2016年荆州市中考数学试题解析版

2016 年湖北省荆州市中考数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．比 0 小 1 的有理数是（ ） A．﹣1 B．1 C．0 D．2 2．下列运算正确的是（ ） A．m6÷m2=m3B．3m2﹣2m2=m2C．（3m2）3=9m6D． m•2m2=m2 3．如图，AB∥CD，射线 AE 交 CD 于点 F，若∠1=115°，则∠2 的度数是（ ） A．55° B．65° C．75° D．85° 4．我市气象部门测得某周内七天的日温差数据如下：4，6，6，5，7，6，8（单位：℃），这组数据 的平均数和众数分别是（ ） A．7，6 B．6，5 C．5，6 D．6，6 5．互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为 200 元，按标价的五折 销售，仍可获利 20 元，则这件商品的进价为（ ） A．120 元 B．100 元 C．80 元 D．60 元 6．如图，过⊙O 外一点 P 引⊙O 的两条切线 PA、PB，切点分别是 A、B，OP 交⊙O 于点 C，点 D 是优弧 上不与点 A、点 C 重合的一个动点，连接 AD、CD，若∠APB=80°，则∠ADC 的度数是 （ ） A．15° B．20° C．25° D．30° 7．如图，在 4×4 的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则 图中∠ABC 的余弦值是（ ） A．2 B． C． D． 8．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠CAB 的平分线交 BC 于 D，DE 是 AB 的垂直平分线，垂足 为 E．若 BC=3，则 DE 的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加 1 的规律拼成下列图案，若第 n 个图 案中有 2017 个白色纸片，则 n 的值为（ ） A．671 B．672 C．673 D．674 10．如图，在 Rt△AOB 中，两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，将△AOB 绕点 B 逆时针旋转 90°后得到△A′O′B．若反比例函数 的图象恰好经过斜边 A′B 的中点 C， S△ABO=4，tan∠BAO=2，则 k 的值为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11．将二次三项式 x2+4x+5 化成（x+p）2+q 的形式应为 ． 12．当 a= ﹣1 时，代数式 的值是 ． 13．若 12xm﹣1y2 与 3xyn+1 是同类项，点P（m，n）在双曲线 上，则 a 的值为 ． 14．若点 M（k﹣1，k+1）关于 y 轴的对称点在第四象限内，则一次函数 y=（k﹣1）x+k 的图象不 经过第 象限． 15．全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上 C 处测得塑像底部 B 处的俯角为 18°48′，测得塑像顶部 A 处的仰角为 45°，点 D 在观测点 C 正下方城墙底的地面上， 若 CD=10 米，则此塑像的高 AB 约为 米（参考数据：tan78°12′≈4.8）． 16．如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据计算这个几何体的表面 积为 cm2． 17．请用割补法作图，将一个锐角三角形经过一次或两次分割后，重新拼成一个与原三角形面积相 等的平行四边形（只要求用一种方法画出图形，把相等的线段作相同的标记）． 18．若函数 y=（a﹣1）x2﹣4x+2a 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 a 的值为 ． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 66 分） 19．计算： ． 20．为了弘扬荆州优秀传统文化，某中学举办了荆州文化知识大赛，其规则是：每位参赛选手回答 100 道选择题，答对一题得 1 分，不答或错答为得分、不扣分，赛后对全体参赛选手的答题情况进 行了相关统计，整理并绘制成如下图表： 组别 分数段 频数（人） 频率 1 50≤x＜60 30 0.1 2 60≤x＜70 45 0.15 3 70≤x＜80 60 n 4 80≤x＜90 m 0.4 5 90≤x＜100 45 0.15 请根据以图表信息，解答下列问题： （1）表中 m= ，n= ； （2）补全频数分布直方图； （3）全体参赛选手成绩的中位数落在第几组； （4）若得分在 80 分以上（含 80 分）的选手可获奖，记者从所有参赛选手中随机采访 1 人，求这名 选手恰好是获奖者的概率． 21．如图，将一张直角三角形 ABC 纸片沿斜边 AB 上的中线 CD 剪开，得到△ACD，再将△ACD 沿 DB 方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点 D′未到达点 B 时，A′C′交 CD 于 E，D′C′交 CB 于点 F，连接 EF，当四边形 EDD′F 为菱形时，试探究△A′DE 的形状，并判断△A′DE 与△EFC′是否 全等？