2016 年黑龙江省龙东地区中考数学试卷
一、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）
1．2015 年 12 月 6 日第十届全球孔子学院大会在上海召开，截止到会前，网络孔子学院注
册用户达 800 万人，数据 800 万人用科学记数法表示为 人．
2．在函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 ．
3．如图，在平行四边形 ABCD 中，延长 AD 到点 E，使 DE=AD，连接 EB，EC，DB 请你
添加一个条件 ，使四边形 DBCE 是矩形．
4．在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的 4 个红球，3 个白球，2 个绿球，则摸
出绿球的概率是 ．
5．不等式组 有 3 个整数解，则 m 的取值范围是 ．
6．一件服装的标价为 300 元，打八折销售后可获利 60 元，则该件服装的成本价是
元．
7．如图，MN 是⊙O 的直径，MN=4，∠AMN=40°，点 B 为弧 AN 的中点，点 P 是直径 MN
上的一个动点，则 PA+PB 的最小值为 ．
8．小丽在手工制作课上，想用扇形卡纸制作一个圣诞帽，卡纸的半径为 30cm，面积为
300πcm2，则这个圣诞帽的底面半径为 cm．
9．已知：在平行四边形 ABCD 中，点 E 在直线 AD 上，AE= AD，连接 CE 交 BD 于点 F，
则 EF：FC 的值是 ．
10．如图，等边三角形的顶点 A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿 x 轴翻折，
再向左平移 1 个单位”为一次変换，如果这样连续经过 2016 次变换后，等边△ABC 的顶点 C
的坐标为 ．
二、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）
11．下列运算中，计算正确的是（ ）
A．2a•3a=6a B．（3a2）3=27a6
C．a4÷a2=2a D．（a+b）2=a2+ab+b2
12．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
13．如图，由 5 块完全相同的小正方体所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在
该位置小正方体的个数，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
14．一次招聘活动中，共有 8 人进入复试，他们的复试成绩（百分制）如下：70，100，90，
80，70，90，90，80．对于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．平均数是 80 B．众数是 90 C．中位数是 80 D．极差是 70
15．如图，直角边长为 1 的等腰直角三角形与边长为 2 的正方形在同一水平线上，三角形沿
水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为 t，正方形与三角形不重合部分的面积为 s
（阴影部分），则 s 与 t 的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
16．关于 x 的分式方程 =3 的解是正数，则字母 m 的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m＞﹣3 C．m＞﹣3 D．m＜﹣3
17．若点 O 是等腰△ABC 的外心，且∠BOC=60°，底边 BC=2，则△ABC 的面积为（ ）
A．2+ B． C．2+ 或 2﹣ D．4+2 或 2﹣
18．已知反比例函数 y= ，当 1＜x＜3 时，y 的最小整数值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
19．为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把 5m 长的彩绳截
成 2m 或 1m 的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有几种不同的截法（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
20．如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、CD 的中点，连接 AE，BF 交于点 G，将
△BCF 沿 BF 对折，得到△BPF，延长 FP 交 BA 延长线于点 Q，下列结论正确的个数是
（ ）
①AE=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP= ；④S 四边形 ECFG=2S△BGE．
A．4 B．3 C．2 D．1
三、解答题（满分 60 分）
21．先化简，再求值：（1+ ）÷ ，其中 x=4﹣tan45°．
22．如图，在平面直角坐标系中，点 A、B、C 的坐标分别为（﹣1，3）、（﹣4，1）（﹣2，
1），先将△ABC 沿一确定方向平移得到△A1B1C1，点 B 的对应点 B1 的坐标是（1，2），再
