2016年武汉市中考数学试题及答案解析版

2016年武汉市中考数学试卷 一、选择题（共 10小题，每小题 3分，共 30分） 1．实数 2 的值在（ ） A．0和 1之间 B．1和 2之间 C．2和 3之间 D．3和 4之间 【考点】有理数的估计 【答案】B 【解析】∵1＜2＜4，∴ 1 2 4＜ ＜ ，∴1 2 2＜ ＜ . 2．若代数式在 3 1 x 实数范围内有意义，则实数 x的取值范围是（ ） A．x＜3 B．x＞3 C．x≠3 D．x＝3 【考点】分式有意义的条件 【答案】C 【解析】要使 3 1 x 有意义，则 x－3≠0，∴x≠3 故选 C. 3．下列计算中正确的是（ ） A．a·a2＝a2 B．2a·a＝2a2 C．(2a2)2＝2a4 D．6a8÷3a2＝2a4 【考点】幂的运算 【答案】B 【解析】A． a·a2＝a3，此选项错误；B．2a·a＝2a2，此选项正确；C．(2a2)2＝4a4，此选 项错误；D．6a8÷3a2＝2a6，此选项错误。 4．不透明的袋子中装有性状、大小、质地完全相同的 6个球，其中 4个黑球、2 个白球， 从袋子中一次摸出 3个球，下列事件是不可能事件的是（ ） A．摸出的是 3个白球 B．摸出的是 3个黑球 C．摸出的是 2个白球、1个黑球 D．摸出的是 2个黑球、1个白球 【考点】不可能事件的概率 【答案】A 【解析】∵袋子中有 4个黑球，2个白球，∴摸出的黑球个数不能大于 4个，摸 出白球的个数不能大于 2个。 A选项摸出的白球的个数是 3个，超过 2个，是不可能事件。 故答案为：A 5．运用乘法公式计算(x＋3)2的结果是（ ） A．x2＋9 B．x2－6x＋9 C．x2＋6x＋9 D．x2＋3x＋9 【考点】完全平方公式 【答案】C 【解析】运用完全平方公式，(x＋3)2＝x2＋2×3x＋32＝x2＋6x＋9． 故答案为：C 6．已知点 A(a，1)与点 A′(5，b)关于坐标原点对称，则实数 a、b的值是（ ） A．a＝5，b＝1 B．a＝－5，b＝1 C．a＝5，b＝－1 D．a＝－5，b＝－1 【考点】关于原点对称的点的坐标． 【答案】D 【解析】关于原点对称的点的横坐标与纵坐标互为相反数．∵点 A(a，1)与点 A′(5，b)关于 坐标原点对称，∴a＝－5，b＝－1，故选 D． 7．如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（ ） 【考点】简单几何体的三视图． 【答案】A 【解析】从左面看，上面看到的是长方形，下面看到的也是长方形，且两个长方形一样大． 故选 A 8．某车间 20名工人日加工零件数如下表所示： 日加工零件数 4 5 6 7 8 人数 2 6 5 4 3 这些工人日加工零件数的众数、中位数、平均数分别是（ ） A．5、6、5 B．5、5、6 C．6、5、6 D．5、6、6 【考点】众数；加权平均数；中位数．根据众数、平均数、中位数的定义分别进行解答． 【答案】D 【解析】5出现了 6次，出现的次数最多，则众数是 5；把这些数从小到大排列，中位数是 第 10，11个数的平均数，则中位数是（6＋6）÷2＝6；平均数是：（4×2＋5×6＋6×5＋7 ×4＋8×3）÷20＝6；故选 D． 9．如图，在等腰 Rt△ABC中，AC＝BC＝ 22 ，点 P在以斜边 AB为直径的半圆上，M为 PC的中点．当点 P沿半圆从点 A运动至点 B时，点 M运动的路径长是（ ） A． π2 B．π C． 22 D．2 【考点】轨迹，等腰直角三角形 【答案】B 【解析】取 AB的中点 E，取 CE的中点 F，连接 PE，CE，MF，则 FM＝ 1 2 PE＝1，故 M 的轨迹为以 F为圆心，1为半径的半圆弧，轨迹长为 1 2 1 2     . 10．平面直角坐标系中，已知 A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点 C，使△ABC为等腰三 角形，则满足条件的点 C的个数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质 【答案】A 【解析】构造等腰三角形，①分别以 A，B为圆心，以 AB的长为半径作圆；②作 AB 的中 垂线．如图，一共有 5 个 C 点，注意，与 B重合及与 AB 共线的点要排除。 二、填空题（本大题共 6个小题，每小题 3分，共 18分） 11．计算 5＋(－3)的结果为_______． 【考点】有理数的加法 【答案】2 【解析】原式＝2 12．