2016年宜宾市中考数学试题解析版

2016 年四川省宜宾市中考数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1．﹣ 5 的绝对值是（ ） A． B． 5 C．﹣ D．﹣ 5 2．科学家在实验中检测出某微生物约为 0.0000035 米，将 0.0000035 用科学 记数法表示为（ ） A． 3.5×10﹣ 6B． 3.5×10 6C． 3.5×10﹣ 5D． 35×10﹣ 5 3．如图，立体图形的俯视图是（ ） A． B． C． D． 4．半径为 6，圆心角为 120 °的扇形的面积是（ ） A． 3π B． 6π C． 9π D． 12π 5．如图，在△ABC 中，∠C=90 °，AC=4， BC=3，将△ABC 绕点 A 逆时针旋 转，使点 C 落在线段 AB 上的点 E 处，点 B 落在点 D 处，则 B、D 两点间的 距离为（ ） A． B． 2 C． 3 D． 2 6．如图，点 P 是矩形 ABCD 的边 AD 上的一动点，矩形的两条边 AB、 BC 的长分别是 6 和 8，则点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和是（ ） A． 4.8 B． 5 C． 6 D． 7.2 7．宜宾市某化工厂，现有 A 种原料 52 千克，B 种原料 64 千克，现用这些原 料生产甲、乙两种产品共 20 件．已知生产 1 件甲种产品需要 A 种原料 3 千克， B 种原料 2 千克；生产 1 件乙种产品需要 A 种原料 2 千克，B 种原料 4 千克， 则生产方案的种数为（ ） A． 4 B． 5 C． 6 D． 7 8．如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是 （ ） A．乙前 4 秒行驶的路程为 48 米 B．在 0 到 8 秒内甲的速度每秒增加 4 米 /秒 C．两车到第 3 秒时行驶的路程相等 D．在 4 至 8 秒内甲的速度都大于乙的速度 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9．分解因式： ab4﹣ 4ab3+4ab 2= ． 10．如图，直线 a∥b，∠1=45 °，∠2=30 °，则∠P= °． 11．已知一组数据： 3， 3， 4， 7， 8，则它的方差为 ． 12．今年 “五一 ”节，A、B 两人到商场购物，A 购 3 件甲商品和 2 件乙商品共 支付 16 元，B 购 5 件甲商品和 3 件乙商品共支付 25 元，求一件甲商品和一 件乙商品各售多少元．设甲商品售价 x 元 /件，乙商品售价 y 元 /件，则可列出 方程组 ． 13．在平面直角坐标系内，以点 P（ 1， 1）为圆心、 为半径作圆，则该圆 与 y 轴的交点坐标是 ． 14．已知一元二次方程 x2+3x﹣ 4=0 的两根为 x1、 x2，则 x12+x 1x2+x 22= ． 15．规定： log ab（ a＞ 0， a≠1， b＞ 0）表示 a， b 之间的一种运算． 现有如下的运算法则： lognan=n． logNM= （ a＞ 0， a≠1，N＞ 0，N≠1， M＞ 0）． 例如： log 223=3， log 25= ，则 log1001000= ． 16．如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中， P 是 BC 边上一动点（不含 B、C 两点），将△ABP 沿直线 AP 翻折，点 B 落在点 E 处；在 CD 上有一点 M，使 得将△CMP 沿直线 MP 翻折后，点 C 落在直线 PE 上的点 F 处，直线 PE 交 CD 于点 N，连接 MA，NA．则以下结论中正确的有 （写出所有 正确结论的序号） ①△CMP∽△BPA； ②四边形 AMCB 的面积最大值为 10； ③当 P 为 BC 中点时，AE 为线段 NP 的中垂线； ④线段 AM 的最小值为 2 ； ⑤当△ABP≌△ADN 时，BP=4 ﹣ 4． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分） 17．（ 1）计算；（ ） ﹣ 2﹣（﹣ 1） 2016﹣ +（ π﹣ 1） 0 （ 2）化简： ÷（ 1﹣ ） 18．如图，已知∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC． 求证：BC=AD． 19．