2016年眉山市中考数学试题解析版

2016 年四川省眉山市中考数学试卷 一、选择题（每题 3 分，共 36 分） 1．﹣5 的绝对值是（ ） A．5 B．﹣5 C．﹣ D． 2．我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为 67500 吨，用科学记数法表示这个数字是（ ） A．6.75×103 吨 B．67.5×103 吨 C．6.75×104 吨 D．6.75×105 吨 3．下列等式一定成立的是（ ） A．a2×a5=a10B． C．（﹣a3）4=a12D． 4．下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 5．已知点 M（1﹣2m，m﹣1）在第四象限，则 m 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 6．下列命题为真命题的是（ ）[来源:Z#xx#k.Com] A．有两边及一角对应相等的两个三角形全等 B．方程 x2﹣x+2=0 有两个不相等的实数根 C．面积之比为 1：4 的两个相似三角形的周长之比是 1：4 D．顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 7．随着智能手机的普及，抢微信红包成为了春节期间人们最喜欢的活动之一．某中学九年级五班班长对全 班 50 名学生在春节期间所抢的红包金额进行统计，并绘制成了统计图．根据如图提供的信息，红包金额的 众数和中位数分别是（ ） A．20、20 B．30、20 C．30、30 D．20、30 8．如图，A、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径．若∠D=32°，则∠OAC=（ ） A．64° B．58° C．72° D．55° 9．已知 x2﹣3x﹣4=0，则代数式 的值是（ ） A．3 B．2 C． D． 10．把边长为 3 的正方形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 45°得到正方形 AB′C′D′，边 BC 与 D′C′交于点 O，则四 边形 ABOD′的周长是（ ） A． B．6 C． D． 11．若抛物线 y=x2﹣2x+3 不动，将平面直角坐标系 xOy 先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向 上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（ ） A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+4 12．如图，矩形 ABCD 中，O 为 AC 中点，过点 O 的直线分别与 AB、CD 交于点 E、F，连结 BF 交 AC 于 点 M，连结 DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB 垂直平分 OC；②△EOB≌△CMB； ③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 二、填空题（每题 3 分，共 24 分） 13．分解因式：m2﹣9= ． 14．受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高．据调查，2016 年 1 月该市宏鑫房 地产公司的住房销售量为 100 套，3 月份的住房销售量为 169 套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率 为x，根据题意所列方程为 ． 15．若函数 y=（m﹣1）x|m|是正比例函数，则该函数的图象经过第 象限． 16．设 m、n 是一元二次方程 x2+2x﹣7=0 的两个根，则 m2+3m+n= ． 17．一个圆锥的侧面展开图是半径为 8cm、圆心角为 120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为 ． 18．如图，已知点 A 是双曲线 在第三象限分支上的一个动点，连结 AO 并延长交另一分支于点 B， 以 AB 为边作等边三角形 ABC，点 C 在第四象限内，且随着点 A 的运动，点 C 的位置也在不断变化，但点 C 始终在双曲线 上运动，则 k 的值是 ． 三、解答题（每题 6 分，共 12 分） 19．计算： ． 20．先化简，再求值： ，其中 a=3．[来源:学,科,网] 四、解答题 21．已知：如图△ABC 三个顶点的坐标分别为 A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中， 每个小正方形的边长是 1 个单位长度． （1）画出△ABC 向上平移 6 个单位得到的△A1B1C1； （2）以点 C 为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2 与△ABC 位似，且△A2B2C2 与△ABC 的 位似比为 2：1，并直接写出点 A2 的坐标． 