2016年泸州市中考数学试题解析版

2016 年四川省泸州市中考数学试卷 一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 36 分 1． 6 的 相 反 数 为 （ ） A． ﹣ 6 B． 6 C． ﹣ D． 2． 计 算 3a 2﹣ a2 的 结 果 是 （ ） A． 4a 2B． 3a2C． 2a2D． 3 3． 下 列 图 形 中 不 是 轴 对 称 图 形 的 是 （ ） A． B． C． D． 4． 将 5570000 用 科 学 记 数 法 表 示 正 确 的 是 （ ） A． 5.57×10 5B． 5.57×10 6C． 5.57×107D． 5.57×10 8 5． 下 列 立 体 图 形 中 ， 主 视 图 是 三 角 形 的 是 （ ） A． B． C． D． 6． 数 据 4， 8， 4， 6， 3 的 众 数 和 平 均 数 分 别 是 （ ） A． 5， 4 B． 8， 5 C． 6， 5 D． 4， 5 7．在 一 个 布 口 袋 里 装 有 白 、红 、黑 三 种 颜 色 的 小 球 ，它 们 除 颜 色 外 没 有 任 何 区 别 ， 其 中 白 球 2 只 ， 红 球 6 只 ， 黑 球 4 只 ， 将 袋 中 的 球 搅 匀 ， 闭 上 眼 睛 随 机 从 袋 中 取 出 1 只 球 ， 则 取 出 黑 球 的 概 率 是 （ ） A． B． C． D． 8． 如 图 ， ▱ ABCD 的 对 角 线 AC、 BD 相 交 于 点 O， 且 AC+BD=16， CD=6， 则 △ABO 的 周 长 是 （ ） A． 10 B． 14 C． 20 D． 22 9．若 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2+2（ k﹣ 1）x+k 2﹣ 1=0 有 实 数 根 ，则 k 的 取 值 范 围 是 （ ） A． k≥1 B． k＞ 1 C． k＜ 1 D． k≤1 10． 以 半 径 为 1 的 圆 的 内 接 正 三 角 形 、 正 方 形 、 正 六 边 形 的 边 心 距 为 三 边 作 三 角 形 ， 则 该 三 角 形 的 面 积 是 （ ） A． B． C． D． 11．如 图 ，矩 形 ABCD 的 边 长 AD=3，AB=2，E 为 AB 的 中 点 ，F 在 边 BC 上 ， 且 BF=2FC， AF 分 别 与 DE、 DB 相 交 于 点 M， N， 则 MN 的 长 为 （ ） A． B． C． D． 12．已 知 二 次 函 数 y=ax2﹣ bx﹣ 2（ a≠0）的 图 象 的 顶 点 在 第 四 象 限 ，且 过 点（ ﹣ 1， 0）， 当 a﹣ b 为 整 数 时 ， ab 的 值 为 （ ） A． 或 1 B． 或 1 C． 或 D． 或 二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 12 分 13． 分 式 方 程 ﹣ =0 的 根 是 ． 14． 分 解 因 式 ： 2a2+4a+2= ． 15． 若 二 次 函 数 y=2x 2﹣ 4x﹣ 1 的 图 象 与 x 轴 交 于 A（ x1， 0）、 B（ x2， 0） 两 点 ， 则 + 的 值 为 ． 16．如 图 ，在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ，已 知 点 A（ 1，0），B（ 1﹣ a，0），C（ 1+a， 0）（ a＞ 0）， 点 P 在 以 D（ 4， 4） 为 圆 心 ， 1 为 半 径 的 圆 上 运 动 ， 且 始 终 满 足 ∠BPC=90°， 则 a 的 最 大 值 是 ． 三 、 本 大 题 共 3 小 题 ， 每 小 题 6 分 ， 共 18 分 17． 计 算 ：（ ﹣ 1） 0﹣ ×sin60°+（ ﹣ 2） 2． 18． 如 图 ， C 是 线 段 AB 的 中 点 ， CD=BE， CD∥BE． 求 证 ： ∠D=∠E． 19． 化 简 ：（ a+1﹣ ） • ． 四 ． 本 大 题 共 2 小 题 ， 每 小 题 7 分 ， 共 14 分 20． 为 了 解 某 地 区 七 年 级 学 生 对 新 闻 、 体 育 、 动 画 、 娱 乐 、 戏 曲 五 类 电 视 节 目 的 喜 爱 情 况 ， 从 该 地 区 随 机 抽 取 部 分 七 年 级 学 生 作 为 样 本 ， 采 用 问 卷 调 查 的 方 法 收 集 数 据（ 参 与 问 卷 调 查 的 每 名 同 学 只 能 选 择 其 中 一 类 节 目 ），并 调 查 得 到 的 数 据 用 下 面 的 表 和 扇 形 图 来 表 示 （ 表 、 图 都 没 制 作 完 成 ） 节 目 类 型 新 闻 体 育 动 画 娱 乐 戏 曲 人 数 36 90 a b 27 根 据 表 、 图 提 供 的 信 息 ， 解 决 以 下 问 题 ： （ 1） 计 算 出 表 中 a、 b 的 值 ； （ 2） 求 扇 形 统 计 图 中 表 示 “动 画 ”部 分 所 对 应 的 扇 形 的 圆 心 角 度 数 ； （ 3）若 该 地 区 七 年 级 学 生 共 有 47500 人 ，试 估 计 该 地 区 七 年 级 学 生 中 喜 爱 “新 闻 ”类 电 视 节 目 的 学 生 有 多 少 人 ？ 