2016年咸宁市中考数学试题解析版

湖北省咸宁市 2016 年初中毕业生学业考试 数 学 试 卷 一、精心选一选 （本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分. 在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的. 请在答题卷上把正确答案的代号涂黑） 1. 冰箱冷藏室的温度零上 5°C，记着+5°C，保鲜室的温度零下 7°C，记着（ ） A. 7°C B. －7°C C. 2°C D. -12°C 【考点】正负数表示的意义及应用． 【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【解答】解：根据题意可得：温度零上的记为+，所以温度零下的记为：﹣， 因此，保鲜室的温度零下 7°C，记着－7°C． 故选 B. 【点评】本题考查了正负数表示的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有 相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 2. 如图，直线 l1∥l2，CD⊥AB 于点 D，∠1=50°，则∠BCD 的度数为（ ） A. 50° B. 45° C. 40° D.30° A 1 D C B （第 2 题） 【考点】平行线的性质，垂直的性质，三角形的内角和定理． 【分析】由直线 l1∥l2，根据两直线平行，内错角相等，可得∠ABC=50°；由 CD⊥AB，可知∠CDB=90°，由 三角形的内角和定理，可求得∠BCD 的度数. 【解答】解：∵l1∥l2， ∴∠ABC=∠1=50°; 又∵CD⊥AB， ∴∠CDB=90°； 在△BCD 中，∠BCD=180°-∠CDB-∠ABC=180°-90°-50°=40° 故选 C． 【点评】本题考查了平行线的性质，垂直的性质，三角形的内角和定理．解题的关键是要注意掌握两个性 质一个定理的应用：①两直线平行，内错角相等； ②垂直的性质：如果两直线互相垂直，则它们相交所组 成的角为直角；③三角形的内角和定理：三角形三个内角的和为 180°. 3. 近几年来，我市加大教育信息化投入，投资 201000000 元，初步完成咸宁市教育公共云服务平台基础工 程，教学点数字教育资源全覆盖。将 201000000 用科学高数法表示为（ ） A. 20.1×107 B. 2.01×108 C. 2.01×109 D. 0.201×1010 【考点】科学记数法． 【分析】确定 a×10n（1≤|a|＜10，n 为整数）中 n 的值是易错点，由于 201000000 有 9 位，所以可以确定 n=9-1=8． 【解答】解：201000000= 2.01×108． 故选 B． 【点评】本题考查了科学记数法。把一个数 M 记成 a×10n（1≤|a|＜10，n 为整数）的形式，这种记数的方法 叫做科学记数法．规律：（1）当|a|≥1 时，n 的值为 a 的整数位数减 1；（2）当|a|＜1 时，n 的值是第一个不是 0 的数字前 0 的个数，包括整数位上的 0． 4. 下面四个几何体中，其中主视图不是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】简单几何体的三视图，中心对称图形． 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得到各几何体的主视图；根据中心对称图形的定义判断即 可得到答案。 【解答】解：A、正方体的主视图是正方形，正方形是中心对称图形，故 A 不符合题意； B、球体的主视图是圆，圆是中心对称图形，故 B 不符合题意； C、圆锥的主视图是三角形，三角形不是中心对称图形， 故 C 符合题意； D、圆柱的主视图是矩形，矩形不是中心对称图形，故 D 不符合题意. 故选:C. 【点评】本题考查了简单几何体的三视图，中心对称图形．要熟练掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂 盖，左视图拆违章”是解决简单几何体的三视图型题的关键．中心对称图形是指：在平面内，把一个图形 绕着某个点旋转 180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点 叫做它的对称中心．理解中心对称的定义要抓住以下三个要素 ：（1）有一个对称中心——点；（2）图形绕 中心旋转 180°；（3）旋转后两图形重合． 5. 下列运算正确的是（ ） A. 6 － 3 = 3 B. )3( 2 =－3 C. a·a2= a2 D. （2a3）2=4a6 【考点】合并同类项，算术平方根，同底数幂的乘法，积的乘方。 【分析】根据同类项合并、平方根的定义、同底数幂的乘法、积的乘方的运算法则计算即可． 【解答】解：A. 根据同类项合并法则， 6 － 3 不是同类项，不能合并，故本选项错误； B. 根据算术平方根的定义， )3( 2 =3，故本选项错误； C．根据同底数幂的乘法，a·a2= a3，故本选项错误； D. 根据积的乘方，（2a3）2=4a6，故本选项正确. 故选 D． 【点评】本题是基础题，弄清法则是解题的关键。合并同类项是把多项式中的同类项（所含字母相同，并 且相同字母的指数也相同的项）合并成一项；若一个正数 x 的平方等于 a，即 x²=a，则这个正数 x 为 a 的算 术平方根。a 的算术平方根记作 a ，读作“根号 a”，a 叫做被开方数；要注意算术平方根的双重非负性； 同底数幂是指底数相同的幂；同底数幂相乘，底数不变指数相加；积的乘方，先把积中的每一个因数分别 乘方，再把所得的幂相乘。 6. 某班七个兴趣小组人数分别为 4，4，5，5，x，6，7. 已知这组数据的平均数是 5，则这组数据的众数和 中位数分别是（ ） A.4，5 B.4，4 C.5，4 D.5，5 【考点】平均数、众数、中位数的定义和求法． 