2016年重庆市中考数学A卷解析版

重庆市 2016 年中考数学试卷（A 卷）（word 版含解析） 一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分） 1．在实数﹣2，2，0，﹣1 中，最小的数是（ ） A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣1 【分析】找出实数中最小的数即可． 【解答】解：在实数﹣2，2，0，﹣1 中，最小的数是﹣2， 故选 A 【点评】此题考查了实数大小比较，熟练掌握两个负数比较大小的方法是解本题的关键． 2．下列图形中是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相 重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，对称轴有两条，符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了轴对称图形，确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿 对称轴折叠后可重合． 3．计算 a3a2 正确的是（ ） A．a B．a5 C．a6 D．a9 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后直接选取答案． 【解答】解：a3a2=a3+2=a5． 故选 B． 【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 4．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A．对重庆市辖区内长江流域水质情况的调查 B．对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查 C．对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查 D．对重庆电视台“天天 630”栏目收视率的调查 【分析】逐项分析四个选项中们案例最适合的调查方法，即可得出结论． 【解答】解：A、对重庆市辖区内长江流域水质情况的调查， 应采用抽样调查； B、对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查， 应采用全面调查； C、对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查， 应采用抽样调查； D、对重庆电视台“天天 630”栏目收视率的调查， 应采用抽样调查． 故选 B． 【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，解题的关键是逐项分析四个选项应用的调查方法． 本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，联系实际选择调查方法是关键． 5．如图，AB∥CD，直线 l 交 AB 于点 E，交 CD 于点 F，若∠2=80°，则∠1 等于（ ） A．120° B．110° C．100° D．80° 【分析】由平行线的性质得出∠1+∠DFE=180°，由对顶角相等求出∠DFE=∠2=80°，即可 得出结果． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠1+∠DFE=180°， ∵∠DFE=∠2=80°， ∴∠1=180°﹣80°=100°； 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质、对顶角相等的性质；熟记平行线的性质，由对顶角相等 求出∠DFE 是解决问题的关键． 6．若 a=2，b=﹣1，则 a+2b+3 的值为（ ） A．﹣1 B．3 C．6 D．5 【分析】把 a 与 b 代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：当 a=2，b=﹣1 时，原式=2﹣2+3=3， 故选 B 【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7．函数 y= 中，x 的取值范围是（ ） A．x≠0 B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x≠﹣2 【分析】由分式有意义的条件得出不等式，解不等式即可． 【解答】解：根据题意得：x+2≠0， 解得 x≠﹣2． 故选：D． 【点评】本题考查了函数中自变量的取值范围、分式有意义的条件；由分式有意义得出不等 式是解决问题的关键． 8．