2016年荆门市中考数学试题及答案解析版

2016 年湖北省荆门市中考数学试卷 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，每小题给出 4 个选项，有且只有一 个答案是正确的） 1．2 的绝对值是（ ） A．2 B．﹣2 C． D．﹣ 2．下列运算正确的是（ ） A．a+2a=2a2B．（﹣2ab2）2=4a2b4C．a6÷a3=a2D．（a﹣3）2=a2﹣9 3．要使式子 有意义，则 x 的取值范围是（ ） A．x＞1 B．x＞﹣1 C．x≥1 D．x≥﹣1 4．如图，△ABC 中，AB=AC，AD 是∠BAC 的平分线．已知 AB=5，AD=3，则 BC 的长 为（ ） A．5 B．6 C．8 D．10 5．在平面直角坐标系中，若点 A（a，﹣b）在第一象限内，则点 B（a，b）所在的象限是 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．由 5 个大小相同的小正方体拼成的几何体如图所示，则下列说法正确的是（ ） A．主视图的面积最小 B．左视图的面积最小 C．俯视图的面积最小 D．三个视图的面积相等 7．化简 的结果是（ ） A． B． C．x+1 D．x﹣1 8．如图，正方形 ABCD 的边长为 2cm，动点 P 从点 A 出发，在正方形的边上沿 A→B→C 的方向运动到点 C 停止，设点 P 的运动路程为 x（cm），在下列图象中，能表示△ADP 的面 积 y（cm2）关于 x（cm）的函数关系的图象是（ ） A． B． C． D． 9．已知 3 是关于 x 的方程 x2﹣（m+1）x+2m=0 的一个实数根，并且这个方程的两个实数 根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为（ ） A．7 B．10 C．11 D．10 或 11 10．若二次函数 y=x2+mx 的对称轴是 x=3，则关于 x 的方程 x2+mx=7 的解为（ ） A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=7 11．如图，在矩形 ABCD 中（AD＞AB），点 E 是 BC 上一点，且 DE=DA，AF⊥DE，垂足 为点 F，在下列结论中，不一定正确的是（ ） A．△AFD≌△DCE B．AF= AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF 12．如图，从一块直径为 24cm 的圆形纸片上剪出一个圆心角为 90°的扇形 ABC，使点 A， B，C 在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（ ） A．12cm B．6cm C．3 cm D．2 cm 二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 13．分解因式：（m+1）（m﹣9）+8m= ． 14．为了改善办学条件，学校购置了笔记本电脑和台式电脑共 100 台，已知笔记本电脑的台 数比台式电脑的台数的 还少 5 台，则购置的笔记本电脑有 台． 15．荆楚学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了 3 名女生和 2 名 男生，则从这 5 名学生中，选取 2 名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是 ． 16．两个全等的三角尺重叠放在△ACB 的位置，将其中一个三角尺绕着点 C 按逆时针方向 旋转至△DCE 的位置，使点 A 恰好落在边 DE 上，AB 与 CE 相交于点 F．已知 ∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm，则 CF= cm． 17．如图，已知点 A（1，2）是反比例函数 y= 图象上的一点，连接 AO 并延长交双曲线 的另一分支于点 B，点 P 是 x 轴上一动点；若△PAB 是等腰三角形，则点 P 的坐标 是 ． 三、解答题（本题共 7 小题，共 69 分） 18．（1）计算：|1﹣ |+3tan30°﹣（ ）0﹣（﹣ ）﹣1． （2）解不等式组 ． 19．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，点 D，E 分别在 AB，AC 上，CE=BC，连接 CD， 将线段 CD 绕点 C 按顺时针方向旋转 90°后得 CF，连接 EF． （1）补充完成图形； （2）若 EF∥CD，求证：∠BDC=90°． 20．