【分析】先根据平均数求出 x，再根据众数是一组数据中出现次数最多的数据可得出众数；找中位数时要把 数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数. 【解答】解：依题意，得 7 1 (4+4+5+5+x+6+7)=5 解得 x=4. 即七个兴趣小组人数分别为 4，4，5，5，4，6，7. 这组数据中出现次数最多的数据是 4，故众数是 4； 把数据按从小到大的顺序排列为：4，4，4，5，5， 6，7. 位于最中间的一个数是 5，故中位 数为 5. 故选 A． 【点评】本题考查了平均数、众数、中位数的定义和求法．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以 数据的个数；平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标；众数是一组数 据中出现次数最多的数据；中位数时要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的 平均数）为中位数. 7. 如图，在△ABC 中，中线 BE，CD 相交于点 O，连接 DE，下列结论： ① BC DE = 2 1 ； ② S S COB DOE △ △ = 2 1 ； ③ AB AD = OB OE ； ④ S S ADE ODE △ △ = 3 1 . 其中正确的个数有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C.3 个 D. 4 个 （第 7 题） 【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质． 【分析】①DE 是△ABC 的中位线，根据三角形的中位线等于第三边长度的一半可判断；②利用相似三角形 面积的比等于相似比的平方可判定；③利用相似三角形的性质可判断；④利用相似三角面积的比等于相似 比的平方可判定． 【解答】解：①∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE= 2 1 BC，即 BC DE = 2 1 ； 故①正确； ②∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE∥BC ∴△DOE∽△COB ∴ S S COB DOE △ △ =（ BC DE ）2=( 2 1 ）2= 4 1 , 故②错误； ③∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴ AB AD = BC DE △DOE∽△COB ∴ OB OE = BC DE ∴ AB AD = OB OE ， 故③正确； ④∵△ABC 的中线 BE 与 CD 交于点 O。 ∴点 O 是△ABC 的重心， 根据重心性质，BO=2OE，△ABC 的高=3△BOC 的高， 且△ABC 与△BOC 同底（BC） ∴S△ABC =3S△BOC， 由②和③知， S△ODE= 4 1 S△COB，S△ADE= 4 1 S△BOC， ∴ S S ADE ODE △ △ = 3 1 . 故④正确. 综上，①③④正确. 故选 C. 【点评】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质．要熟知：三角形的中位线平行于第三 边并且等于第三边长度的一半；相似三角形面积的比等于相似比的平方． 8. 已知菱形 OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点 A（5，0），OB=4 5 ，点 P 是对角线 OB 上 的一个动点，D（0，1），当 CP+DP 最短时，点 P 的坐标为（ ） A. （0，0） B.（1， 2 1 ） C.（ 5 6 ， 5 3 ） D.（ 7 10 ， 7 5 ） 【考点】菱形的性质，平面直角坐标系，，轴对称——最短路线问题，三角形相似，勾股定理，动点问题． 【分析】点 C 关于 OB 的对称点是点 A，连接 AD，交 OB 于点 P，P 即为所求的使 CP+DP 最短的点；连接 CP，解答即可. 【解答】解：如图，连接 AD，交 OB 于点 P，P 即为所求的使 CP+DP 最短的点；连接 CP，AC，AC 交 OB 于点 E，过 E 作 EF⊥OA，垂足为 F. ∵点 C 关于 OB 的对称点是点 A， ∴CP=AP， ∴AD 即为 CP+DP 最短； ∵四边形 OABC 是菱形， OB=4 5 ， ∴OE= 2 1 OB=2 5 ，AC⊥OB 又∵A（5，0）， ∴在 Rt△AEO 中，AE= OEOA 22  = )52(5 22  = 5 ； 易知 Rt△OEF∽△OAE ∴ OA OE = AE EF ∴EF= OA AEOE = 5 552  =2， ∴OF= EFOE 22  = 2)52( 22  =4. ∴E 点坐标为 E（4，2） 设直线 OE 的解析式为：y=kx，将 E（4，2）代入，得 y= 2 1 x， 设直线 AD 的解析式为：y=kx+b，将 A（5，0），D（0，1）代入，得 y=－ 5 1 x+1， ∴点 P 的坐标的方程组 y= 2 1 x， y=－ 5 1 x+1， 解得 x= 7 10 ， y= 7 5 ∴点 P 的坐标为（ 7 10 ， 7 5 ） 故选 D. 【点评】本题考查了菱形的性质，平面直角坐标系，，轴对称——最短路线问题，三角形相似，勾股定理， 动点问题．关于最短路线问题：在直线 L 上的同侧有两个点 A、B，在直线 L 上有到 A、B 的距离之和最短 的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线 L 的对称点，对称点与另一点的连线与直线 L 的交点就是所要找的点（注：本题 C，D 位于 OB 的同侧）．如下图： 解决本题的关键：一是找出最短路线，二是根据一次函数与方程组的关系，将两直线的解析式联立方程组， 求出交点坐标. 二、细心填一填 （本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分.