21．某 商 店 购 买 60 件 A 商 品 和 30 件 B 商 品 共 用 了 1080 元 ，购 买 50 件 A 商 品 和 20 件 B 商 品 共 用 了 880 元 ． （ 1） A、 B 两 种 商 品 的 单 价 分 别 是 多 少 元 ？ （ 2） 已 知 该 商 店 购 买 B 商 品 的 件 数 比 购 买 A 商 品 的 件 数 的 2 倍 少 4 件 ， 如 果 需 要 购 买 A、 B 两 种 商 品 的 总 件 数 不 少 于 32 件 ， 且 该 商 店 购 买 的 A、 B 两 种 商 品 的 总 费 用 不 超 过 296 元 ， 那 么 该 商 店 有 哪 几 种 购 买 方 案 ？ 五 ． 本 大 题 共 2 小 题 ， 每 小 题 8 分 ， 共 16 分 22． 如 图 ， 为 了 测 量 出 楼 房 AC 的 高 度 ， 从 距 离 楼 底 C 处 60 米 的 点 D（ 点 D 与 楼 底 C 在 同 一 水 平 面 上 ） 出 发 ， 沿 斜 面 坡 度 为 i=1： 的 斜 坡 DB 前 进 30 米 到 达 点 B， 在 点 B 处 测 得 楼 顶 A 的 仰 角 为 53°， 求 楼 房 AC 的 高 度 （ 参 考 数 据 ： sin53°≈0.8， cos53°≈0.6， tan53°≈ ， 计 算 结 果 用 根 号 表 示 ， 不 取 近 似 值 ）． 23． 如 图 ， 一 次 函 数 y=kx+b（ k＜ 0） 与 反 比 例 函 数 y= 的 图 象 相 交 于 A、 B 两 点 ， 一 次 函 数 的 图 象 与 y 轴 相 交 于 点 C， 已 知 点 A（ 4， 1） （ 1） 求 反 比 例 函 数 的 解 析 式 ； （ 2）连 接 OB（ O 是 坐 标 原 点 ），若 △BOC 的 面 积 为 3，求 该 一 次 函 数 的 解 析 式 ． 六 ． 本 大 题 共 2 小 题 ， 每 小 题 12 分 ， 共 24 分 24．如 图 ，△ABC 内 接 于 ⊙O，BD 为 ⊙O 的 直 径 ，BD 与 AC 相 交 于 点 H，AC 的 延 长 线 与 过 点 B 的 直 线 相 交 于 点 E， 且 ∠A=∠EBC． （ 1） 求 证 ： BE 是 ⊙O 的 切 线 ； （ 2） 已 知 CG∥EB， 且 CG 与 BD、 BA 分 别 相 交 于 点 F、 G， 若 BG•BA=48， FG= ， DF=2BF， 求 AH 的 值 ． 25．如 图 ，在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ，点 O 为 坐 标 原 点 ，直 线 l 与 抛 物 线 y=mx2+nx 相 交 于 A（ 1， 3 ）， B（ 4， 0） 两 点 ． （ 1） 求 出 抛 物 线 的 解 析 式 ； （ 2）在 坐 标 轴 上 是 否 存 在 点 D，使 得 △ABD 是 以 线 段 AB 为 斜 边 的 直 角 三 角 形 ？ 若 存 在 ， 求 出 点 D 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 说 明 理 由 ； （ 3）点 P 是 线 段 AB 上 一 动 点 ，（ 点 P 不 与 点 A、B 重 合 ），过 点 P 作 PM∥OA， 交 第 一 象 限 内 的 抛 物 线 于 点 M， 过 点 M 作 MC⊥x 轴 于 点 C， 交 AB 于 点 N， 若 △BCN、 △PMN 的 面 积 S △ BCN 、 S △ PMN 满 足 S △ BCN =2S △ PMN ， 求 出 的 值 ， 并 求 出 此 时 点 M 的 坐 标 ． 2016 年四川省泸州市中考数学试卷 参 考 答 案 与 试 题 解 析 一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 36 分 1． 6 的 相 反 数 为 （ ） A． ﹣ 6 B． 6 C． ﹣ D． 【 考 点 】 相 反 数 ． 【 分 析 】 直 接 利 用 相 反 数 的 定 义 分 析 得 出 答 案 ． 【 解 答 】 解 ： 6 的 相 反 数 为 ： ﹣ 6． 故 选 ： A． 2． 计 算 3a 2﹣ a2 的 结 果 是 （ ） A． 4a 2B． 3a2C． 2a2D． 3 【 考 点 】 合 并 同 类 项 ． 【 分 析 】 直 接 利 用 合 并 同 类 项 的 知 识 求 解 即 可 求 得 答 案 ． 【 解 答 】 解 ： 3a2﹣ a2=2a 2． 故 选 C． 3． 下 列 图 形 中 不 是 轴 对 称 图 形 的 是 （ ） A． B． C． D． 