秋季新学期开学时，红城中学对七年级新生掌握“中学生日常行为规范”的情况进行了知 识测试，测试成绩全部合格，现学校随机选取了部分学生的成绩，整理并制作成了如下不完 整的图表： 分 数 段 频数 频率 60≤x＜70 9 a 70≤x＜80 36 0.4 80≤x＜90 27 b 90≤x≤100 c 0.2 请根据上述统计图表，解答下列问题： （1）在表中，a= ，b= ，c= ； （2）补全频数直方图； （3）根据以上选取的数据，计算七年级学生的平均成绩． （4）如果测试成绩不低于 80 分者为“优秀”等次，请你估计全校七年级的 800 名学生中，“优 秀”等次的学生约有多少人？ 21．如图，天星山山脚下西端 A 处与东端 B 处相距 800（1+ ）米，小军和小明同时分别 从 A 处和 B 处向山顶 C 匀速行走．已知山的西端的坡角是 45°，东端的坡角是 30°，小军的 行走速度为 米/秒．若小明与小军同时到达山顶 C 处，则小明的行走速度是多少？ 22．如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的弦，点 F 是 DA 延长线的一点，AC 平分∠FAB 交⊙O 于点 C，过点 C 作 CE⊥DF，垂足为点 E． （1）求证：CE 是⊙O 的切线； （2）若 AE=1，CE=2，求⊙O 的半径． 23．A 城有某种农机 30 台，B 城有该农机 40 台，现要将这些农机全部运往 C，D 两乡，调 运任务承包给某运输公司．已知 C 乡需要农机 34 台，D 乡需要农机 36 天，从 A 城往 C，D 两乡运送农机的费用分别为 250 元/台和 200 元/台，从 B 城往 C，D 两乡运送农机的费用分 别为 150 元/台和 240 元/台． （1）设 A 城运往 C 乡该农机 x 台，运送全部农机的总费用为 W 元，求 W 关于 x 的函数关 系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于 16460 元，则有多少种不同的调运方 案？将这些方案设计出来； （3）现该运输公司决定对 A 城运往 C 乡的农机，从运输费中每台减免 a 元（a≤200）作为 优惠，其它费用不变，如何调运，使总费用最少？ 24．如图，直线 y=﹣ x+2 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，点 B，两动点 D，E 分别从点 A， 点 B 同时出发向点 O 运动（运动到点 O 停止），运动速度分别是 1 个单位长度/秒和 个单 位长度/秒，设运动时间为 t 秒，以点 A 为顶点的抛物线经过点 E，过点 E 作 x 轴的平行线， 与抛物线的另一个交点为点 G，与 AB 相交于点 F． （1）求点 A，点 B 的坐标； （2）用含 t 的代数式分别表示 EF 和 AF 的长； （3）当四边形 ADEF 为菱形时，试判断△AFG 与△AGB 是否相似，并说明理由． （4）是否存在 t 的值，使△AGF 为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不 存在，请说明理由． 2016 年湖北省荆门市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，每小题给出 4 个选项，有且只有一 个答案是正确的） 1．2 的绝对值是（ ） A．2 B．﹣2 C． D．﹣ 【考点】绝对值． 【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝 对值定义去掉这个绝对值的符号． 【解答】解：∵2＞0， ∴|2|=2． 故选：A． 2．下列运算正确的是（ ） A．a+2a=2a2B．（﹣2ab2）2=4a2b4C．a6÷a3=a2D．（a﹣3）2=a2﹣9 【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式． 【分析】根据合并同类项系数相加字母及指数不变，积的乘方等于乘方的积，同底数幂的除 法底数不变指数相减，差的平方等余平方和减积的二倍，可得答案． 【解答】解：A、合并同类项系数相加字母及指数不变，故 A 错误； B、积的乘方等于乘方的积，故 B 正确； C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故 C 错误； D、差的平方等余平方和减积的二倍，故 D 错误； 故选：B． 3．要使式子 有意义，则 x 的取值范围是（ ） A．x＞1 B．x＞﹣1 C．x≥1 D．x≥﹣1 【考点】二次根式有意义的条件． 【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出 x﹣1≥0，求出答案． 【解答】解：要使式子 有意义， 故 x﹣1≥0， 解得：x≥1． 则 x 的取值范围是：x≥1． 故选：C． 4．如图，△ABC 中，AB=AC，AD 是∠BAC 的平分线．已知 AB=5，AD=3，则 BC 的长 为（ ） A．5 B．6 C．8 D．10 【考点】勾股定理；等腰三角形的性质． 