请把答案填在答题卷相应题号 的横线上） 9. 若代数式 1x 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是____________. 【考点】二次根式有意义的条件. 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于 0，即可求解． 【解答】根据二次根式有意义的条件，得：x-1≥0， 解得：x≥1． 故答案为：x≥1． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件. 判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如 a（a ≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3） 二次根式具有非负性．a（a≥0）是一个非负数．学习要求：能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定 二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 10. 关于 x 的一元二次方程 x2+bx+2=0 有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数 b 的值： b=___________. 【考点】一元二次方程，根的判别式． 【分析】要使一元二次方程 x2+bx+2=0 有两个不相等的实数根，只需△=b2-4ac＞0 即可. 【解答】解：△=b2-4×1×2= b2-8 ∵一元二次方程 x2+bx+2=0 有两个不相等的实数根， ∴b2-8＞0 ∴b＞2 2 . 故满足条件的实数 b 的值只需大于 2 2 即可. 故答案为：b=3（答案不唯一，满足 b2＞8，即 b＞2 2 即可） 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式．根的判别式，即△=b2-4ac. 要熟练掌握一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况：①△＞0 时，方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根；②△＝0 时，方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根；③△＜0 时，方程 ax2+bx+c=0（a≠0）无实数根。 11. a，b 互为倒数，代数式 ba ab ba   22 2 ÷（ a 1 + b 1 ）的值为_____________. 【考点】倒数的性质，代数式求值，分式的化简． 【分析】a、b 互为倒数，则 ab=1，或 . 先将前式的分子化为完全平方式，然后将括号内的式子通分， 再将分子分母颠倒位置转化为乘法运算，约分后根据倒数的性质即可得出答案. 【解答】解： ba ab ba   22 2 ÷（ a 1 + b 1 ）= ba ba   )( 2 ÷ ab ba =（a+b）· ba qb  =ab. 又∵a，b 互为倒数， ∴ab=1. 故答案为：1. 【点评】本题考查了倒数的性质，代数式求值，分式的化简．要熟知倒数的性质：若 a、b 互为倒数，则 ab=1， 或 ，反之也成立. 12. 一个布袋内只装有 1 个红球和 2 个黄球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再 随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黄球的概率是__________. 【考点】概率，列表法或树状图法． 【分析】列表将所有可能的结果列举出来，再利用概率公式求解即可. 【解答】解：用列表法得： 红球 黄球 黄球 红球 (红球、红球) (红球、黄球) (红球、黄球) 黄球 (红球、黄球) (黄球、黄球) (黄球、黄球) 黄球 (红球、黄球) (黄球、黄球) (黄球、黄球) ∵共有 9 种可能的结果，两次摸出的球都是黄球的情况有 4 种， ∴两次摸出的球都是黄球的概率为 9 4 . 故答案为： 9 4 . 【点评】本题考查了概率，列表法或树状图法．概率是初中数学的重要知识点之一，命题者经常以摸球、 抛硬币、转转盘、抽扑克这些既熟悉又感兴趣的事为载体，设计问题。解决本题时采用了两个独立事件 同时发生的概率等于两个独立事件单独发生的概率的积，难度不大. 列举法有列表法（当一次 试验涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果）、树 状图法（当一次试验涉及 3 个或更多的因素时，列方形表不便，为不重不漏地列出所有可能的 结果，通常采用树状图法）. 13. 端午节那天，“味美早餐店”的粽子打 9 折出售，小红的妈妈去该店买粽子花了 54 元钱，比平时多买了 3 个，求平时每个粽子卖多少元？设平时每个粽子卖 x 元，列方程为_______________. 【考点】分式方程的应用． 【分析】题目已设平时每个粽子卖 x 元，则打 9 折出售的单价为 0.9x，再根据“比平时多买了 3 个”列方 程即可. 【解答】解：依题意，得 x 54 = x9.0 54 -3 故答案为： x 54 = x9.0 54 -3 【点评】本题考查了分式方程的应用．解答本题的关键是根据端午节那天与平时购买的个数列方程. 题目较 容易. 运用公式：数量= 单价 总价 ，总价=单价×数量，单价= 数量 总价 . 14. 如图，点 E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点 D，连接 BD、BE、CE，若∠ CBD=32°，则∠BEC 的度数为_____________. 新*课*标*第*一*网 【考点】三角形的内心，三角形的外接圆，圆周角定理，三角形内角和定理，三角形外角性质． 