△ABC 与△DEF 的相似比为 1：4，则△ABC 与△DEF 的周长比为（ ） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16 【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果． 【解答】解：∵△ABC 与△DEF 的相似比为 1：4， ∴△ABC 与△DEF 的周长比为 1：4； 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的性质；熟记相似三角形周长的比等于相似比是解决问题的 关键． 9．如图，以 AB 为直径，点 O 为圆心的半圆经过点 C，若 AC=BC= ，则图中阴影部分 的面积是（ ） A． B． C． D． + 【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可判断△ACB 为等腰直角三角形，接着判 断△AOC 和△BOC 都是等腰直角三角形，于是得到 S△AOC=S△BOC，然后根据扇形的面积公 式计算图中阴影部分的面积． 【解答】解：∵AB 为直径， ∴∠ACB=90°， ∵AC=BC= ， ∴△ACB 为等腰直角三角形， ∴OC⊥AB， ∴△AOC 和△BOC 都是等腰直角三角形， ∴S△AOC=S△BOC，OA= AC=1， ∴S 阴影部分=S 扇形 AOC= = ． 故选 A． 【点评】本题考查了扇形面积的计算：圆面积公式：S=πr2，（2）扇形：由组成圆心角的两 条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．求阴影面积常用的方法：①直接用公式 法； ②和差法； ③割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形 的面积． 10．下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有 4 个小圆圈，第②个图形中一共有 10 个小圆圈，第③个图形中一共有 19 个小圆圈，…，按 此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（ ） A．64 B．77 C．80 D．85 【分析】观察图形特点，从中找出规律，小圆圈的个数分别是 3+12，6+22，10+32，15+42，…， 总结出其规律为 +n2，根据规律求解． 【解答】解：通过观察，得到小圆圈的个数分别是： 第一个图形为： +12=4， 第二个图形为： +22=6， 第三个图形为： +32=10， 第四个图形为： +42=15， …， 所以第 n 个图形为： +n2， 当 n=7 时， +72=85， 故选 D． 【点评】此题主要考查了学生分析问题、观察总结规律的能力．关键是通过观察分析得出规 律． 11．某数学兴趣小组同学进行测量大树 CD 高度的综合实践活动，如图，在点 A 处测得直 立于地面的大树顶端 C 的仰角为 36°，然后沿在同一剖面的斜坡 AB 行走 13 米至坡顶 B 处， 然后再沿水平方向行走 6 米至大树脚底点 D 处，斜面 AB 的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么 大树 CD 的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（ ） A．8.1 米 B．17.2 米 C．19.7 米 D．25.5 米 【分析】作 BF⊥AE 于 F，则 FE=BD=6 米，DE=BF，设 BF=x 米，则 AF=2.4 米，在 Rt△ABF 中，由勾股定理得出方程，解方程求出 DE=BF=5 米，AF=12 米，得出 AE 的长度，在 Rt△ACE 中，由三角函数求出 CE，即可得出结果． 【解答】解：作 BF⊥AE 于 F，如图所示： 则 FE=BD=6 米，DE=BF， ∵斜面 AB 的坡度 i=1：2.4， ∴AF=2.4BF， 设 BF=x 米，则 AF=2.4x 米， 在 Rt△ABF 中，由勾股定理得：x2+（2.4x）2=132， 解得：x=5， ∴DE=BF=5 米，AF=12 米， ∴AE=AF+FE=18 米， 在 Rt△ACE 中，CE=AEtan36°=18×0.73=13.14 米， ∴CD=CE﹣DE=13.14 米﹣5 米≈8.1 米； 故选：A． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程是解 决问题的关键． 12．从﹣3，﹣1， ，1，3 这五个数中，随机抽取一个数，记为 a，若数 a 使关于 x 的不等 式组 无解，且使关于 x 的分式方程 ﹣ =﹣1 有整数解，那么这 5 个数中所有满足条件的 a 的值之和是（ ） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣ D． 