【分析】根据等腰三角形的性质得到 AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：∵AB=AC，AD 是∠BAC 的平分线， ∴AD⊥BC，BD=CD， ∵AB=5，AD=3， ∴BD= =4， ∴BC=2BD=8， 故选 C． 5．在平面直角坐标系中，若点 A（a，﹣b）在第一象限内，则点 B（a，b）所在的象限是 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】点的坐标． 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【解答】解：∵点 A（a，﹣b）在第一象限内， ∴a＞0，﹣b＞0， ∴b＜0， ∴点 B（a，b）所在的象限是第四象限． 故选 D． 6．由 5 个大小相同的小正方体拼成的几何体如图所示，则下列说法正确的是（ ） A．主视图的面积最小 B．左视图的面积最小 C．俯视图的面积最小 D．三个视图的面积相等 【考点】简单组合体的三视图． 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到 的图形是俯视图，可得答案． 【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，主视图的面积是 4； 从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图的面积为 3； 从上边看第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是一个小正方形，俯视图 的面积是 4， 左视图面积最小，故 B 正确； 故选：B． 7．化简 的结果是（ ） A． B． C．x+1 D．x﹣1 【考点】分式的混合运算． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形， 约分即可得到结果． 【解答】解：原式= ÷ = • = ， 故选 A 8．如图，正方形 ABCD 的边长为 2cm，动点 P 从点 A 出发，在正方形的边上沿 A→B→C 的方向运动到点 C 停止，设点 P 的运动路程为 x（cm），在下列图象中，能表示△ADP 的面 积 y（cm2）关于 x（cm）的函数关系的图象是（ ） A． B． C． D． 【考点】动点问题的函数图象． 【分析】△ADP 的面积可分为两部分讨论，由 A 运动到 B 时，面积逐渐增大，由 B 运动到 C 时，面积不变，从而得出函数关系的图象． 【解答】解：当 P 点由 A 运动到 B 点时，即 0≤x≤2 时，y= ×2x=x， 当 P 点由 B 运动到 C 点时，即 2＜x＜4 时，y= ×2×2=2， 符合题意的函数关系的图象是 A； 故选：A． 9．已知 3 是关于 x 的方程 x2﹣（m+1）x+2m=0 的一个实数根，并且这个方程的两个实数 根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为（ ） A．7 B．10 C．11 D．10 或 11 【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形 的性质． 【分析】把 x=3 代入已知方程求得 m 的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC 的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可． 【解答】解：把 x=3 代入方程得 9﹣3（m+1）+2m=0， 解得 m=6， 则原方程为 x2﹣7x+12=0， 解得 x1=3，x2=4， 因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长， ①当△ABC 的腰为 4，底边为 3 时，则△ABC 的周长为 4+4+3=11； ②当△ABC 的腰为 3，底边为 4 时，则△ABC 的周长为 3+3+4=10． 综上所述，该△ABC 的周长为 10 或 11． 故选：D． 10．若二次函数 y=x2+mx 的对称轴是 x=3，则关于 x 的方程 x2+mx=7 的解为（ ） A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=7 【考点】二次函数的性质；解一元二次方程-因式分解法． 【分析】先根据二次函数 y=x2+mx 的对称轴是 x=3 求出 m 的值，再把 m 的值代入方程 x2+mx=7，求出 x 的值即可． 【解答】解：∵二次函数 y=x2+mx 的对称轴是 x=3， ∴﹣ =3，解得 m=﹣6， ∴关于 x 的方程 x2+mx=7 可化为 x2﹣6x﹣7=0，即（x+1）（x﹣7）=0，解得 x1=﹣1，x2=7． 故选 D． 11．如图，在矩形 ABCD 中（AD＞AB），点 E 是 BC 上一点，且 DE=DA，AF⊥DE，垂足 为点 F，在下列结论中，不一定正确的是（ ） A．