【 考 点 】 轴 对 称 图 形 ． 【 分 析 】 根 据 轴 对 称 图 形 的 概 念 求 解 ． 【 解 答 】 解 ： 根 据 轴 对 称 图 形 的 概 念 可 知 ： A， B， D 是 轴 对 称 图 形 ， C 不 是 轴 对 称 图 形 ， 故 选 ： C． 4． 将 5570000 用 科 学 记 数 法 表 示 正 确 的 是 （ ） A． 5.57×10 5B． 5.57×10 6C． 5.57×107D． 5.57×10 8 【 考 点 】 科 学 记 数 法 —表 示 较 大 的 数 ． 【 分 析 】科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a×10 n 的 形 式 ，其 中 1≤|a|＜ 10，n 为 整 数 ．确 定 n 的 值 是 易 错 点 ， 由 于 5570000 有 7 位 ， 所 以 可 以 确 定 n=7﹣ 1=6． 【 解 答 】 解 ： 5570000=5.57×10 6． 故 选 ： B． 5． 下 列 立 体 图 形 中 ， 主 视 图 是 三 角 形 的 是 （ ） A． B． C． D． 【 考 点 】 简 单 几 何 体 的 三 视 图 ． 【 分 析 】 根 据 从 正 面 看 得 到 的 图 形 是 主 视 图 ， 可 得 图 形 的 主 视 图 ． 【 解 答 】 解 ： A、 圆 锥 的 主 视 图 是 三 角 形 ， 符 合 题 意 ； B、 球 的 主 视 图 是 圆 ， 不 符 合 题 意 ； C、 圆 柱 的 主 视 图 是 矩 形 ， 不 符 合 题 意 ； D、 正 方 体 的 主 视 图 是 正 方 形 ， 不 符 合 题 意 ． 故 选 ： A． 6． 数 据 4， 8， 4， 6， 3 的 众 数 和 平 均 数 分 别 是 （ ） A． 5， 4 B． 8， 5 C． 6， 5 D． 4， 5 【 考 点 】 众 数 ； 算 术 平 均 数 ． 【 分 析 】 根 据 众 数 的 定 义 找 出 出 现 次 数 最 多 的 数 ， 再 根 据 平 均 数 的 计 算 公 式 求 出 平 均 数 即 可 ． 【 解 答 】 解 ： ∵4 出 现 了 2 次 ， 出 现 的 次 数 最 多 ， ∴众 数 是 4； 这 组 数 据 的 平 均 数 是 ：（ 4+8+4+6+3） ÷5=5； 故 选 ： D． 7．在 一 个 布 口 袋 里 装 有 白 、红 、黑 三 种 颜 色 的 小 球 ，它 们 除 颜 色 外 没 有 任 何 区 别 ， 其 中 白 球 2 只 ， 红 球 6 只 ， 黑 球 4 只 ， 将 袋 中 的 球 搅 匀 ， 闭 上 眼 睛 随 机 从 袋 中 取 出 1 只 球 ， 则 取 出 黑 球 的 概 率 是 （ ） A． B． C． D． 【 考 点 】 概 率 公 式 ． 【 分 析 】根 据 随 机 事 件 概 率 大 小 的 求 法 ，找 准 两 点 ：①符 合 条 件 的 情 况 数 目 ； ②全 部 情 况 的 总 数 ． 二 者 的 比 值 就 是 其 发 生 的 概 率 的 大 小 ． 【 解 答 】解 ：根 据 题 意 可 得 ：口 袋 里 共 有 12 只 球 ，其 中 白 球 2 只 ，红 球 6 只 ， 黑 球 4 只 ， 故 从 袋 中 取 出 一 个 球 是 黑 球 的 概 率 ： P（ 黑 球 ） = = ， 故 选 ： C． 8． 如 图 ， ▱ ABCD 的 对 角 线 AC、 BD 相 交 于 点 O， 且 AC+BD=16， CD=6， 则 △ABO 的 周 长 是 （ ） A． 10 B． 14 C． 20 D． 22 【 考 点 】 平 行 四 边 形 的 性 质 ． 【 分 析 】 直 接 利 用 平 行 四 边 形 的 性 质 得 出 AO=CO， BO=DO， DC=AB=6， 再 利 用 已 知 求 出 AO+BO 的 长 ， 进 而 得 出 答 案 ． 【 解 答 】 解 ： ∵四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， ∴AO=CO， BO=DO， DC=AB=6， ∵AC+BD=16， ∴AO+BO=8， ∴△ABO 的 周 长 是 ： 14． 故 选 ： B． 9．若 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2+2（ k﹣ 1）x+k 2﹣ 1=0 有 实 数 根 ，则 k 的 取 值 范 围 是 （ ） A． k≥1 B． k＞ 1 C． k＜ 1 D． k≤1 【 考 点 】 根 的 判 别 式 ． 【 分 析 】 直 接 利 用 根 的 判 别 式 进 而 分 析 得 出 k 的 取 值 范 围 ． 【 解 答 】 解 ： ∵关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2+2（ k﹣ 1） x+k 2﹣ 1=0 有 实 数 根 ， ∴△=b2﹣ 4ac=4（ k﹣ 1） 2﹣ 4（ k2﹣ 1） =﹣ 8k+8≥0， 解 得 ： k≤1． 