2016年南宁市中考数学试题解析版

2016 年广西南宁市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．﹣2 的相反数是（ ） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 2．把一个正六棱柱如图 1 摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是（ ） A． B． C． D． 3．据《南国早报》报道：2016 年广西高考报名人数约为 332000 人，创历史新高，其中数据 332000 用科 学记数法表示为（ ） A．0.332×106B．3.32×105C．3.32×104D．33.2×104 4．已知正比例函数 y=3x 的图象经过点（1，m），则 m 的值为（ ） A． B．3 C．﹣ D．﹣3 5．某校规定学生的学期数学成绩满分为 100 分，其中研究性学习成绩占 40%，期末卷面成绩占 60%，小 明的两项成绩（百分制）依次是 80 分，90 分，则小明这学期的数学成绩是（ ） A．80 分 B．82 分 C．84 分 D．86 分 6．如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度 BC=10 米，∠B=36°，则中柱 AD（D 为底边中点） 的长是（ ） A．5sin36°米 B．5cos36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米 7．下列运算正确的是（ ） A．a2﹣a=a B．ax+ay=axy C．m2•m4=m6D．（y3）2=y5 8．下列各曲线中表示 y 是 x 的函数的是（ ） A． B． C． D． 9．如图，点 A，B，C，P 在⊙O 上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为 D，E，∠DCE=40°，则∠P 的度数 为（ ） A．140° B．70° C．60° D．40° 10．超市店庆促销，某种书包原价每个 x 元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减 10 元，经两次降 价后售价为 90 元，则得到方程（ ） A．0.8x﹣10=90 B．0.08x﹣10=90 C．90﹣0.8x=10 D．x﹣0.8x﹣10=90 11．有 3 个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为 S1，S2，则 S1：S2 等于（ ） A．1： B．1：2 C．2：3 D．4：9 12．二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数 y= x 的图象如图所示，则方程 ax2+（b﹣ ）x+c=0（a≠0） 的两根之和（ ） A．大于 0 B．等于 0 C．小于 0 D．不能确定 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13．若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是 ． 14．如图，平行线 AB，CD 被直线 AE 所截，∠1=50°，则∠A= ． 15．分解因式：a2﹣9= ． 16．如图，在 4×4 正方形网格中，有 3 个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正方形（2016• 南宁）如图所示，反比例函数 y= （k≠0，x＞0）的图象经过矩形 OABC 的对角线 AC 的中点 D．若矩形 OABC 的面积为 8，则 k 的值为 ． 18．观察下列等式： 在上述数字宝塔中，从上往下数，2016 在第 层． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分） 19．计算：|﹣2|+4cos30°﹣（ ）﹣3+ ． 20．解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是 A（2，2），B（4，0），C（4，﹣ 4） （1）请画出△ABC 向左平移 6 个单位长度后得到的△A1B1C1； （2）以点 O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的 ，得到△A2B2C2，请在 y 轴右侧画出△A2B2C2，并求 出∠A2C2B2 的正弦值． 22．在图“书香八桂，阅读圆梦”读数活动中，某中学设置了书法、国学、诵读、演讲、征文四个比赛项目 （2016•南宁）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BD 是角平分线，点 O 在 AB 上，以点 O 为圆心，OB 为 半径的圆经过点 D，交 BC 于点 E． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若 OB=10，CD=8，求 BE 的长． 24．在南宁市地铁 1 号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要 150 天，甲队单独施工 30 天后增 加乙队，两队又共同工作了 15 天，共完成总工程的 ． （1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是 ，甲队的工作效率 是乙队的 m 倍（1≤m≤2），若两队合作 40 天完成剩余的工程，请写出 a 关于 m 的函数关系式，并求出乙 队的最大工作效率是原来的几倍？ 25．