请说明理由． 22．为更新果树品种，某果园计划新购进 A、B 两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果 树苗共 45 棵，其中 A 种苗的单价为 7 元/棵，购买 B 种苗所需费用 y（元）与购买数量 x（棵）之间 存在如图所示的函数关系． （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）若在购买计划中，B 种苗的数量不超过 35 棵，但不少于 A 种苗的数量，请设计购买方案，使 总费用最低，并求出最低费用． 23．如图，A、F、B、C 是半圆 O 上的四个点，四边形 OABC 是平行四边形，∠FAB=15°，连接 OF 交 AB 于点 E，过点 C 作 OF 的平行线交 AB 的延长线于点 D，延长 AF 交直线 CD 于点 H． （1）求证：CD 是半圆 O 的切线； （2）若 DH=6﹣3 ，求 EF 和半径 OA 的长． 24．已知在关于 x 的分式方程 ①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、 m、n 均为实数，方程①的根为非负数． （1）求 k 的取值范围； （2）当方程②有两个整数根 x1、x2，k 为整数，且 k=m+2，n=1 时，求方程②的整数根； （3）当方程②有两个实数根 x1、x2，满足 x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且 k 为负 整数时，试判断|m|≤2 是否成立？请说明理由． 25．阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分 线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点 M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4． 问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形 OABC，点 B 在第一象限，A、C 分别在 x 轴和 y 轴上，抛物线 经过 B、C 两点，顶点 D 在正方形内部． （1）直接写出点 D（m，n）所有的特征线； （2）若点 D 有一条特征线是 y=x+1，求此抛物线的解析式； （3）点 P 是 AB 边上除点 A 外的任意一点，连接 OP，将△OAP 沿着 OP 折叠，点 A 落在点 A′的位 置，当点 A′在平行于坐标轴的 D 点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离， 其顶点落在 OP 上？ 2016 年湖北省荆州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．比 0 小 1 的有理数是（ ） A．﹣1 B．1 C．0 D．2 【分析】直接利用有理数的加减运算得出答案． 【解答】解：由题意可得：0﹣1=﹣1， 故比 0 小 1 的有理数是：﹣1． 故选：A． 【点评】此题主要考查了有理数的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键． 2．下列运算正确的是（ ） A．m6÷m2=m3B．3m2﹣2m2=m2C．（3m2）3=9m6D． m•2m2=m2 【分析】分别利用同底数幂的除法运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则、单项式乘以 单项式运算法则分别分析得出答案． 【解答】解：A、m6÷m2=m4，故此选项错误； B、3m2﹣2m2=m2，正确； C、（3m2）3=27m6，故此选项错误； D、 m•2m2=m3，故此选项错误； 故选：B． 【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算以及合并同类项、积的乘方运算、单项式乘以单项式 等知识，熟练应用相关运算法则是解题关键． 3．如图，AB∥CD，射线 AE 交 CD 于点 F，若∠1=115°，则∠2 的度数是（ ） A．55° B．65° C．75° D．85° 【分析】根据两直线平行，同旁内 角互补可求出∠AFD 的度数，然后根据对顶角相等求出∠2 的度 数． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠1+∠F=180°， ∵∠1=115°， ∴∠AFD=65°， ∵∠2 和∠AFD 是对顶角， ∴∠2=∠AFD=65°， 故选 B． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补． 4．我市气象部门测得某周内七天的日温差数据如下：4，6，6，5，7，6，8（单位：℃），这组数据 的平均数和众数分别是（ ） A．7，6 B．6，5 C．5，6 D．6，6 【分析】根据众数定义确定众数；应用加权平均数计算这组数据的平均数． 