故 选 ： D． 10． 以 半 径 为 1 的 圆 的 内 接 正 三 角 形 、 正 方 形 、 正 六 边 形 的 边 心 距 为 三 边 作 三 角 形 ， 则 该 三 角 形 的 面 积 是 （ ） A． B． C． D． 【 考 点 】 正 多 边 形 和 圆 ． 【 分 析 】 由 于 内 接 正 三 角 形 、 正 方 形 、 正 六 边 形 是 特 殊 内 角 的 多 边 形 ， 可 构 造 直 角 三 角 形 分 别 求 出 边 心 距 的 长 ， 由 勾 股 定 理 逆 定 理 可 得 该 三 角 形 是 直 角 三 角 形 ， 进 而 可 得 其 面 积 ． 【 解 答 】 解 ： 如 图 1， ∵OC=1， ∴OD=1×sin30°= ； 如 图 2， ∵OB=1， ∴OE=1×sin45°= ； 如 图 3， ∵OA=1， ∴OD=1×cos30°= ， 则 该 三 角 形 的 三 边 分 别 为 ： 、 、 ， ∵（ ） 2+（ ） 2=（ ） 2， ∴该 三 角 形 是 以 、 为 直 角 边 ， 为 斜 边 的 直 角 三 角 形 ， ∴该 三 角 形 的 面 积 是 × × = ， 故 选 ： D． 11．如 图 ，矩 形 ABCD 的 边 长 AD=3，AB=2，E 为 AB 的 中 点 ，F 在 边 BC 上 ， 且 BF=2FC， AF 分 别 与 DE、 DB 相 交 于 点 M， N， 则 MN 的 长 为 （ ） A． B． C． D． 【 考 点 】 相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质 ； 矩 形 的 性 质 ． 【 分 析 】 过 F 作 FH⊥AD 于 H， 交 ED 于 O， 于 是 得 到 FH=AB=2， 根 据 勾 股 定 理 得 到 AF= = =2 ， 根 据 平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理 得 到 OH= AE= ， 由 相 似 三 角 形 的 性 质 得 到 = = ， 求 得 AM= AF= ， 根 据 相 似 三 角 形 的 性 质 得 到 = = ，求 得 AN= AF= ，即 可 得 到 结 论 ． 【 解 答 】 解 ： 过 F 作 FH⊥AD 于 H， 交 ED 于 O， 则 FH=AB=2 ∵BF=2FC， BC=AD=3， ∴BF=AH=2， FC=HD=1， ∴AF= = =2 ， ∵OH∥AE， ∴ = = ， ∴OH= AE= ， ∴OF=FH﹣ OH=2﹣ = ， ∵AE∥FO， ∴△AME∽FMO， ∴ = = ， ∴AM= AF= ， ∵AD∥BF， ∴△AND∽△FNB， ∴ = = ， ∴AN= AF= ， ∴MN=AN﹣ AM= ﹣ = ， 故 选 B． 12．已 知 二 次 函 数 y=ax2﹣ bx﹣ 2（ a≠0）的 图 象 的 顶 点 在 第 四 象 限 ，且 过 点（ ﹣ 1， 0）， 当 a﹣ b 为 整 数 时 ， ab 的 值 为 （ ） A． 或 1 B． 或 1 C． 或 D． 或 【 考 点 】 二 次 函 数 的 性 质 ． 【 分 析 】首 先 根 据 题 意 确 定 a、b 的 符 号 ，然 后 进 一 步 确 定 a 的 取 值 范 围 ，根 据 a﹣ b 为 整 数 确 定 a、 b 的 值 ， 从 而 确 定 答 案 ． 【 解 答 】 解 ： 依 题 意 知 a＞ 0， ＞ 0， a+b﹣ 2=0， 故 b＞ 0， 且 b=2﹣ a， a﹣ b=a﹣ （ 2﹣ a） =2a﹣ 2， 于 是 0＜ a＜ 2， ∴﹣ 2＜ 2a﹣ 2＜ 2， 又 a﹣ b 为 整 数 ， ∴2a﹣ 2=﹣ 1， 0， 1， 故 a= ， 1， ， b= ， 1， ， ∴ab= 或 1， 故 选 A． 二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 12 分 13． 分 式 方 程 ﹣ =0 的 根 是 x=﹣ 1 ． 【 考 点 】 分 式 方 程 的 解 ． 【 分 析 】 把 分 式 方 程 转 化 成 整 式 方 程 ， 求 出 整 式 方 程 的 解 ， 再 代 入 x（ x﹣ 3） 进 行 检 验 即 可 ． 【 解 答 】 解 ： 方 程 两 边 都 乘 以 最 简 公 分 母 x（ x﹣ 3） 得 ： 4x﹣ （ x﹣ 3） =0， 解 得 ： x=﹣ 1， 经 检 验 ： x=﹣ 1 是 原 分 式 方 程 的 解 ， 故 答 案 为 ： x=﹣ 1． 14． 分 解 因 式 ： 2a2+4a+2= 2（ a+1） 2 ． 【 考 点 】 提 公 因 式 法 与 公 式 法 的 综 合 运 用 ． 【 分 析 】 原 式 提 取 2， 再 利 用 完 全 平 方 公 式 分 解 即 可 ． 【 解 答 】 解 ： 原 式 =2（ a2+2a+1） =2（ a+1） 2， 故 答 案 为 ： 2（ a+1） 2． 