22．如图，埃航 MS804 客机失事后，国家主席亲自发电进行慰问，埃及政府出动了多艘舰船和飞机进行搜 救，其中一艘潜艇在海面下 500 米的 A 点处测得俯角为 45°的前下方海底有黑匣子信号发出，继续沿原方 向直线航行 2000 米后到达 B 点，在 B 处测得俯角为 60°的前下方海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子 C 点距离海面的深度（结果保留根号）． 23．九年级三班学生苏琪为帮助同桌万宇巩固“平面直角坐标系四个象限内及坐标轴上的点的坐标特点”这一 基础知识，在三张完全相同且不透明的卡片正面分别写上了﹣3，0，2 三个数字，背面向上洗匀后随机抽取 一张，将卡片上的数字记为 a，再从剩下的两张中随机取出一张，将卡片上的数字记为 b，然后叫万宇在平 面直角坐标系中找出点 M（a，b）的位置． （1）请你用树状图帮万宇同学进行分析，并写出点 M 所有可能的坐标； （2）求点 M 在第二象限的概率； （3）张老师在万宇同学所画的平面直角坐标系中，画了一个半径为 3 的⊙O，过点 M 能作多少条⊙O 的切 线？请直接写出答案． 24．“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自 行车相继投放市场．顺风车行经营的 A 型车 2015 年 6 月份销售总额为 3.2 万元，今年经过改造升级后 A 型 车每辆销售价比去年增加 400 元，若今年 6 月份与去年 6 月份卖出的 A 型车数量相同，则今年 6 月份 A 型 车销售总额将比去年 6 月份销售总额增加 25%． （1）求今年 6 月份 A 型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答）； （2）该车行计划 7 月份新进一批 A 型车和 B 型车共 50 辆，且 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍， 应如何进货才能使这批车获利最多？ A、B 两种型号车的进货和销售价格如表： A 型车 B 型车 进货价格（元/辆） 1100 1400 销售价格（元/辆） 今年的销售价格 2400 25．如图，△ABC 和△BEC 均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠BEC=90°，AC=4 ，点 P 为线段 BE 延长 线上一点，连接 CP 以 CP 为直角边向下作等腰直角△CPD，线段 BE 与 CD 相交于点 F （1）求证： ； （2）连接 BD，请你判断 AC 与 BD 有什么位置关系？并说明理由； （3）设 PE=x，△PBD 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系式． 26．已知如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A、B、C 分别为坐标轴上上的三个点，且 OA=1，OB=3， OC=4， （1）求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； （2）在平面直角坐标系 xOy 中是否存在一点 P，使得以以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为菱形？若存在， 请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；新*课*标*第*一*网 （3）若点 M 为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点 M 的坐标，并直 接写出|PM﹣AM|的最大值． 2016 年四川省眉山市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每题 3 分，共 36 分） 1．﹣5 的绝对值是（ ） A．5 B．﹣5 C．﹣ D． 【分析】﹣5 的绝对值就是数轴上表示﹣5 的点与原点的距离． 【解答】解：﹣5 的绝对值是 5， 故选：A． 【点评】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的定义． 2．我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为 67500 吨，用科学记数法表示这个数字是（ ） A．6.75×103 吨 B．67.5×103 吨 C．6.75×104 吨 D．6.75×105 吨 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值是易错点，由于 67500 有 5 位，所以可以确定 n=5﹣1=4． 【解答】解：67 500=6.75×104． 故选 C． 【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 a 与 n 值是关键． 