【分析】根据 E 是△ABC 的内心，可知 AE 平分∠BAC， BE 平分∠ABD，CE 平分∠ACB， 再根据圆周角定理，得出∠CAD=∠CBD=32°，然后根据三角形内角和定理，得出∠ABC+∠ACB 的度数， 再根据三角形外角性质，得出∠BEC 的度数. 【解答】解：∵E 是△ABC 的内心， ∴AE 平分∠BAC 同理 BE 平分∠ABD，CE 平分∠ACB， ∵∠CBD=32°， ∴∠CAD=∠CBD=32°， ∴∠BAC=2∠CBD=64°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-64°=116°， ∴∠ABE+∠ACE= 2 1 ×116°=58°， ∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠ACE=64°+58°=122°. 故答案为：122°. 【点评】本题考查了三角形的内心，三角形的外接圆，圆周角定理，三角形内角和定理，三角形外角性质．熟 知三角形的内心（三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心）和根据圆周角定理得出角的 数量关系是解题的关键. 内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的 连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。内心定理：三角形的三个内角的角平 分线交于一点。该点叫做三角形的内心. 15. 用 m 根 火 柴 恰 好 可 拼 成 如 图 1 所 示 的 a 个 等 边 三 角 形 或 如 图 2 所 示 的 b 个 正 六 边 形 ， 则 a b =_______________. 【考点】根据实际意义列出一次函数变量之间的关系式，数形结合思想． 【分析】分别根据图 1，求出拼成 a 个等边三角形用的火柴数量，即 m 与 a 之间的关系，再根据图 2 找到 b 与 m 之间的等量关系，最后利用 m 相同得出 a b 的值． 【解答】解：由图 1 可知：一个等边三角形有 3 条边，两个等边三角形有 3+2 条边， ∴m=1+2a， 由图 2 可知：一个正六边形有 6 条边，两个正六边形有 6+5 条边， ∴m=1+5b， ∴1+2a =1+5b ∴ a b = 5 2 ． 故答案为： 5 2 ． 【点评】本题考查了根据实际意义列出一次函数变量之间的关系式，数形结合思想．解答本题的关键是 分别找到 a，b 与 m 之间的相等关系，利用 m 作为等量关系列方程，整理后即可表示出 a b 的值． 16. 如图，边长为 4 的正方形 ABCD 内接于⊙O，点 E 是 AB 上的一动点（不与 A、B 重合），点 F 是 BC 上的一点，连接 OE，OF，分别与 AB，BC 交于点 G，H，且∠EOF=90°，有下列结论： ①AE=BF； ②△OGH 是等腰直角三角形； ③四边形 OGBH 的面积随着点 E 位置的变化而变化； ④△GBH 周长的最小值为４＋ 2 . 其中正确的是__________. （把你认为正确结论的序号都填上）. 【考点】正方形的性质，圆心角定理，等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定，四边形的面积，三角 形的周长，动点问题，最值问题． 【分析】①连接 OA，OB，如图 16-1，根据正方形的性质，知∠AOB=90°=∠EOF，又∠BOE 共用，故可 得∠AOE=∠BOF，再根据圆心角定理可得①AE=BF；故①正确； ②连接 OB，OC，如图 16-2，证明△OGB≌△OHC，可得 OG=OH，即可得出△OGH 是等腰直角 三角形；故②正确； ③如图 16-3，过点 O 作 OM⊥BC，ON⊥AB，易证得△OGN≌△OHM，因此可得出 S△OGN=S△OHM， 故不管点 E 的位置如何变化，四边形 OGBH 的面积不变；故③错误； ④过点 B 作 B 关于 OF 的对称点 P（易知点 P 在⊙O 上），连接 PH，则 PH=BH；过点 B 作 B 关于 OE 的对称点 Q（易知点 Q 在⊙O 上），连接 QG，则 QG=BG；连接 PQ，易证明 PQ 过圆心 O，则 PQ= 44 22  =4 2 ≠４＋ 2 ，故④错误. 【解答】解：①连接 OA，OB，如图 16-1， 根据正方形的性质，知∠AOB=90°=∠EOF， ∠AOB-∠BOE =∠EOF-∠BOE， 即∠AOE=∠BOF， 根据相等的圆心角所对的弧相等，可得 AE=BF； 故①正确； （图 16-1） （图 16-2） ②连接 OB，OC，如图 16-2，则 OB=OC， 由①知 AE=BF ∵ABCD 为正方形，∴AB=BC ∴AB=BC ∴AB-AE=BC-BF 即 BE=CF ∴∠BOG=∠COH 又∵∠OBG+∠OBC=90°，∠OCH+∠OBC=90°， ∴∠OBG =∠OCH 在△OGB 和△OHC 中， ∠OBG =∠OCH ∠BOG=∠COH OB=OC ∴△OGB≌△OHC， ∴OG=OH， 又∵∠EOF=90° ∴△OGH 是等腰直角三角形； 故②正确； ③如图 16-3，过点 O 作 OM⊥BC，ON⊥AB， （图 16-3） 又∵正方形 ABCD 内接于⊙O， ∴OM=ON 由②知，OG=OH， 在 Rt△OGN 和 Rt△OHM 中， OG=OH， OM=ON ∴Rt△OGN≌Rt△OHM， ∴S△OGN=S△OHM， 又∵四边形 BMOG 公共 ∴不管点 E 的位置如何变化，四边形 OGBH 的面积不变； 故③错误； ④过点 B 作 B 关于 OF 的对称点 P（易知点 P 在⊙O 上），连接 PH，则 PH=BH；过点 B 作 B 关于 OE 的对称点 Q（易知点 Q 在⊙O 上），连接 QG，则 QG=BG； （图 16-4） 连接 PQ，易证明 PQ 过圆心 O， ∴PQ= 44 22  =4 2 ≠４＋ 2 ， 故④错误. 综上，①②正确，③④错误. 故答案为：①②. 