2016年自贡市中考数学试题及答案

2016 年四川省自贡市中考数学试卷 一、选择题：本题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分 1．计算 1﹣（﹣1）的结果是（ ） A．2 B．1 C．0 D．﹣2 2．将 0.00025 用科学记数法表示为（ ） A．2.5×104 B．0.25×10﹣4 C．2.5×10﹣4 D．25×10﹣5 3．下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 4．把 a2﹣4a 多项式分解因式，结果正确的是（ ） A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2） C．a（a+2）（a﹣2） D．（a﹣2）2﹣4 5．如图，⊙O 中，弦 AB 与 CD 交于点 M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B 的度数是（ ） A．15° B．25° C．30° D．75° 6．若 +b2﹣4b+4=0，则 ab 的值等于（ ） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 7．已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x﹣（m﹣2）=0 有实数根，则 m 的取值范围是（ ） A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤1 8．如图是几何体的俯视图，所表示数字为该位置小正方体的个数，则该几何体的正视图是（ ） A． B． C． D． 9．圆锥的底面半径为 4cm，高为 5cm，则它的表面积为（ ） A．12πcm2 B．26πcm2 C． πcm2 D．（4 +16）πcm2 10．二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，反比例函数 y= 与正比例函数 y=bx 在同一坐标系内的大致图象是 （ ） A． B． C． D． 二、填空题：共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分 11．若代数式 有意义，则 x 的取值范围是 ． 12．若 n 边形内角和为 900°，则边数 n= ． 13．一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食 物的概率是 ． 14．如图，把 Rt△ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点 A、B 的坐标分别为（1，0）、（4， 0），将△ABC 沿 x 轴向右平移，当点 C 落在直线 y=2x﹣6 上时，线段 BC 扫过的面积为 cm2． 15．如图，在边长相同的小正方形网格中，点 A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上，AB，CD 相交于 点 P，则 的值= ，tan∠APD 的值= ． 三、解答题：共 2 个题，每小题 8 分，共 16 分 16．计算：（ ）﹣1+（sin60°﹣1）0﹣2cos30°+| ﹣1| 17．解不等式组 ．请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得： ； （2）解不等式②，得： ； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）不等式组的解集为： ． 四、解答题：共 2 个体，每小题 8 分，共 16 分 18．某校为了丰富大家的业余生活，组织了一次工会活动，准备一次性购买若干钢笔和笔记本（2016•自贡） 某国发生 8.1 级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测对在地面 A、B 两处均探测出建筑物下方 C 处由生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是 25°和 60°，且 AB=4 米，求 该生命迹象所在位置 C 的深度．（结果精确到 1 米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0，9，tan25°≈0.5， ≈1.7） 五、解答题：共 2 个题，每题 10 分，共 20 分 20．我市开展“美丽自宫，创卫同行”活动，某校倡议学生利用双休日在“花海”参加义务劳动，为了解同学们 劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息 回答下列问题： （1）将条形统计图补充完整； （2）扇形图中的“1.5 小时”部分圆心角是多少度？ （3）求抽查的学生劳动时间的众数、中位数． 21．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，弦 BD=BA，BE⊥DC 交 DC 的延长线于点 E． （1）求证：∠1=∠BAD； （2 ）求证：BE 是⊙O 的切线． 