2016年新疆中考数学试题解析版

2016 年内地新疆高中班招生数学试卷 一 、 选 择 题 ， 共 9 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 45 分 ． 1． ﹣ 2 的 绝 对 值 是 （ ） A． 2 B． ﹣ 2 C． ±2 D． 2． 如 图 ， AB∥CD， CE 平 分 ∠BCD， ∠B=36°， 则 ∠DCE 等 于 （ ） A． 18° B． 36° C． 45° D． 54° 3． 不 等 式 组 的 解 集 是 （ ） A． x＞ 4 B． x≤3 C． 3≤x＜ 4 D． 无 解 4．一 个 不 透 明 的 布 袋 里 装 有 5 个 只 有 颜 色 不 同 的 球 ，其 中 2 个 红 球 ，3 个 白 球 ，从 布 袋 中 随 机 摸 出 一 个 球 ， 摸 出 红 球 的 概 率 是 （ ） A． B． C． D． 5． 一 个 扇 形 的 圆 心 角 是 120°， 面 积 为 3πcm2， 那 么 这 个 扇 形 的 半 径 是 （ ） A． 1cm B． 3cm C． 6cm D． 9 cm 6． 小 明 的 父 亲 从 家 走 了 20 分 钟 到 一 个 离 家 900 米 的 书 店 ， 在 书 店 看 了 10 分 钟 书 后 ， 用 15 分 钟 返 回 家 ， 下 列 图 中 表 示 小 明 的 父 亲 离 家 的 距 离 与 时 间 的 函 数 图 象 是 （ ） A． B． C． D． 7． 已 知 二 次 函 数 y=ax 2+bx+c（ a≠0） 的 图 象 如 图 所 示 ， 则 下 列 结 论 中 正 确 的 是 （ ） A． a＞ 0 B． c＜ 0 C． 3 是 方 程 ax2+bx+c=0 的 一 个 根 D． 当 x＜ 1 时 ， y 随 x 的 增 大 而 减 小 8．轮 船 从 B 处 以 每 小 时 50 海 里 的 速 度 沿 南 偏 东 30°方 向 匀 速 航 行 ，在 B 处 观 测 灯 塔 A 位 于 南 偏 东 75°方 向 上 ， 轮 船 航 行 半 小 时 到 达 C 处 ， 在 C 处 观 测 灯 塔 A 位 于 北 偏 东 60°方 向 上 ， 则 C 处 与 灯 塔 A 的 距 离 是 （ ） 海 里 ． A． 25 B． 25 C． 50 D． 25 9． 两 个 小 组 同 时 从 甲 地 出 发 ， 匀 速 步 行 到 乙 地 ， 甲 乙 两 地 相 距 7500 米 ， 第 一 组 的 步 行 速 度 是 第 二 组 的 1.2 倍 ， 并 且 比 第 二 组 早 15 分 钟 到 达 乙 地 ． 设 第 二 组 的 步 行 速 度 为 x 千 米 / 小 时 ， 根 据 题 意 可 列 方 程 是 （ ） A． ﹣ =15 B． ﹣ = C． ﹣ =15 D． ﹣ = 二 、 填 空 题 ， 共 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 30 分 ． 10． 计 算 （ 1﹣ ）（ x+1） 的 结 果 是 ． 11． 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2+2x﹣ k=0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 则 k 的 取 值 范 围 是 ． 12．某 中 学 随 机 地 调 查 了 50 名 学 生 ，了 解 他 们 一 周 在 校 的 体 育 锻 炼 时 间 ，结 果 如 下 表 所 示 ： 时 间 （ 小 时 ） 5 6 7 8 人 数 10 15 20 5 则 这 50 名 学 生 这 一 周 在 校 的 平 均 体 育 锻 炼 时 间 是 小 时 ． 13． 如 图 所 示 ， △ABC 中 ， E， F 分 别 是 边 AB， AC 上 的 点 ， 且 满 足 = = ， 则 △AEF 与 △ABC 的 面 积 比 是 ． 14．如 图 ，测 量 河 宽 AB（ 假 设 河 的 两 岸 平 行 ），在 C 点 测 得 ∠ACB=30°，D 点 测 得 ∠ADB=60°， 又 CD=60m， 则 河 宽 AB 为 m（ 结 果 保 留 根 号 ）． [ 来 源 : 学 & 科 & 网 Z & X & X & K ] 15． 