△AFD≌△DCE B．AF= AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF 【考点】矩形的性质；全等三角形的判定． 【分析】先根据已知条件判定判定△AFD≌△DCE（AAS），再根据矩形的对边相等，以及 全等三角形的对应边相等进行判断即可． 【解答】解：（A）由矩形 ABCD，AF⊥DE 可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC， ∴∠ADF=∠DEC． 又∵DE=AD， ∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正确； （B）∵∠ADF 不一定等于 30°， ∴直角三角形 ADF 中，AF 不一定等于 AD 的一半，故（B）错误； （C）由△AFD≌△DCE，可得 AF=CD， 由矩形 ABCD，可得 AB=CD， ∴AB=AF，故（C）正确； （D）由△AFD≌△DCE，可得 CE=DF， 由矩形 ABCD，可得 BC=AD， 又∵BE=BC﹣EC， ∴BE=AD﹣DF，故（D）正确； 故选（B） 12．如图，从一块直径为 24cm 的圆形纸片上剪出一个圆心角为 90°的扇形 ABC，使点 A， B，C 在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（ ） A．12cm B．6cm C．3 cm D．2 cm 【考点】圆锥的计算． 【分析】圆的半径为 2，那么过圆心向 AC 引垂线，利用相应的三角函数可得 AC 的一半的 长度，进而求得 AC 的长度，利用弧长公式可求得弧 BC 的长度，圆锥的底面圆的半径=圆 锥的弧长÷2π． 【解答】解：作 OD⊥AC 于点 D，连接 OA， ∴∠OAD=45°，AC=2AD， ∴AC=2（OA×cos45°）=12 cm， ∴ =6 π ∴圆锥的底面圆的半径=6 π÷（2π）=3 cm． 故选 C． 二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 13．分解因式：（m+1）（m﹣9）+8m= （m+3）（m﹣3） ． 【考点】因式分解-运用公式法． 【分析】先利用多项式的乘法运算法则展开，合并同类项后再利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：（m+1）（m﹣9）+8m， =m2﹣9m+m﹣9+8m， =m2﹣9， =（m+3）（m﹣3）． 故答案为：（m+3）（m﹣3）． 14．为了改善办学条件，学校购置了笔记本电脑和台式电脑共 100 台，已知笔记本电脑的台 数比台式电脑的台数的 还少 5 台，则购置的笔记本电脑有 16 台． 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】设购置的笔记本电脑有 x 台，则购置的台式电脑为台．根据笔记本电脑的台数比台 式电脑的台数的 还少 5 台，可列出关于 x 的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：设购置的笔记本电脑有 x 台，则购置的台式电脑为台， 依题意得：x= ﹣5，即 20﹣ x=0， 解得：x=16． ∴购置的笔记本电脑有 16 台． 故答案为：16． 15．荆楚学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了 3 名女生和 2 名 男生，则从这 5 名学生中，选取 2 名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是 ． 【考点】列表法与树状图法． 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与刚好抽到一男一 女的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：画树状图如下： 由树状图可知共有 20 种等可能性结果，其中抽到一男一女的情况有 12 种， 所以抽到一男一女的概率为 P（一男一女）= ， 故答案为： ． 16．两个全等的三角尺重叠放在△ACB 的位置，将其中一个三角尺绕着点 C 按逆时针方向 旋转至△DCE 的位置，使点 A 恰好落在边 DE 上，AB 与 CE 相交于点 F．已知 ∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm，则 CF= 2 cm． 【考点】旋转的性质． 【分析】利用旋转的性质得出 DC=AC，∠D=∠CAB，再利用已知角度得出∠AFC=90°，再 利用直角三角形的性质得出 FC 的长． 