3．下列等式一定成立的是（ ） A．a2×a5=a10B． C．（﹣a3）4=a12D． 【分析】依次根据幂的乘法，算术平方根的运算，幂的乘方，二次根式的化简判断即可． 【解答】解：A、a2×a5=a7≠a10，所以 A 错误， B、 不能化简，所以 B 错误． C、（﹣a3）4=a12，所以 C 正确， D、 =|a|，所以 D 错误， 故选 C 【点评】此题是二次根式的加减法，主要考查了幂的乘法，算术平方根的运算，幂的乘方，二次根式的化 简，熟练运用这些知识点是解本题的关键． 4．下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【分析】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可． 【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形； B、是轴对称图形，不是中心对称图形； C、是轴对称图形，不是中心对称图形； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形． 故选 A． 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折 叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合． 5．已知点 M（1﹣2m，m﹣1）在第四象限，则 m 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案． 【解答】解：由点 M（1﹣2m，m﹣1）在第四象限，得 1﹣2m＞0，m﹣1＜0． 解得 m＜ ， 故选 B． 【点评】本题考查了在数轴上表示不等式 的解集，点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键， 四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+， ﹣）． 6．下列命题为真命题的是（ ） A．有两边及一角对应相等的两个三角形全等 B．方程 x2﹣x+2=0 有两个不相等的实数根 C．面积之比为 1：4 的两个相似三角形的周长之比是 1：4 D．顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 【分析】根据各个选项中的命题，假命题举出反例或者说明错在哪，真命题说明理由即可解答本题． 【解答】解：有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，选项 A 中的一角不一定是对应相等两边的夹角， 故选项 A 错误； ∵x2﹣x+2=0， ∴△=（﹣1）2﹣4×1×2=1﹣8=﹣7＜0， ∴方程 x2﹣x+2=0 没有实数根， 故选项 B 错误； 面积之比为 1：4 的两个相似三角形的周长之比是 1：2，故选项 C 错误； 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形，这个四边形的对边都等于原来四边形与这组对边相对的对角 线的一半，并且和这条对角线平行，故得到的中点四边形是平行四边形，故选项 D 正确； 故选 D． 【点评】本题考查命题和定理，解题的关键是明确什么命题是真命题、什么命题的假命题，对真假命题可 以说明理由，真命题说明根据，假命题举出反例或通过论证说明． 7．随着智能手机的普及，抢微信红包成为了春节期间人们最喜欢的活动之一．某中学九年级五班班长对全 班 50 名学生在春节期间所抢的红包金额进行统计，并绘制成了统计图．根据如图提供的信息，红包金额的 众数和中位数分别是（ ） A．20、20 B．30、20 C．30、30 D．20、30 【分析】根据众数和中位数的定义，出现次数最多的那个数就是众数，把一组数据按照大小顺序排列，中 间那个数或中间两个数的平均数叫中位数． 【解答】解：捐款 30 元的人数为 20 人，最多，则众数为 30， 中间两个数分别为 30 和 30，则中位数是 30， 故选：C． 【点评】本题考查了条形统计图、众数和中位数，这是基础知识要熟练掌握． 8．如图，A、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径．若∠D=32°，则∠OAC=（ ） A．64° B．58° C．72° D．55° 【分析】先根据圆周角定理求出∠B 及∠BAC 的度数，再由等腰三角形的性质求出∠OAB 的度数，进而可 得出结论． 【解答】解：∵BC 是直径，∠D=32°， ∴∠B=∠D=32°，∠BAC=90°． ∵OA=OB， ∴∠BAO=∠B=32°， ∴∠OAC=∠BAC﹣∠BAO=90°﹣32°=58°． 故选 B． 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧 所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 9．