如 图 ， 在 ▱ ABCD 中 ， P 是 CD 边 上 一 点 ， 且 AP 和 BP 分 别 平 分 ∠DAB 和 ∠CBA， 若 AD=5， AP=8， 则 △APB 的 周 长 是 ． 三 、 解 答 题 ， 共 8 小 题 ， 共 75 分 16． 计 算 ：（ ） ﹣ 1+|1﹣ |﹣ tan3 0°． 17． 解 方 程 组 ． 18． 某 学 生 社 团 为 了 解 本 校 学 生 喜 欢 球 类 运 动 的 情 况 ， 随 机 抽 取 了 若 干 名 学 生 进 行 问 卷 调 查 ， 要 求 每 位 学 生 只 能 填 写 一 种 自 己 喜 欢 的 球 类 运 动 ， 并 将 调 查 的 结 果 绘 制 成 如 下 的 两 幅 不 完 整 的 统 计 图 ． 请 根 据 统 计 图 表 提 供 的 信 息 ， 解 答 下 列 问 题 ： （ 1） 参 加 调 查 的 人 数 共 有 人 ； 在 扇 形 图 中 ， m= ； 将 条 形 图 补 充 完 整 ； （ 2） 如 果 该 校 有 3500 名 学 生 ， 则 估 计 喜 欢 “篮 球 ”的 学 生 共 有 多 少 人 ？ （ 3）该 社 团 计 划 从 篮 球 、足 球 和 乒 乓 球 中 ，随 机 抽 取 两 种 球 类 组 织 比 赛 ，请 用 树 状 图 或 列 表 法 ， 求 抽 取 到 的 两 种 球 类 恰 好 是 “篮 球 ”和 “足 球 ”的 概 率 ． 19．如 图 ，四 边 形 ABCD 中 ，AD∥BC，AE⊥AD 交 BD 于 点 E，CF⊥BC 交 BD 于 点 F，且 AE=CF． 求 证 ： 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ． 20．周 口 体 育 局 要 组 织 一 次 篮 球 赛 ，赛 制 为 单 循 环 形 式（ 每 两 队 之 间 都 赛 一 场 ），计 划 安 排 28 场 比 赛 ， 应 邀 请 多 少 支 球 队 参 加 比 赛 ？ 21． 如 图 ， 直 线 y=2x+3 与 y 轴 交 于 A 点 ， 与 反 比 例 函 数 y= （ x＞ 0） 的 图 象 交 于 点 B， 过 点 B 作 BC⊥x 轴 于 点 C， 且 C 点 的 坐 标 为 （ 1， 0）． （ 1） 求 反 比 例 函 数 的 解 析 式 ； （ 2） 点 D（ a， 1） 是 反 比 例 函 数 y= （ x＞ 0） 图 象 上 的 点 ， 在 x 轴 上 是 否 存 在 点 P， 使 得 PB+PD 最 小 ？ 若 存 在 ， 求 出 点 P 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 ． 22． 如 图 ， 在 △ABC， AB=AC， 以 AB 为 直 径 的 ⊙O 分 别 交 AC、 BC 于 点 D、 E， 点 F 在 AC 的 延 长 线 上 ， 且 ∠CBF= ∠CAB． （ 1） 求 证 ： 直 线 BF 是 ⊙O 的 切 线 ； （ 2） 若 AB=5， sin∠CBF= ， 求 BC 和 BF 的 长 ． 23． 如 图 ， 对 称 轴 为 直 线 x= 的 抛 物 线 经 过 点 A（ 6， 0） 和 B（ 0， ﹣ 4）． （ 1） 求 抛 物 线 解 析 式 及 顶 点 坐 标 ； （ 2）设 点 E（ x，y）是 抛 物 线 上 一 动 点 ，且 位 于 第 一 象 限 ， 四 边 形 OEAF 是 以 OA 为 对 角 线 的 平 行 四 边 形 ， 求 平 行 四 边 形 OE AF 的 面 积 S 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 ； （ 3） 当 （ 2） 中 的 平 行 四 边 形 OEAF 的 面 积 为 24 时 ， 请 判 断 平 行 四 边 形 OEAF 是 否 为 菱 形 ． 2016 年内地新疆高中班招生数学试卷 参 考 答 案 与 试 题 解 析 一 、 选 择 题 ， 共 9 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 45 分 ． 1． ﹣ 2 的 绝 对 值 是 （ ） A． 2 B． ﹣ 2 C． ±2 D． 【 考 点 】 绝 对 值 ． 【 分 析 】 直 接 利 用 绝 对 值 的 概 念 ： 数 轴 上 某 个 数 与 原 点 的 距 离 叫 做 这 个 数 的 绝 对 值 ， 进 而 得 出 答 案 ． 