2016年眉山市中考数学试卷及答案

眉山市2016 年初中学业水平暨高中阶段教育招生考试数学试卷 一、选择题(每题3 分，共36 分) 1．－5 的绝对值是( )A．5 B．－5 C．－1 5 D．1 5 2．我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500 吨，用科学记数法表示这个数是( ) A．6.75×103吨 B．67.5×103吨 C．6.75×104吨 D．6.75×105吨 3．下列等式一定成立的是( )A． 2 5 10a a a  B． a b a b   C． 3 4 12( )a a  D． 2a a 4．下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A． B． C． D． 5．已知点M(1－2m，m－1)在第四象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是 ( ) 6．下列命题为真命题的是( ) A．有两边及一角对应相等的两个三角形全等 B．方程 2 2 0x x   有两个不相等的实数根 C．面积之比为1︰4 的两个相似三角形的周长之比是1︰4 D．顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四 边形 7．随着智能手机的普及，抢微信红包成为了春节期间人们最喜欢的活动之一。某中学 九年级五班班长对全班50 名学生在春节期间所抢的红包金额进行统计，并绘制成了统 计图，根据右图提供的信息，红包金额的众数和中位数分别是( ) A．20、20 B．30、20 C．30、30 D．20、30 8．如图，A、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D＝32°，则∠ OAC＝( ) A．64° B．58° C．72° D．55° 9．已知 2 3 4 0x x   ，则代数式 2 4 x x x  的值是( ) A．3 B．2 C．1 3 D． 1 2 10．把边长为3 的正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转 45°得到正方形 AB′ C′D′ ，边 BC 与D′ C′ 交于点O，则四边形 ABOD′ 的周长是( ) A．6 2 B．6 C．3 2 D．3 3 2 11．若抛物线不动，将平面直角坐标系xoy 先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则 原抛物线图象的解析式应变为 ( ) A． 2( 2) 3y x   B． 2( 2) 5y x   C． 2 1y x  D． 2 4y x  12．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与 AB、CD 交于点E、F，连结 BF 交AC 于点 M， 连结DE、BO，若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB 垂直平分OC；②△EOB≌△CMB； ③DE＝EF； ④S△AOE︰ S△BCM＝2︰ 3。其 中 正 确 结 论 的 个 数 是 ( ) A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 二、填空题(每题3 分，共24 分) 13．分解因式： 2 9m   。 14．受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高。据调查，2016 年1月该市宏鑫房地产公 司的住房销售量为100 套，3 月份的住房销售量为169 套，假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意 所列方程为 。 15．若函数 | |( 1) my m x  是正比例函数，则该函数的图象经过第 象限。 16．设m、n 是一元二次方程 2 2 7 0x x   的两个根，则 2 3m m n   . 17．一个圆锥的侧面展开图是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为 . 18．如图，已知点A 是双曲线 6y x  在第三象限分支上的一个动点，连结 AO 并延长交另一 分支于点B，以AB 为边作等边三角形ABC，点 C 在第四象限内，且随着点A 的运动，点C 的位置也在不断变化，但点C 始终在双曲线 ky x  上运动，则 k 的值是 。 三、解答题(每题6 分，共12 分) 19．计算： 0 2016 11( 2 1) 3tan30 ( 1) ( )2      20．先化简，再求值： 1 1 1( )2 2 2a a a     其中 3a  四、解答题(每题8 分，共24 分) 21．已知：如图△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(0，－3)、B(3，－2)、C(2，－4)，正方形网格中，每个小正方形 的边长是1 个单位长度。 ⑴画出△ABC 向上平移6 个单位得到的△A1B1C1； ⑵以点 C 为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2 与△ABC 位似，且△ A2B2C2 与△ABC 的位似比为2︰1，并直接写出点A2 的坐标； 22．如图，埃航MS804 客机失事后，国家主席亲自发电进行慰问，埃及政府出动了多艘舰船和 飞机进行搜救，其中一艘潜艇在海面下500 米的A 点处测得俯角为45°的前下方海底有黑匣子 信号发出，继续沿原方向直线航行2000 米后到达 B 点，在 B 处测得俯角为 60°的前下方海底 有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C 点距离海面的深度(结果保留根号) 23．九年级三班学生苏琪为帮助同桌万宇巩固“平面直角坐标系四个象限内及坐标轴上的点的坐标特点”这一基础 知识，在三张完全相同且不透明的卡片正面分别写上了－3，0，2 三个数字，背面向上洗匀后随机抽取一张，将卡 片上的数字记为 a，再从剩下的两张中随机取出一张，将卡片上的数字记为 b，然后叫万宇在平面直角坐标系中找 出点M(a，b)的位置。 ⑴请你用树状图帮万宇同学进行分析，并写出点M 所有可能的坐标； ⑵求点M 在第二象限的概率； ⑶张老师在万宇同学所画的平面直角坐标系中，画了一个半径为3 的⊙O，过点M 能作多少条⊙O 的切线？请直接 写出答案。 新*课标*第*一*网 24．“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相 继投放市场，顺风车行经营的 A 型车 2015 年 6 月份销售总额为 3.2 万元，今年经过改造升级后A 型车每辆销售价 比去年增加400 元，若今年 6 月份与去年6 月份卖出的A 型车数量相同，则今年6 月份 A 型车销售总额将比去年6 月份销售总额增加25%。⑴求今年6 月份A 型车每辆销售价多少元(用列方程的方法解答) ⑵该车行计划 7 月份新进一批 A 型车和 B 型车共 50 辆，且B 型 车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批 车获利最多？A、B 两种型号车的进货和销售价格如下表： 25．如图, △ABC 和△BEC 均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠BEC＝90°，AC＝4 2 ，点 P 为线段 BE 延长线 A 型车 B 型车 进货价格(元/辆) 1100 1400 销售价格(元/辆) 今年的销售价格 2400 上一点，连接CP 以CP 为直角边向下作等腰直角△CPD，线段 BE 与CD 相交于点F ⑴求证： PC CE CD CB  ； ⑵连接BD，请你判断 AC 与BD 有什么位置关系？并说明理由； ⑶设PE＝x，△PBD 的面积为S，求 S 与x 之间的函数关系式； 26．已知如图，在平面直角坐标系xoy 中，点A、B、C 分别为坐标轴上上的三个点，且 OA＝1，OB＝3，OC＝4， ⑴求经过A、B、C 三点的抛物线的解析式； ⑵在平面直角坐标系 xoy 中是否存在一点 P，使得以以点 A、B、C、P 为顶点的四 边形为菱形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； ⑶若点 M 为该抛物线上一动点，在⑵的条件下，请求出当| |PM AM 的最大值时点 M 的坐标，并直接写出 | |PM AM 的最大值 眉山市2016 年初中学业水平暨高中阶段教育招生考试数学试卷参考答案 一、ACCABD，CBDACB 二、13．( 3)( 3)m m  ；14． 2100(1 ) 169x  ；15．二、四；16．5；17．8 3 ；18． 3 6 18．解：∵双曲线 6y x  的图象关于原点对称，∴点A 与点 B 关于原点对称．∴OA＝OB．连接 OC，如图所示．∵ △ ABC 是 等 边 三 角 形 ， OA ＝ OB ， ∴ OC ⊥ AB ． ∠ BAC ＝ 60 ° ． ∴ 3OCtan OAC OA    ．∴， 3OC OA ，过点 A 作 AE⊥y 轴，垂足为E，过 点C 作CF⊥y 轴，垂足为F，∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，∴∠AEO＝∠OFC， ∠AOE＝90°－∠FOC＝∠OCF．∴△OFC∽△AEO．相似比 3OC OA  ，∴面积比 3OFC AEO S S   ．∵点A 在第一象限，设点A 坐标为（a，b），∵点 A 在双曲线 6y x  上，∴S△AEO＝ 1 2 ab＝ 6 2 ， ∴S△OFC＝ 1 2 FC OF  3 6 2 ．∴设点C 坐标为（x，y），∵点C 在双曲线 ky x  上，∴k＝xy∵点C 在第四象限， ∴FC＝x，OF＝－y．∴FC•OF＝x•（－y）＝－xy＝－3 6 6．∴xy＝－3 6 ．．故答案为：－3 6 ． 三、19．