【解答】解：∵将其中一个三角尺绕着点 C 按逆时针方向旋转至△DCE 的位置，使点 A 恰 好落在边 DE 上， ∴DC=AC，∠D=∠CAB， ∴∠D=∠DAC， ∵∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°， ∴∠D=∠CAB=60°， ∴∠DCA=60°， ∴∠ACF=30°， 可得∠AFC=90°， ∵AB=8cm，∴AC=4cm， ∴FC=4cos30°=2 （cm）． 故答案为：2 ． 17．如图，已知点 A（1，2）是反比例函数 y= 图象上的一点，连接 AO 并延长交双曲线 的另一分支于点 B，点 P 是 x 轴上一动点；若△PAB 是等腰三角形，则点 P 的坐标是 （﹣ 3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0） ． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质． 【分析】由对称性可知 O 为 AB 的中点，则当△PAB 为等腰三角形时只能有 PA=AB 或 PB=AB，设 P 点坐标为（x，0），可分别表示出 PA 和 PB，从而可得到关与 x 的方程，可求 得 x，可求得 P 点坐标． 【解答】解： ∵反比例函数 y= 图象关于原点对称， ∴A、B 两点关于 O 对称， ∴O 为 AB 的中点，且 B（﹣1，﹣2）， ∴当△PAB 为等腰三角形时有 PA=AB 或 PB=AB， 设 P 点坐标为（x，0）， ∵A（1，2），B（﹣1，﹣2）， ∴AB= =2 ，PA= ， PB= ， 当 PA=AB 时，则有 =2 ，解得 x=﹣3 或 5，此时 P 点坐标为（﹣3，0）或 （5，0）； 当 PB=AB 时，则有 =2 ，解得 x=3 或﹣5，此时 P 点坐标为（3，0） 或（﹣5，0）； 综上可知 P 点的坐标为（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）， 故答案为：（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）． 三、解答题（本题共 7 小题，共 69 分） 18．（1）计算：|1﹣ |+3tan30°﹣（ ）0﹣（﹣ ）﹣1． （2）解不等式组 ． 【考点】解一元一次不等式组；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数 值． 【分析】（1）首先去掉绝对值符号，计算乘方，代入特殊角的三角函数值，然后进行加减计 算即可； （2）首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 【解答】解：（1）原式= ﹣1+3× ﹣1﹣（﹣3）= ﹣1+ +3=2； （2）解①得 x＞﹣ ， 解②得 x≤0， 则不等式组的解集是﹣ ＜x≤0． 19．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，点 D，E 分别在 AB，AC 上，CE=BC，连接 CD， 将线段 CD 绕点 C 按顺时针方向旋转 90°后得 CF，连接 EF． （1）补充完成图形； （2）若 EF∥CD，求证：∠BDC=90°． 【考点】旋转的性质． 【分析】（1）根据题意补全图形，如图所示； （2）由旋转的性质得到∠DCF 为直角，由 EF 与 CD 平行，得到∠EFC 为直角，利用 SAS 得到三角形 BDC 与三角形 EFC 全等，利用全等三角形对应角相等即可得证． 【解答】解：（1）补全图形，如图所示； （2）由旋转的性质得：∠DCF=90°， ∴∠DCE+∠ECF=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠DCE+∠BCD=90°， ∴∠ECF=∠BCD， ∵EF∥DC， ∴∠EFC+∠DCF=180°， ∴∠EFC=90°， 在△BDC 和△EFC 中， ， ∴△BDC≌△EFC（SAS）， ∴∠BDC=∠EFC=90°． 20．秋季新学期开学时，红城中学对七年级新生掌握“中学生日常行为规范”的情况进行了知 识测试，测试成绩全部合格，现学校随机选取了部分学生的成绩，整理并制作成了如下不完 整的图表： 分 数 段 频数 频率 60≤x＜70 9 a 70≤x＜80 36 0.4 80≤x＜90 27 b 90≤x≤100 c 0.2 请根据上述统计图表，解答下列问题： （1）在表中，a= 0.1 ，b= 0.3 ，c= 18 ； （2）补全频数直方图； （3）根据以上选取的数据，计算七年级学生的平均成绩． （4）如果测试成绩不低于 80 分者为“优秀”等次，请你估计全校七年级的 800 名学生中，“优 秀”等次的学生约有多少人？ 【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；加权平均数． 【分析】（1）根据表格中的数据可以求得抽查的学生数，从而可以求得 a、b、c 的值； （2）根据（1）中 c 的值，可以将频数分布直方图补充完整； （3）根据平均数的定义和表格中的数据可以求得七年级学生的平均成绩； （4）根据表格中的数据可以求得“优秀”等次的学生数． 