【 解 答 】 解 ： ﹣ 2 的 绝 对 值 是 ： 2． 故 选 ： A． 2． 如 图 ， AB∥CD， CE 平 分 ∠BCD， ∠B=36°， 则 ∠DCE 等 于 （ ） A． 18° B． 36° C． 45° D． 54° 【 考 点 】 平 行 线 的 性 质 ． 【 分 析 】根 据 两 直 线 平 行 ，内 错 角 相 等 可 得 ∠BCD=∠B，再 根 据 角 平 分 线 的 定 义 求 出 ∠DCE， 从 而 求 解 ． 【 解 答 】 解 ： ∵AB∥CD， ∴∠BCD=∠B=36°， ∵CE 平 分 ∠BCD， ∴∠DC=18° 故 选 ： A． 3． 不 等 式 组 的 解 集 是 （ ） A． x＞ 4 B． x≤3 C． 3≤x＜ 4 D． 无 解 【 考 点 】 解 一 元 一 次 不 等 式 组 ． 【 分 析 】 首 先 解 每 个 不 等 式 ， 两 个 不 等 式 的 解 集 的 公 共 部 分 就 是 不 等 式 组 的 解 集 ． 【 解 答 】 解 ： ， 解 ①得 ： x＜ 4， 解 ②得 ： x≥3， 则 不 等 式 的 解 集 是 ： 3≤x＜ 4． 故 选 ： C． 4．一 个 不 透 明 的 布 袋 里 装 有 5 个 只 有 颜 色 不 同 的 球 ，其 中 2 个 红 球 ，3 个 白 球 ，从 布 袋 中 随 机 摸 出 一 个 球 ， 摸 出 红 球 的 概 率 是 （ ） A． B． C． D． 【 考 点 】 概 率 公 式 ． 【 分 析 】 让 红 球 的 个 数 除 以 球 的 总 数 即 为 摸 到 红 球 的 概 率 ． 【 解 答 】 解 ： ∵2 个 红 球 、 3 个 白 球 ， 一 共 是 5 个 ， ∴从 布 袋 中 随 机 摸 出 一 个 球 ， 摸 出 红 球 的 概 率 是 ． 故 选 ： C． 5． 一 个 扇 形 的 圆 心 角 是 120°， 面 积 为 3πcm2， 那 么 这 个 扇 形 的 半 径 是 （ ） A． 1cm B． 3cm C． 6cm D． 9cm 【 考 点 】 扇 形 面 积 的 计 算 ． 【 分 析 】 根 据 扇 形 的 面 积 公 式 ： S= 代 入 计 算 即 可 解 决 问 题 ． 【 解 答 】 解 ： 设 扇 形 的 半 径 为 R， 由 题 意 ： 3π= ， 解 得 R=±3， ∵R＞ 0， ∴R=3cm， ∴这 个 扇 形 的 半 径 为 3cm． 故 选 B． 6． 小 明 的 父 亲 从 家 走 了 20 分 钟 到 一 个 离 家 900 米 的 书 店 ， 在 书 店 看 了 10 分 钟 书 后 ， 用 15 分 钟 返 回 家 ， 下 列 图 中 表 示 小 明 的 父 亲 离 家 的 距 离 与 时 间 的 函 数 图 象 是 （ ） A． B． C． D． 【 考 点 】 函 数 的 图 象 ． 【 分 析 】 因 为 在 书 店 里 花 了 10 分 钟 看 书 ， 应 是 一 段 平 行 与 x 轴 的 线 段 ， B 是 10 分 钟 ， 而 A 是 20 分 钟 ， 依 此 即 可 作 出 判 断 ． 【 解 答 】 解 ： 根 据 题 意 ， 从 20 分 钟 到 30 分 钟 在 书 店 里 看 书 ， 离 家 距 离 没 有 变 化 ， 是 一 条 平 行 于 x 轴 的 线 段 ． 故 选 B． 7． 已 知 二 次 函 数 y=ax 2+bx+c（ a≠0） 的 图 象 如 图 所 示 ， 则 下 列 结 论 中 正 确 的 是 （ ） A． a＞ 0 B． c＜ 0 C． 3 是 方 程 ax2+bx+c=0 的 一 个 根 D． 当 x＜ 1 时 ， y 随 x 的 增 大 而 减 小 【 考 点 】 二 次 函 数 的 性 质 ． 【 分 析 】 根 据 二 次 函 数 的 图 象 性 质 可 以 做 出 判 断 ． 【 解 答 】 解 ：（ A） 图 象 开 口 向 下 ， 所 以 a＜ 0， 故 （ A） 错 误 ； （ B） 图 象 与 y 轴 交 点 在 y 轴 的 正 半 轴 ， 所 以 C＞ 0， 故 （ B） 错 误 ； （ C） 因 为 对 称 轴 为 x=1， 所 以 （ ﹣ 1， 0） 与 （ 3， 0） 关 于 x=1 对 称 ， 故 x=3 是 ax 2+bx+c=0 的 一 个 根 ； 故 （ C） 正 确 ； （ D） 由 图 象 可 知 ： 当 x＜ 1 时 ， y 随 x 的 增 大 而 增 大 ； 故 （ D） 错 误 ． 