2016年昆明市中考数学试题及答案解析版

2016 年云南省昆明市中考数学试卷 一、填空题：每小题 3 分，共 18 分 1．﹣4 的相反数为 ． 2．昆明市 2016 年参加初中学业水平考试的人数约有 67300 人，将数据 67300 用科学记数法 表示为 ． 3．计算： ﹣ = ． 4．如图，AB∥CE，BF 交 CE 于点 D，DE=DF，∠F=20°，则∠B 的度数为 ． 5．如图，E，F，G，H 分别是矩形 ABCD 各边的中点，AB=6，BC=8，则四边形 EFGH 的 面积是 ． 6．如图，反比例函数 y= （k≠0）的图象经过 A，B 两点，过点 A 作 AC⊥x 轴，垂足为 C， 过点 B 作 BD⊥x 轴，垂足为 D，连接 AO，连接 BO 交 AC 于点 E，若 OC=CD，四边形 BDCE 的面积为 2，则 k 的值为 ． 二、选择题（共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分） 7．下面所给几何体的俯视图是（ ） A． B． C． D． 8．某学习小组 9 名学生参加“数学竞赛”，他们的得分情况如表： 人数（人） 1 3 4 1 分数（分） 80 85 90 95 那么这 9 名学生所得分数的众数和中位数分别是（ ） A．90，90 B．90，85 C．90，87.5 D．85，85 9．一元二次方程 x2﹣4x+4=0 的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 10．不等式组 的解集为（ ） A．x≤2 B．x＜4 C．2≤x＜4 D．x≥2 11．下列运算正确的是（ ） A．（a﹣3）2=a2﹣9 B．a2•a4=a8C． =±3 D． =﹣2 12．如图，AB 为⊙O 的直径，AB=6，AB⊥弦 CD，垂足为 G，EF 切⊙O 于点 B，∠A=30°， 连接 AD、OC、BC，下列结论不正确的是（ ） A．EF∥CD B．△COB 是等边三角形 C．CG=DG D． 的长为 π 13．八年级学生去距学校 10 千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了 20 分钟后， 其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的 2 倍．设骑车 学生的速度为 x 千米/小时，则所列方程正确的是（ ） A． ﹣ =20 B． ﹣ =20 C． ﹣ = D． ﹣ = 14．如图，在正方形 ABCD 中，AC 为对角线，E 为 AB 上一点，过点 E 作 EF∥AD，与 AC、DC 分别交于点 G，F，H 为 CG 的中点，连接 DE，EH，DH，FH．下列结论： ①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若 = ，则 3S△EDH=13S△DHC，其中结论正确的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 三、综合题：共 9 题，满分 70 分 15．计算：20160﹣|﹣ |+ +2sin45°． 16．如图，点 D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E，DE=FE，FC∥AB 求证：AE=CE． 17．如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为 A（1，1），B（4，2），C（3，4） （1）请画出将△ABC 向左平移 4 个单位长度后得到的图形△A1B1C1； （2）请画出△ABC 关于原点 O 成中心对称的图形△A2B2C2； （3）在 x 轴上找一点 P，使 PA+PB 的值最小，请直接写出点 P 的坐标． 18．某中学为了了解九年级学生体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试， 测试结果分为 A，B，C，D 四个等级，并依据测试成绩绘制了如下两幅尚不完整的统计图； （1）这次抽样调查的样本容量是 ，并补全条形图； （2）D 等级学生人数占被调查人数的百分比为 ，在扇形统计图中 C 等级所对 应的圆心角为 °； （3）该校九年级学生有 1500 人，请你估计其中 A 等级的学生人数． 19．甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有 3 个分别标有数字 1，2，3 的小球，乙口袋中 装有 2 个分别标有数字 4，5 的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出 一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字． （1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果； （2）求出两个数字之和能被 3 整除的概率． 20．如图，大楼 AB 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼 DE，在小楼的顶端 D 处 测得障碍物边缘点 C 的俯角为 30°，测得大楼顶端 A 的仰角为 45°（点 B，C，E 在同一水平 直线上），已知 AB=80m，DE=10m，求障碍物 B，C 两点间的距离（结果精确到 0.1m）（参 考数据： ≈1.414， ≈1.732） 21．