某市 2016年初中毕业生人数约为 63 000，数 63 000用科学记数法表示为___________． 【考点】科学记数法 【答案】6.3×104 【解析】科学计数法的表示形式为 N＝a×10n的形式，其中 a为整数且 1≤│a│＜10，n 为 N的整数位数减 1． 13．一个质地均匀的小正方体，6个面分别标有数字 1、1、2、4、5、5．若随机投掷一次小 正方体，则朝上一面的数字是 5的概率为_______． 【考点】概率公式 【答案】 1 3 【解析】∵一个质地均匀的小正方体有 6个面，其中标有数字 5的有 2个，∴随机投掷一次 小正方体，则朝上一面数字是 5的概率为 2 1 6 3  ． 14．如图，在□ABCD中，E为边 CD上一点，将△ADE沿 AE折叠至△AD′E处，AD′与 CE 交于点 F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为_______． 【考点】平行四边形的性质 【答案】36° 【解析】∵四边形 ABCD为平行四边形，∴∠D＝∠B＝52°，由折叠的性质得：∠EAD， ＝∠DAE＝20°，∠AED， ＝∠AED＝180°－∠DAE－∠D＝180°－20°－52°＝108°， ∴∠AEF＝∠D＋∠DAE＝52°＋20°＝72°，∴∠FED′＝108°－72°＝36°． 15．将函数 y＝2x＋b（b为常数）的图象位于 x轴下方的部分沿 x轴翻折至其上方后，所得 的折线是函数 y＝|2x＋b|（b为常数）的图象．若该图象在直线 y＝2下方的点的横坐标 x满 足 0＜x＜3，则 b的取值范围为_________． 【考点】一次函数图形与几何变换 【答案】-4≤b≤-2 【解析】根据题意：列出不等式 b0 3 2 =0 = 2 2 =3 =2 + 6+ 2 x y x b b x y x b b        ＜- ＜ 代入 - - 满足：- 代入 满足： ，解得-4≤b≤-2 16．如图，在四边形 ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝ 55 ，则 BD 的长为_______． 【考点】相似三角形，勾股定理 【答案】2 41 【解析】连接 AC，过点 D作 BC边上的高，交 BC延长线于点 H．在 Rt△ABC中，AB＝3， BC＝4，∴AC＝5，又 CD＝10，DA＝ 55 ，可知△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°， 易证△ABC∽△CHD，则 CH＝6，DH＝8，∴BD＝ 2 28 2 41 （4+6） ． 三、解答题（共 8题，共 72分） 17．（本题 8分）解方程：5x＋2＝3(x＋2) ． 【考点】解一元一次方程 【答案】x＝2 【解析】解：去括号得 5x＋2＝3x＋6， 移项合并得 2x＝4， ∴x＝2． 18．（本题 8分）如图，点 B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF， 求证：AB∥DE． 【考点】全等三角形的判定和性质 【答案】见解析 【解析】证明：由 BE＝CF可得 BC＝EF，又 AB＝DE，AC＝DF，故△ABC≌△DEF（SSS）， 则∠B=∠DEF，∴AB∥DE． 19．（本题 8分）某学校为了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目最喜爱 的情况，随机调查了若干名学生，根据调查数据进行整理，绘制了如下的不完整统计图： 请你根据以上的信息，回答下列问题： (1) 本次共调查了_____名学生，其中最喜爱戏曲的有_____人；在扇形统计图中，最喜爱体 育的对应扇形的圆心角大小是______； (2) 根据以上统计分析，估计该校 2000名学生中最喜爱新闻的人数． 【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图 【答案】(1)50，3，72°；(2)160人 【解析】（1）本次共调查学生：4÷8%＝50（人），最喜爱戏曲的人数为：50×6%＝3（人）， ∵“娱乐”类人数占被调查人数的百分比为： 18 100% 36% 50   ， ∴“体育”类人数占被调查人数的百分比为：1－8%－30%－36%－6%＝20%， 在扇形统计图中，最喜爱体育的对应扇形圆心角大小事 360°×20%＝72°； （2）2000×8%＝160（人）． 20．