故 选 （ C） 8．轮 船 从 B 处 以 每 小 时 50 海 里 的 速 度 沿 南 偏 东 30°方 向 匀 速 航 行 ，在 B 处 观 测 灯 塔 A 位 于 南 偏 东 75°方 向 上 ， 轮 船 航 行 半 小 时 到 达 C 处 ， 在 C 处 观 测 灯 塔 A 位 于 北 偏 东 60°方 向 上 ， 则 C 处 与 灯 塔 A 的 距 离 是 （ ） 海 里 ． A． 25 B． 25 C． 50 D． 25 【 考 点 】 等 腰 直 角 三 角 形 ； 方 向 角 ． 【 分 析 】 根 据 题 中 所 给 信 息 ， 求 出 ∠BCA=90°， 再 求 出 ∠CBA=45°， 从 而 得 到 △ABC 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 然 后 根 据 解 直 角 三 角 形 的 知 识 解 答 ． 【 解 答 】 解 ： 根 据 题 意 ， ∠1=∠2=30°， ∵∠ACD=60°， ∴∠ACB=30°+60°=90°， ∴∠CBA=75°﹣ 30°=45°， ∴△ABC 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， ∵BC=50×0.5=25， ∴AC=BC=25（ 海 里 ）． 故 选 D． 9． 两 个 小 组 同 时 从 甲 地 出 发 ， 匀 速 步 行 到 乙 地 ， 甲 乙 两 地 相 距 7500 米 ， 第 一 组 的 步 行 速 度 是 第 二 组 的 1.2 倍 ， 并 且 比 第 二 组 早 15 分 钟 到 达 乙 地 ． 设 第 二 组 的 步 行 速 度 为 x 千 米 / 小 时 ， 根 据 题 意 可 列 方 程 是 （ ） A． ﹣ =15 B． ﹣ = C． ﹣ =15 D． ﹣ = 【 考 点 】 由 实 际 问 题 抽 象 出 分 式 方 程 ． 【 分 析 】 根 据 第 二 组 的 速 度 可 得 出 第 一 组 的 速 度 ， 依 据 “时 间 =路 程 ÷速 度 ”即 可 找 出 第 一 、 二 组 分 别 到 达 的 时 间 ， 再 根 据 第 一 组 比 第 二 组 早 15 分 钟 （ 小 时 ） 到 达 乙 地 即 可 列 出 分 式 方 程 ， 由 此 即 可 得 出 结 论 ． 【 解 答 】解 ：设 第 二 组 的 步 行 速 度 为 x 千 米 /小 时 ，则 第 一 组 的 步 行 速 度 为 1.2x 千 米 /小 时 ， 第 一 组 到 达 乙 地 的 时 间 为 ： 7.5÷1.2x； 第 二 组 到 达 乙 地 的 时 间 为 ： 7.5÷x； ∵第 一 组 比 第 二 组 早 15 分 钟 （ 小 时 ） 到 达 乙 地 ， ∴列 出 方 程 为 ： ﹣ = = ． 故 答 案 为 D． 二 、 填 空 题 ， 共 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 30 分 ． 10． 计 算 （ 1﹣ ）（ x+1） 的 结 果 是 x ． 【 考 点 】 分 式 的 混 合 运 算 ． 【 分 析 】 原 式 括 号 中 两 项 通 分 并 利 用 同 分 母 分 式 的 减 法 法 则 计 算 ， 约 分 即 可 得 到 结 果 ． 【 解 答 】 解 ： 原 式 = •（ x+1） =x， 故 答 案 为 ： x 11． 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2+2x﹣ k=0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 则 k 的 取 值 范 围 是 k＞ ﹣ 1 ． 【 考 点 】 根 的 判 别 式 ． 【 分 析 】 根 据 判 别 式 的 意 义 得 到 △=22+4k＞ 0， 然 后 解 不 等 式 即 可 ． 【 解 答 】 解 ： ∵关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2+2x﹣ k=0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， ∴△=2 2+4k＞ 0， 解 得 k＞ ﹣ 1． 