已知 x2﹣3x﹣4=0，则代数式 的值是（ ） A．3 B．2 C． D． 【分析】已知等式变形求出 x﹣ =3，原式变形后代入计算即可求出值． 【解答】解：已知等式整理得：x﹣ =3， 则原式= = = ， 故选 D 【点评】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10．把边长为 3 的正方形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 45°得到正方形 AB′C′D′，边 BC 与 D′C′交于点 O，则四 边形 ABOD′的周长是（ ） A． B．6 C． D． 【分析】由边长为 3 的正方形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 45°得到正方形 AB′C′D′，利用勾股定理的知识求出 BC′的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求 BO，OD′，从而可求四边形 ABOD′的周长． 【解答】解：连接 BC′， ∵旋转角∠BAB′=45°，∠BAD′=45°， ∴B 在对角线 AC′上， ∵B′C′=AB′=3， 在 Rt△AB′C′中，AC′= =3 ， ∴B′C=3 ﹣3， 在等腰 Rt△OBC′中，OB=BC′=3 ﹣3， 在直角三角形 OBC′中，OC= （3 ﹣3）=6﹣3 ， ∴OD′=3﹣OC′=3 ﹣3， ∴四边形 ABOD′的周长是：2AD′+OB+OD′=6+3 ﹣3+3 ﹣3=6 ． 故选：A． 【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意连接 BC′ 构造等腰 Rt△OBC′是解题的关键，注意旋转中的对应关系． 11．若抛物线 y=x2﹣2x+3 不动，将平面直角坐标系 xOy 先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向 上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（ ） A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+4 【分析】思想判定出抛物线的平移规律，根据左加右减，上加下减的规律即可解决问题． 【解答】解：将平面直角坐标系 xOy 先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位， 这个相当于把抛物线向左平移有关单位，再向下平移 3 个单位， ∵y=（x﹣1）2+2， ∴原抛物线图象的解析式应变为 y=（x﹣1+1）2+2﹣3=x2﹣1， 故答案为 C． 【点评】本题考查二次函数图象的平移，解题的关键是理解坐标系的平移和抛物线的平移是反方向的，记 住左加右减，上加下减的规律，属于中考常考题型． 12．如图，矩形 ABCD 中，O 为 AC 中点，过点 O 的直线分别与 AB、CD 交于点 E、F，连结 BF 交 AC 于 点 M，连结 DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB 垂直平分 OC；②△EOB≌△CMB； ③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论； ②证△OMB≌△OEB 得△EOB≌△CMB； ③先证△BEF 是等边三角形得出 BF=EF，再证▱ DEBF 得出 DE=BF，所以得 DE=EF； ④由②可知△BCM≌△BEO，则面积相等，△AOE 和△BEO 属于等高的两个三角形，其面积比就等于两 底的比，即 S△AOE：S△BOE=AE：BE，由直角三角形 30°角所对的直角边是斜边的一半得出 BE=2OE=2A E， 得出结论 S△AOE：S△BOE=AE：BE=1：2． 【解答】解：①∵矩形 ABCD 中，O 为 AC 中点， ∴OB=OC， ∵∠COB=60°， ∴△OBC 是等边三角形， ∴OB=BC， ∵FO=FC， ∴FB 垂直平分 OC， 故①正确； ②∵FB 垂直平分 OC， ∴△CMB≌△OMB， ∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO， ∴△FOC≌△EOA， ∴FO=EO， 易得 OB⊥EF， ∴△OMB≌△OEB， ∴△EOB≌△CMB， 故②正确； ③由△OMB≌△OEB≌△CMB 得∠1=∠2=∠3=30°，BF=BE， ∴△BEF 是等边三角形， ∴BF=EF， ∵DF∥BE 且 DF=BE， ∴四边形 DEBF 是平行四边形， ∴DE=BF， ∴DE=EF， 故③正确； ④在直角△BOE 中∵∠3=30°， ∴BE=2OE， ∵∠OAE=∠AOE=30°， ∴AE=OE， ∴BE=2AE， ∴S△AOE：S△BCM=S△AOE：S△BOE=1：2， 故④错误； 所以其中正确结论的个数为 3 个； 故选 B 【点评】本题综合性比较强，既考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，又考查了全等三角形的性质和判 定，及线段垂直平分线的性质，内容虽多，但不复杂；看似一个选择题，其实相当于四个证明题，属于常 考题型． 