已知四边形 ABCD 是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF 的两边分别与射线 CB，DC 相交于点 E，F， 且∠EAF=60°． （1）如图 1，当点 E 是线段 CB 的中点时，直接写出线段 AE，EF，AF 之间的数量关系； （2）如图 2，当点 E 是线段 CB 上任意一点时（点 E 不与 B、C 重合），求证：BE=CF； （3）如图 3，当点 E 在线段 CB 的延长线上，且∠EAB=15°时，求点 F 到 BC 的距离． 26．如图，已知抛物线经过原点 O，顶点为 A（1，1），且与直线 y=x﹣2 交于 B，C 两点． （1）求抛物线的解析式及点 C 的坐标； （2）求证：△ABC 是直角三角形； （3）若点 N 为 x 轴上的一个动点，过点 N 作 MN⊥x 轴与抛物线交于点 M，则是否存在以 O，M，N 为 顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 2016 年广西南宁市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．﹣2 的相反数是（ ） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 【考点】相反数． 【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答． 【解答】解：﹣2 的相反数是 2． 故选 C． 【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 2．把一个正六棱柱如图 1 摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是（ ） A． B． C． D． 【考点】平行投影． 【分析】根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解． 【解答】解：把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是正六边形． 故选 A． 【点评】本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照 物体的外形即光线情况而定． 3．据《南国早报》报道：2016 年广西高考报名人数约为 332000 人，创历史新高，其中数据 332000 用科 学记数法表示为（ ） A．0.332×106B．3.32×105C．3.32×104D．33.2×104 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数 变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数； 当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将 332000 用科学记数法表示为：3.32×105． 故选：B． 【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 4．已知正比例函数 y=3x 的图象经过点（1，m），则 m 的值为（ ） A． B．3 C．﹣ D．﹣3 【考点】一次函数图象上点的坐标特征． 【分析】本题较为简单，把坐标代入解析式即可求出 m 的值． 【解答】解：把点（1，m）代入 y=3x，可得：m=3， 故选 B 【点评】此题考查一次函数的问题，利用待定系数法直接代入求出未知系数 m，比较简单． 5．某校规定学生的学期数学成绩满分为 100 分，其中研究性学习成绩占 40%，期末卷面成绩占 60%，小 明的两项成绩（百分制）依次是 80 分，90 分，则小明这学期的数学成绩是（ ） A．80 分 B．82 分 C．84 分 D．86 分 【考点】加权平均数． 【分析】利用加权平均数的公式直接计算即可得出答案． 【解答】解： 由加权平均数的公式可知 = = =86， 故选 D． 【点评】本题主要考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的公式 = 是解题的 关键． 6．如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度 BC=10 米，∠B=36°，则中柱 AD（D 为底边中点） 的长是（ ） A．5sin36°米 B．5cos36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米 【考点】解直角三角形的应用． 【分析】根据等腰三角形的性质得到 DC=BD=5 米，在 Rt△ABD 中，利用∠B 的正切进行计算即可得到 AD 的长度． 【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10 米， ∴DC=BD=5 米， 在 Rt△ADC 中，∠B=36°， ∴tan36°= ，即 AD=BD•tan36°=5tan36°（米）． 故选：C． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型， 把实际问题转化为数学问题． 7．下列运算正确的是（ ） A．a2﹣a=a B．ax+ay=axy C．m2•m4=m6D．（y3）2=y5 【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法． 【分析】结合选项分别进行幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法等运算，然后选择正确答 案． 