将△A1B1C1 绕原点 O 顺时针旋转 90°得到△A2B2C2，点 A1 的对应点为点 A2．
（1）画出△A1B1C1；
（2）画出△A2B2C2；
（3）求出在这两次变换过程中，点 A 经过点 A1 到达 A2 的路径总长．
23．如图，二次函数 y=（x+2）2+m 的图象与 y 轴交于点 C，点 B 在抛物线上，且与点 C
关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数 y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上的点 A（﹣
1，0）及点 B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b 的 x 的取值范围．
24．某学校为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行八百米跑
体能测试，测试结果分为 A、B、C、D 四个等级，请根据两幅统计图中的信息回答下列问
题：
（1）求本次测试共调查了多少名学生？
（2）求本次测试结果为 B 等级的学生数，并补全条形统计图；
（3）若该中学八年级共有 900 名学生，请你估计八年级学生中体能测试结果为 D 等级的学
生有多少人？
25．甲、乙两车从 A 城出发前往 B 城，在整个行程中，两车离开 A 城的距离 y 与 t 的对应
关系如图所示：
（1）A、B 两城之间距离是多少千米？
（2）求乙车出发多长时间追上甲车？
（3）直接写出甲车出发多长时间，两车相距 20 千米．
26．已知：点 P 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 所在直线上的一个动点（点 P 不与点 A、C
重合），分别过点 A、C 向直线 BP 作垂线，垂足分别为点 E、F，点 O 为 AC 的中点．
（1）当点 P 与点 O 重合时如图 1，易证 OE=OF（不需证明）
（2）直线 BP 绕点 B 逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图 2、图 3 的位置，猜想线段
CF、AE、OE 之间有怎样的数量关系？请写出你对图 2、图 3 的猜想，并选择一种情况给予
证明．
27．某中学开学初到商场购买 A、B 两种品牌的足球，购买 A 种品牌的足球 50 个，B 种品
牌的足球 25 个，共花费 4500 元，已知购买一个 B 种品牌的足球比购买一个 A 钟品牌的足
球多花 30 元．
（1）求购买一个 A 种品牌、一个 B 种品牌的足球各需多少元．
（2）学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进 A、B 两种品牌足球共 50
个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A 品牌足球售价比第一次购买时提高 4 元，B 品牌
足球按第一次购买时售价的 9 折出售，如果学校此次购买 A、B 两种品牌足球的总费用不超
过第一次花费的 70%，且保证这次购买的 B 种品牌足球不少于 23 个，则这次学校有哪几种
购买方案？
（3）请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？
28．如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，
点 C 在第四象限，点 B 在 x 轴的正半轴上．∠OAB=90°且 OA=AB，OB，OC 的长分别是一
元二次方程 x2﹣11x+30=0 的两个根（OB＞OC）．
（1）求点 A 和点 B 的坐标．
（2）点 P 是线段 OB 上的一个动点（点 P 不与点 O，B 重合），过点 P 的直线 l 与 y 轴平行，
直线 l 交边 OA 或边 AB 于点 Q，交边 OC 或边 BC 于点 R．设点 P 的横坐标为 t，线段 QR
的长度为 m．已知 t=4 时，直线 l 恰好过点 C．当 0＜t＜3 时，求 m 关于 t 的函数关系式．
（3）当 m=3.5 时，请直接写出点 P 的坐标．
2016 年黑龙江省龙东地区中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）
1．2015 年 12 月 6 日第十届全球孔子学院大会在上海召开，截止到会前，网络孔子学院注
册用户达 800 万人，数据 800 万人用科学记数法表示为 8×106 人．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，
要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：将 800 万用科学记数法表示为：8×106．
故答案为：8×106．
2．在函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 x≥2 ．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
3x﹣6≥0，
解得 x≥2，
故答案为：x≥2．
3．如图，在平行四边形 ABCD 中，延长 AD 到点 E，使 DE=AD，连接 EB，EC，DB 请你
添加一个条件 EB=DC ，使四边形 DBCE 是矩形．
