2016年襄阳市中考数学试题解析版

2016 年湖北省襄阳市中考数学试卷 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答． 1．﹣3 的相反数是（ ） A．3 B．﹣3 C． D．﹣ 2．如图，AD 是∠EAC 的平分线，AD∥BC，∠B=30°，则∠C 的度数为（ ） A．50° B．40° C．30° D．20° 3．﹣8 的立方根是（ ） A．2 B．﹣2 C．±2 D．﹣ 4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A．球体 B．圆锥 C．棱柱 D．圆柱 5．不等式组 的整数解的个数为（ ） A．0 个 B．2 个 C．3 个 D．无数个 6．一组数据 2，x，4，3，3 的平均数是 3，则这组数据的中位数、众数、方差分别是（ ） A．3，3，0.4 B．2，3，2 C．3，2，0.4 D．3，3，2 7．如图，在▱ ABCD 中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点 A 为圆心，小于 AD 的长为半 径画弧，分别交 AB、AD 于点 E、F；再分别以点 E、F 为圆心，大于 EF 的长为半径画弧， 两弧交于点 G；作射线 AG 交 CD 于点 H，则下列结论中不能由条件推理得出的是（ ） A．AG 平分∠DAB B．AD=DH C．DH=BC D．CH=DH 8．如图，I 是△ABC 的内心，AI 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点 D，连接 BI、BD、 DC．下列说法中错误的一项是（ ） A．线段 DB 绕点 D 顺时针旋转一定能与线段 DC 重合 B．线段 DB 绕点 D 顺时针旋转一定能与线段 DI 重合 C．∠CAD 绕点 A 顺时针旋转一定能与∠DAB 重合 D．线段 ID 绕点 I 顺时针旋转一定能与线段 IB 重合 9．如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 sinA 的值为（ ） A． B． C． D． 10．一次函数 y=ax+b 和反比例函数 y= 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次 函数 y=ax2+bx+c 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．把答案填在答题卡的相应位置上． 11．分解因式：2a2﹣2= ． 12．关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+m﹣1=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为 ． 13．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的 8 个黑球、4 个白球和若干个红球．每次摇匀 后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频 率稳定于 0.4，由此可估计袋中约有红球 个． 14．王经理到襄阳出差带回襄阳特产﹣﹣孔明菜若干袋，分给朋友们品尝，如果每人分 5 袋，还余 3 袋；如果每人分 6 袋，还差 3 袋，则王经理带回孔明菜 袋． 15．如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C、D 是半圆 O 的三等分点，若弦 CD=2，则图中阴影 部分的面积为 ． 16．如图，正方形 ABCD 的边长为 2 ，对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 OC 的中点， 连接 BE，过点 A 作 AM⊥BE 于点 M，交 BD 于点 F，则 FM 的长为 ． 三、解答题：本大题共 9 小题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并 且写在答题卡上每题对应的答题区域内． 17．先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）﹣（x+1）（3x﹣2），其中 x= ． 18．襄阳市文化底蕴深厚，旅游资源丰富，古隆中、习家池、鹿门寺三个景区是人们节假日 玩的热点景区，张老师对八（1）班学生“五•一”小长假随父母到这三个景区游玩的计划做了 全面调查，调查分四个类别：A、游三个景区；B、游两个景区；C、游一个景区；D、不到 这三个景区游玩．现根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合图中信 息解答下列问题： （1）八（1）班共有学生 人，在扇形统计图中，表示“B 类别”的扇形的圆心角 的度数为 ； （2）请将条形统计图补充完整； （3）若张华、李刚两名同学，各自从三个景区中随机选一个作为 5 月 1 日游玩的景区，则 他们同时选中古隆中的概率为 ． 19．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，且 BD=CD，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F． （1）求证：AB=AC； （2）若 AD=2 ，∠DAC=30°，求 AC 的长． 20．如图，直线 y=ax+b 与反比例函数 y= （x＞0）的图象交于 A（1，4），B（4，n）两 点，与 x 轴、y 轴分别交于 C、D 两点． （1）m= ，n= ；若 M（x1，y1），N（x2，y2）是反比例函数图 象上两点，且 0＜x1＜x2，则 y1 y2（填“＜”或“=”或“＞”）； （2）若线段 CD 上的点 P 到 x 轴、y 轴的距离相等，求点 P 的坐标． 