（列方程（组）及不等式解应用题） 春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品 2 件和乙商品 3 件共需 270 元；购进甲商品 3 件和乙商品 2 件共需 230 元． （1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）商场决定甲商品以每件 40 元出售，乙商品以每件 90 元出售，为满足市场需求，需购 进甲、乙两种商品共 100 件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的 4 倍，请你求出获利 最大的进货方案，并确定最大利润． 22．如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC=90°，四边形 EBOC 是平行四边形，EB 交⊙O 于点 D，连接 CD 并延长交 AB 的延长线于点 F． （1）求证：CF 是⊙O 的切线； （2）若∠F=30°，EB=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π） 23．如图 1，对称轴为直线 x= 的抛物线经过 B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与 x 轴的 另一交点为 A （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 为第一象限内抛物线上的一点，设四边形 COBP 的面积为 S，求 S 的最大值； （3）如图 2，若 M 是线段 BC 上一动点，在 x 轴是否存在这样的点 Q，使△MQC 为等腰三 角形且△MQB 为直角三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 2016 年云南省昆明市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题：每小题 3 分，共 18 分 1．﹣4 的相反数为 4 ． 【考点】相反数． 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，0 的相反数是 0 即可求解． 【解答】解：﹣4 的相反数是 4． 故答案为：4． 2．昆明市 2016 年参加初中学业水平考试的人数约有 67300 人，将数据 67300 用科学记数法 表示为 6.73×104 ． 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值是 易错点，由于 67300 有 5 位，所以可以确定 n=5﹣1=4． 【解答】解：67300=6.73×104， 故答案为：6.73×104． 3．计算： ﹣ = ． 【考点】分式的加减法． 【分析】同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；再分解 因式约分计算即可求解． 【解答】解： ﹣ = = = ． 故答案为： ． 4．如图，AB∥CE，BF 交 CE 于点 D，DE=DF，∠F=20°，则∠B 的度数为 40° ． 【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质． 【分析】由等腰三角形的性质证得 E=∠F=20°，由三角形的外角定理证得 ∠CDF=∠E+∠F=40°，再由平行线的性质即可求得结论． 【解答】解：∵DE=DF，∠F=20°， ∴∠E=∠F=20°， ∴∠CDF=∠E+∠F=40°， ∵AB∥CE， ∴∠B=∠CDF=40°， 故答案为：40°． 5．如图，E，F，G，H 分别是矩形 ABCD 各边的中点，AB=6，BC=8，则四边形 EFGH 的 面积是 24 ． 【考点】中点四边形；矩形的性质． 【分析】先根据 E，F，G，H 分别是矩形 ABCD 各边的中点得出 AH=DH=BF=CF， AE=BE=DG=CG，故可得出△AEH≌△DGH≌△CGF≌△BEF，根据 S 四边形 EFGH=S 正方形﹣ 4S△AEH 即可得出结论． 【解答】解：∵E，F，G，H 分别是矩形 ABCD 各边的中点，AB=6，BC=8， ∴AH=DH=BF=CF=8，AE=BE=DG=CG=3． 在△AEH 与△DGH 中， ∵ ， ∴△AEH≌△DGH（SAS）． 同理可得△AEH≌△DGH≌△CGF≌△BEF， ∴S 四边形 EFGH=S 正方形﹣4S△AEH=6×8﹣4× ×3×4=48﹣24=24． 故答案为：24． 6．如图，反比例函数 y= （k≠0）的图象经过 A，B 两点，过点 A 作 AC⊥x 轴，垂足为 C， 过点 B 作 BD⊥x 轴，垂足为 D，连接 AO，连接 BO 交 AC 于点 E，若 OC=CD，四边形 BDCE 的面积为 2，则 k 的值为 ﹣ ． 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义；平行线分线段成比例． 【分析】先设点 B 坐标为（a，b），根据平行线分线段成比例定理，求得梯形 BDCE 的上下 底边长与高，再根据四边形 BDCE 的面积求得 ab 的值，最后计算 k 的值． 