【点评】本题考查了正方形的性质，圆心角定理，等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定，四边形的 面积，三角形的周长，动点问题，最值问题．运用圆心角定理是解答①的关键；在②中连接 OB，OC，证 明三角形全等是解题的关键；在③中，运用证明三角形全等，从而证明面积相等以解决不管点 E 的位置如 何变化，四边形 OGBH 的面积不变的问题；解答④的关键是运用轴对称解决最小周长问题. 作为填空题， 解题时要注意技巧. 三、专心解一解 （本大题共 8 小题，满分 72 分. 请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要 的文字说明、证明过程或演算步骤. 请把解题过程写在答题卷相应题号的位置） 17. （本题满分 8 分，每小题 4 分） （1）计算：｜－2｜－20160+( 2 1 )-2； 【考点】绝对值，0 指数幂，负整数指数幂，实数的运算． 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，非零数的 0 次幂等于 1，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数， 再将各式相加减即可. 【解答】解：｜－2｜－20160+( 2 1 )-2=2－1+ )2 1( 2 1 =2－1+4 ……………………….3 分 =5. ……………………….4 分 【点评】本题考查了绝对值，0 指数幂，负整数指数幂，实数的运算．熟练掌握负数的绝对值是它的相反 数，非零数的 0 次幂等于 1，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数是解题的关键. （2）解不等式组： 3 2 x＞5－x x+2＞2x－3 【考点】解不等式组． 【分析】先求出两个不等式的解集，再求不等式组的公共解． 【解答】解： 3 2 x＞5－x ① x+2＞2x－3 ② 解不等式①，得 x＞3 ……………………….1 分 解不等式②，得 x＜5 ……………………….2 分 所以这个不等式组的解集为： 3＜x＜5 ……………………….4 分 【点评】本题考查了解一元一次不等式组．要熟知一元一次不等式组的解法：①分别求出不等式组中各个 不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集．求不等式组公共 解的一般规律：同大取大，同小取小，一大一小中间找． 18. （本题满分 7 分）证明命题“角的一部分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意， 画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程. 下面是小明同学根据题意画出的图形， 并写出了不完整的已知和求证. 已知：如图，∠AOC=∠BOC，点 P 在 OC 上. _____________________________________. 求证：______________________. 请你补全已知和求证，并写出证明过程. 【考点】全等三角形的判定和性质，命题的证明． 【分析】先补全已知和求证，再通过 AAS 证明△PDO≌△PDO 全等即可. 【解答】解：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. ……………………….2 分 PD=PE. ………………………………………………………….3 分 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90°…………………………...4 分 在△PDO 和△PDO 中， ∠PDO=∠PEO ∠AOC=∠BOC， OP=OP ∴△PDO≌△PDO（AAS）……….…………….6 分 ∴PD=PE. …………………………………………………7 分 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，命题的证明．补全已知和求证并运用 AAS 证明三角形 全等是解题的关键. 19.（本题满分 8 分）某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超 出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费. 为更好地决策，自 来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如下不完整的统计图（每组数据包括右 端点但不包括左端点）. 请你根据统计图解答下列问题： （1）此次抽样调查的样本容量是__________________. （2）补全频数分布直方图，求扇形图中“15 吨—20 吨”部分的圆心角的度数； （3）如果自来水公司将基本用水量定为每户 25 吨，那么该地区 6 万用户中约有多少用户的用水全部享受 基本价格？ 用户用水量频数分布直方图 用户用水量扇形统计图 户数（单位：户） 10-15 吨 30-35 吨 40 30 20 10 0 10 15 20 25 30 35 用水量（单位：吨） 【考点】频数分布直方图，扇形统计图，样本容量，圆心角的度数，用样本估计总体． 【分析】（1）用 10 吨—15 吨的用户数除以所占的百分比，计算即可. （2）用总户数减去其他四组的户数，计算求出“15 吨—20 吨”的用户数，然后补全频数分布直 方图即可；用“15 吨—20 吨”所占的百分比乘以 360°计算即可得出答案； （3）用享受基本价格的用户数所占的百分比乘以 6 万，计算即可. 【解答】解：（1）10÷10%=100. ……………..………………………………..………….2 分 （2）100-10-38-24-8=20； 补充图如下： ………………………………………………..…………..3 分 360× 100 8243810100  =72. …………………….…………………..