故 答 案 为 ： k＞ ﹣ 1． 12．某 中 学 随 机 地 调 查 了 50 名 学 生 ，了 解 他 们 一 周 在 校 的 体 育 锻 炼 时 间 ，结 果 如 下 表 所 示 ： 时 间 （ 小 时 ） 5 6 7 8 人 数 10 15 20 5 则 这 50 名 学 生 这 一 周 在 校 的 平 均 体 育 锻 炼 时 间 是 6.4 小 时 ． 【 考 点 】 加 权 平 均 数 ． 【 分 析 】 根 据 平 均 数 的 计 算 方 法 是 求 出 所 有 数 据 的 和 ， 然 后 除 以 数 据 的 总 个 数 进 行 计 算 ． 【 解 答 】 解 ： =6.4． 故 答 案 为 ： 6.4． 13． 如 图 所 示 ， △ABC 中 ， E， F 分 别 是 边 AB， AC 上 的 点 ， 且 满 足 = = ， 则 △AEF 与 △ABC 的 面 积 比 是 1： 9 ． 【 考 点 】 相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质 ． 【 分 析 】由 已 知 条 件 易 证 △AEF∽△ABC，根 据 相 似 三 角 形 的 性 质 即 可 求 出 △AEF 与 △ABC 的 面 积 比 ． 【 解 答 】 解 ： ∵ = = ， ∴ ， 又 ∵∠A=∠A， ∴△AEF∽△ABC， ∴△AEF 与 △ABC 的 面 积 比 =1： 9， 故 答 案 为 ： 1： 9． 14．如 图 ，测 量 河 宽 AB（ 假 设 河 的 两 岸 平 行 ），在 C 点 测 得 ∠ACB=30°，D 点 测 得 ∠ADB=60°， 又 CD=60m， 则 河 宽 AB 为 30 m（ 结 果 保 留 根 号 ）． 【 考 点 】 解 直 角 三 角 形 的 应 用 ； 勾 股 定 理 的 应 用 ． 【 分 析 】先 根 据 三 角 形 外 角 的 性 质 求 出 ∠CAD 的 度 数 ，判 断 出 △ACD 的 形 状 ，再 由 锐 角 三 角 函 数 的 定 义 即 可 求 出 AB 的 值 ． 【 解 答 】 解 ： ∵∠ACB=30°， ∠ADB=60°， ∴∠CAD=30°， ∴AD=CD=60m， 在 Rt△ABD 中 ， AB=AD•sin∠ADB=60× =30 （ m）． 故 答 案 为 ： 30 ． 15． 如 图 ， 在 ▱ ABCD 中 ， P 是 CD 边 上 一 点 ， 且 AP 和 BP 分 别 平 分 ∠DAB 和 ∠CBA， 若 AD=5， AP=8， 则 △APB 的 周 长 是 24 ． 【 考 点 】 平 行 四 边 形 的 性 质 ． 【 分 析 】 根 据 平 行 四 边 形 性 质 得 出 AD∥CB， AB∥CD， 推 出 ∠DAB+∠CBA=180°， 求 出 ∠PAB+∠PBA=90°， 在 △APB 中 求 出 ∠APB=90°， 由 勾 股 定 理 求 出 BP， 证 出 AD=DP=5， BC=PC=5， 得 出 DC=10=AB， 即 可 求 出 答 案 ． 【 解 答 】 解 ： ∵四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， ∴AD∥CB， AB∥CD， ∴∠DAB+∠CBA=180°， 又 ∵AP 和 BP 分 别 平 分 ∠DAB 和 ∠CBA， ∴∠PAB+∠PBA= （ ∠DAB+∠CBA） =90°， 在 △APB 中 ， ∠APB=180°﹣ （ ∠PAB+∠PBA） =90°； ∵AP 平 分 ∠DAB， ∴∠DAP=∠PAB， ∵AB∥CD， ∴ ∠PAB=∠DPA ∴∠DAP=∠DPA ∴△ADP 是 等 腰 三 角 形 ， ∴AD=DP=5， 同 理 ： PC=CB=5， 即 AB=DC=DP+PC=10， 在 Rt△APB 中 ， AB=10， AP=8， ∴BP= =6， ∴△APB 的 周 长 =6+8+10=24； 故 答 案 为 ： 24． 三 、 解 答 题 ， 共 8 小 题 ， 共 75 分 16． 计 算 ：（ ） ﹣ 1+|1﹣ |﹣ tan30°． 【 考 点 】 实 数 的 运 算 ； 负 整 数 指 数 幂 ； 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 ． 