21．“汉十”高速铁路襄阳段正在建设中，甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单 独施工 30 天完成该项工程的 ，这时乙队加入，两队还需同时施工 15 天，才能完成该项工 程． （1）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？ （2）若甲队参与该项工程施工的时间不超过 36 天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工 程？ 22．如图，直线 AB 经过⊙O 上的点 C，直线 AO 与⊙O 交于点 E 和点 D，OB 与⊙O 交于 点 F，连接 DF、DC．已知 OA=OB，CA=CB，DE=10，DF=6． （1）求证：①直线 AB 是⊙O 的切线；②∠FDC=∠EDC； （2）求 CD 的长． 23．襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这 种产品的成本为 30 元/件，且年销售量 y（万件）关于售价 x（元/件）的函数解析式为： y= ． （1）若企业销售该产品获得的年利润为 W（万元），请直接写出年利润 W（万元）关于售 价 x（元/件）的函数解析式； （2）当该产品的售价 x（元/件）为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利 润是多少？ （3）若企业销售该产品的年利润不少于 750 万元，试确定该产品的售价 x（元/件）的取值 范围． 24．如图，将矩形 ABCD 沿 AF 折叠，使点 D 落在 BC 边的点 E 处，过点 E 作 EG∥CD 交 AF 于点 G，连接 DG． （1）求证：四边形 EFDG 是菱形； （2）探究线段 EG、GF、AF 之间的数量关系，并说明理由； （3）若 AG=6，EG=2 ，求 BE 的长． 25．如图，已知点 A 的坐标为（﹣2，0），直线 y=﹣ x+3 与 x 轴、y 轴分别交于点 B 和 点 C，连接 AC，顶点为 D 的抛物线 y=ax2+bx+c 过 A、B、C 三点． （1）请直接写出 B、C 两点的坐标，抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； （2）设抛物线的对称轴 DE 交线段 BC 于点 E，P 是第一象限内抛物线上一点，过点 P 作 x 轴的垂线，交线段 BC 于点 F，若四边形 DEFP 为平行四边形，求点 P 的坐标； （3）设点 M 是线段 BC 上的一动点，过点 M 作 MN∥AB，交 AC 于点 N，点 Q 从点 B 出 发，以每秒 1 个单位长度的速度沿线段 BA 向点 A 运动，运动时间为 t（秒），当 t（秒） 为何值时，存在△QMN 为等腰直角三角形？ 2016 年湖北省襄阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答． 1．﹣3 的相反数是（ ） A．3 B．﹣3 C． D．﹣ 【考点】相反数． 【专题】常规题型． 【分析】根据相反数的概念解答即可． 【解答】解：﹣3 的相反数是 3， 故选：A． 【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正 数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0． 2．如图，AD 是∠EAC 的平分线，AD∥BC，∠B=30°，则∠C 的度数为（ ） A．50° B．40° C．30° D．20° 【考点】平行线的性质；角平分线的定义；三角形的外角性质． 【分析】由 AD∥BC，∠B=30°利用平行线的性质即可得出∠EAD 的度数，再根据角平分线 的定义即可求出∠EAC 的度数，最后由三角形的外角的性质即可得出∠EAC=∠B+∠C，代 入数据即可得出结论． 【解答】解：∵AD∥BC，∠B=30°， ∴∠EAD=∠B=30°． 又∵AD 是∠EAC 的平分线， ∴∠EAC=2∠EAD=60°． ∵∠EAC=∠B+∠C， ∴∠C=∠EAC﹣∠B=30°． 故选 C． 【点评】本题考查了平行线的性质、三角形外角性质以及角平分线的定义，解题的关键是求 出∠EAC=60°．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质找出相 等或互补的角是关键． 3．﹣8 的立方根是（ ） A．2 B．﹣2 C．±2 D．﹣ 【考点】立方根． 【分析】直接利用立方根的定义分析求出答案． 【解答】解：﹣8 的立方根是： =﹣2． 故选：B． 【点评】此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键． 4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A．球体 B．圆锥 C．棱柱 D．圆柱 【考点】由三视图判断几何体． 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 【解答】解：由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体， 由俯视图为圆可得为圆柱体． 故选 D． 【点评】本题考查了由三视图来判断几何体，还考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力， 同时也体现了对空间想象能力． 