【解答】解：平均数为： =6， 数据 6 出现了 3 次，最多， 故众数为 6， 故选 D． 【点评】此题考查了加权平均数和众数的定义，属基础题，难度不大． 5．互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为 200 元，按标价的五折 销售，仍可获利 20 元，则这件商品的进价为（ ） A．120 元 B．100 元 C．80 元 D．60 元 【分析】设该商品的进价为 x 元/件，根据“标价=（进价+利润）÷折扣”即可列出关于 x 的一元一次 方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：设该商品的进价为 x 元/件， 依题意得：（x+20）÷ =200， 解得：x=80． ∴该商品的进价为 80 元/件． 故选 C． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程（x+20）÷ =200．本题属于基 础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键． 6．如图，过⊙O 外一点 P 引⊙O 的两条切线 PA、PB，切点分别是 A、B，OP 交⊙O 于点 C，点 D 是优弧 上不与点 A、点 C 重合的一个动点，连接 AD、CD，若∠APB=80°，则∠ADC 的度数是 （ ） A．15° B．20° C．25° D．30° 【分析】根据四边形的内角和，可得∠BOA，根据等弧所对的圆周角相等，根据圆周角定理，可得 答案． 【解答】解；如图 ， 由四边形的内角和定理，得 ∠BOA=360°﹣90°﹣90°﹣80°=100°， 由 = ，得 ∠AOC=∠BOC=50°． 由圆周角定理，得 ∠ADC= ∠AOC=25°， 故选：C． 【点评】本题考查了切线的性质，切线的性质得出 = 是解题关键，又利用了圆周角定理． 7．如图，在 4×4 的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则 图中∠ABC 的余弦值是（ ） A．2 B． C． D． 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC 的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【解答】解：∵由图可知，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=32+42=25， ∴△ABC 是直角三角形，且∠ACB=90°， ∴cos∠ABC= = ． 故选 D． 【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等 于斜边长的平方是解答此题的关键． 8．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠CAB 的平分线交 BC 于 D，DE 是 AB 的垂直平分线，垂足 为 E．若 BC=3，则 DE 的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°， 【解答】解：∵DE 垂直平分 AB， ∴DA=DB， ∴∠B=∠DAB， ∵AD 平分∠CAB， ∴∠CAD=∠DAB， ∵∠C=90°， ∴3∠CAD=90°， ∴∠CAD=30°， ∵AD 平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC， ∴CD=DE= BD， ∵BC=3， ∴CD=DE=1， 故选 A． 【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相 等是解题的关键． 9．如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加 1 的规律拼成下列图案，若第 n 个图 案中有 2017 个白色纸片，则 n 的值为（ ） A．671 B．672 C．673 D．674 【分析】将已知三个图案中白色纸片数拆分，得出规律：每增加一个黑色纸片时，相应增加 3 个白 色纸片；据此可得第 n 个图案中白色纸片数，从而可得关于 n 的方程，解方程可得． 【解答】解：∵第 1 个图案中白色纸片有 4=1+1×3 张； 第 2 个图案中白色纸片有 7=1+2×3 张； 第 3 个图案中白色纸片有 10=1+3×3 张； … ∴第 n 个图案中白色纸片有 1+n×3=3n+1（张）， 根据题意得：3n+1=2017， 解得：n=672， 故选：B． 【点评】本题考查了图形的变化问题，观察出后一个图形比前一个图形的白色纸片的块数多 3 块， 从而总结出第 n 个图形的白色纸片的块数是解题的关键． 10．如图，在 Rt△AOB 中，两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，将△AOB 绕点 B 逆时针旋转 90°后得到△A′O′B．若反比例函数 的图象恰好经过斜边 A′B 的中点 C， S△ABO=4，tan∠BAO=2，则 k 的值为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 【分析】先根据 S△ABO=4，tan∠BAO =2 求出 AO、BO 的长度，再根据点 C 为斜边 A′B 的中点，求 出点 C 的坐标，点 C 的横纵坐标之积即为 k 值． 