2016年云南省中考数学试题解析版

2016 年云南省中考数学试卷 一、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，满分 18 分） 1．|﹣3|= ． 2．如图，直线 a∥b，直线 c 与直线 a、b 分别相交于 A、B 两点，若∠1=60°，则∠2= ． 3．因式分解：x2﹣1= ． 4．若一个多边形的边数为 6，则这个多边形的内角和为 720 度． 5．如果关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+a+2=0 有两个相等的实数根，那么实数 a 的值为 ． 6．如果圆柱的侧面展开图是相邻两边长分别为 6，16π的长方形，那么这个圆柱的体积等于 ． 二、选择题（本大题共 8 小题，每小题只有一个正确选项，每小题 4 分，满分 32 分） 7．据《云南省生物物种名录（2016 版）的》介绍，在素有“动植物王国”之美称的云南，已经发现的动植 物有 25434 种，25434 用科学记数法表示为（ ） A．2.5434×103B．2.5434×104C．2.5434×10﹣3D．2.5434×10﹣4 8．函数 y= 的自变量 x 的取值范围为（ ） A．x＞2 B．x＜2 C．x≤2 D．x≠2 9．若一个几何体的主视图、左视图、俯视图是半径相等的圆，则这个几何体是（ ） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．正方体 10．下列计算，正确的是（ ） A．（﹣2）﹣2=4 B． C．46÷（﹣2）6=64 D． 11．位于第一象限的点 E 在反比例函数 y= 的图象上，点 F 在 x 轴的正半轴上，O 是坐标原点．若 EO=EF， △EOF 的面积等于 2，则 k=（ ） A．4 B．2 C．1 D．﹣2 12．某校随机抽查了 10 名参加 2016 年云南省初中学业水平考试学生的体育成绩，得到的结果如表： 成绩（分） 46 47 48 49 50 人数（人） 1 2 1 2 4 下列说法正确的是（ ） A．这 10 名同学的体育成绩的众数为 50 B．这 10 名同学的体育成绩的中位数为 48 C．这 10 名同学的体育成绩的方差为 50 D．这 10 名同学的体育成绩的平均数为 48 13．下列交通标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 14．如图，D 是△ABC 的边 BC 上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B．如果△ABD 的面积为 15，那么 △ACD 的面积为（ ） A．15 B．10 C． D．5 三．解答题（共 9 个小题，共 70 分） 15．解不等式组 ． 16．如图：点 C 是 AE 的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D． 17．食品安全是关乎民生的重要问题，在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害，但适量的添加剂对人 体健康无害而且有利于食品的储存和运输．为提高质量，做进一步研究，某饮料加工厂需生产 A、B 两种 饮料共 100 瓶，需加入同种添加剂 270 克，其中 A 饮料每瓶需加添加剂 2 克，B 饮料每瓶需加添加剂 3 克， 饮料加工厂生产了 A、B 两种饮料各多少克？ 18．如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，∠ABC：∠BAD=1：2，BE∥AC，CE∥BD． （1）求 tan∠DBC 的值； （2）求证：四边形 OBEC 是矩形． 19．某中学为了丰富学生的校园体育锻炼生活，决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻 炼使用，因此学校随机抽取了部分同学就兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图， 请根据图中的信息，完成下列问题： （1）设学校这次调查共抽取了 n 名学生，直接写出 n 的值； （2）请你补全条形统计图； （3）设该校共有学生 1200 名，请你估计该校有多少名学生喜欢跳绳？ 20．如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点 C 的直线交 AB 的延长线于点 D，AE⊥DC，垂足为 E，F 是 AE 与⊙O 的交点，AC 平分∠BAE． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若 AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积． 21．