六、解答题：本题 12 分 22．如图，已知 A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数 y=kx+b 和反比例函数 y= 的图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出方程 kx+b﹣ =0 的解； （3）求△AOB 的面积； （4）观察图象，直接写出不等式 kx+b﹣ ＜0 的解集． 七、解答题 23．已知矩形 ABCD 的一条边 AD=8，将矩形 ABCD 折叠，使得顶点 B 落在 CD 边上的 P 点处 （Ⅰ）如图 1，已知折痕与边 BC 交于点 O，连接 AP、OP、OA．若△OCP 与△PDA 的面积比为 1：4，求 边 CD 的长． （Ⅱ）如图 2，在（Ⅰ）的条件下，擦去折痕 AO、线段 OP，连接 BP．动点 M 在线段 AP 上（点 M 与点 P、 A 不重合），动点 N 在线段 AB 的延长线上，且 BN=PM，连接 MN 交 PB 于点 F，作 ME⊥BP 于点 E．试问 当动点 M、N 在移动的过程中，线段 EF 的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段 EF 的长度． 新_课_标第_一_网 八、解答题 24．抛物线 y=﹣x2+4ax+b（a＞0）与 x 轴相交于 O、A 两点（其中 O 为坐标原点），过点 P（2，2a）作直 线 PM⊥x 轴于点 M，交抛物线于点 B，点 B 关于抛物线对称轴的对称点为 C（其中 B、C 不重合），连接 AP 交 y 轴于点 N，连接 BC 和 PC． （1）a= 时，求抛物线的解析式和 BC 的长； （2）如图 a＞1 时，若 AP⊥PC，求 a 的值． 参考答案 一、选择题： 1．计算 1﹣（﹣1）的结果是（ ） A．2 B．1 C．0 D．﹣2 解：1﹣（﹣1），=1+1，=2．故选 A． 2．将 0.00025 用科学记数法表示为（ ） A．2.5×104 B．0.25×10﹣4 C．2.5×10﹣4 D．25×10﹣5 解：0.00025=2.5×10﹣4，故选：C． 3．下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 解：因为 = =2 ，因此 不是最简二次根式．故选 B． 4．把 a2﹣4a 多项式分解因式，结果正确的是（ ） A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2） C．a（a+2）（a﹣2） D．（a﹣2）2﹣4 解：a2﹣4a=a（a﹣4），故选：A． 5．如图，⊙O 中，弦 AB 与 CD 交于点 M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B 的度数是（ ） A．15° B．25° C．30° D．75° 解：∵∠A=45°，∠AMD=75°， ∴∠C=∠AMD﹣∠A=75°﹣45°=30°， ∴∠B=∠C=30°，故选 C． 6．若 +b2﹣4b+4=0，则 ab 的值等于（ ） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 解：由 +b2﹣4b+4=0，得 a﹣1=0，b﹣2=0． 解得 a=1，b=2．ab=2．故选：D． 7．已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x﹣（m﹣2）=0 有实数根，则 m 的取值范围是（ ） A．m＞1 B．m＜1C．m≥1 D．m≤1 解：∵关于 x 的一元二次方程 x2+2x﹣（m﹣2）=0 有实数根， ∴△=b2﹣4ac=22﹣4×1×[﹣（m﹣2） ] ≥0，解得 m≥1，故选 C． 8．如图是几何体的俯视图，所表示数字为该位置小正方体的个数，则该几何体的正视图是（ ） A． B． C． D． 解：主视图，如图所示： ． 故选：B． 9．圆锥的底面半径为 4cm，高为 5cm，则它的表面积为（ ） A．12πcm2 B．26πcm2 C． πcm2 D．（4 +16）πcm2 解：底面半径为 4cm，则底面周长=8πcm，底面面积=16πcm2；由勾股定理得，母线长= cm， 圆锥的侧面面积= ×8π× =4 πcm2，∴它的表面积=16π+4 π=（4 +16）πcm2，故选 D． 10．二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，反比例函数 y= 与正比例函数 y=bx 在同一坐标系内的大致图象是 （ ） A． B． C． D． 解：由 y=ax2+bx+c 的图象开口向下，得 a＜0． 由图象，得﹣ ＞0．由不等式的性质，得 b＞0． a＜0，y= 图象位于二四象限，b＞0，y=bx 图象位于一三象限， 故选：C． 二、填空题：共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分 11．若代数式 有意义，则 x 的取值范围是 x≥1 ． 解：由题意得，x﹣1≥0 且 x≠0，解得 x≥1 且 x≠0， 所以，x≥1．故答案为：x≥1． 12．