【解答】解：设点 C 坐标为（x，y），作 CD⊥BO′交边 BO′于点 D， ∵tan∠BAO=2， ∴ =2， ∵S△ABO= •AO•BO=4， ∴AO=2，BO=4， ∵△ABO≌△A′O′B， ∴AO=A′0′=2，BO=BO′=4， ∵点 C 为斜边 A′B 的中点，CD⊥BO′， ∴CD= A′0′=1，BD= BO′=2， ∴x=BO﹣CD=4﹣1=3，y=BD=2， ∴k=x•y=3•2=6． 故选 C．． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键在于读懂题意，作出合适的 辅助线，求出点 C 的坐标，然后根据点 C 的横纵坐标之积等于 k 值求解即可． 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11．将二次三项式 x2+4x+5 化成（x+p）2+q 的形式应为 （x+2）2+1 ． 【分析】直接利用完全平方公式将原式进行配方得出答案． 【解答】解：x2+4x+5 =x2+4x+4+1 =（x+2）2+1． 故答案为：（x+2）2+1． 【点评】此题主要考查了配方法的应用，正确应用完全平方公式是解题关键． 12．当 a= ﹣1 时，代数式 的值是 ． 【分析】根据已知条件先求出 a+b 和 a﹣b 的值，再把要求的式子进行化简，然后代值计算即可． 【解答】解：∵a= ﹣1， ∴a+b= +1+ ﹣1=2 ，a﹣b= +1﹣ +1=2， ∴ = = = ； 故答案为： ． 【点评】此题考查了分式的值，用到的知识点是完全平方公式、平方差公式和分式的化简，关键是 对给出的式子进行化简． 13．若 12xm﹣1y2 与 3xyn+1 是同类项，点 P（m，n）在双曲线 上，则 a 的值为 3 ． 【分析】先根据同类项的定义求出 m、n 的值，故可得出 P 点坐标，代入反比例函数的解析式即可 得出结论． 【解答】解：∵12xm﹣1y2 与 3xyn+1 是同类项， ∴m﹣1=1，n+1=2，解得 m=2，n=1， ∴P（2，1）． ∵点 P（m，n）在双曲线 上， ∴a﹣1=2，解得 a=3． 故答案为：3． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适 合此函数的解析式是解答此题的关键． 14．若点 M（k﹣1，k+1）关于 y 轴的对称点在第四象限内，则一次函数 y=（k﹣1）x+k 的图象不 经过第 一 象限． 【分析】首先确定点 M 所处的象限，然后确定 k 的符号，从而确定一次函数所经过的象限，得到答 案． 【解答】解：∵点 M（k﹣1，k+1）关于 y 轴的对称点在第四象限内， ∴点 M（k﹣1，k+1）位于第三象限， ∴k﹣1＜0 且 k+1＜0， 解得：k＜﹣1， ∴y=（k﹣1）x+k 经过第二、三、四象限，不经过第一象限， 故答案为：一． 【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数 y=kx+b（k≠0）中，当 k＜0，b＜0 时，函数图 象经过二、三、四象限．x_k_b_1 15．全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上 C 处测得塑像底部 B 处的俯角为 18°48′，测得塑像顶部 A 处的仰角为 45°，点 D 在观测点 C 正下方城墙底的地面上， 若 CD=10 米，则此塑像的高 AB 约为 58 米（参考数据：tan78°12′≈4.8）． 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出 EC 的长，进而得出 AE 的长，进而得出答案． 【解答】解：如图所示：由题意可得：CE⊥AB 于点 E，BE=DC， ∵∠ECB=18°48′， ∴∠EBC=78°12′， 则 tan78°12′= = =4.8， 解得：EC=48（m）， ∵∠AEC=45°，则 AE=EC，且 BE=DC=10m， ∴此塑像的高 AB 约为：AE+EB=58（米）． 故答案为：58． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得出 EC 的长是解题关键． 16．如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据计算这个几何体的表面 积为 4π cm2． 【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母 线长和底面半径，从而确定其表面积． 【解答】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该 是圆锥； 根据三视图知：该圆锥的母线长为 3cm，底面半径为 1cm， 故表面积=πrl+πr2=π×1×3+π×12=4πcm2． 故答案为：4π． 【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查． 17．