【分析】根据不等式组 无解，求得 a≤1，解方程得 x= ，于是得到 a= ﹣3 或 1，即可得到结论． 【解答】解：解 得 ， ∵不等式组 无解， ∴a≤1， 解方程 ﹣ =﹣1 得 x= ， ∵x= 为整数，a≤1， ∴a=﹣3 或 1， ∴所有满足条件的 a 的值之和是﹣2， 故选 B． 【点评】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不 等式组的方法是解题的关键． 二、填空题（本题 6 个下题，每小题 4 分，共 24 分） 13．据报道，2015 年某市城镇非私营单位就业人员年平均工资超过 60500 元，将数 60500 用科学计数法表示为 6.05×104 ． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值是 易错点，由于 60500 有 5 位，所以可以确定 n=5﹣1=4． 【解答】解：60500=6.05×104． 故答案为：6.05×104． 【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 a 与 n 值是关键． 14．计算： +（﹣2）0= 3 ． 【分析】根据开平方，非零的零次幂等于 1，可得答案． 【解答】解： +（﹣2）0 =2+1 =3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了零指数幂，利用非零的零次幂等于 1 是解题关键． 15．如图，OA，OB 是⊙O 的半径，点 C 在⊙O 上，连接 AC，BC，若∠AOB=120°，则 ∠ACB= 60 度． 【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧 所对的圆心角的一半可得答案． 【解答】解：∵OA⊥OB， ∴∠AOB=120°， ∴∠ACB=120°× =60°， 故答案为：60． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等 弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 16．从数﹣2，﹣ ，0，4 中任取一个数记为 m，再从余下的三个数中，任取一个数记为 n， 若 k=mn，则正比例函数 y=kx 的图象经过第三、第一象限的概率是 ． 【分析】根据题意先画出图形，求出总的情况数，再求出符合条件的情况数，最后根据概率 公式进行计算即可． 【解答】解：根据题意画图如下： 共有 12 种情况， ∵正比例函数 y=kx 的图象经过第三、第一象限， ∴k＞0， ∵k=mn， ∴mn＞0， ∴符合条件的情况数有 2 种， ∴正比例函数 y=kx 的图象经过第三、第一象限的概率是 = ； 故答案为： ． 【点评】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 17．甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步 1500 米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发 30 秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、 乙两人的距离 y（米）与甲出发的时间 x（秒）之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距 终点的距离是 175 米． 【分析】根据图象先求出甲、乙的速度，再求出乙到达终点时所用的时间，然后求出乙到达 终点时甲所走的路程，最后用总路程﹣甲所走的路程即可得出答案． 【解答】解：根据题意得，甲的速度为：75÷30=2.5 米/秒， 设乙的速度为 m 米/秒，则（m﹣2.5）×150=75， 解得：m=3 米/秒， 则乙的速度为 3 米/秒， 乙到终点时所用的时间为： =500（秒）， 此时甲走的路程是：2.5×（500+30）=1325（米）， 甲距终点的距离是 1500﹣1325=175（米）． 故答案为：175． 【点评】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解并得到乙先到达终点，然后求出 甲、乙两人所用的时间是解题的关键． 18．正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，DE 平分∠ADO 交 AC 于点 E，把△ADE 沿 AD 翻折，得到△ADE′，点 F 是 DE 的中点，连接 AF，BF，E′F．