某超市为庆祝开业举办大酬宾抽奖活动，凡在开业当天进店购物的顾客，都能获得一次抽奖的机会， 抽奖规则如下：在一个不透明的盒子里装有分别标有数字 1、2、3、4 的 4 个小球，它们的形状、大小、 质地完全相同，顾客先从盒子里随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，然后把小球放回盒子并搅拌 均匀，再从盒子中随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，并计算两次记下的数字之和，若两次所得 的数字之和为 8，则可获得 50 元代金券一张；若所得的数字之和为 6，则可获得 30 元代金券一张；若所 得的数字之和为 5，则可获得 15 元代金券一张；其他情况都不中奖． （1）请用列表或树状图（树状图也称树形图）的方法（选其中一种即可），把抽奖一次可能出现的结果 表示出来； （2）假如你参加了该超市开业当天的一次抽奖活动，求能中奖的概率 P． 22．草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克 20 元的 草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克 40 元，经试销发现，销售量 y（千克）与 销售单价 x（元）符合一次函数关系，如图是 y 与 x 的函数关系图象． （1）求 y 与 x 的函数解析式（也称关系式） （2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为 W 元，求 W 的最大值． 23．（12 分）（2016•云南）有一列按一定顺序和规律排列的数： 第一个数是 ； 第二个数是 ； 第三个数是 ； … 对任何正整数 n，第 n 个数与第（n+1）个数的和等于 ． （1）经过探究，我们发现： 设这列数的第 5 个数为 a，那么 ， ， ，哪个正确？ 请你直接写出正确的结论； （2）请你观察第 1 个数、第 2 个数、第 3 个数，猜想这列数的第 n 个数（即用正整数 n 表示第 n 数）， 并且证明你的猜想满足“第 n 个数与第（n+1）个数的和等于 ”； （3）设 M 表示 ， ， ，…， ，这 2016 个数的和，即 ， 求证： ． 2016 年云南省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，满分 18 分） 1．|﹣3|= 3 ． 【考点】绝对值． 【分析】根据负数的绝对值等于这个数的相反数，即可得出答案． 【解答】解：|﹣3|=3． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了绝对值的性质，正确记忆绝对值的性质是解决问题的关键． 2．如图，直线 a∥b，直线 c 与直线 a、b 分别相交于 A、B 两点，若∠1=60°，则∠2= 60° ． 【考点】平行线的性质． 【分析】先根据平行线的性质求出∠3 的度数，再由对顶角的定义即可得出结论． 【解答】解：∵直线 a∥b，∠1=60°， ∴∠1=∠3=60°． ∵∠2 与∠3 是对顶角， ∴∠2=∠3=60°． 故答案为：60°． 【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等． 3．因式分解：x2﹣1= （x+1）（x﹣1） ． 【考点】因式分解-运用公式法． 【专题】因式分解． 【分析】方程利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式=（x+1）（x﹣1）． 故答案为：（x+1）（x﹣1）． 【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 4．若一个多边形的边数为 6，则这个多边形的内角和为 720 度． 【考点】多边形内角与外角． 【分析】根据多边形的内角和公式求解即可． 【解答】解：根据题意得，180°（6﹣2）=720° 故答案为 720 【点评】此题是多边形的内角和外角，主要考差了多边形的内角和公式，解本题的关键是熟记多边形的内 角和公式． 5．如果关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+a+2=0 有两个相等的实数根，那么实数 a 的值为 ﹣1 或 2 ． 【考点】根的判别式． 【分析】根据方程有两个相等的实数根列出关于 a 的方程，求出 a 的值即可． 【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+a+2=0 有两个相等的实数根， ∴△=0，即 4a2﹣4（a+2）=0，解得 a=﹣1 或 2． 故答案为：﹣1 或 2． 【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的解与判别式之间的关系是解答此题的关键． 6．如果圆柱的侧面展开图是相邻两边长分别为 6，16π的长方形，那么这个圆柱的体积等于 144 或 384π ． 【考点】几何体的展开图． 