【解答】解：A、a2 和 a 不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、ax 和 ay 不是同类项，不能合并，故本选项错误； C、m2•m4=m6，计算正确，故本选项正确； D、（y3）2=y6≠y5，故本选项错误． 故选 C． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法的知识，解答本题的关键在于掌 握各知识点的运算法则． 8．下列各曲线中表示 y 是 x 的函数的是（ ） A． B． C． D． 【考点】函数的概念． 【分析】根据函数的意义求解即可求出答案． 【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量 x 的任何值，y 都有唯一的值与之相对应，故 D 正确． 故选 D． 【点评】主要考查了函数的定义．注意函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直 x 轴的直线在 左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点． 9．如图，点 A，B，C，P 在⊙O 上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为 D，E，∠DCE=40°，则∠P 的度数 为（ ） A．140° B．70° C．60° D．40° 【考点】圆周角定理． 【分析】先根据四边形内角和定理求出∠DOE 的度数，再由圆周角定理即可得出结论． 【解答】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为 D，E，∠DCE=40°， ∴∠DOE=180°﹣40°=140°， ∴∠P= ∠DOE=70°． 故选 B． 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧 所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 10．超市店庆促销，某种书包原价每个 x 元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减 10 元，经两次降 价后售价为 90 元，则得到方程（ ） A．0.8x﹣10=90 B．0.08x﹣10=90 C．90﹣0.8x=10 D．x﹣0.8x﹣10=90 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程． 【分析】设某种书包原价每个 x 元，根据题意列出方程解答即可． 【解答】解：设某种书包原价每个 x 元，可得：0.8x﹣10=90， 故选 A 【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键是明确题意，能列出每次降价后的售价． 11．有 3 个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为 S1，S2，则 S1：S2 等于（ ） A．1： B．1：2 C．2：3 D．4：9 【考点】正方形的性质． 【分析】设小正方形的边长为 x，再根据相似的性质求出 S1、S2 与正方形面积的关系，然后进行计算即可 得出答案． 【解答】解：设小正方形的边长为 x，根据图形可得： ∵ = ， ∴ = ， ∴ = ， ∴S1= S 正方形 ABCD， ∴S1= x2， ∵ = ， ∴ = ， ∴S2= S 正方形 ABCD， ∴S2= x2， ∴S1：S2= x2： x2=4：9； 故选 D． 【点评】此题考查了正方形的性质，用到的知识点是正方形的性质、相似三角形的性质、正方形的面积公 式，关键是根据题意求出 S1、S2 与正方形面积的关系． 12．二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数 y= x 的图象如图所示，则方程 ax2+（b﹣ ）x+c=0（a≠0） 的两根之和（ ） A．大于 0 B．等于 0 C．小于 0 D．不能确定 【考点】抛物线与 x 轴的交点． 【分析】设 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为 x1，x2，由二次函数的图象可知 x1+x2＞0，a＞0，设方程 ax2+（b ﹣ ）x+c=0（a≠0）的两根为 a，b 再根据根与系数的关系即可得出结论． 【解答】解：设 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为 x1，x2， ∵由二次函数的图象可知 x1+x2＞0，a＞0， ∴﹣ ＞0． 设方程 ax2+（b﹣ ）x+c=0（a≠0）的两根为 a，b，则 a+b=﹣ =﹣ + ， ∵a＞0， ∴ ＞0， ∴a+b＞0． 故选 C． 【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点，熟知抛物线与 x 轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此 题的关键． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13．若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是 x≥1 ． 【考点】二次根式有意义的条件． 【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于 0，列出不等式即可求出 x 的取值范围． 【解答】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0， ∴x≥1． 