……..4 分 答：扇形图中“15 吨—20 吨”部分的圆心角的度数为 72°. ………....5 分 （3）6× 100 382010  =4.08（万）. …………………………………………..……..7 分 答：该地区 6 万用户中约有 4.08 万用户的用水全部享受基本价格……8 分 【点评】本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，样本容量，圆心角的度数，用样本估计总体．读懂统 计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键. 条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据； 扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小. 20. （本题满分 8 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y=2x 与反比例函数 y= x k 在第一象限 内的图像交于点 A（m，2），将直线 y=2x 向下平移后与反比例函数 y= x k 在第一象限内的图像 交于点 P，且△POA 的面积为 2. （1）求 k 的值； （2）求平移后的直线的函数解析式. 【考点】反比例函数与一次函数的综合题，平移. 【分析】（1）将点 A(m，2)代入 y=2x，可求得 m 的值，得出 A 点的坐标，再代入反比例函数 y= x k ，即 可求出 k 的值； （2）设平移后的直线与 y 轴交于点 B，连接 AB，则 S△AOB=S△POA=2 【解答】解：(1)∵点 A(m，2)在直线 y=2x 上， ∴2=2m， ∴m=1， ∴点 A（1，2）……………………………………… ……..2 分 又∵点 A（1，2）在反比例函数 y= x k 的图像上， ∴k=2. ……………………………………………………….4 分 （2）设平移后的直线与 y 轴交于点 B，连接 AB，则 S△AOB=S△POA=2 …………………………………….5 分 过点 A 作 y 轴的垂线 AC，垂足为点 C，则 AC=1. ∴ 2 1 OB·AC=2， ∴OB=4. …………………………………………………….7 分 ∴平移后的直线的解析式为 y=2x-4. ……………………..8 分 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的综合题，平移. 要注意，在图像上的点的坐标满足这个图像的 解析式；问题（2）中，设平移后的直线与 y 轴交于点 B，得出 S△AOB=S△POA=2 工过点 A 作 y 轴的垂线 AC 是解题的关键. 21. （本题满分 9 分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，点 O 在 AB 上，以点 O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点 D，分别交 AC，AB 于点 E，F. （1）试判断直线 BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若 BD=2 3 ，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π） 【考点】直线与圆的位置关系，勾股定理，扇形面积，三角函数. 【分析】（1）连接 OD，证明 OD∥AC 即可解决问题； （2）设⊙O 的半径为 r，则 OD=r，OB= r+2，在 Rt△BDO 中， OD2+BD2=OB2，求出 r，利用 S 阴影=S△OBD-S 扇形 BDF 即可解决问题. 【解答】解：(1) BC 与⊙O 相切，理由如下： 连接 OD. ∵AD 平分∠BAC， ∴∠CAD=∠OAD. 又∵∠OAD=∠ODA， ∴∠CAD=∠ODA， ∴OD∥AC； …………………………………………2 分 ∴∠BDO=∠C=90°， ∴BC 与⊙O 相切. ……………………………………4 分 （2）解：设⊙O 的半径为 r，则 OD=r，OB= r+2. 由（1）知∠BDO=90°， ∴OD2+BD2=OB2，即 r2+(2 3 )2=( r+2)2， 解得 r=2. …………………………………………5 分 ∵tan∠BOD= OD BD = 2 32 = 3 , ∴∠BOD=60°. …………………………………7 分 S 阴影=S△OBD-S 扇形 BDF= 2 1 ×OD×BD- 360 60 ×πr2=2 3 - 3 2 π. ………………………………….9 分 【点评】本题综合考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，扇形面积，三角函数. 第（1）小题中，连接 OD，证明 OD∥AC 是解题的关键；第（2）小题中，利用勾股定理 r 和 S 阴影=S△OBD-S 扇形 BDF 是解题 的关键. 22. （本题满分 10 分）某网店销售某款童装，每件售价 60 元，每星期可卖 300 件. 为了促俏， 该店决定降价销售，市场调查反映：每降价 1 元，每星期可多卖 30 件. 已知该款童装每件成 本价 40 元. 设该款童装每件售价 x 元，每星期的销售量为 y 件. （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若该网店每星期想要获得不低于 6480 元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？ 【考点】一次函数、二次函数的应用. 【分析】（1）每星期的销售量=原来的销售量+降价销售而多销售的销售量就可得出函数关系式； （2）根据销售量×销售单价=利润，建立二次函数，进一步用配方法解决求最大值问 题． （3）列出一元二次方程，根据抛物线 W= -30(x-55)2+6750 的开口向下可得出当 52≤x≤58 时， 每星期销售利润不低于 6480 元，再在 y= -30+2100 中，根据 k= -30＜0，y 随 x 的增大而减小，求解 即可. 