OC， ∴ ， ∴ ， ∴C2H= （6﹣t）， ∴S=S 四边形 A2O2HG=S△A2O2C2﹣S△C2GH = OA×OC﹣ C2H×（t﹣3） = ×3×4﹣ × （6﹣t）（t﹣3） = t2﹣3t+12 ∴当 0＜t≤3 时，S= t2，当 3＜t≤6 时，S= t2﹣3t+12． 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行线分线段成比例定理，三角 形的面积计算，解本题的关键是画出图形．