15． 若 二 次 函 数 y=2x 2﹣ 4x﹣ 1 的 图 象 与 x 轴 交 于 A（ x1， 0）、 B（ x2， 0） 两 点 ， 则 + 的 值 为 ﹣ ． 【 考 点 】 抛 物 线 与 x 轴 的 交 点 ． 【 分 析 】 设 y=0， 则 对 应 一 元 二 次 方 程 的 解 分 别 是 点 A 和 点 B 的 横 坐 标 ， 利 用 根 与 系 数 的 关 系 即 可 求 出 + 的 值 ． 【 解 答 】 解 ： 设 y=0， 则 2x2﹣ 4x﹣ 1=0， ∴一 元 二 次 方 程 的 解 分 别 是 点 A 和 点 B 的 横 坐 标 ， 即 x1， x2， ∴x1+x 2=﹣ =2， x1， •x2=﹣ ， ∵ + = =﹣ ， ∴原 式 = =﹣ ， 故 答 案 为 ： ﹣ ． 16．如 图 ，在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ，已 知 点 A（ 1，0），B（ 1﹣ a，0），C（ 1+a， 0）（ a＞ 0）， 点 P 在 以 D（ 4， 4） 为 圆 心 ， 1 为 半 径 的 圆 上 运 动 ， 且 始 终 满 足 ∠BPC=90°， 则 a 的 最 大 值 是 6 ． 【 考 点 】 三 角 形 的 外 接 圆 与 外 心 ． 【 分 析 】首 先 证 明 AB=AC=a，根 据 条 件 可 知 PA=AB=AC=a，求 出 ⊙D 上 到 点 A 的 最 大 距 离 即 可 解 决 问 题 ． 【 解 答 】 解 ： ∵A（ 1， 0）， B（ 1﹣ a， 0）， C（ 1+a， 0）（ a＞ 0）， ∴AB=1﹣ （ 1﹣ a） =a， CA=a+1﹣ 1=a， ∴AB=AC， ∵∠BPC=90°， ∴PA=AB=AC=a， 如 图 延 长 AD 交 ⊙D 于 P′， 此 时 AP′最 大 ， ∵A（ 1， 0）， D（ 4， 4）， ∴AD=5， ∴AP′=5+1=6， ∴a 的 最 大 值 为 6． 故 答 案 为 6． 三 、 本 大 题 共 3 小 题 ， 每 小 题 6 分 ， 共 18 分 17． 计 算 ：（ ﹣ 1） 0﹣ ×sin60°+（ ﹣ 2） 2． 【 考 点 】 实 数 的 运 算 ； 零 指 数 幂 ； 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 ． 【 分 析 】 直 接 利 用 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 以 及 结 合 零 指 数 幂 的 性 质 以 及 二 次 根 式 的 性 质 分 别 化 简 进 而 求 出 答 案 ． 【 解 答 】 解 ：（ ﹣ 1） 0﹣ ×sin60°+（ ﹣ 2） 2 =1﹣ 2 × +4 =1﹣ 3+4 =2． 18． 如 图 ， C 是 线 段 AB 的 中 点 ， CD=BE， CD∥BE． 求 证 ： ∠D=∠E． 【 考 点 】 全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质 ． 【 分 析 】由 CD∥BE，可 证 得 ∠ACD=∠B，然 后 由 C 是 线 段 AB 的 中 点 ，CD=BE， 利 用 SAS 即 可 证 得 △ACD≌△CBE， 继 而 证 得 结 论 ． 【 解 答 】 证 明 ： ∵C 是 线 段 AB 的 中 点 ， ∴AC=CB， ∵CD∥BE， ∴∠ACD=∠B， 在 △ACD 和 △CBE 中 ， ， ∴△ACD≌△CBE（ SAS）， ∴∠D=∠E． 19． 化 简 ：（ a+1﹣ ） • ． 【 考 点 】 分 式 的 混 合 运 算 ． 【 分 析 】 先 对 括 号 内 的 式 子 进 行 化 简 ， 再 根 据 分 式 的 乘 法 进 行 化 简 即 可 解 答 本 题 ． 【 解 答 】 解 ：（ a+1﹣ ） • = = = =2a﹣ 4． 四 ． 本 大 题 共 2 小 题 ， 每 小 题 7 分 ， 共 14 分 20． 为 了 解 某 地 区 七 年 级 学 生 对 新 闻 、 体 育 、 动 画 、 娱 乐 、 戏 曲 五 类 电 视 节 目 的 喜 爱 情 况 ， 从 该 地 区 随 机 抽 取 部 分 七 年 级 学 生 作 为 样 本 ， 采 用 问 卷 调 查 的 方 法 收 集 数 据（ 参 与 问 卷 调 查 的 每 名 同 学 只 能 选 择 其 中 一 类 节 目 ），并 调 查 得 到 的 数 据 用 下 面 的 表 和 扇 形 图 来 表 示 （ 表 、 图 都 没 制 作 完 成 ） 节 目 类 型 新 闻 体 育 动 画 娱 乐 戏 曲 人 数 36 90 a b 27 根 据 表 、 图 提 供 的 信 息 ， 解 决 以 下 问 题 ： （ 1） 计 算 出 表 中 a、 b 的 值 ； （ 2） 求 扇 形 统 计 图 中 表 示 “动 画 ”部 分 所 对 应 的 扇 形 的 圆 心 角 度 数 ； （ 3）若 该 地 区 七 年 级 学 生 共 有 47500 人 ，试 估 计 该 地 区 七 年 级 学 生 中 喜 爱 “新 闻 ”类 电 视 节 目 的 学 生 有 多 少 人 ？ 