【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．
【分析】利用平行四边形的判定与性质得到四边形 DBCE 为平行四边形，结合“对角线相等
的平行四边形为矩形”来添加条件即可．
【解答】解：添加 EB=DC．理由如下：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，且 AD=BC，
∴DE∥BC，
又∵DE=AD，
∴DE=BC，
∴四边形 DBCE 为平行四边形．
又∵EB=DC，
∴四边形 DBCE 是矩形．
故答案是：EB=DC．
4．在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的 4 个红球，3 个白球，2 个绿球，则摸
出绿球的概率是 ．
【考点】概率公式．
【分析】由在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的 4 个红球，3 个白球，2 个绿
球，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的 4 个红球，3 个白球，2
个绿球，
∴摸出绿球的概率是： = ．
故答案为： ．
5．不等式组 有 3 个整数解，则 m 的取值范围是 2＜x≤3 ．
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【分析】首先确定不等式组的整数解，然后根据只有这三个整数解即可确定．
【解答】解：不等式的整数解是 0，1，2．则 m 的取值范围是 2＜x≤3．
故答案是：2＜x≤3．
6．一件服装的标价为 300 元，打八折销售后可获利 60 元，则该件服装的成本价是 180 元．
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】设该件服装的成本价是 x 元．根据“利润=标价×折扣﹣进价”即可得出关于 x 的一元
一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：设该件服装的成本价是 x 元，
依题意得：300× ﹣x=60，
解得：x=180．
∴该件服装的成本价是 180 元．
故答案为：180．
7．如图，MN 是⊙O 的直径，MN=4，∠AMN=40°，点 B 为弧 AN 的中点，点 P 是直径 MN
上的一个动点，则 PA+PB 的最小值为 2 ．
【考点】轴对称-最短路线问题；圆周角定理．
【分析】过 A 作关于直线 MN 的对称点 A′，连接 A′B，由轴对称的性质可知 A′B 即为 PA+PB
的最小值，由对称的性质可知 = ，再由圆周角定理可求出∠A′ON 的度数，再由勾股
定理即可求解．
【解答】解：过 A 作关于直线 MN 的对称点 A′，连接 A′B，由轴对称的性质可知 A′B 即为
PA+PB 的最小值，
连接 OB，OA′，AA′，
∵AA′关于直线 MN 对称，
∴ = ，
∵∠AMN=40°，
∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，
∴∠A′OB=120°，
过 O 作 OQ⊥A′B 于 Q，
在 Rt△A′OQ 中，OA′=2，
∴A′B=2A′Q=2 ，
即 PA+PB 的最小值 2 ．
故答案为：2 ．
8．小丽在手工制作课上，想用扇形卡纸制作一个圣诞帽，卡纸的半径为 30cm，面积为
300πcm2，则这个圣诞帽的底面半径为 10 cm．
【考点】圆锥的计算．
【分析】由圆锥的几何特征，我们可得用半径为 30cm，面积为 300πcm2 的扇形卡纸制作一
个圣诞帽，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，据此求得圆锥的底面圆的半径．
【解答】解：设卡纸扇形的半径和弧长分别为 R、l，圣诞帽底面半径为 r，
则由题意得 R=30，由 Rl=300π得 l=20π；
由 2πr=l 得 r=10cm．
故答案是：10．
9．已知：在平行四边形 ABCD 中，点 E 在直线 AD 上，AE= AD，连接 CE 交 BD 于点 F，
则 EF：FC 的值是 或 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】分两种情况：①当点 E 在线段 AD 上时，由四边形 ABCD 是平行四边形，可证得
△EFD∽△CFB，求出 DE：BC=2：3，即可求得 EF：FC 的值；
②当当点 E 在射线 DA 上时，同①得：△EFD∽△CFB，求出 DE：BC=4：3，即可求得
EF：FC 的值．
【解答】解：∵AE= AD，
∴分两种情况：
①当点 E 在线段 AD 上时，如图 1 所示
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△EFD∽△CFB，
∴EF：FC=DE：BC，
∵AE= AD，
∴DE=2AE= AD= BC，
∴DE：BC=2：3，
∴EF：FC=2：3；
②当点 E 在线段 DA 的延长线上时，如图 2 所示：
同①得：△EFD∽△CFB，
∴EF：FC=DE：BC，
∵AE= AD，
∴DE=4AE= AD= BC，
∴DE：BC=4：3，
∴EF：FC=4：3；
综上所述：EF：FC 的值是 或 ；
故答案为： 或 ．