二、填空题（每题 3 分，共 24 分） 13．分解因式：m 2﹣9= （m+3）（m﹣3） ． 【分析】通过观察发现式子可以写成平方差的形式，故用平方差公式分解，a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）． 【解答】解：m2﹣9 =m2﹣32 =（m+3）（m﹣3）． 故答案为：（m+3）（m﹣3）． 【点评】此题主要考查了平方差公式分解因式，掌握平方差公式是解题的关键． 14．受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高．据调查，2016 年 1 月该市宏鑫房 地产公司的住房销售量为 100 套，3 月份的住房销售量为 169 套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率 为 x，根据题意所列方程为 100（1+x）2=169 ． 【分析】根据年 1 月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为 100 套，3 月份的住房销售量为 169 套．设该公司 这两个月住房销售量的增长率为 x，可以列出相应的方程． 【解答】解：由题意可得， 100（1+x）2=169， 故答案为：100（1+x）2=169． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出形应的方程． 15．若函数 y=（m﹣1）x|m|是正比例函数，则该函数的图象经过第 二、四 象限． 【分析】根据正比例函数定义可得：|m|=1，且 m﹣1≠0，计算出 m 的值，然后可得解析式，再根据正比例 函数的性质可得答案． 【解答】解：由题意得：|m|=1，且 m﹣1≠0， 解得：m=﹣1， 函数解析式为 y=﹣2x， ∵k=﹣2＜0， ∴该函数的图象经过第二、四象限． 故答案为：二、四． 【点评】此题主要考查了正比例函数的定义和性质，关键是掌握形如 y=kx（k 是常数，k≠0）的函数叫做正 比例函数；正比例函数 y=kx（k 是常数，k≠0），当 k＞0 时，直线 y=kx 依次经过第三、一象限，从左向右 上升，y 随 x 的增大而增大；当 k＜0 时，直线 y=kx 依次经过第二、四象限，从左向右下降，y 随 x 的增大 而减小． 16．设 m、n 是一元二次方程 x2+2x﹣7=0 的两个根，则 m2+3m+n= 5 ． 【分析】根据根与系数的关系可知 m+n=﹣2，又知 m 是方程的根，所以可得 m2+2m﹣7=0，最后可将 m2+3m+n 变成 m2+2m+m+n，最终可得答案． 【解答】解：∵设 m、n 是一元二次方程 x2+2x﹣7=0 的两个根， ∴m+n=﹣2， ∵m 是原方程的根， ∴m2+2m﹣7=0，即 m2+2m=7， ∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7﹣2=5， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是把 m2+3m+n 转化为 m2+2m+m+n 的形式，结合根 与系数的关系以及一元二次方程的解即可解答． 17．一个圆锥的侧面展开图是半径为 8cm、圆心角为 120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为 cm ． 【分析】把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解． 【解答】解：设此圆锥的底面半径为 r， 根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得， 2πr= ， r= cm． 故答案为： cm． 【点评】主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧 长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 18．如图，已知点 A 是双曲线 在第三象限分支上的一个动点，连结 AO 并延长交另一分支于点 B， 以 AB 为边作等边三角形 ABC，点 C 在第四象限内，且随着点 A 的运动，点 C 的位置也在不断变化，但点 C 始终在双曲线 上运动，则 k 的值是 ﹣3 ． 【分析】根据反比例函数的性质得出 OA=OB，连接 OC，过点 A 作 AE⊥y 轴，垂足为 E，过点 C 作 CF⊥y 轴，垂足为 F，根据等边三角形的性质和解直角三角形求出 OC= OA，求出△OFC∽△AEO，相似比 ，求出面积比 ，求出△OFC 的面积，即可得出答案． 