【 分 析 】 直 接 利 用 负 整 指 数 幂 的 性 质 以 及 绝 对 值 的 性 质 和 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 分 别 化 简 求 出 答 案 ． 【 解 答 】 解 ：（ ） ﹣ 1+|1﹣ |﹣ tan30° =2+ ﹣ 1﹣ 3 × =1+ ﹣ 3 = ﹣ 2． 17． 解 方 程 组 ． 【 考 点 】 解 二 元 一 次 方 程 组 ． 【 分 析 】 先 用 加 减 消 元 法 求 出 x 的 值 ， 再 用 代 入 消 元 法 求 出 y 的 值 即 可 ． 【 解 答 】 解 ： ①+②得 ， 3x=15， 解 得 x=5， 把 x=5 代 入 ①得 ， 10+3y=7， 解 得 y=﹣ 1． 故 方 程 组 的 解 为 ： ． 18． 某 学 生 社 团 为 了 解 本 校 学 生 喜 欢 球 类 运 动 的 情 况 ， 随 机 抽 取 了 若 干 名 学 生 进 行 问 卷 调 查 ， 要 求 每 位 学 生 只 能 填 写 一 种 自 己 喜 欢 的 球 类 运 动 ， 并 将 调 查 的 结 果 绘 制 成 如 下 的 两 幅 不 完 整 的 统 计 图 ． 请 根 据 统 计 图 表 提 供 的 信 息 ， 解 答 下 列 问 题 ： （ 1） 参 加 调 查 的 人 数 共 有 600 人 ； 在 扇 形 图 中 ， m= 30 ； 将 条 形 图 补 充 完 整 ； （ 2） 如 果 该 校 有 3500 名 学 生 ， 则 估 计 喜 欢 “篮 球 ”的 学 生 共 有 多 少 人 ？ （ 3）该 社 团 计 划 从 篮 球 、足 球 和 乒 乓 球 中 ，随 机 抽 取 两 种 球 类 组 织 比 赛 ，请 用 树 状 图 或 列 表 法 ， 求 抽 取 到 的 两 种 球 类 恰 好 是 “篮 球 ”和 “足 球 ”的 概 率 ． 【 考 点 】 列 表 法 与 树 状 图 法 ； 用 样 本 估 计 总 体 ； 扇 形 统 计 图 ； 条 形 统 计 图 ． 【 分 析 】（ 1） 首 先 根 据 条 形 统 计 图 和 扇 形 统 计 图 ， 用 喜 欢 篮 球 的 人 数 除 以 它 占 参 加 调 查 的 人 数 的 百 分 率 ， 求 出 参 加 调 查 的 人 数 共 有 多 少 人 ； 然 后 在 扇 形 图 中 ， 用 1 减 去 喜 欢 篮 球 、 乒 乓 球 和 其 它 球 类 的 学 生 占 的 百 分 率 ， 求 出 m 的 值 是 多 少 ， 并 将 条 形 图 补 充 完 整 即 可 ． （ 2）根 据 题 意 ，用 该 校 学 生 的 人 数 乘 喜 欢 “篮 球 ”的 学 生 占 的 百 分 率 ，求 出 喜 欢 “篮 球 ”的 学 生 共 有 多 少 人 即 可 ． （ 3）应 用 列 表 法 ，求 出 抽 取 到 的 两 种 球 类 恰 好 是 “篮 球 ”和 “足 球 ”的 种 数 ，以 及 一 共 有 多 少 种 可 能 ， 求 出 抽 取 到 的 两 种 球 类 恰 好 是 “篮 球 ”和 “足 球 ”的 概 率 是 多 少 即 可 ． 【 解 答 】 解 ：（ 1） ∵240÷40%=600（ 人 ） ∴参 加 调 查 的 人 数 共 有 600 人 ； ∵1﹣ 40%﹣ 20%﹣ 10%=30%， ∴在 扇 形 图 中 ， m=30． ． （ 2） 3500×40%=1400（ 人 ） 答 ： 喜 欢 “篮 球 ”的 学 生 共 有 1400 人 ． （ 3） 篮 球 足 球 乒 乓 球 篮 球 / 篮 球 、 足 球 篮 球 、 乒 乓 球 足 球 足 球 、 篮 球 / 足 球 、 乒 乓 球 乒 乓 球 乒 乓 球 、 篮 球 乒 乓 球 、 足 球 / 2÷6= ． 答 ： 抽 取 到 的 两 种 球 类 恰 好 是 “篮 球 ”和 “足 球 ”的 概 率 是 ． 故 答 案 为 ： 600、 30． 19．如 图 ，四 边 形 ABCD 中 ，AD∥BC，AE⊥AD 交 BD 于 点 E，CF⊥BC 交 BD 于 点 F，且 AE=CF． 求 证 ： 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ． 【 考 点 】 平 行 四 边 形 的 判 定 ； 全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质 ． 