【 考 点 】 扇 形 统 计 图 ； 用 样 本 估 计 总 体 ． 【 分 析 】（ 1） 先 求 出 抽 取 的 总 人 数 ， 再 求 出 b 的 值 ， 进 而 可 得 出 a 的 值 ； （ 2） 求 出 a 的 值 与 总 人 数 的 比 可 得 出 结 论 ； （ 3） 求 出 喜 爱 新 闻 类 人 数 的 百 分 比 ， 进 而 可 得 出 结 论 ． 【 解 答 】 解 ：（ 1） ∵喜 欢 体 育 的 人 数 是 90 人 ， 占 总 人 数 的 20%， ∴总 人 数 = =450（ 人 ）． ∵娱 乐 人 数 占 36%， ∴a=450×36%=162（ 人 ）， ∴b=450﹣ 162﹣ 36﹣ 90﹣ 27=135（ 人 ）； （ 2） ∵喜 欢 动 画 的 人 数 是 135 人 ， ∴ ×360°=108°； （ 3） ∵喜 爱 新 闻 类 人 数 的 百 分 比 = ×100%=8%， ∴47500×8%=3800（ 人 ）． 答 ： 该 地 区 七 年 级 学 生 中 喜 爱 “新 闻 ”类 电 视 节 目 的 学 生 有 3800 人 ． 21．某 商 店 购 买 60 件 A 商 品 和 30 件 B 商 品 共 用 了 1080 元 ，购 买 50 件 A 商 品 和 20 件 B 商 品 共 用 了 880 元 ． （ 1） A、 B 两 种 商 品 的 单 价 分 别 是 多 少 元 ？ （ 2） 已 知 该 商 店 购 买 B 商 品 的 件 数 比 购 买 A 商 品 的 件 数 的 2 倍 少 4 件 ， 如 果 需 要 购 买 A、 B 两 种 商 品 的 总 件 数 不 少 于 32 件 ， 且 该 商 店 购 买 的 A、 B 两 种 商 品 的 总 费 用 不 超 过 296 元 ， 那 么 该 商 店 有 哪 几 种 购 买 方 案 ？ 【 考 点 】 一 元 一 次 不 等 式 组 的 应 用 ； 二 元 一 次 方 程 组 的 应 用 ． 【 分 析 】（ 1） 设 A 种 商 品 的 单 价 为 x 元 、 B 种 商 品 的 单 价 为 y 元 ， 根 据 等 量 关 系 ： ①购 买 60 件 A 商 品 的 钱 数 +30 件 B 商 品 的 钱 数 =1080 元 ， ②购 买 50 件 A 商 品 的 钱 数 +20 件 B 商 品 的 钱 数 =880 元 分 别 列 出 方 程 ， 联 立 求 解 即 可 ． （ 2） 设 购 买 A 商 品 的 件 数 为 m 件 ， 则 购 买 B 商 品 的 件 数 为 （ 2m﹣ 4） 件 ， 根 据 不 等 关 系 ： ①购 买 A、 B 两 种 商 品 的 总 件 数 不 少 于 32 件 ， ②购 买 的 A、 B 两 种 商 品 的 总 费 用 不 超 过 296 元 可 分 别 列 出 不 等 式 ， 联 立 求 解 可 得 出 m 的 取 值 范 围 ， 进 而 讨 论 各 方 案 即 可 ． 【 解 答 】 解 ：（ 1） 设 A 种 商 品 的 单 价 为 x 元 、 B 种 商 品 的 单 价 为 y 元 ， 由 题 意 得 ： ， 解 得 ． 答 ： A 种 商 品 的 单 价 为 16 元 、 B 种 商 品 的 单 价 为 4 元 ． （ 2） 设 购 买 A 商 品 的 件 数 为 m 件 ， 则 购 买 B 商 品 的 件 数 为 （ 2m﹣ 4） 件 ， 由 题 意 得 ： ， 解 得 ： 12≤m≤13， ∵m 是 整 数 ， ∴m=12 或 13， 故 有 如 下 两 种 方 案 ： 方 案 （ 1）： m=12， 2m﹣ 4=20 即 购 买 A 商 品 的 件 数 为 12 件 ， 则 购 买 B 商 品 的 件 数 为 20 件 ； 方 案 （ 2）： m=13， 2m﹣ 4=22 即 购 买 A 商 品 的 件 数 为 13 件 ， 则 购 买 B 商 品 的 件 数 为 22 件 ． 五 ． 本 大 题 共 2 小 题 ， 每 小 题 8 分 ， 共 16 分 22． 如 图 ， 为 了 测 量 出 楼 房 AC 的 高 度 ， 从 距 离 楼 底 C 处 60 米 的 点 D（ 点 D 与 楼 底 C 在 同 一 水 平 面 上 ） 出 发 ， 沿 斜 面 坡 度 为 i=1： 的 斜 坡 DB 前 进 30 米 到 达 点 B， 在 点 B 处 测 得 楼 顶 A 的 仰 角 为 53°， 求 楼 房 AC 的 高 度 （ 参 考 数 据 ： sin53°≈0.8， cos53°≈0.6， tan53°≈ ， 计 算 结 果 用 根 号 表 示 ， 不 取 近 似 值 ）． 【 考 点 】解 直 角 三 角 形 的 应 用 -仰 角 俯 角 问 题 ；解 直 角 三 角 形 的 应 用 -坡 度 坡 角 问 题 ． 