【解答】解：∵双曲线 的图象关于原点对称， ∴点 A 与点 B 关于原点对称， ∴OA=OB， 连接 OC，如图所示， ∵△ABC 是等边三角形，OA=OB， ∴OC⊥AB．∠BAC=60°， ∴tan∠OAC= = ， ∴OC= OA， 过点 A 作 AE⊥y 轴，垂足为 E，过点 C 作 CF⊥y 轴，垂足为 F， ∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA， ∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF， ∴△OFC∽△AEO，相似比 ， ∴面积比 ， ∵点 A 在第一象限，设点 A 坐标为（a，b）， ∵点 A 在双曲线 上，[来源:学|科|网 Z|X|X|K] ∴S△AEO= ab= ， ∴S△OFC= FC•OF= ， ∴设点 C 坐标为（x，y）， ∵点 C 在双曲线 上， ∴k=xy， ∵点 C 在第四象限， ∴FC=x，OF=﹣y． ∴FC•OF=x•（﹣y）=﹣xy=﹣ ， 故答案为：﹣3 ． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的 性质和判定的应用，能综合运用知识点进行 推理和计算是解此题的关键． 三、解答题（每题 6 分，共 12 分） 19．计算： ． 【分析】分别利用零指数幂的性质、特殊角的三角函数值和负整数指数幂的性质分别化简求出答案． 【解答】解：原式=1﹣3× +1﹣2 =1﹣ +1﹣2 =﹣ ． 【点评】此题主要考查了零指数幂的性质、特殊角的三角函数值和负整数指数幂的性质等知识，正确化简 各数是解题关键． 20．先化简，再求值： ，其中 a=3． 【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把 a 的值代入进行计算即可． 【解答】解：原式=[ ﹣ ] ÷ = •（a﹣2） =﹣ ． 当 a=3 时，原式=﹣4． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意把分式化为最简形式，再代入求值． 四、解答题 21．已知：如图△ABC 三个顶点的坐标分别为 A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中， 每个小正方形的边长是 1 个单位长度． （1）画出△ABC 向上平移 6 个单位得到的△A1B1C1； （2）以点 C 为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2 与△ABC 位似，且△A2B2C2 与△ABC 的 位似比为 2：1，并直接写出点 A2 的坐标． 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出． 【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求； （2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，A2 坐标（﹣2，﹣2）． 【点评】此题主要考查了位似变换和平移变换，根据题意正确得出对应点位置是解题关键． 22．如图，埃航 MS804 客机失事后，国家主席亲自发电进行慰问，埃及政府出动了多艘舰船和飞机进行搜 救，其中一艘潜艇在海面下 500 米的 A 点处测得俯角为 45°的前下方海底有黑匣子信号发出，继续沿原方向 直线航行 2000 米后到达 B 点，在 B 处测得俯角为 60°的前下方海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子 C 点 距离海面的深度（结果保留根号）． 【分析】过 C 作 CD⊥AB 于 D，交海面于点 E，设 BD=x，利用锐角三角函数的定义用 x 表示出 BD 及 CD 的长，由 CE=CD+DE 即可得出结论． 【解答】 解：过 C 作 CD⊥AB 于 D，交海面于点 E，设 BD=x， ∵∠CBD=60°， ∴tan∠CBD= = ∴CD= x． ∵AB=2000， ∴AD=x+2000， ∵∠CAD=45° ∴tan∠CAD= =1， ∴ x=x+2000， 解得 x=1000 +1000， ∴CD= （1000 +1000）=3000+1000 ， ∴CE=CD+DE=3000+1000 +500=3500+1000 ． 答：黑匣子 C 点距离海面的深度为 3500+1000 米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 23．九年级三班学生苏琪为帮助同桌万宇巩固“平面直角坐标系四个象限内及坐标轴上的点的坐标特点”这一 基础知识，在三张完全相同且不透明的卡片正面分别写上了﹣3，0，2 三个数字，背面向上洗匀后随机抽取 一张，将卡片上的数字记为 a，再从剩下的两张中随机取出一张，将卡片上的数字记为 b，然后叫万宇在平 面直角坐标系中找出点 M（a，b）的位置． （1）请你用树状图帮万宇同学进行分析，并写出点 M 所有可能的坐标； （2）求点 M 在第二象限的概率； （3）张老师在万宇同学所画的平面直角坐标系中，画了一个半径为 3 的⊙O，过点 M 能作多少条⊙O 的切 线？