【解答】解：设点 B 坐标为（a，b），则 DO=﹣a，BD=b ∵AC⊥x 轴，BD⊥x 轴 ∴BD∥AC ∵OC=CD ∴CE= BD= b，CD= DO= a ∵四边形 BDCE 的面积为 2 ∴ （BD+CE）×CD=2，即 （b+ b）×（﹣ a）=2 ∴ab=﹣ 将 B（a，b）代入反比例函数 y= （k≠0），得 k=ab=﹣ 故答案为：﹣ 二、选择题（共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分） 7．下面所给几何体的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【考点】简单几何体的三视图． 【分析】直接利用俯视图的观察角度从上往下观察得出答案． 【解答】解：由几何体可得：圆锥的俯视图是圆，且有圆心． 故选：B． 8．某学习小组 9 名学生参加“数学竞赛”，他们的得分情况如表： 人数（人） 1 3 4 1 分数（分） 80 85 90 95 那么这 9 名学生所得分数的众数和中位数分别是（ ） A．90，90 B．90，85 C．90，87.5 D．85，85 【考点】众数；中位数． 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均 数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，可得答案． 【解答】解：在这一组数据中 90 是出现次数最多的，故众数是 90； 排序后处于中间位置的那个数是 90，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是 90； 故选：A． 9．一元二次方程 x2﹣4x+4=0 的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【考点】根的判别式． 【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出△=0，由此即可得知该方程有两个相等的 实数根． 【解答】解：在方程 x2﹣4x+4=0 中， △=（﹣4）2﹣4×1×4=0， ∴该方程有两个相等的实数根． 故选 B． 10．不等式组 的解集为（ ） A．x≤2 B．x＜4 C．2≤x＜4 D．x≥2 【考点】解一元一次不等式组． 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集即可． 【解答】解：解不等式 x﹣3＜1，得：x＜4， 解不等式 3x+2≤4x，得：x≥2， ∴不等式组的解集为：2≤x＜4， 故选：C． 11．下列运算正确的是（ ） A．（a﹣3）2=a2﹣9 B．a2•a4=a8C． =±3 D． =﹣2 【考点】同底数幂的乘法；算术平方根；立方根；完全平方公式． 【分析】利用同底数幂的乘法、算术平方根的求法、立方根的求法及完全平方公式分别计算 后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、（a﹣3）2=a2﹣6a+9，故错误； B、a2•a4=a6，故错误； C、 =3，故错误； D、 =﹣2，故正确， 故选 D． 12．如图，AB 为⊙O 的直径，AB=6，AB⊥弦 CD，垂足为 G，EF 切⊙O 于点 B，∠A=30°， 连接 AD、OC、BC，下列结论不正确的是（ ） A．EF∥CD B．△COB 是等边三角形 C．CG=DG D． 的长为 π 【考点】弧长的计算；切线的性质． 【分析】根据切线的性质定理和垂径定理判断 A；根据等边三角形的判定定理判断 B；根据 垂径定理判断 C；利用弧长公式计算出 的长判断 D． 【解答】解：∵AB 为⊙O 的直径，EF 切⊙O 于点 B， ∴AB⊥EF，又 AB⊥CD， ∴EF∥CD，A 正确； ∵AB⊥弦 CD， ∴ = ， ∴∠COB=2∠A=60°，又 OC=OD， ∴△COB 是等边三角形，B 正确； ∵AB⊥弦 CD， ∴CG=DG，C 正确； 的长为： =π，D 错误， 故选：D． 13．八年级学生去距学校 10 千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了 20 分钟后， 其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的 2 倍．设骑车 学生的速度为 x 千米/小时，则所列方程正确的是（ ） A． ﹣ =20 B． ﹣ =20 C． ﹣ = D． ﹣ = 【考点】由实际问题抽象出分式方程． 【分析】根据八年级学生去距学校 10 千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了 20 分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得 到哪个选项是正确的． 【解答】解：由题意可得， ﹣ = ， 故选 C． 14．如图，在正方形 ABCD 中，AC 为对角线，E 为 AB 上一点，过点 E 作 EF∥AD，与 AC、DC 分别交于点 G，F，H 为 CG 的中点，连接 DE，EH，DH，FH．