10．如图，等边三角形的顶点 A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿 x 轴翻折，
再向左平移 1 个单位”为一次変换，如果这样连续经过 2016 次变换后，等边△ABC 的顶点 C
的坐标为 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；坐标与图形变化-平移．
【分析】据轴对称判断出点 A 变换后在 x 轴上方，然后求出点 A 纵坐标，再根据平移的距
离求出点 A 变换后的横坐标，最后写出即可．
【解答】解：解：∵△ABC 是等边三角形 AB=3﹣1=2，
∴点 C 到 x 轴的距离为 1+2× = +1，
横坐标为 2，
∴A（2， +1），
第 2016 次变换后的三角形在 x 轴上方，
点 A 的纵坐标为 +1，
横坐标为 2+2016×1=2018，
所以，点 A 的对应点 A′的坐标是，
故答案为：．
二、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）
11．下列运算中，计算正确的是（ ）
A．2a•3a=6a B．（3a2）3=27a6
C．a4÷a2=2a D．（a+b）2=a2+ab+b2
【考点】整式的混合运算．
【分析】分别利用积的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、完全平方公式、单项式
乘以单项式运算法则化简求出答案．
【解答】解：A、2a•3a=6a2，故此选项错误；
B、（3a2）3=27a6，正确；
C、a4÷a2=2a2，故此选项错误；
D、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项错误；
故选：B．
12．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转 180
度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误；
B、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转 180 度后它的两
部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，又是中心对称图形．故此选项正确．
故选：D．
13．如图，由 5 块完全相同的小正方体所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在
该位置小正方体的个数，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．
【分析】由已知条件可知，主视图有 2 列，每列小正方数形数目分别为 3，1，从而确定正
确的选项．
【解答】解：由分析得该组合体的主视图为：
故选 B．
14．一次招聘活动中，共有 8 人进入复试，他们的复试成绩（百分制）如下：70，100，90，
80，70，90，90，80．对于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．平均数是 80 B．众数是 90 C．中位数是 80 D．极差是 70
【考点】极差；算术平均数；中位数；众数．
【分析】根据表中数据，分别利用中位数、众数、极差、平均数的定义即可求出它们，然后
就可以作出判断．
【解答】解：依题意得众数为 90；
中位数为 （80+90）=85；
极差为 100﹣70=30；
平均数为 （70×2+80×2+90×3+100）=83.75．故 B 正确．
故选 B．
15．如图，直角边长为 1 的等腰直角三角形与边长为 2 的正方形在同一水平线上，三角形沿
水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为 t，正方形与三角形不重合部分的面积为 s
（阴影部分），则 s 与 t 的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】根据直角边长为 1 的等腰直角三角形与边长为 2 的正方形在同一水平线上，三角形
沿水平线从左向右匀速穿过正方形可知，当 0≤t≤ 时，以及当 ＜t≤2 时，当 2＜t≤3 时，
求出函数关系式，即可得出答案．
【解答】解：∵直角边长为 1 的等腰直角三角形与边长为 2 的正方形在同一水平线上，三角
形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为 t，正方形与三角形不重合部分的面积
为 s，
∴s 关于 t 的函数大致图象应为：三角形进入正方形以前 s 增大，
当 0≤t≤ 时，s= ×1×1+2×2﹣ = ﹣ t2；
当 ＜t≤2 时，s= ×12= ；
当 2＜t≤3 时，s= ﹣ （3﹣t）2= t2﹣3t，
∴A 符合要求，故选 A．
16．关于 x 的分式方程 =3 的解是正数，则字母 m 的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m＞﹣3 C．m＞﹣3 D．m＜﹣3
【考点】分式方程的解．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出 m 的范围即可．
【解答】解：分式方程去分母得：2x﹣m=3x+3，
解得：x=﹣m﹣3，
由分式方程的解为正数，得到﹣m﹣3＞0，且﹣m﹣3≠﹣1，