请直接写出答案． 【分析】（1）画树状图展示所有 6 种等可能的结果数； （2）根据第二象限点的坐标特征找出点 M 在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解； （3）画出图形得到在⊙O 上的有 2 个点，在⊙O 外的有 2 个点，在⊙O 内的有 2 个点，则利用切线的定义 可得过⊙O 上的有 2 个点分别画一条切线，过⊙O 外的有 2 个点分别画 2 条切线，但其中有 2 组切线重合， 于是可判断过点 M 能作 4 条⊙O 的切线． 【解答】解：（1）画树状图为 共有 6 种等可能的结果数，它们是（﹣3，0）、（﹣3，2）、（0，﹣3）、（0，2）、（2，﹣3）、（2，0）； （2）只有（﹣3，2）在第二象限， 所以∴点 M 在第二象限的概率= ； （3）如图，过点 M 能作 4 条⊙O 的切线． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，再从中选出 符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率．利用切线的定义可解决（3） 小题，应用数形结合的思想是解决此类题目的关键． 24．“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自 行车相继投放市场．顺风车行经营的 A 型车 2015 年 6 月份销售总额为 3.2 万元，今年经过改造升级后 A 型 车每辆销售价比去年增加 400 元，若今年 6 月份与去年 6 月份卖出的 A 型车数量相同，则今年 6 月份 A 型 车销售总额将比去年 6 月份销售总额增加 25%． （1）求今年 6 月份 A 型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答）； （2）该车行计划 7 月份新进一批 A 型车和 B 型车共 50 辆，且 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍， 应如何进货才能使这批车获利最多？ A、B 两种型号车的进货和销售价格如表： A 型车 B 型车 进货价格（元/辆） 1100 1400 销售价格（元/辆） 今年的销售价格 2400 【分析】（1）设去年 A 型车每辆 x 元，那么今年每辆（x+400）元，列出方程即可解决问题． （2）设今年 7 月份进 A 型车 m 辆，则 B 型车（50﹣m）辆，获得的总利润为 y 元，先求出 m 的范围，构 建一次函数，利用函数性质解决问题． 【解答】解：（1）设去年 A 型车每辆 x 元，那么今年每辆（x+400）元， 根据题意得 ， 解之得 x=1600， 经检验，x=1600 是方程的解． 答：今年 A 型车每辆 2000 元． （2）设今年 7 月份进 A 型车 m 辆，则 B 型车（50﹣m）辆，获得的总利润为 y 元， 根据题意得 50﹣m≤2m 解之得 m≥ ， ∵y=（2000﹣1100）m+（2400﹣1400）（50﹣m）=﹣100m+50000， ∴y 随 m 的增大而减小， ∴当 m=17 时，可以获得最大利润． 答：进货方案是 A 型车 17 辆，B 型车 33 辆． 【点评】不同考查一次函数的应用、分式方程等知识，解题的关键是设未知数列出方程解决问题，注意分 式方程必须检验，学会构建一次函数，利用一次函数性质解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型． 25．如图，△ABC 和△BEC 均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠BEC=90°，AC=4 ，点 P 为线段 BE 延长 线上一点，连接 CP 以 CP 为直角边向下作等腰直角△CPD，线段 BE 与 CD 相交于点 F （1）求证： ； （2）连接 BD，请你判断 AC 与 BD 有什么位置关系？并说明理由； （3）设 PE=x，△PBD 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系式． 【分析】（1）直接利用相似三角形的判定方法得出△BCE∽△DCP，进而得出答案； （2）首先得出△PCE∽△DCB，进而求出∠ACB=∠CBD，即可得出 AC 与 BD 的位置关系； （3）首先利用相似三角形的性质表示出 BD，PM 的长，进而表示出△PBD 的面积． 【解答】（1）证明：∵△BCE 和△CDP 均为等腰直角三角形， ∴∠ECB=∠PCD=45 °，∠CEB=∠CPD=90°， ∴△BCE∽△DCP， ∴ = ； （2）解：AC∥BD， 理由：∵∠PCE+∠ECD=∠BCD +∠ECD=45°， ∴∠PCE=∠BCD， 又∵ = ， ∴△PCE∽△DCB， ∴∠CBD=∠CEP=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠CBD， ∴AC∥BD； （3）解：如图所示：作 PM⊥BD 于 M， ∵AC=4 ，△ABC 和△BEC 均为等腰直角三角形， ∴BE=CE=4， ∵△PCE∽△DCB， ∴ = ，即 = ， ∴BD= x， ∵∠PBM=∠CBD﹣∠CBP=45°，BP=BE+PE=4+x， ∴PM= ， ∴△PBD 的面积 S= BD•PM= × x× = x2+2x． 