【分析】分两种情况：①底面周长为 6 高为 16π；②底面周长为 16π高为 6；先根据底面周长得到底面半 径，再根据圆柱的体积公式计算即可求解． 【解答】解：①底面周长为 6 高为 16π， π×（ ）2×16π =π× ×16π =144； ②底面周长为 16π高为 6， π×（ ）2×6 =π×64×6 =384π． 答：这个圆柱的体积可以是 144 或 384π． 故答案为：144 或 384π． 【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，本题关键是熟练掌握圆柱的体积公式，注意分类思想的运用． 二、选择题（本大题共 8 小题，每小题只有一个正确选项，每小题 4 分，满分 32 分） 7．据《云南省生物物种名录（2016 版）的》介绍，在素有“动植物王国”之美称的云南，已经发现的动植 物有 25434 种，25434 用科学记数法表示为（ ） A．2.5434×103B．2.5434×104C．2.5434×10﹣3D．2.5434×10﹣4 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数 变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数； 当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：在素有“动植物王国”之美称的云南，已经发现的动植物有 25434 种，25434 用科学记数法表 示为 2.5434×104， 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为 整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 8．函数 y= 的自变量 x 的取值范围为（ ） A．x＞2 B．x＜2 C．x≤2 D．x≠2 【考点】函数自变量的取值范围． 【分析】根据当函数表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零，判断求解即可． 【解答】解：∵函数表达式 y= 的分母中含有自变量 x， ∴自变量 x 的取值范围为：x﹣2≠0， 即 x≠2． 故选 D． 【点评】本题考查了函数自变量取值范围的知识，求自变量的取值范围的关键在于必须使含有自变量的表 达式都有意义． 9．若一个几何体的主视图、左视图、俯视图是半径相等的圆，则这个几何体是（ ） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．正方体 【考点】由三视图判断几何体． 【分析】利用三视图都是圆，则可得出几何体的形状． 【解答】解：主视图、俯视图和左视图都是圆的几何体是球． 故选 C． 【点评】本题考查了由三视图确定几何体的形状，学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力． 10．下列计算，正确的是（ ） A．（﹣2）﹣2=4 B． C．46÷（﹣2）6=64 D． 【考点】二次根式的加减法；有理数的乘方；负整数指数幂；二次根式的性质与化简． 【分析】依次根据负整指数的运算，算术平方根的计算，整式的除法，二次根式的化简和合并进行判断即 可． 【解答】解：A、（﹣2）﹣2= ，所以 A 错误， B、 =2，所以 B 错误， C、46÷（﹣2）6=212÷26=26=64，所以 C 正确； D、 ﹣ =2 ﹣ = ，所以 D 错误， 故选 C 【点评】此题是二次根式的加减法，主要考查了负整指数的运算，算术平方根的计算，整式的除法，二次 根式的化简和合并同类二次根式，熟练掌握这些知识点是解本题的关键． 11．位于第一象限的点 E 在反比例函数 y= 的图象上，点 F 在 x 轴的正半轴上，O 是坐标原点．若 EO=EF， △EOF 的面积等于 2，则 k=（ ） A．4 B．2 C．1 D．﹣2 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义． 【分析】此题应先由三角形的面积公式，再求解 k 即可． 【解答】解：因为位于第一象限的点 E 在反比例函数 y= 的图象上，点 F 在 x 轴的正半轴上，O 是坐标原 点．若 EO=EF，△EOF 的面积等于 2， 所以 ， 解得：xy=2， 所以：k=2， 故选：B 【点评】主要考查了反比例函数系数 k 的几何意义问题，关键是由三角形的面积公式，再求解 k． 12．某校随机抽查了 10 名参加 2016 年云南省初中学业水平考试学生的体育成绩，得到的结果如表： 成绩（分） 46 47 48 49 50 人数（人） 1 2 1 2 4 下列说法正确的是（ ） A．这 10 名同学的体育成绩的众数为 50 B．这 10 名同学的体育成绩的中位数为 48 C．这 10 名同学的体育成绩的方差为 50 D．这 10 名同学的体育成绩的平均数为 48 【考点】方差；加权平均数；中位数；众数． 【分析】结合表格根据众数、平均数、中位数的概念求解即可． 