若 AE= ．则四边形 ABFE′的面积是 ． 【分析】如图，连接 EB、EE′，作 EM⊥AB 于 M，EE′交 AD 于 N．易知 △AEB≌△AED≌△ADE′，先求出正方形 AMEN 的边长，再求出 AB，根据 S 四边形 ABFE′=S 四边形 AEFE′+S△AEB+S△EFB 即可解决问题． 【解答】解：如图，连接 EB、EE′，作 EM⊥AB 于 M，EE′交 AD 于 N． ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，AO=OB=OD=OC， ∠DAC=∠CAB=∠DAE′=45°， 根据对称性，△ADE≌△ADE′≌△ABE， ∴DE=DE′，AE=AE′， ∴AD 垂直平分 EE′， ∴EN=NE′， ∵∠NAE=∠NEA=∠MAE=∠MEA=45°，AE= ， ∴AM=EM=EN=AN=1， ∵ED 平分∠ADO，EN⊥DA，EO⊥DB， ∴EN=EO=1，AO= +1， ∴AB= AO=2+ ， ∴S△AEB=S△AED=S△ADE′= ×1（2+ ）=1+ ，S△BDE=S△ADB﹣2S△AEB=1+ ， ∵DF=EF， ∴S△EFB= ， ∴S△DEE′=2S△ADE﹣S△AEE′= +1，S△DFE′= S△DEE′= ， ∴S 四边形 AEFE′=2S△ADE﹣S△DFE′= ， ∴S 四边形 ABFE′=S 四边形 AEFE′+S△AEB+S△EFB= ． 故答案为 ． 【点评】本题考查正方形的性质、翻折变换、全等三角形的性质，角平分线的性质、等腰直 角三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，学会利用分割法求四边形面积，属于中 考填空题中的压轴题． 三、解答题（本题共 2 个小题，每小题 7 分，共 14 分） 19．如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB． 【分析】根据 CE∥DF，可得∠ACE=∠D，再利用 SAS 证明△ACE≌△FDB，得出对应边 相等即可． 【解答】证明：∵CE∥DF， ∴∠ACE=∠D， 在△ACE 和△FDB 中， ， ∴△ACE≌△FDB（SAS）， ∴AE=FB． 【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质；熟练掌握平行线的性质， 证明三角形全等是解决问题的关键． 20．为响应“全民阅读”号召，某校在七年级 800 名学生中随机抽取 100 名学生，对概念机学 生在 2015 年全年阅读中外名著的情况进行调查，整理调查结果发现，学生阅读中外名著的 本数，最少的有 5 本，最多的有 8 本，并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的条形统计 图，其中阅读了 6 本的人数占被调查人数的 30%，根据图中提供的信息，补全条形统计图 并估计该校七年级全体学生在 2015 年全年阅读中外名著的总本数． 【分析】由阅读了 6 本的人数占被调查人数的 30%可求得阅读 6 本的人数，将总人数减去 阅读数是 5、6、8 本的人数可得阅读 7 本人数，据此补全条形图可得；根据样本计算出平均 每人的阅读量，再用平均数乘以七年级学生总数即可得答案． 【解答】解：根据题意，阅读了 6 本的人数为 100×30%=30（人）， 阅读了 7 本的人数为：100﹣20﹣30﹣﹣15=35（人）， 补全条形图如图： ∵平均每位学生的阅读数量为： =6.45（本）， ∴估计该校七年级全体学生在 2015 年全年阅读中外名著的总本数为 800×6.45=5160 本， 答：估计该校七年级全体学生在 2015 年全年阅读中外名著的总本数约为 5160 本． 【点评】本题主要考查条形统计图，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，熟知各项 目数据个数之和等于总数，也考查了用样本估计总体． 四、解答题（本题共 4 个下题，每小题 10 分，共 40 分） 21．计算：（1）（a+b）2﹣b（2a+b） （2）（ +x﹣1）÷ ． 【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘多项式的法则计算即可； （2）根据分式的混合运算法则进行计算． 【解答】解：（1）（a+b）2﹣b（2a+b） =a2+2ab+b2﹣2ab﹣b2 =a2； （2）（ +x﹣1）÷ = × = × = ． 【点评】本题考查的是整式的混合运算、分式的混合运算，掌握完全平方公式、分式的混合 运算法则是解题的关键． 22．