故答案为：x≥1． 【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可． 14．如图，平行线 AB，CD 被直线 AE 所截，∠1=50°，则∠A= 50° ． 【考点】平行线的性质． 【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠A． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠A=∠1， ∵∠1=50°， ∴∠A=50°， 故答案为 50°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等． 15．分解因式：a2﹣9= （a+3）（a﹣3） ． 【考点】因式分解-运用公式法． 【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案． 【解答】解：a2﹣9=（a+3）（a﹣3）． 故答案为：（a+3）（a﹣3）． 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键． 16．如图，在 4×4 正方形网格中，有 3 个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正方形（2016• 南宁）如图所示，反比例函数 y= （k≠0，x＞0）的图象经过矩形 OABC 的对角线 AC 的中点 D．若矩形 OABC 的面积为 8，则 k 的值为 2 ． 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义． 【分析】过 D 作 DE⊥OA 于 E，设 D（m， ），于是得到 OA=2m，OC= ，根据矩形的面积列方程即 可得到结论． 【解答】解：过 D 作 DE⊥OA 于 E， 设 D（m， ）， ∴OE=m．DE= ， ∵点 D 是矩形 OABC 的对角线 AC 的中点， ∴OA=2m，OC= ， ∵矩形 OABC 的面积为 8， ∴OA•OC=2m• =8， ∴k=2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，矩形的性质，根据矩形的面积列出方程是解题的关键． 18．观察下列等式： 在上述数字宝塔中，从上往下数，2016 在第 44 层． 【考点】规律型：数字的变化类． 【分析】先按图示规律计算出每一层的第一个数和最后一个数；发现第一个数分别是每一层层数的平方， 那么只要知道 2016 介于哪两个数的平方即可，通过计算可知：442＜2016＜452，则 2016 在第 44 层． 【解答】解：第一层：第一个数为 12=1，最后一个数为 22﹣1=3， 第二层：第一个数为 22=4，最后一个数为 23﹣1=8， 第三层：第一个数为 32=9，最后一个数为 24﹣1=15， ∵442=1936，452=2025， 又∵1936＜2016＜2025， ∴在上述数字宝塔中，从上往下数，2016 在第 44 层， 故答案为：44 【点评】本题考查了数学变化类的规律题，这类题的解题思路是：①从第一个数起，认真观察、仔细思考， 能不能用平方或奇偶或加、减、乘、除等规律来表示；②利用方程来解决问题，先设一个未知数，找到符 合条件的方程即可；本题以每一行的第一个数为突破口，找出其规律，得出结论． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分） 19．计算：|﹣2|+4cos30°﹣（ ）﹣3+ ． 【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质化简， 进而求出答案． 【解答】解：原式=2+4× ﹣8+2 =4 ﹣6． 【点评】此题主要考查了实数运算，正确利用负整数指数幂的性质化简是解题关键． 20．解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来． 【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集． 【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 【解答】解： ， 解①得 x≤1， 解②得 x＞﹣3， ， 不等式组的解集是：﹣3＜x≤1． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集， 再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是 A（2，2），B（4，0），C（4，﹣ 4） （1）请画出△ABC 向左平移 6 个单位长度后得到的△A1B1C1； （2）以点 O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的 ，得到△A2B2C2，请在 y 轴右侧画出△A2B2C2，并求 出∠A2C2B2 的正弦值． 【考点】作图-位似变换；作图-平移变换． 【分析】（1）将 A、B、C 三点分别向左平移 6 个单位即可得到的△A1B1C1； （2）连接 OA、OC，分别取 OA、OB、OC 的中点即可画出△A2B2C2，求出直线 AC 与 OB 的交点，求出 ∠ACB 的正弦值即可解决问题． 【解答】解：（1）请画出△ABC 向左平移 6 个单位长度后得到的△A1B1C1，如图 1 所示， （2）以点 O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的 ，得到△A2B2C2，请在 y 轴右侧画出△A2B2C2，如图 2 所示， ∵A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0）， ∴直线 AC 解析式为 y=﹣3x+8，与 x 轴交于点 D（ ，0）， ∵∠CBD=90°， ∴CD= = ， ∴sin∠DCB= = = ． ∵∠A2C2B2=∠ACB， ∴sin∠A2C2B2=sin∠DCB= ． 