下列结论： ①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若 = ，则 3S△EDH=13S△DHC，其中结论正确的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 【分析】①根据题意可知∠ACD=45°，则 GF=FC，则 EG=EF﹣GF=CD﹣FC=DF； ②由 SAS 证明△EHF≌△DHC，得到∠HEF=∠HDC，从而 ∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=180°； ③同②证明△EHF≌△DHC 即可； ④若 = ，则 AE=2BE，可以证明△EGH≌△DFH，则∠EHG=∠DHF 且 EH=DH，则 ∠DHE=90°，△EHD 为等腰直角三角形，过 H 点作 HM 垂直于 CD 于 M 点，设 HM=x，则 DM=5x，DH= x，CD=6x，则 S△DHC= ×HM×CD=3x2，S△EDH= ×DH2=13x2． 【解答】解：①∵四边形 ABCD 为正方形，EF∥AD， ∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°， ∴△CFG 为等腰直角三角形， ∴GF=FC， ∵EG=EF﹣GF，DF=CD﹣FC， ∴EG=DF，故①正确； ②∵△CFG 为等腰直角三角形，H 为 CG 的中点， ∴FH=CH，∠GFH= ∠GFC=45°=∠HCD， 在△EHF 和△DHC 中， ， ∴△EHF≌△DHC（SAS）， ∴∠HEF=∠HDC， ∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故②正确； ③∵△CFG 为等腰直角三角形，H 为 CG 的中点， ∴FH=CH，∠GFH= ∠GFC=45°=∠HCD， 在△EHF 和△DHC 中， ， ∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正确； ④∵ = ， ∴AE=2BE， ∵△CFG 为等腰直角三角形，H 为 CG 的中点， ∴FH=GH，∠FHG=90°， ∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD， 在△EGH 和△DFH 中， ， ∴△EGH≌△DFH（SAS）， ∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°， ∴△EHD 为等腰直角三角形， 过 H 点作 HM 垂直于 CD 于 M 点，如图所示： 设 HM=x，则 DM=5x，DH= x，CD=6x， 则 S△DHC= ×HM×CD=3x2，S△EDH= ×DH2=13x2， ∴3S△EDH=13S△DHC，故④正确； 故选：D． 三、综合题：共 9 题，满分 70 分 15．计算：20160﹣|﹣ |+ +2sin45°． 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 【分析】分别根据零次幂、实数的绝对值、负指数幂及特殊角的三角函数值进行计算即可． 【解答】解： 20160﹣|﹣ |+ +2sin45° =1﹣ +（3﹣1）﹣1+2× =1﹣ +3+ =4． 16．如图，点 D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E，DE=FE，FC∥AB 求证：AE=CE． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，再根据全等三角形的判定定 理 AAS 得出△ADE≌△CFE，即可得出答案． 【解答】证明：∵FC∥AB， ∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE， 在△ADE 和△CFE 中， ， ∴△ADE≌△CFE（AAS）， ∴AE=CE． 17．如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为 A（1，1），B（4，2），C（3，4） （1）请画出将△ABC 向左平移 4 个单位长度后得到的图形△A1B1C1； （2）请画出△ABC 关于原点 O 成中心对称的图形△A2B2C2； （3）在 x 轴上找一点 P，使 PA+PB 的值最小，请直接写出点 P 的坐标． 【考点】作图-旋转变换；轴对称-最短路线问题；作图-平移变换． 【分析】（1）根据网格结构找出点 A、B、C 平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可； （2））找出点 A、B、C 关于原点 O 的对称点的位置，然后顺次连接即可； （3）找出 A 的对称点 A′，连接 BA′，与 x 轴交点即为 P． 【解答】解：（1）如图 1 所示： （2）如图 2 所示： （3）找出 A 的对称点 A′（﹣3，﹣4）， 连接 BA′，与 x 轴交点即为 P； 如图 3 所示：点 P 坐标为（2，0）． 18．某中学为了了解九年级学生体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试， 测试结果分为 A，B，C，D 四个等级，并依据测试成绩绘制了如下两幅尚不完整的统计图； （1）这次抽样调查的样本容量是 50 ，并补全条形图； （2）D 等级学生人数占被调查人数的百分比为 8% ，在扇形统计图中 C 等级所对应的圆 心角为 28.8 °； （3）该校九年级学生有 1500 人，请你估计其中 A 等级的学生人数． 