【 分 析 】 如 图 作 BN⊥CD 于 N， BM⊥AC 于 M， 先 在 RT△BDN 中 求 出 线 段 BN， 在 RT△ABM 中 求 出 AM， 再 证 明 四 边 形 CMBN 是 矩 形 ， 得 CM=BN 即 可 解 决 问 题 ． 【 解 答 】 解 ： 如 图 作 BN⊥CD 于 N， BM⊥AC 于 M． 在 RT△BDN 中 ， BD=30， BN： ND=1： ， ∴BN=15， DN=15 ， ∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°， ∴四 边 形 CMBN 是 矩 形 ， ∴CM=BM=15， BM=CN=60 ﹣ 15 =45 ， 在 RT△ABM 中 ， tan∠ABM= = ， ∴AM=27 ， ∴AC=AM+CM=15+27 ． 23． 如 图 ， 一 次 函 数 y=kx+b（ k＜ 0） 与 反 比 例 函 数 y= 的 图 象 相 交 于 A、 B 两 点 ， 一 次 函 数 的 图 象 与 y 轴 相 交 于 点 C， 已 知 点 A（ 4， 1） （ 1） 求 反 比 例 函 数 的 解 析 式 ； （ 2）连 接 OB（ O 是 坐 标 原 点 ），若 △BOC 的 面 积 为 3，求 该 一 次 函 数 的 解 析 式 ． 【 考 点 】 反 比 例 函 数 与 一 次 函 数 的 交 点 问 题 ． 【 分 析 】（ 1） 由 点 A 的 坐 标 结 合 反 比 例 函 数 系 数 k 的 几 何 意 义 ， 即 可 求 出 m 的 值 ； （ 2）设 点 B 的 坐 标 为（ n， ），将 一 次 函 数 解 析 式 代 入 反 比 例 函 数 解 析 式 中 ， 利 用 根 与 系 数 的 关 系 可 找 出 n、k 的 关 系 ，由 三 角 形 的 面 积 公 式 可 表 示 出 来 b、 n 的 关 系 ，再 由 点 A 在 一 次 函 数 图 象 上 ，可 找 出 k、b 的 关 系 ，联 立 3 个 等 式 为 方 程 组 ， 解 方 程 组 即 可 得 出 结 论 ． 【 解 答 】 解 ：（ 1） ∵点 A（ 4， 1） 在 反 比 例 函 数 y= 的 图 象 上 ， ∴m=4×1=4， ∴反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 y= ． （ 2） ∵点 B 在 反 比 例 函 数 y= 的 图 象 上 ， ∴设 点 B 的 坐 标 为 （ n， ）． 将 y=kx+b 代 入 y= 中 ， 得 ： kx+b= ， 整 理 得 ： kx2+bx﹣ 4=0， ∴4n=﹣ ， 即 nk=﹣ 1①． 令 y=kx+b 中 x=0， 则 y=b， 即 点 C 的 坐 标 为 （ 0， b）， ∴S △ BOC= bn=3， ∴bn=6②． ∵点 A（ 4， 1） 在 一 次 函 数 y=kx+b 的 图 象 上 ， ∴1=4k+b③． 联 立 ①②③成 方 程 组 ， 即 ， 解 得 ： ， ∴该 一 次 函 数 的 解 析 式 为 y=﹣ x+3． 六 ． 本 大 题 共 2 小 题 ， 每 小 题 12 分 ， 共 24 分 24．如 图 ，△ABC 内 接 于 ⊙O，BD 为 ⊙O 的 直 径 ，BD 与 AC 相 交 于 点 H，AC 的 延 长 线 与 过 点 B 的 直 线 相 交 于 点 E， 且 ∠A=∠EBC． （ 1） 求 证 ： BE 是 ⊙O 的 切 线 ； （ 2） 已 知 CG∥EB， 且 CG 与 BD、 BA 分 别 相 交 于 点 F、 G， 若 BG•BA=48， FG= ， DF=2BF， 求 AH 的 值 ． 【 考 点 】 圆 的 综 合 题 ； 三 角 形 的 外 接 圆 与 外 心 ； 切 线 的 判 定 ． 【 分 析 】（ 1） 欲 证 明 BE 是 ⊙O 的 切 线 ， 只 要 证 明 ∠EBD=90°． （ 2） 由 △ABC∽△CBG， 得 = 求 出 BC， 再 由 △BFC∽△BCD， 得 BC 2=BF•BD 求 出 BF， CF， CG， GB， 再 通 过 计 算 发 现 CG=AG， 进 而 可 以 证 明 CH=CB， 求 出 AC 即 可 解 决 问 题 ． 【 解 答 】（ 1） 证 明 ： 连 接 CD， ∵BD 是 直 径 ， ∴∠BCD=90°， 即 ∠D+∠CBD=90°， ∵∠A=∠D， ∠A=∠EBC， ∴∠CBD+∠EBC=90°， ∴BE⊥BD， ∴BE 是 ⊙O 切 线 ． （ 2） 解 ： ∵CG∥EB， ∴∠BCG=∠EBC， ∴∠A=∠BCG， ∵∠CBG=∠ABC ∴△ABC∽△CBG， ∴ = ， 即 BC 2=BG•BA=48， ∴BC=4 ， ∵CG∥EB， ∴CF⊥BD， ∴△BFC∽△BCD， ∴BC 2=BF•BD， ∵DF=2BF， ∴BF=4， 在 RT△BCF 中 ， CF= =4 ， ∴CG=CF+FG=5 ， 在 RT△BFG 中 ， BG= =3 ， ∵BG•BA=48， ∴ 即 AG=5 ， ∴CG=AG， ∴∠A=∠ACG=∠BCG， ∠CFH=∠CFB=90°， ∴∠CHF=∠CBF， ∴CH=CB=4 ， ∵△ABC∽△CBG， ∴ = ， ∴AC= = ， ∴AH=AC﹣ CH= ． 