某校要求八年级同学在课外活动中，必须在五项球类（篮球、足球、排 球、羽毛球、乒乓球）活动中任选一项（只能选一项）参加训练，为了了解 八年级学生参加球类活动的整体情况，现以八年级 2 班作为样本，对该班学 生参加球类活动的情况进行统计，并绘制了如图所示的不完整统计表和扇形 统计图： 八年级 2 班参加球类活动人数统计表 项目 篮球 足球 乒乓球 排球 羽毛球 人数 a 6 5 7 6 根据图中提供的信息，解答下列问题： （ 1） a= ， b= ； （ 2）该校八年级学生共有 600 人，则该年级参加足球活动的人数约 人； （ 3）该班参加乒乓球活动的 5 位同学中，有 3 位男同学（A，B，C）和 2 位 女同学（D， E），现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表 法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率． 20． 2016 年 “母亲节 ”前夕，宜宾某花店用 4000 元购进若干束花，很快售完， 接着又用 4500 元购进第二批花，已知第二批所购花的束数是第一批所购花束 数的 1.5 倍，且每束花的进价比第一批的进价少 5 元，求第一批花每束的进 价是多少？ 21．如图， CD 是一高为 4 米的平台，AB 是与 CD 底部相平的一棵树，在平 台顶 C 点测得树顶 A 点的仰角 α=30 °，从平台底部向树的方向水平前进 3 米 到达点 E，在点 E 处测得树顶 A 点的仰角 β=60 °，求树高 AB（结果保留根号） 22．如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y= （ x＞ 0）的图象交于 A （ 2，﹣ 1），B（ ， n）两点，直线 y=2 与 y 轴交于点 C． （ 1）求一次函数与反比例函数的解析式； （ 2）求△ABC 的面积． 23．如图 1，在△APE 中，∠PAE=90 °， PO 是△APE 的角平分线，以 O 为圆 心，OA 为半径作圆交 AE 于点 G． （ 1）求证：直线 PE 是⊙O 的切线； （ 2）在图 2 中，设 PE 与⊙O 相切于点 H，连结 AH，点 D 是⊙O 的劣弧 上 一点，过点 D 作⊙O 的切线，交 PA 于点 B，交 PE 于点 C，已知△PBC 的周 长为 4， tan∠EAH= ，求 EH 的长． 24．如图，已知二次函数 y1=ax2+bx 过（﹣ 2， 4），（﹣ 4， 4）两点． （ 1）求二次函数 y1 的解析式； （ 2）将 y1 沿 x 轴翻折，再向右平移 2 个单位，得到抛物线 y2，直线 y=m（m ＞ 0）交 y2 于 M、N 两点，求线段 MN 的长度（用含 m 的代数式表示）； （ 3）在（ 2）的条件下， y1、 y2 交于 A、B 两点，如果直线 y=m 与 y1、 y2 的 图象形成的封闭曲线交于 C、D 两点（C 在左侧），直线 y=﹣m 与 y1、 y2 的 图象形成的封闭曲线交于 E、 F 两点（ E 在左侧），求证：四边形 CEFD 是平 行四边形． 2016 年四川省宜宾市中考数学试卷 参 考答 案与 试 题解 析 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1．﹣ 5 的绝对值是（ ） A． B． 5 C．﹣ D．﹣ 5 【考点】绝对值． 【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是 它的相反数； 0 的绝对值是 0． 【解答】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得 |﹣ 5|=5． 故选：B． 2．科学家在实验中检测出某微生物约为 0.0000035 米，将 0.0000035 用科学 记数法表示为（ ） A． 3.5×10﹣ 6B． 3.5×10 6C． 3.5×10﹣ 5D． 35×10﹣ 5 【考点】科学记数法—表示较小的数． 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10 ﹣ n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左 边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定． 【解答】解： 0.0000035=3.5×10﹣ 6， 故选：A． 3．如图，立体图形的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图． 【分析】根据几何体的三视图，即可解答． 