【 分 析 】 由 垂 直 得 到 ∠EAD=∠FCB=90°， 根 据 AAS 可 证 明 Rt△AED≌Rt△CFB， 得 到 AD=BC， 根 据 平 行 四 边 形 的 判 定 判 断 即 可 ． 【 解 答 】 证 明 ： ∵AE⊥AD， CF⊥BC， ∴∠EAD=∠FCB=90°， ∵AD∥BC， ∴∠ADE=∠CBF， 在 Rt△AED 和 Rt△CFB 中 ， ∵ ， ∴Rt△AED≌Rt△CFB（ AAS）， ∴AD=BC， ∵AD∥BC， ∴四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ． 20．周 口 体 育 局 要 组 织 一 次 篮 球 赛 ，赛 制 为 单 循 环 形 式（ 每 两 队 之 间 都 赛 一 场 ），计 划 安 排 28 场 比 赛 ， 应 邀 请 多 少 支 球 队 参 加 比 赛 ？ 【 考 点 】 一 元 二 次 方 程 的 应 用 ． 【 分 析 】 设 要 邀 请 x 支 球 队 参 加 比 赛 ， 则 比 赛 的 总 场 数 为 x（ x﹣ 1） 场 ， 与 总 场 数 为 28 场 建 立 方 程 求 出 其 解 即 可 ． 【 解 答 】 解 ： 设 要 邀 请 x 支 球 队 参 加 比 赛 ， 由 题 意 ， 得 x（ x﹣ 1） =28， 解 得 ： x1=8， x2=﹣ 7（ 舍 去 ）． 答 ： 应 邀 请 8 支 球 队 参 加 比 赛 ． 21． 如 图 ， 直 线 y=2x+3 与 y 轴 交 于 A 点 ， 与 反 比 例 函 数 y= （ x＞ 0） 的 图 象 交 于 点 B， 过 点 B 作 BC⊥x 轴 于 点 C， 且 C 点 的 坐 标 为 （ 1， 0）． （ 1） 求 反 比 例 函 数 的 解 析 式 ； （ 2） 点 D（ a， 1） 是 反 比 例 函 数 y= （ x＞ 0） 图 象 上 的 点 ， 在 x 轴 上 是 否 存 在 点 P， 使 得 PB+PD 最 小 ？ 若 存 在 ， 求 出 点 P 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 ． 【 考 点 】 反 比 例 函 数 与 一 次 函 数 的 交 点 问 题 ； 轴 对 称 -最 短 路 线 问 题 ． 【 分 析 】（ 1） 先 根 据 直 线 y=2x+3 求 出 点 B 坐 标 ， 再 利 用 待 定 系 数 法 可 求 得 反 比 例 函 数 解 析 式 ； （ 2）先 根 据 反 比 例 函 数 解 析 式 求 出 点 D 的 坐 标 ，若 要 在 x 轴 上 找 一 点 P，使 PB+PD 最 小 ， 可 作 点 D 关 于 x 的 轴 的 对 称 点 D′， 连 接 BD′， 直 线 BD′与 x 轴 的 交 点 即 为 所 求 点 P． 【 解 答 】 解 ：（ 1） ∵BC⊥x 轴 于 点 C， 且 C 点 的 坐 标 为 （ 1， 0）， ∴在 直 线 y=2x+3 中 ， 当 x=1 时 ， y=2+3=5， ∴点 B 的 坐 标 为 （ 1， 5）， 又 ∵点 B（ 1， 5） 在 反 比 例 函 数 y= 上 ， ∴k=1×5=5， ∴反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 ： y= ； （ 2） 将 点 D（ a， 1） 代 入 y= ， 得 ： a=5， ∴点 D 坐 标 为 （ 5， 1） 设 点 D（ 5， 1） 关 于 x 轴 的 对 称 点 为 D′（ 5， ﹣ 1）， 过 点 B（ 1， 5）、 点 D′（ 5， ﹣ 1） 的 直 线 解 析 式 为 ： y=kx+b， 可 得 ： ， 解 得 ： ， ∴直 线 BD′的 解 析 式 为 ： y=﹣ x+ ， 根 据 题 意 知 ， 直 线 BD′与 x 轴 的 交 点 即 为 所 求 点 P， 当 y=0 时 ， 得 ： ﹣ x+ =0， 解 得 ： x= ， 故 点 P 的 坐 标 为 （ ， 0）． 22． 如 图 ， 在 △ABC， AB=AC， 以 AB 为 直 径 的 ⊙O 分 别 交 AC、 BC 于 点 D、 E， 点 F 在 AC 的 延 长 线 上 ， 且 ∠CBF= ∠CAB． （ 1） 求 证 ： 直 线 BF 是 ⊙O 的 切 线 ； （ 2） 若 AB=5， sin∠CBF= ， 求 BC 和 BF 的 长 ． 