【点评】此题主要考查了相似形综合、平行线的判定方法以及相似三角形的判定与性质等知识，正确表示 出 PM 的长是解题关键． 26．已知如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A、B、C 分别为坐标轴上上的三个点，且 OA=1，OB=3， OC=4， （1）求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； （2）在平面直角坐标系 xOy 中是否存在一点 P，使得以以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为菱形？若存在， 请求出点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由； （3）若点 M 为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点 M 的坐标，并直 接写出|PM﹣AM|的最大值． 【分析】（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，把 A，B，C 三点坐标代入求出 a，b，c 的值，即可确定出 所求抛物线解析式； （2）在平面直角坐标系 xOy 中存在一点 P，使得以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为菱形，理由为：根据 OA，OB，OC 的长，利用勾股定理求出 BC 与 AC 的长相等，只有当 BP 与 AC 平行且相等时，四边形 ACBP 为菱形，可得出 BP 的长，由 OB 的长确定出 P 的纵坐标，确定出 P 坐标，当点 P 在第二、三象限时，以点 A、B、C、P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形； （3）利用待定系数法确定出直线 PA 解析式，当点 M 与点 P、A 不在同一直线上时，根据三角形的三边关 系|PM﹣AM|＜PA，当点 M 与点 P、A 在同一直线上时，|PM﹣AM|=PA， 当点 M 与点 P、A 在同一直线上时，|PM﹣AM|的值最大，即点 M 为直线 PA 与抛物线的交点，联立直线 AP 与抛物线解析式，求出当|PM﹣AM|的最大值时 M 坐标，确定出|PM﹣AM|的最大值即可． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c， ∵A（1，0）、B（0，3）、C（﹣4，0）， ∴ ， 解得：a=﹣ ，b=﹣ ，c=3， ∴经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为 y=﹣ x2﹣ x+3； （2）在平面直角坐标系 xOy 中存在一点 P，使得以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为菱形，理由为： ∵OB=3，OC=4，OA=1， ∴BC=AC=5， 当 BP 平行且等于 AC 时，四边形 ACBP 为菱形， ∴BP=AC=5，且点 P 到 x 轴的距离等于 OB， ∴点 P 的坐标为（5，3）， 当点 P 在第二、三象限时，以点 A、B、C、P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形， 则当点 P 的坐标为（5，3）时，以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为菱形； （3）设直线 PA 的解析式为 y=kx+b（k≠0）， ∵A（1，0），P（5，3）， ∴ ， 解得：k= ，b=﹣ ， ∴直线 PA 的解析式为 y= x﹣ ， 当点 M 与点 P、A 不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM﹣AM|＜PA， 当点 M 与点 P、A 在同一直线上时，|PM﹣AM|=PA， ∴当点 M 与点 P、A 在同一直线上时，|PM﹣AM|的值最大，即点 M 为直线 PA 与抛物线的交点， 解方程组 ，得 或 ， ∴点 M 的坐标为（1，0）或（﹣5，﹣ ）时，|PM﹣AM|的值最大，此时|PM﹣AM|的最大值为 5． 【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的性质，待定系数法确定抛物线解析式、一 次函数解析式，菱形的判定，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．．