【解答】解：立体图形的俯视图是 C． 故选：C． 4．半径为 6，圆心角为 120 °的扇形的面积是（ ） A． 3π B． 6π C． 9π D． 12π 【考点】扇形面积的计算． 【分析】根据扇形的面积公式 S= 计算即可． 【解答】解： S= =12π， 故选：D． 5．如图，在△ABC 中，∠C=90 °，AC=4， BC=3，将△ABC 绕点 A 逆时针旋 转，使点 C 落在线段 AB 上的点 E 处，点 B 落在点 D 处，则 B、D 两点间的 距离为（ ） A． B． 2 C． 3 D． 2 【考点】旋转的性质． 【分析】通过勾股定理计算出 AB 长度，利用旋转性质求出各对应线段长度， 利用勾股定理求出 B、D 两点间的距离． 【解答】解：∵在△ABC 中，∠C=90 °，AC=4，BC=3， ∴AB=5， ∵将△ABC 绕点 A 逆时针旋转，使点 C 落在线段 AB 上的点 E 处，点 B 落在 点 D 处， ∴AE=4，DE=3， ∴BE=1， 在 Rt△BED 中， BD= = ． 故选：A． 6．如图，点 P 是矩形 ABCD 的边 AD 上的一动点，矩形的两条边 AB、 BC 的长分别是 6 和 8，则点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和是（ ） A． 4.8 B． 5 C． 6 D． 7.2 【考点】矩形的性质． 【分析】首先连接 OP，由矩形的两条边 AB、BC 的长分别为 3 和 4，可求得 OA=OD=5，△AOD 的面积，然后由 S△AOD=S△AOP+S△DOP= OA•PE+OD•PF 求得答案． 【解答】解：连接 OP， ∵矩形的两条边 AB、BC 的长分别为 6 和 8， ∴S 矩 形 ABCD=AB•BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD=10， ∴OA=OD=5， ∴S△ACD= S 矩 形 ABCD=24， ∴S△AOD= S△ACD=12， ∵S△AOD=S△AOP+S△DOP= OA•PE+ OD•PF= ×5×PE+ ×5×PF= （ PE+PF） =12， 解得： PE+PF=4.8． 故选：A． 7．宜宾市某化工厂，现有 A 种原料 52 千克，B 种原料 64 千克，现用这些原 料生产甲、乙两种产品共 20 件．已知生产 1 件甲种产品需要 A 种原料 3 千克， B 种原料 2 千克；生产 1 件乙种产品需要 A 种原料 2 千克，B 种原料 4 千克， 则生产方案的种数为（ ） A． 4 B． 5 C． 6 D． 7 【考点】二元一次方程组的应用． 【分析】设生产甲产品 x 件，则乙产品（ 20﹣ x）件，根据生产 1 件甲种产品 需要 A 种原料 3 千克， B 种原料 2 千克；生产 1 件乙种产品需要 A 种原料 2 千克，B 种原料 4 千克，列出不等式组，求出不等式组的解，再根据 x 为整 数，得出有 5 种生产方案． 【解答】解：设生产甲产品 x 件，则乙产品（ 20﹣ x）件，根据题意得： ， 解得： 8≤x≤12， ∵x 为整数， ∴x=8， 9， 10， 11， 12， ∴有 5 种生产方案： 方案 1，A 产品 8 件， B 产品 12 件； 方案 2，A 产品 9 件， B 产品 11 件； 方案 3，A 产品 10 件， B 产品 10 件； 方案 4，A 产品 11 件，B 产品 9 件； 方案 5，A 产品 12 件， B 产品 8 件； 故选 B． 8．如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是 （ ） A．乙前 4 秒行驶的路程为 48 米 B．在 0 到 8 秒内甲的速度每秒增加 4 米 /秒 C．两车到第 3 秒时行驶的路程相等 D．在 4 至 8 秒内甲的速度都大于乙的速度 【考点】函数的图象． 【分析】根据函数图象和速度、时间、路程之间的关系，分别对每一项进行 分析即可得出答案． 【解答】解：A、根据图象可得，乙前 4 秒行驶的路程为 12×4=48 米，正确； B、根据图象得：在 0 到 8 秒内甲的速度每秒增加 4 米秒 /，正确； C、根据图象可得两车到第 3 秒时行驶的路程不相等，故本选项错误； D、在 4 至 8 秒内甲的速度都大于乙的速度，正确； 故选 C． 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9．