【点评】本题考查位似变换、平移变换等知识，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解位似变换、平移 变换的概念，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型． 22．在图“书香八桂，阅读圆梦”读数活动中，某中学设置了书法、国学、诵读、演讲、征文四个比赛项目 （2016•南宁）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BD 是角平分线，点 O 在 AB 上，以点 O 为圆心，OB 为 半径的圆经过点 D，交 BC 于点 E． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若 OB=10，CD=8，求 BE 的长． 【考点】切线的判定． 【专题】计算题；与圆有关的位置关系． 【分析】（1）连接 OD，由 BD 为角平分线得到一对角相等，根据 OB=OD，等边对等角得到一对角相等， 等量代换得到一对内错角相等，进而确定出 OD 与 BC 平行，利用两直线平行同位角相等得到∠ODA 为直 径，即可得证； （2）由 OD 与 BC 平行得到三角形 OAD 与三角形 BAC 相似，由相似得比例求出 OA 的长，进而确定出 AB 的长，连接 EF，过 O 作 OG 垂直于 BC，利用勾股定理求出 BG 的长，由 BG+GC 求出 BC 的长，再由 三角形 BEF 与三角形 BAC 相似，由相似得比例求出 BE 的长即可． 【解答】（1）证明：连接 OD， ∵BD 为∠ABC 平分线， ∴∠1=∠2， ∵OB=OD， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴OD∥BC， ∵∠C=90°， ∴∠ODA=90°， 则 AC 为圆 O 的切线； （2）解：过 O 作 OG⊥BC， ∴四边形 ODCG 为矩形， ∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8， 在 Rt△OBG 中，利用勾股定理得：BG=6， ∴BC=BG+GC=6+10=16， ∵OD∥BC， ∴△AOD∽△ABC， ∴ = ，即 = ， 解得：OA= ， ∴AB= +10= ， 连接 EF， ∵BF 为圆的直径， ∴∠BEF=90°， ∴∠BEF=∠C=90°， ∴EF∥AC， ∴ = ，即 = ， 解得：BE=12． 【点评】此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，以及等腰三角形的性 质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键． 24．在南宁市地铁 1 号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要 150 天，甲队单独施工 30 天后增 加乙队，两队又共同工作了 15 天，共完成总工程的 ． （1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是 ，甲队的工作效率 是乙队的 m 倍（1≤m≤2），若两队合作 40 天完成剩余的工程，请写出 a 关于 m 的函数关系式，并求出乙 队的最大工作效率是原来的几倍？ 【考点】一次函数的应用；分式方程的应用． 【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需要 x 天，根据题意得方程即可得到结论； （2）根据题意得（ + ）×40= ，即可得到 a=60m+60，根据一次函数的性质得到 = ，即可得到结论． 【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要 x 天， 根据题意得 ×（30+15）+ ×15= ， 解得：x=450， 经检验 x=450 是方程的根， 答：乙队单独完成这项工程需要 450 天； （2）根据题意得（ + ）×40= ， ∴a=60m+60， ∵60＞0， ∴a 随 m 的增大增大， ∴当 m=1 时， 最大， ∴ = ， ∴ ÷ =7.5 倍， 答：乙队的最大工作效率是原来的 7.5 倍 【点评】此题考查了一次函数的实际应用．分式方程的应用，解题的关键是理解题意，能根据题意求得函 数解析式，注意数形结合与方程思想的应用． 25．已知四边形 ABCD 是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF 的两边分别与射线 CB，DC 相交于点 E，F， 且∠EAF=60°． （1）如图 1，当点 E 是线段 CB 的中点时，直接写出线段 AE，EF，AF 之间的数量关系； （2）如图 2，当点 E 是线段 CB 上任意一点时（点 E 不与 B、C 重合），求证：BE=CF； （3）如图 3，当点 E 在线段 CB 的延长线上，且∠EAB=15°时，求点 F 到 BC 的距离． 【考点】四边形综合题． 【分析】（1）结论 AE=EF=AF．只要证明 AE=AF 即可证明△AEF 是等边三角形． （2）欲证明 BE=CF，只要证明△BAE≌△CAF 即可． （3）过点 A 作 AG⊥BC 于点 G，过点 F 作 FH⊥EC 于点 H，根据 FH=CF•cos30°，因为 CF=BE，只要求 出 BE 即可解决问题． 