【解答】解：(1)y=300+30(60-x)=-30x+2100. ……………………………………..2 分 （2）设每星期的销售利润为 W 元，依题意，得 W=(x-40)(-30x+2100)=-30x2+3300x-84000 ………………………..4 分 = -30(x-55)2+6750. ∵a= -30＜0 ∴x=55 时，W 最大值=6750（元）. 即 每 件 售 价 定 为 55 元 时 ， 每 星 期 的 销 售 利 润 最 大 ， 最 大 利 润 是 6750 元. ……………………………………………………….6 分 （3）由题意，得 -30(x-55)2+6750=6480 解这个方程，得 x1=52，x2=58. …………………………..7 分 ∵抛物线 W= -30(x-55)2+6750 的开口向下 ∴当 52≤x≤58 时，每星期销售利润不低于 6480 元. …………………………………8 分 ∴在 y= -30+2100 中，k= -30＜0，y 随 x 的增大而减小. …………………………………………….9 分 ∴当 x=58 时，y 最小值= -30×58+2100=360. 即每星期至少要销售该款童装 360 件. …………….10 分 【点评】本题综合考查了一次函数、二次函数的应用. 建立函数并运用一次函数和二次函数的性质解题是 解题的关键. 23. （本题满分 10 分） 阅读理解： 我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形. 如图 1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形. 设这 个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把 sin 1 的值叫做这个平行四边形的变形度. (1) 若矩形发生变 形后 的平行四边形 有一个内角是 120°，则这个平行 四边形的变形度是 ________________； 猜想证明： （2）若矩形的面积为 S1，其变形后的平行四边形面积为 S2，试猜想 S1， S2， sin 1 之间的数量关系， 并说明理由； 拓展探究： （3）如图 2，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 边上的一点，且 AB2=AE·AD，这个矩形发生变形后为平行 四边形 A1B1C1D1，E1 为 E 的对应点，连接 B1E1，B1D1，若矩形 ABCD 的面积为 4 m （m＞0），平行四边 形 A1B1C1D1 的面积为 2 m （m＞0），试求∠A1E1B1+∠A1D1B1 的度数. 【考点】矩形，平行四边形，新定义，相似三角形，三角函数. 【分析】（1）根据新定义，平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角α=180°-120°=60°，所以 sin 1 = 60sin 1  = 2 3 1 = 3 32 ； （2）设矩形的长和宽分别为 a，b，其变形后的平行四边形的高为 h. 从面积入手考虑，S1=ab， S2=ah，sinα= b h ，所以 s s 2 1 = ah ab = h b ， sin 1 = h b ，因此猜想 sin 1 = s s 2 1 .新$课$标$第$一$网 （3）由 AB2=AE·AD，可得 A1B12= A1E1·A1D1，即 DA BA 11 11 = BA EA 11 11 .，可证明△B1A1E1∽△D1A1B1，则∠A1B1E1= ∠A1D1B1 ，再证明∠A1 E1B1+∠A1D1B1=∠C1B1 E1+∠ A1B1E1=∠A1B1C1 ，由（ 2） sin 1 = s s 2 1 ，可知 CBA 111sin 1  = m m 2 4 =2，可知 sin∠A1B1C1= 2 1 ，得出∠A1B1C1=30°，从而证明∠A1 E1B1+∠A1D1B1=30°. 【解答】解：（1）根据新定义，平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角α为： α=180°-120°=60°， ∴ sin 1 = 60sin 1  = 2 3 1 = 3 32 . …………………………………………… 2 分 （2） sin 1 = s s 2 1 ，理由如下： 如图 1，设矩形的长和宽分别为 a，b，其变形后的平行四边形的高为 h. 则 S1=ab，S2=ah，sinα= b h . …………………………………………3 分 ∴ s s 2 1 = ah ab = h b ， sin 1 = h b ， ∴ sin 1 = s s 2 1 . ……………………………………………………………6 分 （3）由 AB2=AE·AD，可得 A1B12= A1E1·A1D1，即 DA BA 11 11 = BA EA 11 11 . 又∠B1A1E1=∠D1A1B1， ∴△B1A1E1∽△D1A1B1， ∴∠A1B1E1=∠A1D1B1， ∵ A1D1∥B1 C1， ∴∠A1 E1B1=∠C1B1 E1， ∴∠A1 E1B1+∠A1D1B1=∠C1B1 E1+∠A1B1E1=∠A1B1C1. ……………………..………………………….8 分 由（2） sin 1 = s s 2 1 ，可知 CBA 111sin 1  = m m 2 4 =2. ∴sin∠A1B1C1= 2 1 ， ∴∠A1B1C1=30°， ∴∠A1 E1B1+∠A1D1B1=30°. ………………………………………10 分 【点评】本题是猜想探究题，难度中等，综合考查了矩形，平行四边形，新定义，相似三角形，三角函数. 第 （2）小题设矩形的长和宽分别为 a，b，其变形后的平行四边形的高为 h.，从面积入手是解题的关键. 第（3） 小题得出 sin∠A1B1C1= 2 1 ，从而得出∠A1B1C1=30°是解题的关键. 