若 n 边形内角和为 900°，则边数 n= 7 ． 解：根据题意得：180（n﹣2）=900，解得：n=7．故答案为：7． 13．一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食 物的概率是 ． 解：根据树状图，蚂蚁获取食物的概率是 = ．故答案为 ． 14．如图，把 Rt△ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点 A、B 的坐标分别为（1，0）、（4， 0），将△ABC 沿 x 轴向右平移，当点 C 落在直线 y=2x﹣6 上时，线段 BC 扫过的面积为 16 cm2． 解：如图所示． ∵点 A、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）， ∴AB=3． ∵∠CAB=90°，BC=5， ∴AC=4． ∴A′C′=4． ∵点 C′在直线 y=2x﹣6 上， ∴2x﹣6=4，解得 x=5． 即 OA′=5． ∴CC′=5﹣1=4． ∴S▱ BCC′B′=4×4=16 （cm2）． 即线段 BC 扫过的面积为 16cm2． 故答案为 16． 15．如图，在边长相同的小正方形网格中，点 A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上，AB，CD 相交于 点 P，则 的值= 3 ，tan∠APD 的值= 2 ． 解：∵四边形 BCED 是正方形， ∴DB∥AC， ∴△DBP∽△CAP， ∴ = =3， 连接 BE， ∵四边形 BCED 是正方形， ∴DF=CF= CD，BF= BE，CD=BE，BE⊥CD， ∴BF=CF， 根据题意得：AC∥BD， ∴△ACP∽△BDP， ∴DP：CP=BD：AC=1：3， ∴DP：DF=1：2， ∴DP=PF= CF= BF， 在 Rt△PBF 中，tan∠BPF= =2， ∵∠APD=∠BPF， ∴tan∠APD=2， 故答案为：3，2． 三、解答题：共 2 个题，每小题 8 分，共 16 分 16．计算：（ ）﹣1+（sin60°﹣1）0﹣2cos30°+| ﹣1| 解：原式=2+1﹣ + ﹣1=2． 17．解不等式组 ．请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得： x＜3 ； （2）解不等式②，得： x≥2 ； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）不等式组的解集为： 2≤x＜3 ． 解：（1）不等式①，得 x＜3； （2）不等式②，得 x≥2； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，新 课 标 4）原不等式组的解集为 2≤x＜3． 故答案分别为：x＜3，x≥2，2≤x＜3． 四、解答题：共 2 个体，每小题 8 分，共 16 分 18．某校为了丰富大家的业余生活，组织了一次工会活动，准备一次性购买若干钢笔和笔记本（2016•自贡） 某国发生 8.1 级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测对在地面 A、B 两 处均探测出建筑物下方 C 处由生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是 25°和 60°，且 AB=4 米，求该生 命迹象所在位置 C 的深度．（结果精确到 1 米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0，9，tan25°≈0.5， ≈1.7） 解：作 CD⊥AB 交 AB 延长线于 D， 设 CD=x 米． 在 Rt△ADC 中，∠DAC=25°， 所以 tan25°= =0.5， 所以 AD= =2x． Rt△BDC 中，∠DBC=60°， 由 tan 60°= = ， 解得：x≈3． 即生命迹象所在位置 C 的深度约为 3 米． 五、解答题：共 2 个题，每题 10 分，共 20 分 20．我市开展“美丽自宫，创卫同行”活动，某校倡议学生利用双休日在“花海”参加义务劳动，为了解同学们 劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息 回答下列问题： （1）将条形统计图补充完整； （2）扇形图中的“1.5 小时”部分圆心角是多少度？ （3）求抽查的学生劳动时间的众数、中位数． 解：（1）根据题意得：30÷30%=100（人）， ∴学生劳动时间为“1.5 小时”的人数为 100﹣（12+30+18）=40（人）， 补全统计图，如图所示： （2）根据题意得：40%×360°=144°， 则扇形图中的“1.5 小时”部分圆心角是 144°； （3）根据题意得：抽查的学生劳动时间的众数为 1.5 小时、中位数为 1.5 小时． 21．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，弦 BD=BA，BE⊥DC 交 DC 的延长线于点 E． （1）求证：∠1=∠BAD； （2）求证：BE 是⊙O 的切线． 