【 考 点 】 切 线 的 判 定 与 性 质 ； 勾 股 定 理 ； 圆 周 角 定 理 ； 相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质 ； 解 直 角 三 角 形 ． 【 分 析 】（ 1） 连 接 AE， 利 用 直 径 所 对 的 圆 周 角 是 直 角 ， 从 而 判 定 直 角 三 角 形 ， 利 用 直 角 三 角 形 两 锐 角 相 等 得 到 直 角 ， 从 而 证 明 ∠ABF=90°． （ 2） 利 用 已 知 条 件 证 得 △AGC∽△ABF， 利 用 比 例 式 求 得 线 段 的 长 即 可 ． 【 解 答 】（ 1） 证 明 ： 连 接 AE， ∵AB 是 ⊙O 的 直 径 ， ∴∠AEB=90°， ∴∠1+∠2=90°． ∵AB=AC， ∴∠1= ∠CAB． ∵∠CBF= ∠CAB， ∴∠1=∠CBF ∴∠CBF+∠2=90° 即 ∠ABF=90° ∵AB 是 ⊙O 的 直 径 ， ∴直 线 BF 是 ⊙O 的 切 线 ． （ 2） 解 ： 过 点 C 作 CG⊥AB 于 G． ∵sin∠CBF= ， ∠1=∠CBF， ∴sin∠1= ， ∵在 Rt△AEB 中 ， ∠AE B=90°， AB=5， ∴BE=AB•sin∠1= ， ∵AB=AC ， ∠AEB=90°， ∴BC=2BE=2 ， 在 Rt△ABE 中 ， 由 勾 股 定 理 得 AE= =2 ， ∴sin∠2= = = ， cos∠2= = = ， 在 Rt△CBG 中 ， 可 求 得 GC=4， GB=2， ∴AG= 3， ∵GC∥BF， ∴△AGC∽△ABF， ∴ ∴BF= = 23． 如 图 ， 对 称 轴 为 直 线 x= 的 抛 物 线 经 过 点 A（ 6， 0） 和 B（ 0， ﹣ 4）． （ 1） 求 抛 物 线 解 析 式 及 顶 点 坐 标 ； （ 2）设 点 E（ x，y）是 抛 物 线 上 一 动 点 ，且 位 于 第 一 象 限 ， 四 边 形 OEAF 是 以 OA 为 对 角 线 的 平 行 四 边 形 ， 求 平 行 四 边 形 OEAF 的 面 积 S 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 ； （ 3） 当 （ 2） 中 的 平 行 四 边 形 OEAF 的 面 积 为 24 时 ， 请 判 断 平 行 四 边 形 OEAF 是 否 为 菱 形 ． 【 考 点 】 二 次 函 数 综 合 题 ． 【 分 析 】（ 1） 根 据 对 称 轴 、 A、 B 点 的 坐 标 ， 可 得 方 程 ， 根 据 解 方 程 ， 可 得 答 案 ； （ 2） 根 据 平 行 四 边 形 的 面 积 公 式 ， 可 得 函 数 解 析 式 ； （ 3） 根 据 函 数 值 ， 可 得 E 点 坐 标 ， 根 据 菱 形 的 判 定 ， 可 得 答 案 ． 【 解 答 】 解 ：（ 1） 设 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=ax 2+bx+c， 将 A、 B 点 的 坐 标 代 入 函 数 解 析 式 ， 得 ， 解 得 ， 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=﹣ x2+ x﹣ 4， 配 方 ， 得 y=﹣ （ x﹣ ） 2+ ， 顶 点 坐 标 为 （ ， ）； （ 2） E 点 坐 标 为 （ x， ﹣ x2+ x﹣ 4）， S=2× OA•yE=3（ ﹣ x2+ x﹣ 4） 即 S=﹣ 2x 2+14x﹣ 12； （ 3） 平 行 四 边 形 OEAF 的 面 积 为 24 时 ， 平 行 四 边 形 OEAF 不 能 为 菱 形 ， 理 由 如 下 ： 当 平 行 四 边 形 OEAF 的 面 积 为 24 时 ， 即 ﹣ 2x 2+14x﹣ 12=24， 化 简 ， 得 x2﹣ 7x+18=0， △=b2﹣ 4ac=（ ﹣ 7） 2﹣ 4×18=﹣ 23＜ 0， 方 程 无 解 ， E 点 不 存 在 ， 平 行 四 边 形 OEAF 的 面 积 为 24 时 ， 平 行 四 边 形 OEAF 不 能 为 菱 形 ． 2016 年 6 月 30 日