解得：m＜﹣3，
故选 D
17．若点 O 是等腰△ABC 的外心，且∠BOC=60°，底边 BC=2，则△ABC 的面积为（ ）
A．2+ B． C．2+ 或 2﹣ D．4+2 或 2﹣
【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质．
【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后根据不同情况，求出相应的边的长度，从而可
以求出不同情况下△ABC 的面积，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，如右图所示，
存在两种情况，
当△ABC 为△A1BC 时，连接 OB、OC，
∵点 O 是等腰△ABC 的外心，且∠BOC=60°，底边 BC=2，OB=OC，
∴△OBC 为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1⊥BC 于点 D，
∴CD=1，OD= ，
∴ =2﹣ ，
当△ABC 为△A2BC 时，连接 OB、OC，
∵点 O 是等腰△ABC 的外心，且∠BOC=60°，底边 BC=2，OB=OC，
∴△OBC 为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1⊥BC 于点 D，
∴CD=1，OD= ，
∴S△A2BC= = =2+ ，
由上可得，△ABC 的面积为 或 2+ ，
故选 C．
18．已知反比例函数 y= ，当 1＜x＜3 时，y 的最小整数值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】反比例函数的性质．
【分析】根据反比例函数系数 k＞0，结合反比例函数的性质即可得知该反比例函数在 x＞0
中单调递减，再结合 x 的取值范围，可得出 y 的取值范围，取其内的最小整数，本题得解．
【解答】解：在反比例函数 y= 中 k=6＞0，
∴该反比例函数在 x＞0 内，y 随 x 的增大而减小，
当 x=3 时，y= =2；当 x=1 时，y= =6．
∴当 1＜x＜3 时，2＜y＜6．
∴y 的最小整数值是 3．
故选 A．
19．为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把 5m 长的彩绳截
成 2m 或 1m 的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有几种不同的截法（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二元一次方程的应用．
【分析】截下来的符合条件的彩绳长度之和刚好等于总长 9 米时，不造成浪费，设截成 2
米长的彩绳 x 根，1 米长的 y 根，由题意得到关于 x 与 y 的方程，求出方程的正整数解即可
得到结果．
【解答】解：截下来的符合条件的彩绳长度之和刚好等于总长 5 米时，不造成浪费，
设截成 2 米长的彩绳 x 根，1 米长的 y 根，
由题意得，2x+y=5，
因为 x，y 都是正整数，所以符合条件的解为：
、 、 ，
则共有 3 种不同截法，
故选：C．
20．如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、CD 的中点，连接 AE，BF 交于点 G，将
△BCF 沿 BF 对折，得到△BPF，延长 FP 交 BA 延长线于点 Q，下列结论正确的个数是
（ ）
①AE=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP= ；④S 四边形 ECFG=2S△BGE．
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】四边形综合题．
【分析】首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可得到①AE=BF；
②AE⊥BF；△BCF 沿 BF 对折，得到△BPF，利用角的关系求出 QF=QB，解出 BP，QB，
根据正弦的定义即可求解；根据 AA 可证△BGE 与△BCF 相似，进一步得到相似比，再根
据相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵E，F 分别是正方形 ABCD 边 BC，CD 的中点，
∴CF=BE，
在△ABE 和△BCF 中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故①正确；
又∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠BGE=90°，
∴AE⊥BF，故②正确；
根据题意得，FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠ABF，
∴∠ABF=∠PFB，
∴QF=QB，
令 PF=k（k＞0），则 PB=2k
在 Rt△BPQ 中，设 QB=x，
∴x2=（x﹣k）2+4k2，
∴x= ，
∴sin=∠BQP= = ，故③正确；
∵∠BGE=∠BCF，∠GBE=∠CBF，
∴△BGE∽△BCF，
∵BE= BC，BF= BC，
∴BE：BF=1： ，
∴△BGE 的面积：△BCF 的面积=1：5，