5．不等式组 的整数解的个数为（ ） A．0 个 B．2 个 C．3 个 D．无数个 【考点】一元一次不等式组的整数解． 【分析】先根据一元一次不等式组的解法求出 x 的取值范围，然后找出整数解的个数． 【解答】解：解不等式 2x﹣1≤1 得：x≤1， 解不等式﹣ x＜1 得：x＞﹣2， 则不等式组的解集为：﹣2＜x≤1， 整数解为：﹣1，0，1，共 3 个． 故选 C． 【点评】此题考查了是一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是根据 x 的取值范围， 得出 x 的整数解．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大 小中间找，大大小小解不了． 6．一组数据 2，x，4，3，3 的平均数是 3，则这组数据的中位数、众数、方差分别是（ ） A．3，3，0.4 B．2，3，2 C．3，2，0.4 D．3，3，2 【考点】方差；算术平均数；中位数；众数． 【分析】先根据平均数的定义求出 x 的值，再根据众数、中位数的定义和方差公式分别进行 解答即可． 【解答】解：根据题意， =3，解得：x=3， ∴这组数据从小到大排列为：2，3，3，3，4； 则这组数据的中位数为 3， 这组数据 3 出现的次数最多，出现了 3 次，故众数为 3； 其方差是： ×[（2﹣3）2+3×（3﹣3）2+（4﹣3）2 ] =0.4， 故选 A． 【点评】本题考查了众数、中位数和方差，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是 将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均 数）；一般地设 n 个数据，x1，x2，…xn 的平均数为 ，则方差 S2= [（x1﹣ ）2+（x2﹣ ） 2+…+（xn﹣ ）2 ] ． 7．如图，在▱ ABCD 中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点 A 为圆心，小于 AD 的长为半 径画弧，分别交 AB、AD 于点 E、F；再分别以点 E、F 为圆心，大于 EF 的长为半径画弧， 两弧交于点 G；作射线 AG 交 CD 于点 H，则下列结论中不能由条件推理得出的是（ ） A．AG 平分∠DAB B．AD=DH C．DH=BC D．CH=DH 【考点】平行四边形的性质． 【分析】根据作图过程可得得 AG 平分∠DAB，再根据角平分线的性质和平行四边形的性 质可证明∠DAH=∠DHA，进而得到 AD=DH， 【解答】解：根据作图的方法可得 AG 平分∠DAB， ∵AG 平分∠DAB， ∴∠DAH=∠BAH， ∵CD∥AB， ∴∠DHA=∠BAH， ∴∠DAH=∠DHA， ∴AD=DH， ∴BC=DH， 故选 D． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的作法、平行线的性质；熟记平行四 边形的性质是解决问题的关键关键． 8．如图，I 是△ABC 的内心，AI 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点 D，连接 BI、BD、 DC．下列说法中错误的一项是（ ） A．线段 DB 绕点 D 顺时针旋转一定能与线段 DC 重合 B．线段 DB 绕点 D 顺时针旋转一定能与线段 DI 重合 C．∠CAD 绕点 A 顺时针旋转一定能与∠DAB 重合 D．线段 ID 绕点 I 顺时针旋转一定能与线段 IB 重合 【考点】三角形的内切圆与内心；三角形的外接圆与外心；旋转的性质． 【分析】根据 I 是△ABC 的内心，得到 AI 平分∠BAC，BI 平分∠ABC，由角平分线的定 义得到∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI 根据三角形外角的性质得到∠BDI=∠DIB，根据等腰 三角形的性质得到 BD=DI． 【解答】解：∵I 是△ABC 的内心， ∴AI 平分∠BAC，BI 平分∠ABC， ∴∠BAD=∠CAD，故 C 正确，不符合题意； ∠ABI=∠CBI，∴ = ， ∴BD=CD，故 A 正确，不符合题意； ∵∠DAC=∠DBC， ∴∠BAD=∠DBC， ∵∠IBD=∠IBC+∠DBC，∠BID=∠ABI+∠BAD， ∴∠BDI=∠DIB， ∴BD=DI，故 B 正确，不符合题意； 故选 D． 【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心的，以及等腰三角形的判定与性质，同弧所对的 圆周角相等． 9．如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 sinA 的值为（ ） A． B． C． D． 【考点】勾股定理；锐角三角函数的定义． 【分析】直接根据题意构造直角三角形，进而利用勾股定理得出 DC，AC 的长，再利用锐 角三角函数关系求出答案． 【解答】解：如图所示：连接 DC， 由网格可得出∠CDA=90°， 则 DC= ，AC= ， 故 sinA= = = ． 故选：B． 【点评】此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系，正确构造直角三角形是解题关键． 10．一次函数 y=ax+b 和反比例函数 y= 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次 函数 y=ax2+bx+c 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象；二次函数的图象． 