分解因式： ab4﹣ 4ab3+4ab 2= ab 2（ b﹣ 2） 2 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察， 有 3 项，可采用完全平方公式继续分解． 【解答】解： ab4﹣ 4ab3+4ab 2 =ab 2（ b2﹣ 4b+4） =ab 2（ b﹣ 2） 2． 故答案为： ab2（ b﹣ 2） 2． 10．如图，直线 a∥b，∠1=45 °，∠2=30 °，则∠P= 75 °． 【考点】平行线的性质． 【分析】过 P 作 PM∥直线 a，求出直线 a∥b∥PM，根据平行线的性质得出 ∠EPM=∠2=30 °，∠FPM=∠1=45 °，即可求出答案． 【解答】解： 过 P 作 PM∥直线 a， ∵直线 a∥b， ∴直线 a∥b∥PM， ∵∠1=45 °，∠2=30 °， ∴∠EPM=∠2=30 °，∠FPM=∠1=45 °， ∴∠EPF=∠EPM+∠FPM=30 °+45 °=75 °， 故答案为： 75． 11．已知一组数据： 3， 3， 4， 7， 8，则它的方差为 4.4 ． 【考点】方差． 【分析】根据平均数的计算公式先算出这组数据的平均数，再根据方差公式 进行计算即可． 【解答】解：这组数据的平均数是：（ 3+3+4+7+8） ÷5=5， 则这组数据的方差为： [（ 3﹣ 5） 2+（ 3﹣ 5） 2+（ 4﹣ 5） 2+（ 7﹣ 5） 2+（ 8 ﹣ 5） 2]=4.4． 故答案为： 4.4． 12．今年 “五一 ”节，A、B 两人到商场购物，A 购 3 件甲商品和 2 件乙商品共 支付 16 元，B 购 5 件甲商品和 3 件乙商品共支付 25 元，求一件甲商品和一 件乙商品各售多少元．设甲商品售价 x 元 /件，乙商品售价 y 元 /件，则可列出 方程组 ． 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组． 【分析】分别利用 “A 购 3 件甲商品和 2 件乙商品共支付 16 元，B 购 5 件甲 商品和 3 件乙商品共支付 25 元 ”得出等式求出答案． 【解答】解：设甲商品售价 x 元 /件，乙商品售价 y 元 /件，则可列出方程组： ． 故答案为： ． 13．在平面直角坐标系内，以点 P（ 1， 1）为圆心、 为半径作圆，则该圆 与 y 轴的交点坐标是 （ 0， 3），（ 0，﹣ 1） ． 【考点】坐标与图形性质． 【分析】在平面直角坐标系中，根据勾股定理先求出直角三角形的另外一个 直角边，再根据点 P 的坐标即可得出答案． 【解答】解：以（ 1， 1）为圆心， 为半径画圆，与 y 轴相交，构成直角三 角形， 用勾股定理计算得另一直角边的长为 2， 则与 y 轴交点坐标为（ 0， 3）或（ 0，﹣ 1）． 故答案为：（ 0， 3），（ 0，﹣ 1）． 14．已知一元二次方程 x2+3x﹣ 4=0 的两根为 x1、 x2，则 x12+x 1x2+x 22= 13 ． 【考点】根与系数的关系． 【分析】根据根与系数的关系得到 x1+x 2=﹣ 3，x1x2=﹣ 4，再利用完全平方公 式变形得到 x12+x 1x2+x 22=（ x1+x 2） 2﹣ x1x2，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据题意得 x1+x2=﹣ 3， x1x2=﹣ 4， 所以 x12+x 1x2+x 22=（ x1+x 2） 2﹣ x1x2=（﹣ 3） 2﹣（﹣ 4） =13． 故答案为 13． 15．规定： log ab（ a＞ 0， a≠1， b＞ 0）表示 a， b 之间的一种运算． 现有如下的运算法则： lognan=n． logNM= （ a＞ 0， a≠1，N＞ 0，N≠1， M＞ 0）． 例如： log 223=3， log 25= ，则 log1001000= ． 【考点】实数的运算． 【分析】先根据 logNM= （ a＞ 0， a≠1，N＞ 0，N≠1，M＞ 0）将所求式 子化成以 10 为底的对数形式，再利用公式 进行计算． 【解答】解： log 1001000= = = ． 故答案为： ． 16．如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中， P 是 BC 边上一动点（不含 B、C 两点），将△ABP 沿直线 AP 翻折，点 B 落在点 E 处；在 CD 上有一点 M，使 得将△CMP 沿直线 MP 翻折后，点 C 落在直线 PE 上的点 F 处，直线 PE 交 CD 于点 N，连接 MA，NA．