∴S 四边形 ECFG=4S△BGE，故④错误．
故选：B．
三、解答题（满分 60 分）
21．先化简，再求值：（1+ ）÷ ，其中 x=4﹣tan45°．
【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．
【分析】先算括号里面的，再算除法，求出 x 的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式= •
= ，
当 x=4﹣tan45°=4﹣1=3 时，原式= = ．
22．如图，在平面直角坐标系中，点 A、B、C 的坐标分别为（﹣1，3）、（﹣4，1）（﹣2，
1），先将△ABC 沿一确定方向平移得到△A1B1C1，点 B 的对应点 B1 的坐标是（1，2），再
将△A1B1C1 绕原点 O 顺时针旋转 90°得到△A2B2C2，点 A1 的对应点为点 A2．
（1）画出△A1B1C1；
（2）画出△A2B2C2；
（3）求出在这两次变换过程中，点 A 经过点 A1 到达 A2 的路径总长．
【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．
【分析】（1）由 B 点坐标和 B1 的坐标得到△ABC 向右平移 5 个单位，再向上平移 1 个单位
得到△A1B1C1，则根据点平移的规律写出 A1 和 C1 的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点 A1 的对应点为点 A2，点 B1 的对应点为点 B2，点
C1 的对应点为点 C2，从而得到△A2B2C2；
（3）先利用勾股定理计算平移的距离，再计算以 OA1 为半径，圆心角为 90°的弧长，然后
把它们相加即可得到这两次变换过程中，点 A 经过点 A1 到达 A2 的路径总长．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1 为所作；
（2）如图，△A2B2C2 为所作；
（3）OA= =4 ，
点 A 经过点 A1 到达 A2 的路径总长= + = +2 π．
23．如图，二次函数 y=（x+2）2+m 的图象与 y 轴交于点 C，点 B 在抛物线上，且与点 C
关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数 y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上的点 A（﹣
1，0）及点 B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b 的 x 的取值范围．
【考点】二次函数与不等式（组）；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数
解析式．
【分析】（1）先利用待定系数法先求出 m，再求出点 B 坐标，利用方程组求出太阳还是解
析式．
（2）根据二次函数的图象在一次函数的图象上面即可写出自变量 x 的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线 y=（x+2）2+m 经过点 A（﹣1，0），
∴0=1+m，
∴m=﹣1，
∴抛物线解析式为 y=（x+2）2﹣1=x2+4x+3，
∴点 C 坐标（0，3），
∵对称轴 x=﹣2，B、C 关于对称轴对称，
∴点 B 坐标（﹣4，3），
∵y=kx+b 经过点 A、B，
∴ ，解得 ，
∴一次函数解析式为 y=﹣x﹣1，
（2）由图象可知，写出满足（x+2）2+m≥kx+b 的 x 的取值范围为 x＜﹣4 或 x＞﹣1．
24．某学校为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行八百米跑
体能测试，测试结果分为 A、B、C、D 四个等级，请根据两幅统计图中的信息回答下列问
题：
（1）求本次测试共调查了多少名学生？
（2）求本次测试结果为 B 等级的学生数，并补全条形统计图；
（3）若该中学八年级共有 900 名学生，请你估计八年级学生中体能测试结果为 D 等级的学
生有多少人？
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）设本次测试共调查了 x 名学生，根据总体、个体、百分比之间的关系列出方程
即可解决．
（2）用总数减去 A、C、D 中的人数，即可解决，画出条形图即可．
（3）用样本估计总体的思想解决问题．
【解答】解：（1）设本次测试共调查了 x 名学生．
由题意 x•20%=10，
x=50．
∴本次测试共调查了 50 名学生．
（2）测试结果为 B 等级的学生数=50﹣10﹣16﹣6=18 人．
条形统计图如图所示，
（3）∵本次测试等级为 D 所占的百分比为 =12%，
∴该中学八年级共有 900 名学生中测试结果为 D 等级的学生有 900×12%=108 人．
25．甲、乙两车从 A 城出发前往 B 城，在整个行程中，两车离开 A 城的距离 y 与 t 的对应
关系如图所示：
（1）A、B 两城之间距离是多少千米？
（2）求乙车出发多长时间追上甲车？
（3）直接写出甲车出发多长时间，两车相距 20 千米．
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）根据图象即可得出结论．