请用割补法作图，将一个锐角三角形经过一次或两次分割后，重新拼成一个与原三角形面积相 等的平行四边形（只要求用一种方法画出图形，把相等的线段作相同的标记）． 【分析】沿 AB 的中点 E 和 BC 的中点 F 剪开，然后拼接成平行四边形即可． 【解答】解：如图所示． 新$课$标$第$一$网 AE=BE，DE=EF，AD=CF． 【点评】本题考查了图形的剪拼，操作性较强，灵活性较大，根据三角形的中位线定理想到从 AB、 BC 的中点入手剪开是解题的关键． 18．若函数 y=（a﹣1）x2﹣4x+2a 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 a 的值为 ﹣1 或 2 或 1 ． 【分析】直接利用抛物线与 x 轴相交，b2﹣4ac=0，进而解方程得出答案． 【解答】解：∵函数 y=（a﹣1）x2﹣4x+2a 的图象与 x 轴有且只有一个交点， 当函数为二次函数时，b2﹣4ac=16﹣4（a﹣1）×2a=0， 解得：a1=﹣1，a2=2， 当函数为一次函数时，a﹣1=0，解得：a=1． 故答案为：﹣1 或 2 或 1． 【点评】此题主要考查了抛物线与 x 轴的交点，正确得出关于 a 的方程是解题关键． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 66 分） 19．计算： ． 【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质、 零指数幂的性质化简，进而求出答案． 【解答】解：原式= +3×2﹣2× ﹣1 = +6﹣ ﹣1 =5． 【点评】此题主要考查了实数运算，正确利用负整数指数幂的性质化简是解题关键． 20．为了弘扬荆州优秀传统文化，某中学举办了荆州文化知识大赛，其规则是：每位参赛选手回答 100 道选择题，答对一题得 1 分，不答或错答为得分、不扣分，赛后对全体参赛选手的答题情况进 行了相关统计，整理并绘制成如下图表： 组别 分数段 频数（人） 频率 1 50≤x＜60 30 0.1 2 60≤x＜70 45 0.15 3 70≤x＜80 60 n 4 80≤x＜90 m 0.4 5 90≤x＜100 45 0.15 请根据以图表信息，解答下列问题： （1）表中 m= 120 ，n= 0.2 ； （2）补全频数分布直方图； （3）全体参赛选手成绩的中位数落在第几组； （4）若得分在 80 分以上（含 80 分）的选手可获奖，记者从所有参赛选手中随机采访 1 人，求这名 选手恰好是获奖者的概率． 【分析】（1）根据表格可以求得全体参赛选手的人数，从而可以求得 m 的值，n 的值； （2）根据（1）中的 m 的值，可以将补全频数分布直方图； （3）根据表格可以求得全体参赛选手成绩的中位数落在第几组； （4）根据表格中的数据可以求得这名选手恰好是获奖者的概率． 【解答】解：（1）由表格可得， 全体参赛的选手人数有：30÷0.1=300， 则 m=300×0.4=120，n=60÷300=0.2， 故答案为：120，0.2； （2）补全的频数分布直方图如右图所示， （3）∵35+45=75，75+60=135，135+120=255， ∴全体参赛选手成绩的中位数落在 80≤x＜90 这一组； （4）由题意可得， ， 即这名选手恰好是获奖者的概率是 0.55． 【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表、中位数、概率公式，解题的关键是明确题意，找 出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 21．如图，将一张直角三角形 ABC 纸片沿斜边 AB 上的中线 CD 剪开，得到△ACD，再将△ACD 沿 DB 方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点 D′未到达点 B 时，A′C′交 CD 于 E，D′C′交 CB 于点 F，连接 EF，当四边形 EDD′F 为菱形时，试探究△A′DE 的形状，并判断△A′DE 与△EFC′是否 全等？请说明理由． 【分析】当四边形 EDD′F 为菱形时，△A′DE 是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．先证明 CD=DA=DB， 得到∠DAC=∠DCA，由 AC∥A′C′即可得到∠DA′E=∠DEA′由此即可判断△DA′E 的形状．由 EF∥AB 推出∠CEF=∠EA′D，∠EFC=∠A′D′C=∠A′DE，再根据 A′D=DE=EF 即可证明． 【解答】解：当四边形 EDD′F 为菱形时，△A′DE 是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′． 理由：∵△BCA 是直角三角形，∠ACB=90°，AD=DB， ∴CD=DA=DB， ∴∠DAC=∠DCA， ∵A′C∥AC， ∴∠DA′E=∠A，∠DEA′=∠DCA， ∴∠DA′E=∠DEA′， ∴DA′=DE， ∴△A′DE 是等腰三角形． ∵四边形 DEFD′是菱形， ∴EF=DE=DA′，EF∥DD′， ∴∠CEF=∠DA′E，∠EFC=∠CD′A′， ∵CD∥C′D′， ∴∠A′DE=∠A′D′C=∠EFC， 在△A′DE 和△EFC ′中， ， ∴△A′DE≌△EFC′． 