则以下结论中正确的有 ①②⑤ （写出所有 正确结论的序号） ①△CMP∽△BPA； ②四边形 AMCB 的面积最大值为 10； ③当 P 为 BC 中点时，AE 为线段 NP 的中垂线； ④线段 AM 的最小值为 2 ； ⑤当△ABP≌△ADN 时，BP=4 ﹣ 4． 【考点】相似形综合题． 【分析】①正确，只要证明∠APM=90 °即可解决问题． ②正确，设 PB=x，构建二次函数，利用二次函数性质解决问题即可． ③错误，设 ND=NE=y，在 RT△PCN 中，利用勾股定理求出 y 即可解决问题． ④错误，作 MG⊥AB 于 G，因为 AM= = ，所以 AG 最小时 AM 最小，构建二次函数，求得 AG 的最小值为 3，AM 的最小值为 5． ⑤正确，在 AB 上取一点 K 使得 AK=PK，设 PB=z，列出方程即可解决问题． 【解答】解：∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN， ∵∠CPN+∠NPB=180 °， ∴2∠NPM+2∠APE=180 °， ∴∠MPN+∠APE=90 °， ∴∠APM=90 °， ∵∠CPM+∠APB=90 °，∠APB+∠PAB=90 °， ∴∠CPM=∠PAB， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=CB=DC=AD=4，∠C=∠B=90 °， ∴△CMP∽△BPA．故①正确， 设 PB=x，则 CP=4﹣ x， ∵△CMP∽△BPA， ∴ = ， ∴CM= x（ 4﹣ x）， ∴S 四 边 形 AMCB= [4+ x（ 4﹣ x） ]×4=﹣ x2+2x+8=﹣ （ x﹣ 2） 2+10， ∴x=2 时，四边形 AMCB 面积最大值为 10，故②正确， 当 PB=PC=PE=2 时，设 ND=NE=y， 在 RT△PCN 中，（ y+2） 2=（ 4﹣ y） 2+2 2 解得 y= ， ∴NE≠EP，故③错误， 作 MG⊥AB 于 G， ∵AM= = ， ∴AG 最小时 AM 最小， ∵AG=AB﹣BG=AB﹣CM=4﹣ x（ 4﹣ x） = （ x﹣ 1） 2+3， ∴x=1 时，AG 最小值 =3， ∴AM 的最小值 = =5，故④错误． ∵△ABP≌△ADN 时， ∴∠PAB=∠DAN=22.5 °，在 AB 上取一点 K 使得 AK=PK，设 PB=z， ∴∠KPA=∠KAP=22.5 ° ∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45 °， ∴∠BPK=∠BKP=45 °， ∴PB=BK=z，AK=PK= z， ∴z+ z=4， ∴z=4 ﹣ 4， ∴PB=4 ﹣ 4 故⑤正确． 故答案为①②⑤． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分） 17．（ 1）计算；（ ） ﹣ 2﹣（﹣ 1） 2016﹣ +（ π﹣ 1） 0 （ 2）化简： ÷（ 1﹣ ） 【考点】实数的运算；分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂． 【分析】（ 1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，乘方的意义，以及算 术平方根定义计算即可得到结果； （ 2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法 法则变形，约分即可得到结果． 【解答】解：（ 1）原式 =9﹣ 1﹣ 5+1=4； （ 2）原式 = ÷ = • = ． 18．如图，已知∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC． 求证：BC=AD． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】先根据题意得出∠DAB=∠CBA，再由 ASA 定理可得出 △ADB≌△BCA，由此可得出结论． 【解答】解：∵∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC， ∴∠DAB=∠CBA． 在△ADB 与△BCA 中， ， ∴△ADB≌△BCA（ASA）， ∴BC=AD． 19．