【解答】（1）解：结论 AE=EF=AF． 理由：如图 1 中，连接 AC， ∵四边形 ABCD 是菱形，∠B=60°， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°， ∴△ABC，△ADC 是等边三角形， ∴∠BAC=∠DAC=60° ∵BE=EC， ∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC， ∵∠EAF=60°， ∴∠CAF=∠DAF=30°， ∴AF⊥CD， ∴AE=AF（菱形的高相等）， ∴△AEF 是等边三角形， ∴AE=EF=AF． （2）证明：如图 2 中，∵∠BAC=∠EAF=60°， ∴∠BAE=∠CAE， 在△BAE 和△CAF 中， ， ∴△BAE≌△CAF， ∴BE=CF． （3）解：过点 A 作 AG⊥BC 于点 G，过点 F 作 FH⊥EC 于点 H， ∵∠EAB=15°，∠ABC=60°， ∴∠AEB=45°， 在 RT△AGB 中，∵∠ABC=60°AB=4， ∴BG=2，AG=2 ， 在 RT△AEG 中，∵∠AEG=∠EAG=45°， ∴AG=GE=2 ， ∴EB=EG﹣BG=2 ﹣2， ∵△AEB≌△AFC， ∴AE=AF，EB=CF=2 ﹣2，∠AEB=∠AFC=45°， ∵∠EAF=60°，AE=AF， ∴△AEF 是等边三角形， ∴∠AEF=∠AFE=60° ∵∠AEB=45°，∠AEF=60°， ∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°， 在 RT△EFH 中，∠CEF=15°， ∴∠EFH=75°， ∵∠AFE=60°， ∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°， ∵∠AFC=45°，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°， 在 RT△CHF 中，∵∠CFH=30°，CF=2 ﹣2， ∴FH=CF•cos30°=（2 ﹣2）• =3﹣ ． ∴点 F 到 BC 的距离为 3﹣ ． 【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解 题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题． 26．如图，已知抛物线经过原点 O，顶点为 A（1，1），且与直线 y=x﹣2 交于 B，C 两点． （1）求抛物线的解析式及点 C 的坐标； （2）求证：△ABC 是直角三角形； （3）若点 N 为 x 轴上的一个动点，过点 N 作 MN⊥x 轴与抛物线交于点 M，则是否存在以 O，M，N 为 顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得 C 点坐标； （2）分别过 A、C 两点作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 D、E 两点，结合 A、B、C 三点的坐标可求得 ∠ABO=∠CBO=45°，可证得结论； （3）设出 N 点坐标，可表示出 M 点坐标，从而可表示出 MN、ON 的长度，当△MON 和△ABC 相似时， 利用三角形相似的性质可得 = 或 = ，可求得 N 点的坐标． 【解答】解： （1）∵顶点坐标为（1，1）， ∴设抛物线解析式为 y=a（x﹣1）2+1， 又抛物线过原点， ∴0=a（0﹣1）2+1，解得 a=﹣1， ∴抛物线解析式为 y=﹣（x﹣1）2+1， 即 y=﹣x2+2x， 联立抛物线和直线解析式可得 ，解得 或 ， ∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）； （2）如图，分别过 A、C 两点作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 D、E 两点， 则 AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3， ∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°， ∴△ABC 是直角三角形； （3）假设存在满足条件的点 N，设 N（x，0），则 M（x，﹣x2+2x）， ∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|， 由（2）在 Rt△ABD 和 Rt△CEB 中，可分别求得 AB= ，BC=3 ， ∵MN⊥x 轴于点 N ∴∠ABC=∠MNO=90°， ∴当△ABC 和△MNO 相似时有 = 或 = ， ①当 = 时，则有 = ，即|x||﹣x+2|= |x|， ∵当 x=0 时 M、O、N 不能构成三角形， ∴x≠0， ∴|﹣x+2|= ，即﹣x+2=± ，解得 x= 或 x= ， 此时 N 点坐标为（ ，0）或（ ，0）； ②当 = 时，则有 = ，即|x||﹣x+2|=3|x|， ∴|﹣x+2|=3，即﹣x+2=±3，解得 x=5 或 x=﹣1， 此时 N 点坐标为（﹣1，0）或（5，0）， 综上可知存在满足条件的 N 点，其坐标为（ ，0）或（ ，0）或（﹣1，0）或（5，0）． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、 勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出 N、M 的坐标， 利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应．本题考查知识点较 多，综合性较强，难度适中．