证明：（1）∵BD=BA， ∴∠BDA=∠BAD， ∵∠1=∠BDA， ∴∠1=∠BAD； （2）连接 BO， ∵∠ABC=90°， 又∵∠BAD+∠BCD=180°， ∴∠BCO+∠BCD=180°， ∵OB=OC， ∴∠BCO=∠CBO， ∴∠CBO+∠BCD=180°， ∴OB∥DE， ∵BE⊥DE， ∴EB⊥OB， ∵OB 是⊙O 的半径， ∴BE 是⊙O 的切线． 六、解答题：本题 12 分 22．如图，已知 A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数 y=kx+b 和反比例函数 y= 的图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出方程 kx+b﹣ =0 的解； （3）求△AOB 的面积； （4）观察图象，直接写出不等式 kx+b﹣ ＜0 的解集． 解：（1）∵B（2，﹣4）在 y= 上， ∴m=﹣8． ∴反比例函数的解析式为 y=﹣ ． ∵点 A（﹣4，n）在 y=﹣ 上， ∴n=2． ∴A（﹣4，2）． ∵y=kx+b 经过 A（﹣4，2），B（2，﹣4）， ∴ ．解得： ． ∴一次函数的解析式为 y=﹣x﹣2． （2）：∵A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数 y=kx+b 的图象和反比例函数 y= 的图象的两个交点， ∴方程 kx+b﹣ =0 的解是x1=﹣4，x2=2． （3）∵当 x=0 时，y=﹣2． ∴点 C（0，﹣2）． ∴OC=2． ∴S△AOB=S△ACO+S△BCO= ×2×4+ ×2×2=6； （4）不等式 kx+b﹣ ＜0 的解集为﹣4＜x＜0 或 x＞2． 七、解答题 23．已知矩形 ABCD 的一条边 AD=8，将矩形 ABCD 折叠，使得顶点 B 落在 CD 边上的 P 点处 （Ⅰ）如图 1，已知折痕与边 BC 交于点 O，连接 AP、OP、OA．若△OCP 与△PDA 的面积比为 1：4， 求边 CD 的长． （Ⅱ）如图 2，在（Ⅰ）的条件下，擦去折痕 AO、线段 OP，连接 BP．动点 M 在线段 AP 上（点 M 与 点 P、A 不重合），动点 N 在线段 AB 的延长线上，且 BN=PM，连接 MN 交 PB 于点 F，作 ME⊥BP 于 点 E．试问当动点 M、N 在移动的过程中，线段 EF 的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若 不变，求出线段 EF 的长度． 解：（1）如图 1，∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠C=∠D=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∵由折叠可得∠APO=∠B=90°， ∴∠1+∠2=90°， ∴∠2=∠3， 又∵∠D=∠C， ∴△OCP∽△PDA； ∵△OCP 与△PDA 的面积比为 1：4， ∴ ， ∴CP= AD=4， 设 OP=x，则 CO=8﹣x， 在 Rt△PCO 中，∠C=90°， 由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42， 解得：x=5， ∴AB=AP=2OP=10， ∴边 CD 的长为 10； （2）作 MQ∥AN，交 PB 于点 Q，如图 2， ∵AP=AB，MQ∥AN， ∴∠APB=∠ABP=∠MQP． ∴MP=MQ， ∵BN=PM， ∴BN=QM． ∵MP=MQ，ME⊥PQ， ∴EQ= PQ． ∵MQ∥AN， ∴∠QMF=∠BNF， 在△MFQ 和△NFB 中， ， ∴△MFQ≌△NFB（AAS）． ∴QF= QB， ∴EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB， 由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°， ∴PB= ， ∴EF= PB=2 ， ∴在（1）的条件下，当点 M、N 在移动过程中，线段 EF 的长度不变，它的长度为 2 ． 八、解答题 24．抛物线 y=﹣x2+4ax+b（a＞0）与 x 轴相交于 O、A 两点（其中 O 为坐标原点），过点 P（2，2a）作直 线 PM⊥x 轴于点 M，交抛物线于点 B，点 B 关于抛物线对称轴的对称点为 C（其中 B、C 不重合），连接 AP 交 y 轴于点 N，连接 BC 和 PC． （1）a= 时，求抛物线的解析式和 BC 的长； （2）如图 a＞1 时，若 AP⊥PC，求 a 的值． 解：（1）∵抛物线 y=﹣x2+4ax+b（a＞0）经过原点 O， ∴b=0， ∵a= ，∴抛物线解析式为 y=﹣x2+6x， ∵x=2 时，y=8，∴点 B 坐标（2，8）， ∵对称轴 x=3，B、C 关于对称轴对称， ∴点 C 坐标（4，8），∴BC=2． （2）∵AP⊥PC， ∴∠APC=90°， ∵∠CPB+∠APM=90°，∠APM+∠PAM=90°， ∴∠CPB=∠PAM， ∵∠PBC=∠PMA=90°， ∴△PCB∽△APM， ∴ = ， ∴ = ， 整理得 a2﹣4a+2=0，解得 a=2± ， ∵a＞0， ∴a=2+ ．