24. （本题满分 12 分） 如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（0，1），取一点 B（b，0），连接 AB，作线段 AB 的垂直平分线 l1，过点 B 作 x 轴的垂线 l2，记 l1，l2 的交点 为 P. （1）当 b=3 时，在图 1 中补全图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）小慧多次取不同数值 b，得出相应的点 P，并把这些点用平滑的曲线连接起来，发现：这 些点 P 竟然在一条曲线 L 上！ ①设点 P 的坐标为（x，y），试求 y 与 x 之间的关系式，并指出曲线 L 是哪种曲线； ②设点 P 到 x 轴，y 轴的距离分别为 d1，d2，求 d1+d2 的范围. 当 d1+d2=8 时，求点 P 的坐 标； ③将曲线 L 在直线 y=2 下方的部分沿直线 y=2 向上翻折，得到一条“W”形状的新曲线， 若直线 y=kx+3 与这条“W”形状的新曲线有 4 个交点，直接写出 k 的取值范围. 图 1 图 2 【考点】二次函数，一次函数，尺规作图，平面直角坐标系，勾股定理，一元二次方程，轴对称 ——翻折，最值问题. 【分析】（1）根据垂直平分线、垂线的尺规作图方法画图即可，要标出字母； （2）①分 x＞0 和 x≤0 两种情况讨论：当 x＞0 时，如图 2，连接 AP，过点 P 作 PE ⊥y 轴于点 E，可得出 PA=PB=y；再在 Rt△APE 中，EP=OB=x，AE=OE-OA= y-1，由勾股定 理，可求出 y 与 x 之间的关系式；当 x≤0 时，点 P（x，y）同样满足 y= 2 1 x2+ 2 1 ，曲线 L 就是 二次函数 y= 2 1 x2+ 2 1 的图像，也就是说 曲线 L 是一条抛物线. ②首先用代数式表示出 d1，d2：d1= 2 1 x2+ 2 1 ，d2=｜x｜，得出 d1+d2= 2 1 x2+ 2 1 +｜x｜，可 知当 x=0 时，d1+d2 有最小值 2 1 ，因此 d1+d2 的范围是 d1+d2≥ 2 1 ；当 d1+d2=8 时，则 2 1 x2+ 2 1 +｜x｜ =8. 将 x 从绝对值中开出来，故需分 x≥0 和 x＜0 两种情况讨论：当 x≥0 时，将原方程化为 2 1 x2+ 2 1 +x=8， 解出 x1，x2 即可；当 x＜0 时，将原方程化为 2 1 x2+ 2 1 －x=8，解出 x1，x2 即可；最后将 x=±3 代入 y= 2 1 x2+ 2 1 ，求得 P 的纵坐标，从而得出点 P 的 坐标. ③直接写出 k 的取值范围即可. 【解答】解：（1）如图 1 所示（画垂直平分线，垂线，标出字母各 1 分）. …………………………………………………………… ..3 分 E 图 1 图 2 （2）①当 x＞0 时，如图 2，连接 AP，过点 P 作 PE⊥y 轴于点 E. ∵l1 垂直平分 AB ∴PA=PB=y. 在 Rt△APE 中，EP=OB=x，AE=OE-OA= y-1. 由勾股定理，得 (y-1)2+x2=y2. ……………………………………… 5 分 整理得，y= 2 1 x2+ 2 1 . 当 x≤0 时，点 P（x，y）同样满足 y= 2 1 x2+ 2 1 . ……………………… .6 分 ∴曲线 L 就是二次函数 y= 2 1 x2+ 2 1 的图像. 即曲线 L 是一条抛物线. ………………………………………………………… 7 分 ②由题意可知，d1= 2 1 x2+ 2 1 ，d2=｜x｜. ∴d1+d2= 2 1 x2+ 2 1 +｜x｜. 当 x=0 时，d1+d2 有最小值 2 1 . ∴d1+d2 的范围是 d1+d2≥ 2 1 . ……………………………………………… 8 分 当 d1+d2=8 时，则 2 1 x2+ 2 1 +｜x｜=8. （Ⅰ）当 x≥0 时，原方程化为 2 1 x2+ 2 1 +x=8. 解得 x1=3，x2= -5（舍去）. （Ⅱ）当 x＜0 时，原方程化为 2 1 x2+ 2 1 －x=8. 解得 x1= -3，x2= 5（舍去）. 将 x=±3 代入 y= 2 1 x2+ 2 1 ，得 y=5. …………………………………… .9 分 ∴点 P 的坐标为（3，5）或（-3，5）. …………………………… .10 分 ③k 的取值范围是：－ 3 3 ＜k＜ 3 3 . …………………………………………… .12 分 解答过程如下（过程不需写）： 把 y=2 代入 y= 2 1 x2+ 2 1 ，得 x1=－ 3 ，x2= 3 . ∴直线 y=2 与抛物线 y= 2 1 x2+ 2 1 两个交点的坐标为（－ 3 ，2）和（ 3 ，2）. 当直线 y=kx+3 过点（－ 3 ，2）时，可求得 k= 3 3 ； 当直线 y=kx+3 过点（ 3 ，2）时，可求得 k=－ 3 3 . 故当直线 y=kx+3 与这条“W”形状的新曲线有 4 个交点时，k 的取值范围是：－ 3 3 ＜ k＜ 3 3 . ……………………………………………………………… .12 分 【点评】本题是压轴题，综合考查了二次函数，一次函数，尺规作图，勾股定理，平面直角坐标系， 一元二次方程，轴对称——翻折，最值问题. 读懂题目、准确作图、熟谙二次函数及其图像是解 题的关键. 近几年的中考，一些题型灵活、设计新颖、富有创意的压轴试题涌现出来，其中一类以平移、旋 转、翻折等图形变换为解题思路的题目更是成为中考压轴大戏的主角。解决压轴题目的关键是找准切入点， 如添辅助线构造定理所需的图形或基本图形；紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论；深度挖 掘题干，反复认真的审题，在题目中寻找多解的信息，等等. 压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度 较高，除了要熟知各类知识外，平时要多练，提高知识运用和转化的能力。 本试卷及答案的录入、解析：拓普教研 欧阳慭 2016 年 7 月 1 日