【解答】解：10 名学生的体育成绩中 50 分出现的次数最多，众数为 50； 第 5 和第 6 名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为： =49； 平均数= =48.6， 方差= [（46﹣48.6）2+2×（47﹣48.6）2+（48﹣48.6）2+2×（49﹣48.6）2+4×（50﹣48.6）2 ] ≠50； ∴选项 A 正确，B、C、D 错误； 故选：A． 【点评】本题考查了众数、平均数、中位数的知识，掌握各知识点的概念是解答本题的关键． 13．下列交通标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【考点】中心对称图形；轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意． 故选 A． 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键． 14．如图，D 是△ABC 的边 BC 上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B．如果△ABD 的面积为 15，那么 △ACD 的面积为（ ） A．15 B．10 C． D．5 【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ACD 的面积：△ABC 的面积为 1：4， 因为△ABD 的面积为 9，进而求出△ACD 的面积． 【解答】解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C， ∴△ACD∽△BCA， ∵AB=4，AD=2， ∴△ACD 的面积：△ABC 的面积为 1：4， ∴△ACD 的面积：△ABD 的面积=1：3， ∵△ABD 的面积为 15， ∴△ACD 的面积∴△ACD 的面积=5． 故选 D． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型． 三．解答题（共 9 个小题，共 70 分） 15．解不等式组 ． 【考点】解一元一次不等式组． 【分析】分别解得不等式 2（x+3）＞10 和 2x+1＞x，然后取得这两个不等式解的公共部分即可得出答案． 【解答】解：∵ ， ∴解不等式①得：x＞2， 解不等式②得：x＞﹣1， ∴不等式组的解集为：x＞2． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组的知识，要掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小 大中间找；大大小小找不到． 16．如图：点 C 是 AE 的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】根据全等三角形的判定方法 SAS，即可证明△ABC≌△CDE，根据全等三角形的性质：得出结论． 【解答】证明：∵点 C 是 AE 的中点， ∴AC=CE， 在△ABC 和△CDE 中， ， ∴△ABC≌△CDE， ∴∠B=∠D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定方法：SSS，SAS，ASA，AAS，直角 三角形还有 HL． 17．食品安全是关乎民生的重要问题，在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害，但适量的添加剂对人 体健康无害而且有利于食品的储存和运输．为提高质量，做进一步研究，某饮料加工厂需生产 A、B 两种 饮料共 100 瓶，需加入同种添加剂 270 克，其中 A 饮料每瓶需加添加剂 2 克，B 饮料每瓶需加添加剂 3 克， 饮料加工厂生产了 A、B 两种饮料各多少克？ 【考点】二元一次方程组的应用． 【分析】设 A 种饮料生产了 x 瓶，B 种饮料生产了 y 瓶，根据：①A 种饮料瓶数+B 种饮料瓶数=100， ②A 种饮料添加剂的总质量+B 种饮料的总质量=270，列出方程组求解可得． 【解答】解：设 A 种饮料生产了 x 瓶，B 种饮料生产了 y 瓶， 根据题意，得： ， 解得： ， 答：A 种饮料生产了 30 瓶，B 种饮料生产了 70 瓶． 【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用能力，在解题时要能根据题意得出等量关系，列出方程组是 本题的关键． 18．如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，∠ABC：∠BAD=1：2，BE∥AC，CE∥BD． （1）求 tan∠DBC 的值； （2）求证：四边形 OBEC 是矩形． 【考点】矩形的判定；菱形的性质；解直角三角形． 【专题】计算题；矩形 菱形 正方形． 