在平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+b（a≠0）的图形与反比例函数 y= （k≠0）的图 象交于第二、四象限内的 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，过点 A 作 AH⊥y 轴，垂足为 H， OH=3，tan∠AOH= ，点 B 的坐标为（m，﹣2）． （1）求△AHO 的周长； （2）求该反比例函数和一次函数的解析式． 【分析】（1）根据正切函数，可得 AH 的长，根据勾股定理，可得 AO 的长，根据三角形 的周长，可得答案； （2）根据待定系数法，可得函数解析式． 【解答】解：（1）由 OH=3，tan∠AOH= ，得 AH=4．即 A（﹣4，3）． 由勾股定理，得 AO= =5， △AHO 的周长=AO+AH+OH=3+4+5=12； （2）将 A 点坐标代入 y= （k≠0），得 k=﹣4×3=﹣12， 反比例函数的解析式为 y= ； 当 y=﹣2 时，﹣2= ，解得 x=6，即 B（6，﹣2）． 将 A、B 点坐标代入 y=ax+b，得 ， 解得 ， 一次函数的解析式为 y=﹣ x+1． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法是解题关键． 23．近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克 达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格． （1）从今年年初至 5 月 20 日，猪肉价格不断走高，5 月 20 日比年初价格上涨了 60%．某 市民在今年 5 月 20 日购买 2.5 千克猪肉至少要花 100 元钱，那么今年年初猪肉的最低价格 为每千克多少元？ （2）5 月 20 日，猪肉价格为每千克 40 元.5 月 21 日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售 价在每千克 40 元的基础上下调 a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非 储备猪肉的价格仍为每千克 40 元的情况下，该天的两种猪肉总销量比 5 月 20 日增加了 a%， 且储备猪肉的销量占总销量的 ，两种猪肉销售的总金额比 5 月 20 日提高了 a%，求 a 的 值． 【分析】（1）设今年年初猪肉价格为每千克 x 元；根据题意列出一元一次不等式，解不等 式即可； （2）设 5 月 20 日两种猪肉总销量为 1；根据题意列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设今年年初猪肉价格为每千克 x 元； 根据题意得：2.5×（1+60%）x≥100， 解得：x≥25． 答：今年年初猪肉的最低价格为每千克 25 元； （2）设 5 月 20 日两种猪肉总销量为 1； 根据题意得：40（1﹣a%）× （1+a%）+40× （1+a%）=40（1+ a%）， 令 a%=y，原方程化为：40（1﹣y）× （1+y）+40× （1+y）=40（1+ y）， 整理得：5y2﹣y=0， 解得：y=0.2，或 y=0（舍去）， 则 a%=0.2， ∴a=20； 答：a 的值为 20． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用；根据题意列出不等式和 方程是解决问题的关键． 24．我们知道，任意一个正整数 n 都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q 是正整数，且 p≤q）， 在 n 的所有这种分解中，如果 p，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称 p×q 是 n 的最佳分 解．并规定：F（n）= ．例如 12 可以分解成 1×12，2×6 或 3×4，因为 12﹣1＞6﹣2＞4﹣3， 所有 3×4 是 12 的最佳分解，所以 F（12）= ． （1）如果一个正整数 a 是另外一个正整数 b 的平方，我们称正整数 a 是完全平方数．求证： 对任意一个完全平方数 m，总有 F（m）=1； （2）如果一个两位正整数 t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y 为自然数），交换其个位上的数与 十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为 18，那么我们称这个数 t 为“吉祥 数”，求所有“吉祥数”中 F（t）的最大值． 