（本题 8分）已知反比例函数 x y 4  ． (1) 若该反比例函数的图象与直线 y＝kx＋4（k≠0）只有一个公共点，求 k的值； (2) 如图，反比例函数 x y 4  （1≤x≤4）的图象记为曲线 C1，将 C1向左平移 2个单位长度， 得曲线 C2，请在图中画出 C2，并直接写出 C1平移至 C2处所扫过的面积． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；考查了平移的性质，一元二次方程的根与系数 的关系。 【答案】(1) k＝-1；(2)面积为 6 【解析】解：（1）联立 4 4 y x y kx       得 kx2＋4x－4＝0，又∵ x y 4  的图像与直线 y＝kx＋4只 有一个公共点，∴42－4∙k∙（—4）＝0，∴k＝－1． (2)如图： C1平移至 C2处所扫过的面积为 6． 21．（本题 8分）如图，点 C在以 AB为直径的⊙O上，AD与过点 C的切线垂直，垂足为 点 D，AD交⊙O于点 E． (1) 求证：AC平分∠DAB； (2) 连接 BE交 AC于点 F，若 cos∠CAD＝ 5 4 ，求 FC AF 的值． 【考点】切线的性质；考查了切线的 性质，平行线的性质和判定，勾股定理，圆周角定理， 圆心角，弧，弦之间的关系的应用 【答案】 (1) 略；(2) 7 9 【解析】（1）证明：连接 OC，则 OC⊥CD，又 AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠CAD＝∠OCA， 又 OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠CAD＝∠CAO，∴AC平分∠DAB． （2）解：连接 BE交 OC于点 H，易证 OC⊥BE，可知∠OCA＝∠CAD， ∴COS∠HCF＝ 4 5 ，设 HC＝4,FC＝5，则 FH＝3． 又△AEF∽△CHF，设 EF＝3x，则 AF＝5x，AE＝4x，∴OH＝2x ∴BH＝HE＝3x＋3 OB＝OC＝2x＋4 在△OBH中，（2x）2＋（3x＋3）2＝（2x＋4）2 化简得：9x2＋2x－7＝0，解得：x＝ 7 9 （另一负值舍去）． ∴ 5 7 5 9 AF x FC   ． 22．（本题 10分）某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销 x件．已 知产销两种产品的有关信息如下表： 产品 每件售价（万元） 每件成本（万元） 每年其他费用（万元） 每年最大产销量（件） 甲 6 a 20 200 乙 20 10 40＋0.05x2 80 其中 a为常数，且 3≤a≤5． （1） 若产销甲、 乙两种产品的年利润分别为 y1万元、y2万元，直接写出 y1、y2与 x的函 数关系式； （2）分别求出产销两种产品的最大年利润； （3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由． 【考点】二次函数的应用，一次函数的应用 【答案】 （1）y1=(6-a)x-20（0＜x≤200），y2=-0.05x²+10x-40（0＜x≤80）；（2） 产销 甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元，产销乙种产品的最大年利润为 440万元；（3） 当 3≤a＜3.7时，选择甲产品；当 a=3.7时，选择甲乙产品；当 3.7＜a≤5时，选择乙产品 【解析】解：（1） y1=(6-a)x-20（0＜x≤200），y2=-0.05x²+10x-40（0＜x≤80）； （2）甲产品：∵3≤a≤5，∴6-a＞0，∴y1随 x的增大而增大． ∴当 x＝200时，y1max＝1180－200a（3≤a≤5） 乙产品：y2=-0.05x²+10x-40（0＜x≤80） ∴当 0＜x≤80时，y2随 x的增大而增大． 当 x＝80时，y2max＝440（万元）． ∴产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元，产销乙种产品的最大年利润为 440万元； （3）1180－200＞440，解得 3≤a＜3.7时，此时选择甲产品； 1180－200＝440，解得 a=3.7时，此时选择甲乙产品； 1180－200＜440，解得 3.7＜a≤5时，此时选择乙产品． ∴当 3≤a＜3.7时，生产甲产品的利润高； 当 a=3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同； 当 3.7＜a≤5时，上产乙产品的利润高． 