【考点】条形统计图；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图． 【分析】（1）由 A 等级的人数和其所占的百分比即可求出抽样调查的样本容量；求出 B 等 级的人数即可全条形图； （2）用 B 等级的人数除以总人数即可得到其占被调查人数的百分比；求出 C 等级所占的百 分比，即可求出 C 等级所对应的圆心角； （3）由扇形统计图可知 A 等级所占的百分比，进而可求出九年级学生其中 A 等级的学生人 数． 【解答】解： （1）由条形统计图和扇形统计图可知总人数=16÷32%=50 人，所以 B 等级的人数=50﹣16 ﹣10﹣4=20 人， 故答案为：50； 补全条形图如图所示： （2）D 等级学生人数占被调查人数的百分比= ×100%=8%； 在扇形统计图中 C 等级所对应的圆心角=8%×360°=28.8°， 故答案为：8%，28.8； （3）该校九年级学生有 1500 人，估计其中 A 等级的学生人数=1500×32%=480 人． 19．甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有 3 个分别标有数字 1，2，3 的小球，乙口袋中 装有 2 个分别标有数字 4，5 的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出 一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字． （1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果； （2）求出两个数字之和能被 3 整除的概率． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【分析】先根据题意画树状图，再根据所得结果计算两个数字之和能被 3 整除的概率． 【解答】解：（1）树状图如下： （2）∵共 6 种情况，两个数字之和能被 3 整除的情况数有 2 种， ∴两个数字之和能被 3 整除的概率为 ， 即 P（两个数字之和能被 3 整除）= ． 20．如图，大楼 AB 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼 DE，在小楼的顶端 D 处 测得障碍物边缘点 C 的俯角为 30°，测得大楼顶端 A 的仰角为 45°（点 B，C，E 在同一水平 直线上），已知 AB=80m，DE=10m，求障碍物 B，C 两点间的距离（结果精确到 0.1m）（参 考数据： ≈1.414， ≈1.732） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 【分析】如图，过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，过点 C 作 CH⊥DF 于点 H．通过解直角△AFD 得到 DF 的长度；通过解直角△DCE 得到 CE 的长度，则 BC=BE﹣CE． 【解答】解：如图，过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，过点 C 作 CH⊥DF 于点 H． 则 DE=BF=CH=10m， 在直角△ADF 中，∵AF=80m﹣10m=70m，∠ADF=45°， ∴DF=AF=70m． 在直角△CDE 中，∵DE=10m，∠DCE=30°， ∴CE= = =10 （m）， ∴BC=BE﹣CE=70﹣10 ≈70﹣17.32≈52.7（m）． 答：障碍物 B，C 两点间的距离约为 52.7m． 21．（列方程（组）及不等式解应用题） 春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品 2 件和乙商品 3 件共需 270 元；购进甲商品 3 件和乙商品 2 件共需 230 元． （1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）商场决定甲商品以每件 40 元出售，乙商品以每件 90 元出售，为满足市场需求，需购 进甲、乙两种商品共 100 件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的 4 倍，请你求出获利 最大的进货方案，并确定最大利润． 【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用． 【分析】（1）设甲种商品每件的进价为 x 元，乙种商品每件的进价为 y 元，根据“购进甲商 品 2 件和乙商品 3 件共需 270 元；购进甲商品 3 件和乙商品 2 件共需 230 元”可列出关于 x、 y 的二元一次方程组，解方程组即可得出两种商品的单价； （2）设该商场购进甲种商品 m 件，则购进乙种商品件，根据“甲种商品的数量不少于乙种 商品数量的 4 倍”可列出关于 m 的一元一次不等式，解不等式可得出 m 的取值范围，再设卖 完 A、B 两种商品商场的利润为 w，根据“总利润=甲商品单个利润×数量+乙商品单个利润× 数量”即可得出 w 关于 m 的一次函数关系上，根据一次函数的性质结合 m 的取值范围即可 解决最值问题． 