【分析】（1）根据题意可设 m=n2，由最佳分解定义可得 F（m）= =1； （2）根据“吉祥数”定义知（10y+x）﹣（10x+y）=18，即 y=x+2，结合 x 的范围可得 2 位数 的“吉祥数”，求出每个“吉祥数”的 F（t），比较后可得最大值． 【解答】解：（1）对任意一个完全平方数 m，设 m=n2（n 为正整数）， ∵|n﹣n|=0， ∴n×n 是 m 的最佳分解， ∴对任意一个完全平方数 m，总有 F（m）= =1； （2）设交换 t 的个位上的数与十位上的数得到的新数为 t′，则 t′=10y+x， ∵t 为“吉祥数”， ∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=18， ∴y=x+2， ∵1≤x≤y≤9，x，y 为自然数， ∴“吉祥数”有：13，24，35，46，57，68，79， ∴F（13）= ，F（24）= = ，F（35）= ，F（46）= ，F（57）= ，F（68）= ， F（79）= ， ∵ ＞ ＞ ＞ ＞ ＞ ， ∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值是 ． 【点评】本题主要考查实数的运算，理解最佳分解、“吉祥数”的定义，并将其转化为实数的 运算是解题的关键． 五、解答题（本题 2 个小题，每小题 12 分，共 24 分）解答时每小题必须给出必要的演算 过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 25．在△ABC 中，∠B=45°，∠C=30°，点 D 是 BC 上一点，连接 AD，过点 A 作 AG⊥AD， 在 AG 上取点 F，连接 DF．延长 DA 至 E，使 AE=AF，连接 EG，DG，且 GE=DF． （1）若 AB=2 ，求 BC 的长； （2）如图 1，当点 G 在 AC 上时，求证：BD= CG； （3）如图 2，当点 G 在 AC 的垂直平分线上时，直接写出 的值． 【分析】（1）如图 1 中，过点 A 作 AH⊥BC 于 H，分别在 RT△ABH，RT△AHC 中求出 BH、HC 即可． （2）如图 1 中，过点 A 作 AP⊥AB 交 BC 于 P，连接 PG，由△ABD≌△APG 推出 BD=PG， 再利用 30 度角性质即可解决问题． （3）如图 2 中，作 AH⊥BC 于 H，AC 的垂直平分线交 AC 于 P，交 BC 于 M．则 AP=PC， 作 DK⊥AB 于 K，设 BK=DK=a，则 AK= a，AD=2a，只要证明∠BAD=30°即可解决问 题． 【解答】解：（1）如图 1 中，过点 A 作 AH⊥BC 于 H． ∴∠AHB=∠AHC=90°， 在 RT△AHB 中，∵AB=2 ，∠B=45°， ∴BH=ABcosB=2 × =2， AH=ABsinB=2， 在 RT△AHC 中，∵∠C=30°， ∴AC=2AH=4，CH=ACcosC=2 ， ∴BC=BH+CH=2+2 ． （2）证明：如图 1 中，过点 A 作 AP⊥AB 交 BC 于 P，连接 PG， ∵AG⊥AD，∴∠DAF=∠EAC=90°， 在△DAF 和△GAE 中， ， ∴△DAF≌△GAE， ∴AD=AG， ∴∠BAP=90°=∠DAG， ∴∠BAD=∠PAG， ∵∠B=∠APB=45°， ∴AB=AP， 在△ABD 和△APG 中， ， ∴△ABD≌△APG， ∴BD=PG，∠B=∠APG=45°， ∴∠GPB=∠GPC=90°， ∵∠C=30°， ∴PG= GC， ∴BD= CG． （3）如图 2 中，作 AH⊥BC 于 H，AC 的垂直平分线交 AC 于 P，交 BC 于 M．则 AP=PC， 在 RT△AHC 中，∵∠ACH=30°， ∴AC=2AH， ∴AH=AP， 在 RT△AHD 和 RT△APG 中， ， ∴△AHD≌△APG， ∴∠DAH=∠GAP， ∵GM⊥AC，PA=PC， ∴MA=MC， ∴∠MAC=∠MCA=∠MAH=30°， ∴∠DAM=∠GAM=45°， ∴∠DAH=∠GAP=15°， ∴∠BAD=∠BAH﹣∠DAH=30°， 作 DK⊥AB 于 K，设 BK=DK=a，则 AK= a，AD=2a， ∴ = = ， ∵AG=CG=AD， ∴ = ． 【点评】本题考查相似三角形综合题、全等三角形的判定和性质、直角三角形 30 度角性质、 线段垂直平分线性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会设参数解决问 题，属于中考压轴题． 26．