（2）先求出甲乙两人的速度，再列出方程即可解决问题．
（3）根据 y 甲﹣y 乙=20 或 y 乙﹣y 甲=20，列出方程即可解决．
【解答】解：（1）由图象可知 A、B 两城之间距离是 300 千米．
（2）设乙车出发 x 小时追上甲车．
由图象可知，甲的速度= =60 千米/小时．
乙的速度= =75 千米/小时．
由题意（75﹣60）x=60
解得 x=4 小时．
（3）设 y 甲=kx+b，则 解得 ，
∴y 甲=60x﹣300，
设 y 乙=k′x+b′，则 ，解得 ，
∴y 乙=100x﹣600，
∵两车相距 20 千米，
∴y 甲﹣y 乙=20 或 y 乙﹣y 甲=20 或 y 甲=20 或 y 甲=280，
即 60x﹣300﹣=20 或 100x﹣600﹣（60x﹣300）=20 或 60x﹣300=20 或 60x﹣300=280
解得 x=7 或 8 或 或 ，
∵7﹣5=2，8﹣5=3， ﹣5= ， ﹣ 5=
∴甲车出发 2 小时或 3 小时或 小时或 小时，两车相距 20 千米．
26．已知：点 P 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 所在直线上的一个动点（点 P 不与点 A、C
重合），分别过点 A、C 向直线 BP 作垂线，垂足分别为点 E、F，点 O 为 AC 的中点．
（1）当点 P 与点 O 重合时如图 1，易证 OE=OF（不需证明）
（2）直线 BP 绕点 B 逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图 2、图 3 的位置，猜想线段
CF、AE、OE 之间有怎样的数量关系？请写出你对图 2、图 3 的猜想，并选择一种情况给予
证明．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）由△AOE≌△COF 即可得出结论．
（2）图 2 中的结论为：CF=OE+AE，延长 EO 交 CF 于点 G，只要证明△EOA≌△GOC，
△OFG 是等边三角形，即可解决问题．
图 3 中的结论为：CF=OE﹣AE，延长 EO 交 FC 的延长线于点 G，证明方法类似．
【解答】解：（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
在△AEO 和△CFO 中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF．
（2）图 2 中的结论为：CF=OE+AE．
图 3 中的结论为：CF=OE﹣AE．
选图 2 中的结论证明如下：
延长 EO 交 CF 于点 G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠EAO=∠GCO，
在△EOA 和△GOC 中，
，
∴△EOA≌△GOC，
∴EO=GO，AE=CG，
在 RT△EFG 中，∵EO=OG，
∴OE=OF=GO，
∵∠OFE=30°，
∴∠OFG=90°﹣30°=60°，
∴△OFG 是等边三角形，
∴OF=GF，
∵OE=OF，
∴OE=FG，
∵CF=FG+CG，
∴CF=OE+AE．
选图 3 的结论证明如下：
延长 EO 交 FC 的延长线于点 G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠AEO=∠G，
在△AOE 和△COG 中，
，
∴△AOE≌△COG，
∴OE=OG，AE=CG，
在 RT△EFG 中，∵OE=OG，
∴OE=OF=OG，
∵∠OFE=30°，
∴∠OFG=90°﹣30°=60°，
∴△OFG 是等边三角形，
∴OF=FG，
∵OE=OF，
∴OE=FG，
∵CF=FG﹣CG，
∴CF=OE﹣AE．
27．某中学开学初到商场购买 A、B 两种品牌的足球，购买 A 种品牌的足球 50 个，B 种品
牌的足球 25 个，共花费 4500 元，已知购买一个 B 种品牌的足球比购买一个 A 钟品牌的足
球多花 30 元．
（1）求购买一个 A 种品牌、一个 B 种品牌的足球各需多少元．
（2）学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进 A、B 两种品牌足球共 50
个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A 品牌足球售价比第一次购买时提高 4 元，B 品牌
足球按第一次购买时售价的 9 折出售，如果学校此次购买 A、B 两种品牌足球的总费用不超
过第一次花费的 70%，且保证这次购买的 B 种品牌足球不少于 23 个，则这次学校有哪几种
购买方案？
（3）请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？
【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设 A 种品牌足球的单价为 x 元，B 种品牌足球的单价为 y 元，根据“总费用=
买 A 种足球费用+买 B 种足球费用，以及 B 种足球单价比 A 种足球贵 30 元”可得出关于 x、
y 的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设第二次购买 A 种足球 m 个，则购买 B 中足球（50﹣m）个，根据“总费用=买 A 种