23．（本题 10分）在△ABC中，P为边 AB上一点． (1) 如图 1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP·AB； (2) 若 M为 CP的中点，AC＝2， ① 如图 2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求 BP的长； ② 如图 3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出 BP的长． 【考点】相似形综合，考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形中位线性质， 勾股定理。 【答案】 （1）证△ACP∽△ABC即可；（2）①BP＝ 5；② 7 1 【解析】（1）证明：∵∠ACP＝∠B，∠BAC＝∠CAP，∴△ACP∽△ABC，∴AC：AB＝ AP：AC，∴AC2＝AP·AB； （2）①如图，作 CQ∥BM交 AB延长线于 Q，设 BP＝x，则 PQ＝2x ∵∠PBM＝∠ACP，∠PAC＝∠CAQ，∴△APC∽△ACQ，由 AC2＝AP·AQ得：22＝（3－ x）（3＋x），∴x＝ 5 即 BP＝ 5； ②如图：作 CQ⊥AB于点 Q，作 CP0＝CP交 AB于点 P0， ∵AC＝2，∴AQ＝1，CQ＝BQ＝ 3 ， 设 P0Q＝PQ＝1－x，BP＝ 3 －1＋x， ∵∠BPM＝∠CP0A，∠BMP＝∠CAP0，∴△AP0C∽△MPB，∴ 0 0AP PC MP BP  ， ∴MP∙ P0C＝ 2 2 2 0 1 ( 3) (1 ) 2 2 xPC     AP0 ∙BP＝x（ 3 －1＋x），解得 x＝ 7 3 ∴BP＝ 3 －1＋ 7 3 ＝ 7 1 ． 24．（本题 12分）抛物线 y＝ax2＋c与 x轴交于 A、B两点，顶点为 C，点 P为抛物线上， 且位于 x轴下方． （1）如图 1，若 P(1，－3)、B(4，0)， ① 求该抛物线的解析式； ② 若 D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点 D的坐标； （2） 如图 2，已知直线 PA、PB与 y轴分别交于 E、F两点．当点 P运动时， OC OFOE  是 否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由． 【考点】二次函数综合；考查了待定系数法求函数解析式；平行线的判定；函数值相等的点 关于对称轴对称。 【答案】 （1）①y＝ 1 5 x2- 16 5 ；②点 D的坐标为(-1，-3)或( 11 4 ， 27 16  )；（2）是定值，等 于 2 【解析】解：（1）①将 P(1，－3)、B(4，0)代入 y＝ax2＋c得 16 0 0 a c a c      ，解得 1 5 16 5 a c        ，抛物线的解析式为： 21 16 5 5 y x  ． ②如图： 由∠DPO＝∠POB得 DP∥OB，D与 P关于 y轴对称，P(1，－3)得 D(-1，-3)； 如图，D在 P右侧，即图中 D2，则∠D2PO＝∠POB，延长 PD2交 x轴于 Q，则 QO＝QP， 设 Q（q，0），则（q－1）2＋32＝q2，解得：q＝5，∴Q（5，0），则直线 PD2为 3 15 4 4 y x  ， 再联立 2 3 15 4 4 1 16 5 5 y x y x         得：x＝1或 11 4 ，∴ D2（ 11 27, 4 16  ） ∴点 D的坐标为(-1，-3)或（ 11 27, 4 16  ） （2）设 B（b，0），则 A（-b，0）有 ab2＋c＝0，∴b2＝ c a  ，过点 P（x0，y0）作 PH⊥AB， 有 2 0y ax c  ，易证：△PAH∽△EAO，则 OE PH OA HA  即 0 0 yOE b x b    ，∴ 0 0 by OE x b    ， 同理得 OF PH OB BH  ∴ 0 0 yOF b b x    ，∴ 0 0 by OF b x    ，则 OE＋OF＝ 0 0 0 1 1( )by b x b x      ∴ 2 0 0 2 2 00 2 ( )2 2 c yb y aOE OF c y ccb x a a             ，又 OC＝－c,∴ 2 2OE OF c OC c      . ∴ OC OFOE  是定值，等于 2．