【分析】根据一次函数的图象的性质先确定出 a、b 的取值范围，然后根据反比例函数的性 质确定出 c 的取值范围，最后根据二次函数的性质即可做出判断． 【解答】解：∵一次函数 y=ax+b 经过一、二、四象限， ∴a＜0，b＞0， ∵反比例函数 y= 的图象在一、三象限， ∴c＞0， ∵a＜0， ∴二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的开口向下， ∵b＞0， ∴ ＞0， ∵c＞0， ∴与 y 轴的正半轴相交， 故选 C． 【点评】本题主要考查的是二次函数、一次函数和反比例函数的性质，掌握相关性质是解题 的关键． 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．把答案填在答题卡的相应位置上． 11．分解因式：2a2﹣2= 2（a+1）（a﹣1） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】先提取公因式 2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【解答】解：2a2﹣2， =2（a2﹣1）， =2（a+1）（a﹣1）． 【点评】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因 式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 12．关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+m﹣1=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为 2 ． 【考点】根的判别式． 【分析】由于关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+m﹣1=0 有两个相等的实数根，可知其判别式 为 0，据此列出关于 m 的方程，解答即可． 【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+m﹣1=0 有两个相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=0， 即：22﹣4（m﹣1）=0， 解得：m=2， 故答案为 2． 【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0 ⇔ 方程有两个不相等的实数根； （2）△=0 ⇔ 方程有两个相等的实数根； （3）△＜0 ⇔ 方程没有实数根． 13．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的 8 个黑球、4 个白球和若干个红球．每次摇匀 后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频 率稳定于 0.4，由此可估计袋中约有红球 8 个． 【考点】利用频率估计概率． 【专题】统计与概率． 【分析】根据摸到红球的频率，可以得到摸到黑球和白球的概率之和，从而可以求得总的球 数，从而可以得到红球的个数． 【解答】解：由题意可得， 摸到黑球和白球的频率之和为：1﹣0.4=0.6， ∴总的球数为：（8+4）÷0.6=20， ∴红球有：20﹣（8+4）=8（个）， 故答案为：8． 【点评】本题考查利用频率估计概率，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 14．王经理到襄阳出差带回襄阳特产﹣﹣孔明菜若干袋，分给朋友们品尝，如果每人分 5 袋，还余 3 袋；如果每人分 6 袋，还差 3 袋，则王经理带回孔明菜 33 袋． 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】可设有 x 个朋友，根据“如果每人分 5 袋，还余 3 袋；如果每人分 6 袋，还差 3 袋” 可列出一元一次方程，求解即可． 【解答】解：设有 x 个朋友，则 5x+3=6x﹣3 解得 x=6 ∴5x+3=33（袋） 故答案为：33 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据总袋数相等这一等量关系 列方程求解．本题也可以直接设总袋数为 x 进行列方程求解． 15．如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C、D 是半圆 O 的三等分点，若弦 CD=2，则图中阴影 部分的面积为 π ． 【考点】扇形面积的计算． 【分析】首先证明 OC∥BD，得到 S△BDC=S△BDO，所以 S 阴=S 扇形 OBD，由此即可计算． 【解答】解：如图连接 OC、OD、BD． ∵点 C、D 是半圆 O 的三等分点， ∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°， ∵OC=OD=OB， ∴△COD、△OBD 是等边三角形， ∴∠COD=∠ODB=60°，OD=CD=2， ∴OC∥BD， ∴S△BDC=S△BDO， ∴S 阴=S 扇形 OBD= = ． 【点评】本题考查圆的有关知识、扇形的面积，三角形的面积等知识，解题的关键是学会把 求不规则图形面积转化为求规则图形的面积，属于中考常考题型． 16．如图，正方形 ABCD 的边长为 2 ，对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 OC 的中点， 连接 BE，过点 A 作 AM⊥BE 于点 M，交 BD 于点 F，则 FM 的长为 ． 