足球费用+买 B 种足球费用，以及 B 种足球不小于 23 个”可得出关于 m 的一元一次不等式
组，解不等式组可得出 m 的取值范围，由此即可得出结论；
（3）分析第二次购买时，A、B 种足球的单价，即可得出那种方案花钱最多，求出花费最
大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设 A 种品牌足球的单价为 x 元，B 种品牌足球的单价为 y 元，
依题意得： ，解得： ．
答：购买一个 A 种品牌的足球需要 50 元，购买一个 B 种品牌的足球需要 80 元．
（2）设第二次购买 A 种足球 m 个，则购买 B 中足球（50﹣m）个，
依题意得： ，
解得：25≤m≤27．
故这次学校购买足球有三种方案：
方案一：购买 A 种足球 25 个，B 种足球 25 个；
方案二：购买 A 种足球 26 个，B 种足球 24 个；
方案三：购买 A 种足球 27 个，B 种足球 23 个．
（3）∵第二次购买足球时，A 种足球单价为 50+4=54（元），B 种足球单价为 80×0.9=72（元），
∴当购买方案中 B 种足球最多时，费用最高，即方案一花钱最多．
∴25×54+25×72=3150（元）．
答：学校在第二次购买活动中最多需要 3150 元资金．
28．如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，
点 C 在第四象限，点 B 在 x 轴的正半轴上．∠OAB=90°且 OA=AB，OB，OC 的长分别是一
元二次方程 x2﹣11x+30=0 的两个根（OB＞OC）．
（1）求点 A 和点 B 的坐标．
（2）点 P 是线段 OB 上的一个动点（点 P 不与点 O，B 重合），过点 P 的直线 l 与 y 轴平行，
直线 l 交边 OA 或边 AB 于点 Q，交边 OC 或边 BC 于点 R．设点 P 的横坐标为 t，线段 QR
的长度为 m．已知 t=4 时，直线 l 恰好过点 C．当 0＜t＜3 时，求 m 关于 t 的函数关系式．
（3）当 m=3.5 时，请直接写出点 P 的坐标．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）先利用因式分解法解方程 x2﹣11x+30=0 可得到 OB=6，OC=5，则 B 点坐标为
（6，0），作 AM⊥x 轴于 M，如图，利用等腰直角三角形的性质得 OM=BM=AM= OB=3，
于是可写出 B 点坐标；
（2）作 CN⊥x 轴于 N，如图，先利用勾股定理计算出 CN 得到 C 点坐标为（4，﹣3），再
利用待定系数法分别求出直线 OC 的解析式为 y=﹣ x，直线 OA 的解析式为 y=x，则根据
一次函数图象上点的坐标特征得到 Q（t，t），R（t，﹣ t），所以 QR=t﹣（﹣ t），从而得
到 m 关于 t 的函数关系式．
（3）利用待定系数法求出直线 AB 的解析式为 y=﹣x+6，直线 BC 的解析式为 y= x﹣9，
然后分类讨论：当 0＜t＜3 时，利用 t=3.5 可求出 t 得到 P 点坐标；
当 3≤t＜4 时，则 Q（t，﹣t+6），R（t，﹣ t），于是得到﹣t+6﹣（﹣ t）=3.5，解得 t=10，
不满足 t 的范围舍去；当 4≤t＜6 时，则 Q（t，﹣t+6），R（t， t﹣9），所以﹣t+6﹣（ t
﹣9）=3.5，然后解方程求出 t 得到 P 点坐标．
【解答】解：（1）∵方程 x2﹣11x+30=0 的解为 x1=5，x2=6，
∴OB=6，OC=5，
∴B 点坐标为（6，0），
作 AM⊥x 轴于 M，如图，
∵∠OAB=90°且 OA=AB，
∴△AOB 为等腰直角三角形，
∴OM=BM=AM= OB=3，
∴B 点坐标为（3，3）；
（2）作 CN⊥x 轴于 N，如图，
∵t=4 时，直线 l 恰好过点 C，
∴ON=4，
在 Rt△OCN 中，CN= = =3，
∴C 点坐标为（4，﹣3），
设直线 OC 的解析式为 y=kx，
把 C（4，﹣3）代入得 4k=﹣3，解得 k=﹣ ，
∴直线 OC 的解析式为 y=﹣ x，
设直线 OA 的解析式为 y=ax，
把 A（3，3）代入得 3a=3，解得 a=1，
∴直线 OA 的解析式为 y=x，
∵P（t，0）（0＜t＜3），
∴Q（t，t），R（t，﹣ t），
∴QR=t﹣（﹣ t）= t，
即 m= t（0＜t＜3）；
（3）设直线 AB 的解析式为 y=px+q，
把 A（3，3），B（6，0）代入得 ，解得 ，
∴直线 AB 的解析式为 y=﹣x+6，
同理可得直线 BC 的解析式为 y= x﹣9，
当 0＜t＜3 时，m= t，若 m=3.5，则 t=3.5，解得 t=2，此时 P 点坐标为（2，0）；
当 3≤t＜4 时，Q（t，﹣t+6），R（t，﹣ t），
∴m=﹣t+6﹣（﹣ t）=﹣ t+6，若 m=3.5，则﹣ t+6=3.5，解得 t=10（不合题意舍去）；
当 4≤t＜6 时，Q（t，﹣t+6），R（t， t﹣9），
∴m=﹣t+6﹣（ t﹣9）=﹣ t+15，若 m=3.5，则﹣ t+15=3.5，解得 t= ，此时 P 点坐标
为（ ，0），
综上所述，满足条件的 P 点坐标为（2，0）或（ ，0）．
2016 年 7 月 12 日
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