【分析】（1）由四边形 ABCD 是菱形，得到对边平行，且 BD 为角平分线，利用两直线平行得到一对同 旁内角互补，根据已知角之比求出相应度数，进而求出∠BDC 度数，即可求出 tan∠DBC 的值； （2）由四边形 ABCD 是菱形，得到对角线互相垂直，利用两组对边平行的四边形是平行四边形，再利用 有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证． 【解答】（1）解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AD∥BC，∠DBC= ∠ABC， ∴∠ABC+∠BAD=180°， ∵∠ABC：∠BAD=1：2， ∴∠ABC=60°， ∴∠BDC= ∠ABC=30°， 则 tan∠DBC=tan30°= ； （2）证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，即∠BOC=90°， ∵BE∥AC，CE∥BD， ∴BE∥OC，CE∥OB， ∴四边形 OBEC 是平行四边形， 则四边形 OBEC 是矩形． 【点评】此题考查了矩形的判定，菱形的性质，以及解直角三角形，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 19．某中学为了丰富学生的校园体育锻炼生活，决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻 炼使用，因此学校随机抽取了部分同学就兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图， 请根据图中的信息，完成下列问题： （1）设学校这次调查共抽取了 n 名学生，直接写出 n 的值； （2）请你补全条形统计图； （3）设该校共有学生 1200 名，请你估计该校有多少名学生喜欢跳绳？ 【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 【分析】（1）根据喜欢篮球的人数有 25 人，占总人数的 25%即可得出总人数； （2）根据总人数求出喜欢羽毛球的人数，补全条形统计图即可； （3）求出喜欢跳绳的人数占总人数的 20%即可得出结论． 【解答】解：（1）∵喜欢篮球的人数有 25 人，占总人数的 25%， ∴ =100（人）； （2）∵喜欢羽毛球的人数=100×20%=20 人， ∴条形统计图如图； （3）由已知得，1200×20%=240（人）． 答；该校约有 240 人喜欢跳绳． 【点评】本题考查的是条形统计图，熟知从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较是解答此题的关 键． 20．如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点 C 的直线交 AB 的延长线于点 D，AE⊥DC，垂足为 E，F 是 AE 与⊙O 的交点，AC 平分∠BAE． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若 AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积． 【考点】切线的判定；扇形面积的计算． 【分析】（1）连接 OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到 OC∥AE，于是得到 OC⊥CD，进而证明 DE 是⊙O 的切线； （2）分别求出△OCD 的面积和扇形 OBC 的面积，利用 S 阴影=S△COD﹣S 扇形 OBC 即可得到答案． 【解答】解：（1）连接 OC， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∵AC 平分∠BAE， ∴∠OAC=∠CAE， ∴∠OCA=∠CAE， ∴OC∥AE， ∴∠OCD=∠E， ∵AE⊥DE， ∴∠E=90°， ∴∠OCD=90°， ∴OC⊥CD， ∵点 C 在圆 O 上，OC 为圆 O 的半径， ∴CD 是圆 O 的切线； （2）在 Rt△AED 中， ∵∠D=30°，AE=6， ∴AD=2AE=12， 在 Rt△OCD 中，∵∠D=30°， ∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC， ∴DB=OB=OC= AD=4，DO=8， ∴CD= = =4 ， ∴S△OCD= = =8 ， ∵∠D=30°，∠OCD=90°， ∴∠DOC=60°， ∴S 扇形 OBC= ×π×OC2= ， ∵S 阴影=S△COD﹣S 扇形 OBC ∴S 阴影=8 ﹣ ， ∴阴影部分的面积为 8 ﹣ ． 【点评】本题主要考查了切线的判定以及扇形的面积计算，解（1）的关键是证明 OC⊥DE，解（2）的关 键是求出扇形 OBC 的面积，此题难度一般． 21．