【解答】解：（1）抽查的学生数：36÷0.4=90， a=9÷90=0.1，b=27÷90=0.3，c=90×0.2=18， 故答案为：0.1，0.3，18； （2）补全的频数分布直方图如右图所示， （3）∵ =81， 即七年级学生的平均成绩是 81 分； （4）∵800×（0.3+0.2）=800×0.5=400， 即“优秀”等次的学生约有 400 人． 21．如图，天星山山脚下西端 A 处与东端 B 处相距 800（1+ ）米，小军和小明同时分别 从 A 处和 B 处向山顶 C 匀速行走．已知山的西端的坡角是 45°，东端的坡角是 30°，小军的 行走速度为 米/秒．若小明与小军同时到达山顶 C 处，则小明的行走速度是多少？ 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 【分析】过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，设 AD=x 米，小明的行走速度是 a 米/秒，根据直角三 角形的性质用 x 表示出 AC 与 BC 的长，再根据小明与小军同时到达山顶 C 处即可得出结论． 【解答】解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，设 AD=x 米，小明的行走速度是 a 米/秒， ∵∠A=45°，CD⊥AB， ∴AD=CD=x 米， ∴AC= x． 在 Rt△BCD 中， ∵∠B=30°， ∴BC= = =2x， ∵小军的行走速度为 米/秒．若小明与小军同时到达山顶 C 处， ∴ = ，解得 a=1 米/秒． 答：小明的行走速度是 1 米/秒． 22．如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的弦，点 F 是 DA 延长线的一点，AC 平分∠FAB 交⊙O 于点 C，过点 C 作 CE⊥DF，垂足为点 E． （1）求证：CE 是⊙O 的切线； （2）若 AE=1，CE=2，求⊙O 的半径． 【考点】切线的判定；角平分线的性质． 【分析】（1）证明：连接 CO，证得∠OCA=∠CAE，由平行线的判定得到 OC∥FD，再证 得 OC⊥CE，即可证得结论； （2）证明：连接 BC，由圆周角定理得到∠BCA=90°，再证得△ABC∽△ACE，根据相似 三角形的性质即可证得结论． 【解答】（1）证明：连接 CO， ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠OAC， ∵AC 平分∠FAB， ∴∠OCA=∠CAE， ∴OC∥FD， ∵CE⊥DF， ∴OC⊥CE， ∴CE 是⊙O 的切线； （2）证明：连接 BC， 在 Rt△ACE 中，AC= = = ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠BCA=90°， ∴∠BCA=∠CEA， ∵∠CAE=∠CAB， ∴△ABC∽△ACE， ∴ = ， ∴ ， ∴AB=5， ∴AO=2.5，即⊙O 的半径为 2.5． 23．A 城有某种农机 30 台，B 城有该农机 40 台，现要将这些农机全部运往 C，D 两乡，调 运任务承包给某运输公司．已知 C 乡需要农机 34 台，D 乡需要农机 36 天，从 A 城往 C，D 两乡运送农机的费用分别为 250 元/台和 200 元/台，从 B 城往 C，D 两乡运送农机的费用分 别为 150 元/台和 240 元/台． （1）设 A 城运往 C 乡该农机 x 台，运送全部农机的总费用为 W 元，求 W 关于 x 的函数关 系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于 16460 元，则有多少种不同的调运方 案？将这些方案设计出来； （3）现该运输公司决定对 A 城运往 C 乡的农机，从运输费中每台减免 a 元（a≤200）作为 优惠，其它费用不变，如何调运，使总费用最少？ 【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用． 【分析】（1）A 城运往 C 乡的化肥为 x 吨，则可得 A 城运往 D 乡的化肥为 30﹣x 吨，B 城 运往 C 乡的化肥为 34﹣x 吨，B 城运往 D 乡的化肥为 40﹣（34﹣x）吨，从而可得出 W 与 x 大的函数关系． （2）根据题意得 140x+12540≥16460 求得 28≤x≤30，于是得到有 3 种不同的调运方案，写出 方案即可； （3）根据题意得到 W=x+12540，所以当 a=200 时，y 最小=﹣60x+12540，此时 x=30 时 y 最 小=10740 元．于是得到结论． 