【考点】正方形的性质． 【分析】先根据 ASA 判定△AFO≌△BEO，并根据勾股定理求得 BE 的长，再判定 △BFM∽△BEO，最后根据对应边成比例，列出比例式求解即可． 【解答】解：∵正方形 ABCD ∴AO=BO，∠AOF=∠BOE=90° ∵AM⊥BE，∠AFO=∠BFM ∴∠FAO=∠EBO 在△AFO 和△BEO 中 ∴△AFO≌△BEO（ASA） ∴FO=EO ∵正方形 ABCD 的边长为 2 ，E 是 OC 的中点 ∴FO=EO=1=BF，BO=2 ∴直角三角形 BOE 中，BE= = 由∠FBM=∠EBO，∠FMB=∠EOB，可得△BFM∽△BEO ∴ ，即 ∴FM= 故答案为： 【点评】本题主要考查了正方形，解决问题的关键的掌握全等三角形和相似三角形的判定与 性质．解题时注意：正方形的对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形． 三、解答题：本大题共 9 小题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并 且写在答题卡上每题对应的答题区域内． 17．先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）﹣（x+1）（3x﹣2），其中 x= ． 【考点】整式的混合运算—化简求值． 【分析】首先利用整式乘法运算法则化简，进而去括号合并同类项，再将已知代入求出答案． 【解答】解：（2x+1）（2x﹣1）﹣（x+1）（3x﹣2）， =4x2﹣1﹣（3x2+3x﹣2x﹣2） =4x2﹣1﹣3x2﹣x+2 =x2﹣x+1 把 x= 代入得： 原式=（ ﹣1）2﹣（ ﹣1）+1 =3﹣2 ﹣ +2 =5﹣3 ． 【点评】此题主要考查了整式的混合运算以及化简求值，正确正确运算法则是解题关键． 18．襄阳市文化底蕴深厚，旅游资源丰富，古隆中、习家池、鹿门寺三个景区是人们节假日 玩的热点景区，张老师对八（1）班学生“五•一”小长假随父母到这三个景区游玩的计划做了 全面调查，调查分四个类别：A、游三个景区；B、游两个景区；C、游一个景区；D、不到 这三个景区游玩．现根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合图中信 息解答下列问题： （1）八（1）班共有学生 50 人，在扇形统计图中，表示“B 类别”的扇形的圆心角的度数 为 72° ； （2）请将条形统计图补充完整； （3）若张华、李刚两名同学，各自从三个景区中随机选一个作为 5 月 1 日游玩的景区，则 他们同时选中古隆中的概率为 ． 【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图． 【分析】（1）由 A 类 5 人，占 10%，可求得总人数，继而求得 B 类别占的百分数，则可求 得“B 类别”的扇形的圆心角的度数； （2）首先求得 D 类别的人数，则可将条形统计图补充完整； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他们同时选中古隆 中的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：（1）∵A 类 5 人，占 10%， ∴八（1）班共有学生有：5÷10%=50（人）； ∴在扇形统计图中，表示“B 类别”的扇形的圆心角的度数为： ×360°=72°； 故答案为：50，72°； （2）D 类：50﹣5﹣10﹣15=25（人），如图： （3）分别用 1，2，3 表示古隆中、习家池、鹿门寺，画树状图得： ∵共有 9 种等可能的结果，他们同时选中古隆中的只有 1 种情况， ∴他们同时选中古隆中的概率为： ． 故答案为： ． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识．注意掌握扇形 统计图与条形统计图的对应关系．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 19．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，且 BD=CD，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F． （1）求证：AB=AC； （2）若 AD=2 ，∠DAC=30°，求 AC 的长． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）先证明△DEB≌△DFC 得∠B=∠C 由此即可证明． （2）先证明 AD⊥BC，再在 RT△ADC 中，利用 30°角性质设 CD=a，AC=2a，根据勾股定 理列出方程即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F， ∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°， 在 RT△DEB 和 RT△DFC 中， ， ∴△DEB≌△DFC， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC． （2）∵AB=AC，BD=DC， ∴AD⊥BC， 在 RT△ADC 中，∵∠ADC=90°，AD=2 ，∠DAC=30°， ∴AC=2CD，设 CD=a，则 AC=2a， ∵AC2=AD2+CD2， ∴4a2=a2+（2 ）2， ∵a＞0， ∴a=2， ∴AC=2a=4． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形 30°性质、勾股定理等知识，解题 的关键是正确寻找全等三角形，记住直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半，属于 中考常考题型． 20．如图，直线 y=ax+b 与反比例函数 y= （x＞0）的图象交于 A（1，4），B（4，n）两 点，与 x 轴、y 轴分别交于 C、D 两点． （1）m= 4 ，n= 1 ；若 M（x1，y1），N（x2，y2）是反比例函数图象上两点，且 0 ＜x1＜x2，则 y1 ＞ y2（填“＜”或“=”或“＞”）； （2）若线段 CD 上的点 P 到 x 轴、y 轴的距离相等，求点 P 的坐标． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐 标特征． 【分析】（1）由点 A 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出 m 的值，再由点 B 也在反比例函数图象上即可得出 n 的值，由反比例函数系数 m 的值结合反比例函数的性 质即可得出反比例函数的增减性，由此即可得出结论； （2）设过 C、D 点的直线解析式为 y=kx+b，由点 A、B 的坐标利用待定系数法即可求出直 线 CD 的解析式，设出点 P 的坐标为（t，﹣t+5），由点 P 到 x 轴、y 轴的距离相等即可得 出关于 t 的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出 t 的值，从而得出点 P 的坐标． 【解答】解：（1）∵反比例函数 y= （x＞0）的图象过点 A（1，4）， ∴m=1×4=4． ∵点 B（4，n）在反比例函数 y= 的图象上， ∴m=4n=4，解得：n=1． ∵在反比例函数 y= （x＞0）中，m=4＞0， ∴反比例函数 y= 的图象单调递减， ∵0＜x1＜x2， ∴y1＞y2． 故答案为：4；1；＞． （2）设过 C、D 点的直线解析式为 y=kx+b， ∵直线 CD 过点 A（1，4）、B（4，1）两点， ∴ ，解得： ， ∴直线 CD 的解析式为 y=﹣x+5． 设点 P 的坐标为（t，﹣t+5）， ∴|t|=|﹣t+5|， 解得：t= ． ∴点 P 的坐标为（ ， ）． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数与一次函数的交点问题、 反比例函数的性质以及解含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是：（1）求出 m 的值； （2）找出关于 t 的含绝对值符号的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题 型题目时，结合点的坐标利用待定系数法求出函数的解析式是关键． 21．“汉十”高速铁路襄阳段正在建设中，甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单 独施工 30 天完成该项工程的 ，这时乙队加入，两队还需同时施工 15 天，才能完成该项工 程． （1）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？ （2）若甲队参与该项工程施工的时间不超过 36 天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工 程？ 【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用． 【分析】（1）直接利用队单独施工 30 天完成该项工程的 ，这时乙队加入，两队还需同时 施工 15 天，进而利用总工作量为 1 得出等式求出答案； （2）直接利用甲队参与该项工程施工的时间不超过 36 天，得出不等式求出答案． 【解答】解：（1）设乙队单独施工，需要 x 天才能完成该项工程， ∵甲队单独施工 30 天完成该项工程的 ， ∴甲队单独施工 90 天完成该项工程， 根据题意可得： +15（ + ）=1， 解得：x=30， 检验得：x=30 是原方程的根， 答：乙队单独施工，需要 30 天才能完成该项工程； （2）设乙队参与施工 y 天才能完成该项工程，根据题意可得： ×36+y× ≥1， 解得：y≥18， 答：乙队至少施工 18 天才能完成该项工程． 【点评】此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确得出等量关系是 解题关键． 22．如图，直线 AB 经过⊙O 上的点 C，直线 AO 与⊙O 交于点 E 和点 D，OB 与⊙O 交于 点 F，连接 DF、DC．已知 OA=OB，CA=CB，DE=10，DF=6． （1）求证：①直线 AB 是⊙O 的切线；②∠FDC=∠EDC； （2）求 CD 的长． 【考点】切线的判定． 【分析】（1）①欲证明直线 AB 是⊙O 的切线，只要证明 OC⊥AB 即可． ②首先证明 OC∥DF，再证明∠FDC=∠OCD，∠EDC=∠OCD 即可． （2）作 ON⊥DF 于 N，延长 DF 交 AB 于 M，在 RT△CDM 中，求出 DM、CM 即可解决 问题． 【解答】（1）①证明：连接 OC． ∵OA=OB，AC=CB， ∴OC⊥AB， ∵点 C 在⊙O 上， ∴AB 是⊙O 切线． ②证明：∵OA=OB，AC=CB， ∴∠AOC=∠BOC， ∵OD=OF， ∴∠ODF=∠OFD， ∵∠AOB=∠ODF+∠OFD=∠AOC+∠BOC， ∴∠BOC=∠OFD， ∴OC∥DF， ∴∠CDF=∠OCD， ∵OD=OC， ∴∠ODC=∠OCD， ∴∠ADC=∠CDF． （2）作 ON⊥DF 于 N，延长 DF 交 AB 于 M． ∵ON⊥DF， ∴DN=NF=3， 在 RT△ODN 中，∵∠OND=90°，OD=5，DN=3， ∴ON= =4， ∵∠OCM+∠CMN=180°，∠OCM=90°， ∴∠OCM=∠CMN=∠MNO=90°， ∴四边形 OCMN 是矩形， ∴ON=CM=4，MN=OC=5， 在 RT△CDM 中，∵∠DMC=90°，CM=4，DM=DN+MN=8， ∴CD= = =4 ． 