【点评】本题考查平移、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识， 解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 22．为更新果树品种，某果园计划新购进 A、B 两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果 树苗共 45 棵，其中 A 种苗的单价为 7 元/棵，购买 B 种苗所需费用 y（元）与购买数量 x（棵）之间 存在如图所示的函数关系． （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）若在购买计划中，B 种苗的数量不超过 35 棵，但不少于 A 种苗的数量，请设计购买方案，使 总费用最低，并求出最低费用． 【分析】（1）利用得到系数法求解析式，列出方程组解答即可； （2）根据所需费用为 W=A 种树苗的费用+B 种树苗的费用，即可解答． 【解答】解：（1）设 y 与 x 的函数关系式为：y=kx+b， 把（20，160），（40，288）代入 y=kx+b 得： 解得： ∴y=6.4x+32． （2）∵B 种苗的数量不超过 35 棵，但不少于 A 种苗的数量， ∴ ∴22.5≤x≤35， 设总费用为 W 元，则 W=6.4x+32+7（45﹣x）=﹣0.6x+347， ∵k=﹣0.6， ∴y 随 x 的增大而减小， ∴当 x=35 时，W 总费用最低，W 最低=﹣0.6×35+347=137（元）． 【点评】此题主要考查了一次函数的应用，根据一次函数的增减性得出费用最省方案是解决问题的 关键． 23．如图，A、F、B、C 是半圆 O 上的四个点，四边形 OABC 是平行四边形，∠FAB=15°，连接 OF 交 AB 于点 E，过点 C 作 OF 的平行线交 AB 的延长线于点 D，延长 AF 交直线 CD 于点 H． （1）求证：CD 是半圆 O 的切线； （2）若 DH=6﹣3 ，求 EF 和半径 OA 的长． 【分析】（1）连接 OB，根据已知条件得到△AOB 是等边三角形，得到∠AOB=60°，根据圆周角定 理得到∠AOF=∠BOF=30°，根据平行线的性质得到 OC⊥CD，由切线的判定定理即可得到结论； （2）根据平行线的性质得到∠DBC=∠EAO=60°，解直角三角形得到 BD= BC= AB，推出 AE= AD，根据相似三角形的性质得到 ，求得 EF=2﹣ ，根据直角三角形的性质即可得 到结论． 【解答】解：（1）连接 OB， ∵OA=OB=OC， ∵四边形 OABC 是平行四边形， ∴AB=OC， ∴△AOB 是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∵∠FAD=15°， ∴∠BOF=30°， ∴∠AOF=∠BOF=30°， ∴OF⊥AB， ∵CD∥OF， ∴CD⊥AD， ∵AD∥OC， ∴OC⊥CD， ∴CD 是半圆 O 的切线； （2）∵BC∥OA， ∴∠DBC=∠EAO=60°， ∴BD= BC= AB， ∴AE= AD， ∵EF∥DH， ∴△AEF∽△ADH， ∴ ， ∵DH=6﹣3 ， ∴EF=2﹣ ， ∵OF=OA， ∴OE=OA﹣（2﹣ ）， ∵∠AOE=30°， ∴ = = ， 解得：OA=2． 【点评】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性 质，连接 OB 构造等边三角形是解题的关键． 24．已知在关于 x 的分式方程 ①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、 m、n 均为实数，方程①的根为非负数． （1）求 k 的取值范围； （2）当方程②有两个整数根 x1、x2，k 为整数，且 k=m+2，n=1 时，求方程②的整数根； （3）当方程②有两个实数根 x1、x2，满足 x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且 k 为负 整数时，试判断|m|≤2 是否成立？请说明理由． 【分析】（1）先解出分式方程①的解，根据分式的意义和方程①的根为非负数得出 k 的取值； （2）先把 k=m+2，n=1 代入方程②化简，由方程②有两个整数实根得△是完全平方数，列等式得 出关于 m 的等式，由根与系数的关系和两个整数根 x1、x2 得出 m=1 和﹣1，分别代入方程后解出即 可． （3）根据（1）中 k 的取值和 k 为负整数得出 k=﹣1，化简已知所给的等式，并将两根和与积代入 计算求出 m 的值，做出判断． 