某校要求八年级同学在课外活动中，必须在五项球类（篮球、足球、排 球、羽毛球、乒乓球）活动中任选一项（只能选一项）参加训练，为了了解 八年级学生参加球类活动的整体情况，现以八年级 2 班作为样本，对该班学 生参加球类活动的情况进行统计，并绘制了如图所示的不完整统计表和扇形 统计图： 八年级 2 班参加球类活动人数统计表 项目 篮球 足球 乒乓球 排球 羽毛球 人数 a 6 5 7 6 根据图中提供的信息，解答下列问题： （ 1） a= 16 ， b= 17.5 ； （ 2）该校八年级学生共有 600 人，则该年级参加足球活动的人数约 90 人； （ 3）该班参加乒乓球活动的 5 位同学中，有 3 位男同学（A，B，C）和 2 位 女同学（D， E），现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表 法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率． 【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图． 【分析】（ 1）首先求得总人数，然后根据百分比的定义求解； （ 2）利用总数乘以对应的百分比即可求解； （ 3）利用列举法，根据概率公式即可求解． 【解答】解：（ 1） a=5÷12.5%×40%=16， 5÷12.5%=7÷b%， ∴b=17.5， 故答案为： 16， 17.5； （ 2） 600×[6÷（ 5÷12.5%） ]=90（人）， 故答案为： 90； （ 3）如图，∵共有 20 种等可能的结果，两名主持人恰为一男一女的有 12 种 情况， ∴则 P（恰好选到一男一女） = = ． 20． 2016 年 “母亲节 ”前夕，宜宾某花店用 4000 元购进若干束花，很快售完， 接着又用 4500 元购进第二批花，已知第二批所购花的束数是第一批所购花束 数的 1.5 倍，且每束花的进价比第一批的进价少 5 元，求第一批花每束的进 价是多少？ 【考点】分式方程的应用． 【分析】设第一批花每束的进价是 x 元 /束，则第一批进的数量是： ，第 二批进的数量是： ，再根据等量关系：第二批进的数量 =第一批进的数 量 ×1.5 可得方程． 【解答】解：设第一批花每束的进价是 x 元 /束， 依题意得： ×1.5= ， 解得 x=20． 经检验 x=20 是原方程的解，且符合题意． 答：第一批花每束的进价是 20 元 /束． 21．如图， CD 是一高为 4 米的平台，AB 是与 CD 底部相平的一棵树，在平 台顶 C 点测得树顶 A 点的仰角 α=30 °，从平台底部向树的方向水平前进 3 米 到达点 E，在点 E 处测得树顶 A 点的仰角 β=60 °，求树高 AB（结果保留根号） 【考点】解直角三角形的应用 -仰角俯角问题． 【分析】作 CF⊥AB 于点 F，设 AF=x 米，在直角△ACF 中利用三角函数用 x 表示出 CF 的长，在直角△ABE 中表示出 BE 的长，然后根据 CF﹣BE=DE 即 可列方程求得 x 的值，进而求得 AB 的长． 【解答】解：作 CF⊥AB 于点 F，设 AF=x 米， 在 Rt△ACF 中， tan∠ACF= ， 则 CF= = = = x， 在直角△ABE 中，AB=x+BF=4+x（米）， 在直角△ABF 中， tan∠AEB= ，则 BE= = = （ x+4）米． ∵CF﹣BE=DE，即 x﹣ （ x+4） =3． 解得： x= ， 则 AB= +4= （米）． 答：树高 AB 是 米． 22．如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y= （ x＞ 0）的图象交于 A （ 2，﹣ 1），B（ ， n）两点，直线 y=2 与 y 轴交于点 C． （ 1）求一次函数与反比例函数的解析式； （ 2）求△ABC 的面积． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（ 1）把 A 坐标代入反比例解析式求出 m 的值，确定出反比例解析式， 再将 B 坐标代入求出 n 的值，确定出 B 坐标，将 A 与 B 坐标代入一次函数解 析式求出 k 与 b 的值，即可确定出一次函数解析式； （ 2）利用两点间的距离公式求出 AB 的长，利用点到直线的距离公式求出点 C 到直线 AB 的距离，即可确定出三角形 ABC 面积． 【解答】解：（ 1）把 A（ 2，﹣ 1）代入反比例解析式得：﹣ 1= ，即 m=﹣ 2， ∴反比例解析式为 y=﹣ ， 把 B（ ， n）代入反比例解析式得： n=﹣ 4，即 B（ ，﹣ 4）， 把 A 与 B 坐标代入 y=kx+b 中得： ， 解得： k=2， b=﹣ 5， 则一次函数解析式为 y=2x﹣ 5； （ 2）∵A（ 2，﹣ 1），B（ ，﹣ 4），直线 AB 解析式为 y=2x﹣ 5， ∴AB= = ，原点（ 0， 0）到直线 y=2x﹣ 5 的距离 d= = ， 则 S△ABC= AB•d= ． 