某超市为庆祝开业举办大酬宾抽奖活动，凡在开业当天进店购物的顾客，都能获得一次抽奖的机会， 抽奖规则如下：在一个不透明的盒子里装有分别标有数字 1、2、3、4 的 4 个小球，它们的形状、大小、 质地完全相同，顾客先从盒子里随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，然后把小球放回盒子并搅拌 均匀，再从盒子中随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，并计算两次记下的数字之和，若两次所得 的数字之和为 8，则可获得 50 元代金券一张；若所得的数字之和为 6，则可获得 30 元代金券一张；若所 得的数字之和为 5，则可获得 15 元代金券一张；其他情况都不中奖． （1）请用列表或树状图（树状图也称树形图）的方法（选其中一种即可），把抽奖一次可能出现的结果 表示出来； （2）假如你参加了该超市开业当天的一次抽奖活动，求能中奖的概率 P． 【考点】列表法与树状图法． 【分析】（1）首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果； （2）根据概率公式进行解答即可． 【解答】解：（1）列表得： 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 （2）由列表可知，所有可能出现的结果一共有 16 种，这些结果出现的可能性相同，其中两次所得数字之 和为 8、6、5 的结果有 8 种，所以抽奖一次中奖的概率为：P= = ． 答：抽奖一次能中奖的概率为 ． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质．注意树状图法与列表法可以不重复不 遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件； 注意概率=所求情况数与总情况数之比． 22．草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克 20 元的 草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克 40 元，经试销发现，销售量 y（千克）与 销售单价 x（元）符合一次函数关系，如图是 y 与 x 的函数关系图象． （1）求 y 与 x 的函数解析式（也称关系式） （2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为 W 元，求 W 的最大值． 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）待定系数法求解可得； （2）根据：总利润=每千克利润×销售量，列出函数关系式，配方后根据 x 的取值范围可得 W 的最大值． 【解答】解：（1）设 y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b， 根据题意，得： ， 解得： ， ∴y 与 x 的函数解析式为 y=﹣2x+340，（20≤x≤40）． （2）由已知得：W=（x﹣20）（﹣2x+340） =﹣2x2+380x﹣6800 =﹣2（x﹣95）2+11250， ∵﹣2＜0， ∴当 x≤95 时，W 随 x 的增大而增大， ∵20≤x≤40， ∴当 x=40 时，W 最大，最大值为﹣2（40﹣95）2+11250=5200 元． 【点评】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式与二次函数的应用，根据相等关系列出函数解析式， 并由二次函数的性质确定其最值是解题的关键． 23．（12 分）（2016•云南）有一列按一定顺序和规律排列的数： 第一个数是 ； 第二个数是 ； 第三个数是 ； … 对任何正整数 n，第 n 个数与第（n+1）个数的和等于 ． （1）经过探究，我们发现： 设这列数的第 5 个数为 a，那么 ， ， ，哪个正确？ 请你直接写出正确的结论； （2）请你观察第 1 个数、第 2 个数、第 3 个数，猜想这列数的第 n 个数（即用正整数 n 表示第 n 数）， 并且证明你的猜想满足“第 n 个数与第（n+1）个数的和等于 ”； （3）设 M 表示 ， ， ，…， ，这 2016 个数的和，即 ， 求证： ． 【考点】分式的混合运算；规律型：数字的变化类． 【分析】（1）由已知规律可得； （2）先根据已知规律写出第 n、n+1 个数，再根据分式的运算化简可得； （3）将每个分式根据 ﹣ = ＜ ＜ = ﹣ ，展开后再全部相加可得结论． 【解答】解：（1）由题意知第 5 个数 a= = ﹣ ； （2）∵第 n 个数为 ，第（n+1）个数为 ， ∴ + = （ + ） = × = × = ， 即第 n 个数与第（n+1）个数的和等于 ； （3）∵1﹣ = ＜ =1， = ＜ ＜ =1﹣ ， ﹣ = ＜ ＜ = ﹣ ， … ﹣ = ＜ ＜ = ﹣ ， ﹣ = ＜ ＜ = ﹣ ， ∴1﹣ ＜ + + +…+ + ＜2﹣ ， 即 ＜ + + +…+ + ＜ ， ∴ ． 【点评】本题主要考查分式的混合运算及数字的变化规律，根据已知规律 = ﹣ 得到 ﹣ = ＜ ＜ = ﹣ 是解题的关键．