【解答】解：（1）∵关于 x 的分式方程 的根为非负数， ∴x≥0 且 x≠1， 又∵x= ≥0，且 ≠1， ∴解得 k≥﹣1 且 k≠1， 又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0 中 2﹣k≠0， ∴k≠2， 综上可得：k≥﹣1 且 k≠1 且 k≠2； （2）∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0 有两个整数根 x1、x2，且 k=m+2，n=1 时， ∴把 k=m+2，n=1 代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0， ∴△≥0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且 m≠0， ∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4）， ∵x1、x2 是整数，k、m 都是整数， ∵x1+x2=3，x1•x2= =1﹣ ， ∴1﹣ 为整数， ∴m=1 或﹣1， ∴把 m=1 代入方程 mx2﹣3mx+m﹣1=0 得：x2﹣3x+1﹣1=0， x2﹣3x=0， x（x﹣3）=0， x1=0，x2=3； 把 m=﹣1 代入方程 mx2﹣3mx+m﹣1=0 得：﹣x2+3x﹣2=0， x2﹣3x+2=0， （x﹣1）（x﹣2）=0， x1=1，x2=2； （3）|m|≤2 不成立，理由是： 由（1）知：k≥﹣1 且 k≠1 且 k≠2， ∵k 是负整数， ∴k=﹣1， （2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0 且方程有两个实数根 x1、x2， ∴x1+x2=﹣ = =﹣m，x1x2= = ， x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k）， x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2， x12+x22═x1x2+k2， （x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2， （x1+x2）2﹣3x1x2=k2， （﹣m）2﹣3× =（﹣1）2， m2﹣4=1， m2=5， m=± ， ∴|m|≤2 不成立． 【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了根的判别式及分式方程的解；注意： ①解分式方程时分母不能为 0；②一元二次方程有两个整数根时，根的判别式△为完全平方数． 25．阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分 线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点 M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4． 问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形 OABC，点 B 在第一象限，A、C 分别在 x 轴和 y 轴上，抛物线 经过 B、C 两点，顶点 D 在正方形内部． （1）直接写出点 D（m，n）所有的特征线； （2）若点 D 有一条特征线是 y=x+1，求此抛物线的解析式； （3）点 P 是 AB 边上除点 A 外的任意一点，连接 OP，将△OAP 沿着 OP 折叠，点 A 落在点 A′的位 置，当点 A′在平行于坐标轴的 D 点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离， 其顶点落在 OP 上？ 【分析】（1）根据特征线直接求出点 D 的特征线； （2）由点 D 的一条特征线和正方形的性质求出点 D 的坐标，从而求出抛物线解析式； （2）分平行于 x 轴和 y 轴两种情况，由折叠的性质计算即可． 【解答】解：（1）∵点 D（m，n）， ∴点 D（m，n）的特征线是 x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n； （2）点 D 有一条特征线是 y=x+1， ∴n﹣m=1， ∴n=m+1 ∵抛物线解析式为 ， ∴y= （x﹣m）2+m+1， ∵四边形 OABC 是正方形，且 D 点为正方形的对称轴，D（m，n）， ∴B（2m，2m）， ∴ （2m﹣m）2+n=2m，将 n=m+1 带入得到 m=2，n=3； ∴D（2，3）， ∴抛物线解析式为 y= （x﹣2）2+3 （3）如图，当点 A′在平行于 y 轴的 D 点的特征线时， 根据题意可得，D（2，3）， ∴OA′=OA=4，OM=2， ∴∠A′OM=60°， ∴∠A′OP=∠AOP=30°， ∴MN= = ， ∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣ = ． 乳头，当点 A′在平行于 x 轴的 D 点的特征线时， ∵顶点落在 OP 上， ∴A′与 D 重合， ∴A′（2，3）， 设 P（4，c）（c＞0）， 由折叠有，PD=PA， ∴ =c， ∴c= ， ∴P（4， ） ∴直线 OP 解析式为 y= ， ∴N（2， ）， ∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣ = ， 即：抛物线向下平移 或 距离，其顶点落在 OP 上． 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，特征线的理解，解本题 的关键是用正方形的性质求出点 D 的坐标．