解：原式 31 3 1 23      ……4 分 1 3 1 2    3  ……6 分 20．解：原式 2 2 1[ ]( 2)( 2) ( 2)( 2) 2 a a a a a a a         …2 分 2 2 2 ( 2)( 2) 1 a a a a a       …3 分 4 2a    …4 分 当 3a  时，原式 4 5   …6 分 21．解：如右图⑴……3 分；⑵画出△A2B2C2……3 分，A2坐标(－2，－2)…2 分 22．解：过C 作CD⊥AB 于D，交海面于点 E，……1 分 设BD＝x, ∵∠CBD＝60°， 3CDtan CBD = BD   ，∴ ( 0)y kx b k  ≠ 3CD x …3 分 ∵AB＝2000，∴AD＝x＋2000 ∵ ∠CAD＝45°∴ 1CDtan CAD = AD   ∴ 3x ＝x＋2000， 解之得 1000 3 1000x   …5 分，∴ 3(1000 3 1000) 3000 1000 3CD     ，…7 分 ∴ 3000 1000 3 500 3500 1000 3CE CD DE       答：黑匣子C 点距离海面的深度为 3500 1000 3 米……8 分 23．⑴树状图…3 分，点M 的坐标有6 种(－3，0)、(－3，2)、(0，－3)、 (0，2)、(2，－3)、(2，0)…5 分； ⑵只有(－3，2)在第二象限，∴点M 在第二象限的概率 1 6P  ……7 分 ⑶过点M 能作4 条⊙O 的切线……9 分 24．⑴设去年A 型车每辆x 元，那么今年每辆(x＋400)元，根据题意得……1 分32000 32000(1 25%) 400x x   ……3 分 解之得 1600x  ，经检验， 1600x  是方程的解 答：今年A 型车每辆 2000 元……5 分 ⑵设今年7 月份进A 型车m 辆，则B 型车(50－m)辆，获得的总利润为y 元，根据题意得50 2m m ≤ 解之得m≥ 216 3 ……6 分∵ (2000 1100) (2400 1400)(50 ) 100 50000y m m m        …7 分∴ y随m 的增大而减小，∴当 17m  时，可以获得最大利润…8 分。答：进货方案是A 型车17 辆，B 型车33 辆…9 分 25．⑴∵△BCE和△CDP 均为等腰直角三角形∴∠ECB＝∠PCD＝45°，∠CEB＝∠CPD＝90°…1 分， ∴△BCE∽△DCP ∴ PC CE CD CB  …2 分 ⑵AC∥BD…3 分 ∵∠PCE＋∠ECD＝∠BCD＋∠ECD＝45° ∴∠PCE＝ ∠BCD 又∵ PC CE CD CB  ∴△PCE∽△DCB …4 分 ∴∠CBD＝∠CEP＝90° ∵∠ACB＝90° ∴∠ACB＝∠CBD ∴AC∥BD…5 分 ⑶作PM⊥BD 于M，∵AC＝4 2 ，△ABC 和△BEC 均为等腰直角三角形 ∴BE＝CE＝4 ∵△PCE∽△DCB ∴ CE PE CB BD  即 4 4 2 x BD  ∴ 2BD x …7 分 ∵∠PBM＝∠CBD－∠CBP＝ 45° 4BP BE PE x    ∴ 4 2 xPM  ，∴△PBD 的面积S 21 1 4 12 22 2 22 xBD PM x x x       … 9 分 26．⑴解：设抛物线的解析式为 2y ax bx c   ∵A(1，0)、B(0，3)、C(－4，0)∴ 0 3 16 4 0 a b c c a b c          解 之 3 4a   ， 9 4b   ， 3c  ，∴经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为 23 9 34 4y x x    …3 分 ⑵∵OB＝3，OC＝4，∴BC＝AC＝5，当 BP 平行且等于 AC 时，四边形 ACBP 为菱形∴BP＝ AC＝5，且点 P 到轴的距离等于 OB ∴点P 的坐标为(5，3) 当点 P 在第二、三象限时，以 点 A、B、C、P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，∴当点 P 的坐标为(5，3)时， 以点A、B、C、P 为顶点的四边形为菱形…6 分 ⑶设直线PA的解析式为 ( 0)y kx b k  ≠ 2 2 5x y      ∴ 5 3 0 k b k b      解之 3 4k  ， 3 4b   ， ∴直线PA 的解析式为 3 3 4 4y x  ……7 分， 当点M 与点 P、A 不在同一直线上时，根据三角形的三边关系| |PM AM PA  ，当点 M 与点P、A 在同一直线 上时，| |PM AM PA  ，∴当点 M 与点 P、A 在同一直线上时，| |PM AM 的值最大，即点 M 为直线 PA 与抛物线的交点……8 分解方程组 2 3 3 4 4 3 9 34 4 y x y x x         得 1 1 1 0 x y    、 2 2 5 9 2 x y     ∴点M 的坐标为(1，0)或(－5， － 9 2 )时，| |PM AM 的值最大……10 分，此时| |PM AM 的最大值为 5……11 分