25．如 图 ，在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ，点 O 为 坐 标 原 点 ，直 线 l 与 抛 物 线 y=mx2+nx 相 交 于 A（ 1， 3 ）， B（ 4， 0） 两 点 ． （ 1） 求 出 抛 物 线 的 解 析 式 ； （ 2）在 坐 标 轴 上 是 否 存 在 点 D，使 得 △ABD 是 以 线 段 AB 为 斜 边 的 直 角 三 角 形 ？ 若 存 在 ， 求 出 点 D 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 说 明 理 由 ； （ 3）点 P 是 线 段 AB 上 一 动 点 ，（ 点 P 不 与 点 A、B 重 合 ），过 点 P 作 PM∥OA， 交 第 一 象 限 内 的 抛 物 线 于 点 M， 过 点 M 作 MC⊥x 轴 于 点 C， 交 AB 于 点 N， 若 △BCN、 △PMN 的 面 积 S △ BCN 、 S △ PMN 满 足 S △ BCN =2S △ PMN ， 求 出 的 值 ， 并 求 出 此 时 点 M 的 坐 标 ． 【 考 点 】 二 次 函 数 综 合 题 ． 【 分 析 】（ 1） 由 A、 B 两 点 的 坐 标 ， 利 用 待 定 系 数 法 可 求 得 抛 物 线 解 析 式 ； （ 2） 分 D 在 x 轴 上 和 y 轴 上 ， 当 D 在 x 轴 上 时 ， 过 A 作 AD⊥x 轴 ， 垂 足 D 即 为 所 求 ；当 D 点 在 y 轴 上 时 ，设 出 D 点 坐 标 为（ 0，d），可 分 别 表 示 出 AD、 BD， 再 利 用 勾 股 定 理 可 得 到 关 于 d 的 方 程 ， 可 求 得 d 的 值 ， 从 而 可 求 得 满 足 条 件 的 D 点 坐 标 ； （ 3）过 P 作 PF⊥CM 于 点 F，利 用 Rt△ADO∽Rt△MFP 以 及 三 角 函 数 ，可 用 PF 分 别 表 示 出 MF 和 NF，从 而 可 表 示 出 MN，设 BC=a，则 可 用 a 表 示 出 CN， 再 利 用 S △ BCN=2S △ PMN ，可 用 PF 表 示 出 a 的 值 ， 从 而 可 用 PF 表 示 出 CN， 可 求 得 的 值 ；借 助 a 可 表 示 出 M 点 的 坐 标 ，代 入 抛 物 线 解 析 式 可 求 得 a 的 值 ， 从 而 可 求 出 M 点 的 坐 标 ． 【 解 答 】 解 ： （ 1） ∵A（ 1， 3 ）， B（ 4， 0） 在 抛 物 线 y=mx 2+nx 的 图 象 上 ， ∴ ， 解 得 ， ∴抛 物 线 解 析 式 为 y=﹣ x2+4 x； （ 2） 存 在 三 个 点 满 足 题 意 ， 理 由 如 下 ： 当 点 D 在 x 轴 上 时 ， 如 图 1， 过 点 A 作 AD⊥x 轴 于 点 D， ∵A（ 1， 3 ）， ∴D 坐 标 为 （ 1， 0）； 当 点 D 在 y 轴 上 时 ， 设 D（ 0， d）， 则 AD 2=1+（ 3 ﹣ d） 2， BD 2=4 2+d2， 且 AB 2=（ 4﹣ 1） 2+（ 3 ） 2=36， ∵△ABD 是 以 AB 为 斜 边 的 直 角 三 角 形 ， ∴AD 2+BD 2=AB 2， 即 1+（ 3 ﹣ d） 2+42+d 2=36， 解 得 d= ， ∴D 点 坐 标 为 （ 0， ） 或 （ 0， ）； 综 上 可 知 存 在 满 足 条 件 的 D 点 ，其 坐 标 为（ 1，0）或（ 0， ）或（ 0， ）； （ 3） 如 图 2， 过 P 作 PF⊥CM 于 点 F， ∵PM∥OA， ∴Rt△ADO∽Rt△MFP， ∴ = =3 ， ∴MF=3 PF， 在 Rt△ABD 中 ， BD=3， AD=3 ， ∴tan∠ABD= ， ∴∠ABD=60°， 设 BC=a， 则 CN= a， 在 Rt△PFN 中 ， ∠PNF=∠BNC=30°， ∴tan∠PNF= = ， ∴FN= PF， ∴MN=MF+FN=4 PF， ∵S △ BCN =2S △ PMN ， ∴ a2=2× ×4 PF 2， ∴a=2 PF， ∴NC= a=2 PF， ∴ = = ， ∴MN= NC= × a= a， ∴MC=MN+NC=（ + ） a， ∴M 点 坐 标 为 （ 4﹣ a，（ + ） a）， 又 M 点 在 抛 物 线 上 ， 代 入 可 得 ﹣ （ 4﹣ a） 2+4 （ 4﹣ a） =（ + ） a， 解 得 a=3﹣ 或 a=0（ 舍 去 ）， OC=4﹣ a= +1， MC=2 + ， ∴点 M 的 坐 标 为 （ +1， 2 + ）． 2016 年 7 月 1 日