【点评】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质、垂径定理、平行线的判定和性质、勾股 定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考 题型． 23．襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这 种产品的成本为 30 元/件，且年销售量 y（万件）关于售价 x（元/件）的函数解析式为： y= ． （1）若企业销售该产品获得的年利润为 W（万元），请直接写出年利润 W（万元）关于售 价 x（元/件）的函数解析式； （2）当该产品的售价 x（元/件）为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利 润是多少？ （3）若企业销售该产品的年利润不少于 750 万元，试确定该产品的售价 x（元/件）的取值 范围． 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）根据：年利润=（售价﹣成本）×年销售量，结合 x 的取值范围可列函数关系 式； （2）将（1）中两个二次函数配方后依据二次函数的性质可得其最值情况，比较后可得答案； （3）根据题意知 W≥750，可列关于 x 的不等式，求解可得 x 的范围． 【解答】解：（1）当 40≤x＜60 时，W=（x﹣30）（﹣2x+140）=﹣2x2+200x﹣4200， 当 60≤x≤70 时，W=（x﹣30）（﹣x+80）=﹣x2+110x﹣2400； （2）当 40≤x＜60 时，W=﹣2x2+200x﹣4200=﹣2（x﹣50）2+800， ∴当 x=50 时，W 取得最大值，最大值为 800 万元； 当 60≤x≤70 时，W=﹣x2+110x﹣2400=﹣（x﹣55）2+625， ∴当 x＞55 时，W 随 x 的增大而减小， ∴当 x=60 时，W 取得最大值，最大值为：﹣（60﹣55）2+625=600， ∵800＞600， ∴当 x=50 时，W 取得最大值 800， 答：该产品的售价 x 为 50 元/件时，企业销售该产品获得的年利润最大，最大年利润是 800 万元； （3）当 40≤x＜60 时，由 W≥750 得：﹣2（x﹣50）2+800≥750， 解得：45≤x≤55， 当 60≤x≤70 时，W 的最大值为 600＜750， ∴要使企业销售该产品的年利润不少于 750 万元，该产品的售价 x（元/件）的取值范围为 45≤x≤55． 【点评】本题主要考查二次函数的实际应用，梳理题目中的数量关系，得出相等关系后分情 况列出函数解析式，熟练运用二次函数性质求最值是解题的关键． 24．如图，将矩形 ABCD 沿 AF 折叠，使点 D 落在 BC 边的点 E 处，过点 E 作 EG∥CD 交 AF 于点 G，连接 DG． （1）求证：四边形 EFDG 是菱形； （2）探究线段 EG、GF、AF 之间的数量关系，并说明理由； （3）若 AG=6，EG=2 ，求 BE 的长． 【考点】四边形综合题． 【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到 GD=DF， 接下来依据翻折的性质可证明 DG=GE=DF=EF； （2）连接 DE，交 AF 于点 O．由菱形的性质可知 GF⊥DE，OG=OF= GF，接下来，证明 △DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明 DF2=FO•AF，于是可得到 GE、AF、FG 的数 量关系； （3）过点 G 作 GH⊥DC，垂足为 H．利用（2）的结论可求得 FG=4，然后再△ADF 中依 据勾股定理可求得 AD 的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得 GH 的长，最后依据 BE=AD﹣GH 求解即可． 【解答】解：（1）证明：∵GE∥DF， ∴∠EGF=∠DFG． ∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF， ∴∠DGF=∠DFG． ∴GD=DF． ∴DG=GE=DF=EF． ∴四边形 EFDG 为菱形． （2）EG2= GF•AF． 理由：如图 1 所示：连接 DE，交 AF 于点 O． ∵四边形 EFDG 为菱形， ∴GF⊥DE，OG=OF= GF． ∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA， ∴△DOF∽△ADF． ∴ ，即 DF2=FO•AF． ∵FO= GF，DF=EG， ∴EG2= GF•AF． （3）如图 2 所示：过点 G 作 GH⊥DC，垂足为 H． ∵EG2= GF•AF，AG=6，EG=2 ， ∴20= FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0． 解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）． ∵DF=GE=2 ，AF=10， ∴AD= =4 ． ∵GH⊥DC，AD⊥DC， ∴GH∥AD． ∴△FGH∽△FAD． ∴ ，即 = ． ∴GH= ． ∴BE=AD﹣GH=4 ﹣ = ． 