【解答】解：（1）设甲种商品每件的进价为 x 元，乙种商品每件的进价为 y 元， 依题意得： ，解得： ， 答：甲种商品每件的进价为 30 元，乙种商品每件的进价为 70 元． （2）设该商场购进甲种商品 m 件，则购进乙种商品件， 由已知得：m≥4， 解得：m≥80． 设卖完 A、B 两种商品商场的利润为 w， 则 w=（40﹣30）m+（90﹣70）=﹣10m+2000， ∴当 m=80 时，w 取最大值，最大利润为 1200 元． 故该商场获利最大的进货方案为甲商品购进 80 件、乙商品购进 20 件，最大利润为 1200 元． 22．如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC=90°，四边形 EBOC 是平行四边形，EB 交⊙O 于点 D，连接 CD 并延长交 AB 的延长线于点 F． （1）求证：CF 是⊙O 的切线； （2）若∠F=30°，EB=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π） 【考点】切线的判定；平行四边形的性质；扇形面积的计算． 【分析】（1）欲证明 CF 是⊙O 的切线，只要证明∠CDO=90°，只要证明△COD≌△COA 即可． （2）根据条件首先证明△OBD 是等边三角形，∠FDB=∠EDC=∠ECD=30°，推出 DE=EC=BO=BD=OA 由此根据 S 阴=2•S△AOC﹣S 扇形 OAD 即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图连接 OD． ∵四边形 OBEC 是平行四边形， ∴OC∥BE， ∴∠AOC=∠OBE，∠COD=∠ODB， ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB， ∴∠DOC=∠AOC， 在△COD 和△COA 中， ， ∴△COD≌△COA， ∴∠CAO=∠CDO=90°， ∴CF⊥OD， ∴CF 是⊙O 的切线． （2）解：∵∠F=30°，∠ODF=90°， ∴∠DOF=∠AOC=∠COD=60°， ∵OD=OB， ∴△OBD 是等边三角形， ∴∠DBO=60°， ∵∠DBO=∠F+∠FDB， ∴∠FDB=∠EDC=30°， ∵EC∥OB， ∴∠E=180°﹣∠OBD=120°， ∴∠ECD=180°﹣∠E﹣∠EDC=30°， ∴EC=ED=BO=DB， ∵EB=4， ∴OB=OD═OA=2， 在 RT△AOC 中，∵∠OAC=90°，OA=2，∠AOC=60°， ∴AC=OA•tan60°=2 ， ∴S 阴=2•S△AOC﹣S 扇形 OAD=2× ×2×2 ﹣ =2 ﹣ ． 23．如图 1，对称轴为直线 x= 的抛物线经过 B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与 x 轴的 另一交点为 A （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 为第一象限内抛物线上的一点，设四边形 COBP 的面积为 S，求 S 的最大值； （3）如图 2，若 M 是线段 BC 上一动点，在 x 轴是否存在这样的点 Q，使△MQC 为等腰三 角形且△MQB 为直角三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）由对称轴的对称性得出点 A 的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式； （2）作辅助线把四边形 COBP 分成梯形和直角三角形，表示出面积 S，化简后是一个关于 S 的二次函数，求最值即可； （3）画出符合条件的 Q 点，只有一种，①利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列 比例式；②在直角△OCQ 和直角△CQM 利用勾股定理列方程；两方程式组成方程组求解 并取舍． 【解答】解：（1）由对称性得：A（﹣1，0）， 设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2）， 把 C（0，4）代入：4=﹣2a， a=﹣2， ∴y=﹣2（x+1）（x﹣2）， ∴抛物线的解析式为：y=﹣2x2+2x+4； （2）如图 1，设点 P（m，﹣2m2+2m+4），过 P 作 PD⊥x 轴，垂足为 D， ∴S=S 梯形+S△PDB= m（﹣2m2+2m+4+4）+ （﹣2m2+2m+4）（2﹣m）， S=﹣2m2+4m+4=﹣2（m﹣1）2+6， ∵﹣2＜0， ∴S 有最大值，则 S 大=6； （3）如图 2，存在这样的点 Q，使△MQC 为等腰三角形且△MQB 为直角三角形， 理由是： 设直线 BC 的解析式为：y=kx+b， 把 B（2，0）、C（0，4）代入得： ， 解得： ， ∴直线 BC 的解析式为：y=﹣2x+4， 设 M（a，﹣2a+4）， 过 A 作 AE⊥BC，垂足为 E， 则 AE 的解析式为：y= x+ ， 则直线 BC 与直线 AE 的交点 E（1.4，1.2）， 设 Q（﹣x，0）（x＞0）， ∵AE∥QM， ∴△ABE∽△QBM， ∴ ①， 由勾股定理得：x2+42=2×[a2+（﹣2a+4﹣4）2 ] ②， 由①②得：a1=4（舍），a2= ， 当 a= 时，x= ， ∴Q（﹣ ，0）． 2016 年 7 月 12 日