23．如图 1，在△APE 中，∠PAE=90 °， PO 是△APE 的角平分线，以 O 为圆 心，OA 为半径作圆交 AE 于点 G． （ 1）求证：直线 PE 是⊙O 的切线； （ 2）在图 2 中，设 PE 与⊙O 相切于点 H，连结 AH，点 D 是⊙O 的劣弧 上 一点，过点 D 作⊙O 的切线，交 PA 于点 B，交 PE 于点 C，已知△PBC 的周 长为 4， tan∠EAH= ，求 EH 的长． 【考点】切线的判定与性质． 【分析】（ 1）作 OH⊥PE，由 PO 是∠APE 的角平分线，得到∠APO=∠EPO， 判断出△PAO≌△PHO，得到 OH=OA，用 “圆心到直线的距离等于半径 ”来得 出直线 PE 是⊙O 的切线； （ 2）先利用切线的性质和△PBC 的周长为 4 求出 PA=2，再用三角函数求出 OA，AG，然后用三角形相似，得到 EH=2EG，AE=2EH，用勾股定理求出 EG， 最后用切割线定理即可． 【解答】证明：（ 1）如图 1， 作 OH⊥PE， ∴∠OHP=90 °， ∵∠PAE=90， ∴∠OHP=∠OAP， ∵PO 是∠APE 的角平分线， ∴∠APO=∠EPO， 在△PAO 和△PHO 中 ， ∴△PAO≌△PHO， ∴OH=OA， ∵OA 是⊙O 的半径， ∴OH 是⊙O 的半径， ∵OH⊥PE， ∴直线 PE 是⊙O 的切线． （ 2）如图 2，连接 GH， ∵BC， PA， PB 是⊙O 的切线， ∴DB=DA，DC=CH， ∵△PBC 的周长为 4， ∴PB+PC+BC=4， ∴PB+PC+DB+DC=4， ∴PB+AB+PC+CH=4， ∴PA+PH=4， ∵PA， PH 是⊙O 的切线， ∴PA=PH， ∴PA=2， 由（ 1）得，△PAO≌△PHO， ∴∠OFA=90 °， ∴∠EAH+∠AOP=90 °， ∵∠OAP=90 °， ∴∠AOP+∠APO=90 °， ∴∠APO=∠EAH， ∵ tan∠EAH= ， ∴ tan∠APO= = ， ∴OA= PA=1， ∴AG=2， ∵∠AHG=90 °， ∵ tan∠EAH= = ， ∵△EGH∽△EHA， ∴ = = = ， ∴EH=2EG，AE=2EH， ∴AE=4EG， ∵AE=EG+AG， ∴EG+AG=4EG， ∴EG= AG= ， ∵EH 是⊙O 的切线， EGA 是⊙O 的割线， ∴EH 2=EG×EA=EG×（ EG+AG） = ×（ +2） = ， ∴EH= ． 24．如图，已知二次函数 y1=ax2+bx 过（﹣ 2， 4），（﹣ 4， 4）两点． （ 1）求二次函数 y1 的解析式； （ 2）将 y1 沿 x 轴翻折，再向右平移 2 个单位，得到抛物线 y2，直线 y=m（m ＞ 0）交 y2 于 M、N 两点，求线段 MN 的长度（用含 m 的代数式表示）； （ 3）在（ 2）的条件下， y1、 y2 交于 A、B 两点，如果直线 y=m 与 y1、 y2 的 图象形成的封闭曲线交于 C、D 两点（C 在左侧），直线 y=﹣m 与 y1、 y2 的 图象形成的封闭曲线交于 E、 F 两点（ E 在左侧），求证：四边形 CEFD 是平 行四边形． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（ 1）根据待定系数法即可解决问题． （ 2）先求出抛物线 y2 的顶点坐标，再求出其解析式，利用方程组以及根与 系数关系即可求出 MN． （ 3）用类似（ 2）的方法，分别求出 CD、 EF 即可解决问题． 【解答】解：（ 1）∵二次函数 y1=ax2+bx 过（﹣ 2， 4），（﹣ 4， 4）两点， ∴ 解得 ， ∴二次函数 y1 的解析式 y1=﹣ x2﹣ 3x． （ 2）∵y1=﹣ （ x+3） 2+ ， ∴顶点坐标（﹣ 3， ）， ∵将 y1 沿 x 轴翻折，再向右平移 2 个单位，得到抛物线 y2， ∴抛物线 y2 的顶点坐标（﹣ 1，﹣ ）， ∴抛物线 y2 为 y= （ x+1） 2﹣ ， 由 消去 y 整理得到 x2+2x﹣ 8﹣ 2m=0，设 x1， x2 是它的两个 根， 则 MN=|x1﹣ x2 |= = ， （ 3）由 消去 y 整理得到 x2+6x+2m=0，设两个根为 x1， x2， 则 CD=|x 1﹣ x2 |= = ， 由 消去 y 得到 x2+2x﹣ 8+2m=0，设两个根为 x1， x2， 则 EF=|x 1﹣ x2 |= = ， ∴EF=CD， EF∥CD， ∴四边形 CEFD 是平行四边形． 2016 年 7 月 1 日