【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、 菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得 到 DF2=FO•AF 是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得 GH 的长是解答问 题（3）的关键． 25．如图，已知点 A 的坐标为（﹣2，0），直线 y=﹣ x+3 与 x 轴、y 轴分别交于点 B 和 点 C，连接 AC，顶点为 D 的抛物线 y=ax2+bx+c 过 A、B、C 三点． （1）请直接写出 B、C 两点的坐标，抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； （2）设抛物线的对称轴 DE 交线段 BC 于点 E，P 是第一象限内抛物线上一点，过点 P 作 x 轴的垂线，交线段 BC 于点 F，若四边形 DEFP 为平行四边形，求点 P 的坐标； （3）设点 M 是线段 BC 上的一动点，过点 M 作 MN∥AB，交 AC 于点 N，点 Q 从点 B 出 发，以每秒 1 个单位长度的速度沿线段 BA 向点 A 运动，运动时间为 t（秒），当 t（秒） 为何值时，存在△QMN 为等腰直角三角形？ 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）分别令 y=0 和 x=0 代入 y=﹣ x+3 即可求出 B 和 C 的坐标，然后设抛物线的 交点式为 y=a（x+2）（x﹣4），最后把 C 的坐标代入抛物线解析式即可求出 a 的值和顶点 D 的坐标； （2）若四边形 DEFP 为平行四边形时，则 DP∥BC，设直线 DP 的解析式为 y=mx+n，则 m=﹣ ，求出直线 DP 的解析式后，联立抛物线解析式和直线 DP 的解析式即可求出 P 的坐 标； （3）由题意可知，0≤t≤6，若△QMN 为等腰直角三角形，则共有三种情况，①∠NMQ=90°； ②∠MNQ=90°；③∠NQM=90°． 【解答】解：（1）令 x=0 代入 y=﹣ x+3 ∴y=3， ∴C（0，3）， 令 y=0 代入 y=﹣ x+3 ∴x=4， ∴B（4，0）， 设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣4）， 把 C（0，3）代入 y=a（x+2）（x﹣4）， ∴a=﹣ ， ∴抛物线的解析式为：y= （x+2）（x﹣4）=﹣ x2+ x+3， ∴顶点 D 的坐标为（1， ）； （2）当 DP∥BC 时， 此时四边形 DEFP 是平行四边形， 设直线 DP 的解析式为 y=mx+n， ∵直线 BC 的解析式为：y=﹣ x+3， ∴m=﹣ ， ∴y=﹣ x+n， 把 D（1， ）代入 y=﹣ x+n， ∴n= ， ∴直线 DP 的解析式为 y=﹣ x+ ， ∴联立 ， 解得：x=3 或 x=1（舍去）， ∴把 x=3 代入 y=﹣ x+ ， y= ， ∴P 的坐标为（3， ）； （3）由题意可知：0≤t≤6， 设直线 AC 的解析式为：y=m1x+n1， 把 A（﹣2，0）和 C（0，3）代入 y=m1x+n1， 得： ， ∴解得 ， ∴直线 AC 的解析式为：y= x+3， 由题意知：QB=t， 如图 1，当∠NMQ=90°， ∴OQ=4﹣t， 令 x=4﹣t 代入 y=﹣ x+3， ∴y= t， ∴M（4﹣t， t）， ∵MN∥x 轴， ∴N 的纵坐标为 t， 把 y= t 代入 y= x+3， ∴x= t﹣2， ∴N（ t﹣2， t）， ∴MN=（4﹣t）﹣（ ﹣2）=6﹣ t， ∵MQ∥OC， ∴△BQM∽△BOC， ∴ ， ∴MQ= t， 当 MN=MQ 时， ∴6﹣ t= t， ∴t= ， 此时 QB= ，符合题意， 如图 2，当∠QNM=90°时， ∵QB=t， ∴点 Q 的坐标为（4﹣t，0） ∴令 x=4﹣t 代入 y= x+3， ∴y=9﹣ t， ∴N（4﹣t，9﹣ t）， ∵MN∥x 轴， ∴点 M 的纵坐标为 9﹣ t， ∴令 y=9﹣ t 代入 y=﹣ x+3， ∴x=2t﹣8， ∴M（2t﹣8，9﹣ t）， ∴MN=（2t﹣8）﹣（4﹣t）=3t﹣12， ∵NQ∥OC， ∴△AQN∽△AOC， ∴ = ， ∴NQ=9﹣ t， 当 NQ=MN 时， ∴9﹣ t=3t﹣12， ∴t= ， ∴此时 QB= ，符合题意 如图 3，当∠NQM=90°， 过点 Q 作 QE⊥MN 于点 E， 过点 M 作 MF⊥x 轴于点 F， 设 QE=a， 令 y=a 代入 y=﹣ x+3， ∴x=4﹣ ， ∴M（4﹣ a，a）， 令 y=a 代入 y= x+3， ∴x= ﹣2， ∴N（ ﹣2，0）， ∴MN=（4﹣ a）﹣（ a﹣2）=6﹣2a， 当 MN=2QE 时， ∴6﹣2a=2a， ∴a= ， ∴MF=QE= ， ∵MF∥OC， ∴△BMF∽△BCO， ∴ = ， ∴BF=2， ∴QB=QF+BF= +2= ， ∴t= ，此情况符合题意， 综上所述，当△QMN 为等腰直角三角形时，此时 t= 或 或 ． 【点评】本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求一次函数和二次函数的解析式， 相似三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质知识，要会利用数形结合的思想把代数和几 何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．