【解答】解：（1）W=250x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240（6+x）=140x+12540（0＜x≤30）； （2）根据题意得 140x+12540≥16460， ∴x≥28， ∵x≤30， ∴28≤x≤30， ∴有 3 种不同的调运方案， 第一种调运方案：从 A 城调往 C 城 28 台，调往 D 城 2 台，从，B 城调往 C 城 6 台，调往 D 城 34 台； 第二种调运方案：从 A 城调往 C 城 29 台，调往 D 城 1 台，从，B 城调往 C 城 5 台，调往 D 城 35 台； 第三种调运方案：从 A 城调往 C 城 30 台，调往 D 城 0 台，从，B 城调往 C 城 4 台，调往 D 城 36 台， （3）W=x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240（6+x）=x+12540， 所以当 a=200 时，y 最小=﹣60x+12540，此时 x=30 时 y 最小=10740 元． 此时的方案为：从 A 城调往 C 城 30 台，调往 D 城 0 台，从，B 城调往 C 城 4 台，调往 D 城 36 台． 24．如图，直线 y=﹣ x+2 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，点 B，两动点 D，E 分别从点 A， 点 B 同时出发向点 O 运动（运动到点 O 停止），运动速度分别是 1 个单位长度/秒和 个单 位长度/秒，设运动时间为 t 秒，以点 A 为顶点的抛物线经过点 E，过点 E 作 x 轴的平行线， 与抛物线的另一个交点为点 G，与 AB 相交于点 F． （1）求点 A，点 B 的坐标； （2）用含 t 的代数式分别表示 EF 和 AF 的长； （3）当四边形 ADEF 为菱形时，试判断△AFG 与△AGB 是否相似，并说明理由． （4）是否存在 t 的值，使△AGF 为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不 存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）在直线 y=﹣ x+2 中，分别令 y=0 和 x=0，容易求得 A、B 两点坐标； （2）由 OA、OB 的长可求得∠ABO=30°，用 t 可表示出 BE，EF，和 BF 的长，由勾股定理 可求得 AB 的长，从而可用 t 表示出 AF 的长； （3）利用菱形的性质可求得 t 的值，则可求得 AF=AG 的长，可得到 = ，可判定△AFG 与△AGB 相似； （4）若△AGF 为直角三角形时，由条件可知只能是∠FAG=90°，又∠AFG=∠OAF=60°，由 （2）可知 AF=4﹣2t，EF=t，又由二次函数的对称性可得到 EG=2OA=4，从而可求出 FG， 在 Rt△AGF 中，可得到关于 t 的方程，可求得 t 的值，进一步可求得 E 点坐标，利用待定 系数法可求得抛物线的解析式． 【解答】解： （1）在直线 y=﹣ x+2 中， 令 y=0 可得 0=﹣ x+2 ，解得 x=2， 令 x=0 可得 y=2 ， ∴A 为（2，0），B 为（0，2 ）； （2）由（1）可知 OA=2，OB=2 ， ∴tan∠ABO= = ， ∴∠ABO=30°， ∵运动时间为 t 秒， ∴BE= t， ∵EF∥x 轴， ∴在 Rt△BEF 中，EF=BE•tan∠ABO= BE=t，BF=2EF=2t， 在 Rt△ABO 中，OA=2，OB=2 ， ∴AB=4， ∴AF=4﹣2t； （3）相似．理由如下： 当四边形 ADEF 为菱形时，则有 EF=AF， 即 t=4﹣2t，解得 t= ， ∴AF=4﹣2t=4﹣ = ，OE=OB﹣BE=2 ﹣ × = ， 如图，过 G 作 GH⊥x 轴，交 x 轴于点 H， 则四边形 OEGH 为矩形， ∴GH=OE= ， 又 EG∥x 轴，抛物线的顶点为 A， ∴OA=AH=2， 在 Rt△AGH 中，由勾股定理可得 AG2=GH2+AH2=（ ）2+22= ， 又 AF•AB= ×4= ， ∴AF•AB=AG2，即 = ，且∠FAG=∠GAB， ∴△AFG∽△AGB； （4）存在， ∵EG∥x 轴， ∴∠GFA=∠BAO=60°， 又 G 点不能在抛物线的对称轴上， ∴∠FGA≠90°， ∴当△AGF 为直角三角形时，则有∠FAG=90°， 又∠FGA=30°， ∴FG=2AF， ∵EF=t，EG=4， ∴FG=4﹣t，且 AF=4﹣2t， ∴4﹣t=2（4﹣2t）， 解得 t= ， 即当 t 的值为 秒时，△AGF 为直角三角形，此时 OE=OB﹣BE=2 ﹣ t=2 ﹣ × = ， ∴E 点坐标为（0， ）， ∵抛物线的顶点为 A， ∴可设抛物线解析式为 y=a（x﹣2）2， 把 E 点坐标代入可得 =4a，解得 a= ， ∴抛物线解析式为 y= （x﹣2）2， 即 y= x2﹣ x+ ． 2016 年 7 月 12 日