如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y=﹣ x2+ x+3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为点 E． （1）判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）经过 B，C 两点的直线交抛物线的对称轴于点 D，点 P 为直线 BC 上方抛物线上的一 动点，当△PCD 的面积最大时，Q 从点 P 出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上 点 M 处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到 y 轴上的点 N 处，最后沿适当的路径运动 到点 A 处停止．当点 Q 的运动路径最短时，求点 N 的坐标及点 Q 经过的最短路径的长； （3）如图 2，平移抛物线，使抛物线的顶点 E 在射线 AE 上移动，点 E 平移后的对应点为 点 E′，点 A 的对应点为点 A′，将△AOC 绕点 O 顺时针旋转至△A1OC1 的位置，点 A，C 的对应点分别为点 A1，C1，且点 A1 恰好落在 AC 上，连接 C1A′，C1E′，△A′C1E′是否能为 等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点 E′的坐标；若不能，请说明理由． 【分析】（1）先求出抛物线与 x 轴和 y 轴的交点坐标，再用勾股定理的逆定理判断出△ABC 是直角三角形； （2）先求出 S△PCD 最大时，点 P（ ， ），然后判断出所走的路径最短，即最短路径 的长为 PM+MN+NA 的长，计算即可； （3）△A′C1E′是等腰三角形，分三种情况分别建立方程计算即可． 【解答】解：（1）△ABC 为直角三角形， 当 y=0 时，即﹣ x2+ x+3=0， ∴x1=﹣ ，x2=3 ∴A（﹣ ，0），B（3 ，0）， ∴OA= ，OB=3 ， 当 x=0 时，y=3， ∴C（0，3）， ∴OC=3， 根据勾股定理得，AC2=OB2+OC2=12，BC2=OB2+OC2=36， ∴AC2+BC2=48， ∵AB2=[3 ﹣（﹣ ） ] 2=48， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC 是直角三角形， （2）如图， ∵B（3 ，0），C（0，3）， ∴直线 BC 解析式为 y=﹣ x+3， 过点 P 作∥y 轴， 设 P（a，﹣ a2+ a+3）， ∴G（a，﹣ a+3）， ∴PG=﹣ a2+ a， 设点 D 的横坐标为 xD，C 点的横坐标为 xC， S△PCD= ×（xD﹣xC）×PG=﹣ （a﹣ ）2+ ， ∵0＜a＜3 ， ∴当 a= 时，S△PCD 最大，此时点 P（ ， ）， 将点 P 向左平移 个单位至 P′，连接 AP′，交 y 轴于点 N，过点 N 作 MN⊥抛物线对称轴 于点 M， 连接 PM，点 Q 沿 P→M→N→A，运动，所走的路径最短，即最短路径的长为 PM+MN+NA 的长， ∴P（ ， ） ∴P′（ ， ）， ∵点 A（﹣ ，0）， ∴直线 AP′的解析式为 y= x+ ， 当 x=0 时，y= ， ∴N（0， ）， 过点 P′作 P′H⊥x 轴于点 H， ∴AH= ，P′H= ，AP′= ， ∴点 Q 运动得最短路径长为 PM+MN+AN= + = ； （3）在 Rt△AOC 中， ∵tan∠OAC= = ， ∴∠OAC=60°， ∵OA=OA1， ∴△OAA1 为等边三角形， ∴∠AOA1=60°， ∴∠BOC1=30°， ∵OC1=OC=3， ∴C1（ ， ）， ∵点 A（﹣ ，0），E（ ，4）， ∴AE=2 ， ∴A′E′=AE=2 ， ∵直线 AE 的解析式为 y= x+2， 设点 E′（a， a+2）， ∴A′（a﹣2 ， ﹣2） ∴C1E′2=（a﹣2 ）2+（ +2﹣ ）2= a2﹣ a+7， C1A′2=（a﹣2 ﹣ ）2+（ ﹣2﹣ ）2= a2﹣ a+49， ①若 C1A′=C1E′，则 C1A′2=C1E′2 即： a2﹣ a+7= a2﹣ a+49， ∴a= ， ∴E′（ ，5）， ②若 A′C1=A′E′， ∴A′C12=A′E′2 即： a2﹣ a+49=28， ∴a1= ，a2= ， ∴E′（ ，7+ ），或（ ，7﹣ ）， ③若 E′A′=E′C1， ∴E′A′2=E′C12 即： a2﹣ a+7=28， ∴a1= ，a2= （舍）， ∴E′（ ，3+ ）， 即，符合条件的点 E′（ ，5），（ ，7+ ），或（ ，7﹣ ）， （ ，3+ ）． 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了函数极值的确定方法，等边三角形的判定和性 质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，解本题的关键是分类讨论，也是解本题的难点．