2016年江西省中考数学试卷及答案

江西省 2016 年中等学校招生考试 数学试题卷(word 解析版) (江西省 南丰县第二中学 方政昌） 说明：1．本卷共有六个大题，23 个小题，全卷满分 120 分，考试时间 120 分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答，否则不给分． 一、选择题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分，每小题只有一个正确选项） 1．下列四个数中，最大的一个数是（ ）． A．2 B． C．0 D．-2 【答案】 A. 2．将不等式的解集表示在数轴上，正确的是（ ）． A． B. C. D. 【答案】 D. 3．下列运算正确的是是（ ）． A． B． C． D． 【答案】 B. 4．有两个完全相同的长方体，按下面右图方式摆放，其主视图是（ ）． A． B． C． D． 【答案】 C. 5．设是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）． A. 2 B. 1 C. -2 D. -1 【答案】 D. 6．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，网格中三个 多 边 形 （分别标记为○1 ，○2 ，○3 ）的顶点都在网格上，被一个多边形覆盖的网．．．． 格 线． ． 中，竖直部分线段长度之和为,水平部分线段长度之和为,则这三个多 边 形 满 足的是（ ）. A.只有○2 B.只有○3 C.○2 ○3 D.○1 ○2 ○3 【答案】 C. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 7．计算：-3+2= ___ ____. 【答案】 -1. 8．分解因式____ ____. 【答案】 . 9．如图所示，中，绕点 A 按顺时针方向旋转 50°，得到，则∠的度数是___ _____. 第 9 题 第 10 题 第 11 题 【答案】 17°. 10．如图所示，在，过点 D 作 AD 的垂线，交 AB 于点 E，交 CB 的延长线于点 F，则∠BEF 的度数为 ____ ___. 【答案】 50°. 11．如图，直线于点 P，且与反比例函数及的图象分别交于点 A，B，连接 OA,OB，已知的面积为 2，则 __ ____. 【答案】 4. 12．如图，是一张长方形纸片 ABCD，已知 AB=8，AD=7，E 为 AB 上一点， AE=5， 现要剪下一张等腰三角形纸片（AEP），使点 P 落在长方形 ABCD 的某一 条 边 上，则等腰三角形 AEP 的底边长．．．是___ ____. 【答案】 5，5， .如下图所示： 三、（本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分） 13．（本题共 2 小题，每小题 3 分） （1）解方程组 【解析】 由○1 得：，代入○2 得： ， 解得 把代入○1 得： ， ∴原方程组的解是 . （2）如图，Rt 中，∠ACB=90°，将 Rt 向下翻折，使点 A 与点 C 重合，折痕为 DE，求证：DE∥BC. 【解析】 由折叠知：， ∴∠∠ ， 又点 A 与点 C 重合， ∴∠, ∴∠∠， ∴∠， ∵∠，∴∠， ∴∠， ∴DE∥BC. 14．先化简，再求值：+ ）÷ ,其中. 【解析】 原式=+ ） =+ ） =- = 把代入得：原式 = . 15．如图，过点 A(2,0)的两条直线 分别交轴于 B，C，其中点 B 在原点上方，点 C 在原点下方，已知 AB=. (1)求点 B 的坐标； (2)若 【解析】 (1) 在 Rt ， ∴ ∴ ∴点 B 的坐标是(0，3) . (2) ∵ ∴ ∴ ∴ 设 , 把(2，0)， 代入得： ∴ ∴ 的解析式是 . 16．为了了解家长关注孩子成长方面的情况，学校开展了针对学生家长的“你最关注孩子哪方面成长”的 主题调查，调查设置了“健康安全”， “日常学习”， “习惯养成”， “情感品质”四个项目，并 随机抽取甲，乙两班共 100 位学生家长进行调查，根据调查结果，绘制了如下不完整的条形统计图. (1)补全条形统计图； (2)若全校共有 3600 位家长，据此估计，有多少位家长最关心孩子“情感品质”方面的成长？(3)综合 以上主题调查结果，结合自身现状，你更希望得到以上四个项目中哪方面的关注和 指导？ 【解析】(1)如下图所示： (2) (4+6) ÷100×3600=360 ∴约有 360 位家长最关心孩子“情感品质”方面的成长. (3) 没有确定答案，说的有道理即可. 17.如图，六个完全相同的小长方形拼成一个大长方形，AB 是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形 中完成下列画图，要求：○1 仅用无刻度直尺，○2 保留必要的画图痕迹. (1)在图(1)中画一个 45°角，使点 A 或点 B 是这个角的顶点，且 AB 为这个角的一边； (2)在图(2)中画出线段 AB 的垂直平分线. 【解析】 如图所示： (1) ∠BAC=45º ； （2）OH 是 AB 的垂直平分线. 四、（本大题共 4 小题，每小题 8 分，共 32 分） 18．如图，AB 是⊙O 的直径，点 P 是弦 AC 上一动点(不与 A、C 重合)，过点 P 作 PE⊥AB,垂足为 E， 射线 EP 交 于点 F，交过点 C 的切线于点 D. (1)求证 DC=DP (2)若∠CAB=30°，当 F 是 的中点时，判断以 A、O、C、F 为顶点的四边形是什么特殊四边形？说 明理由； 【解析】 (1) 如图 1 连接 OC, ∵CD 是⊙O 的切线， ∴ OC⊥CD ∴∠OCD=90º， ∴∠DCA= 90º－∠OCA . 又 PE⊥AB ，点 D 在 EP 的延长线上， ∴∠DEA=90º ， ∴∠DPC=∠APE=90º－∠OAC. ∵OA=OC , ∴∠OCA=∠OAC. ∴∠DCA=∠DPC , ∴DC=DP. (2) 如图 2 四边形 AOCF 是菱形. 图 1 连接 CF、AF， ∵F 是 的中点，∴ ∴ AF=FC . ∵∠BAC=30º ，∴ =60º ， 又 AB 是⊙O 的直径， ∴ =120º， ∴ = 60º ， ∴∠ACF=∠FAC =30º . ∵OA=OC, ∴∠OCA=∠BAC=30º, 图 2 ∴⊿OAC≌⊿FAC (ASA) , ∴AF=OA , ∴AF=FC=OC=OA , ∴四边形 AOCF 是菱形. 19．如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用 10 节大小不同的空心套管连接而成，闲置时鱼竿可收缩，完全收 缩后，鱼竿的长度的长度即为第 1 节套管的长度（如图 1 所示），使用时，可将鱼竿的每一节套管都完 全拉伸（如图 2 所示），图 3 是这根鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图，已知第 1 节套 管长 50cm，第 2 节套管长 46cm，以此类推，每一节套管都比前一节套管少 4cm，完全拉伸时，为了使 相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为 cm . (1)请直接写出第 5 节套管的长度； (2)当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为 311cm，求的值 . 图 3 【解析】 (1) 第 5 节的套管的长是 34cm . (注：50－（5－1）×4 ) (2) (50+46+…+14) －9x =311 ∴320－9x =311 , ∴x=1 ∴x 的值是 1. 新*课*标*第*一*网] 20．甲、乙两人利用扑克牌玩“10 点”游戏，游戏规则如下： ○1 将牌面数字作为“点数”，如红桃 6 的“点数”就是 6（牌面点数与牌的花色无关）； ○2 两人摸牌结束时，将所得牌的“点数”相加 ，若“点数”之和小于或等于 10，此时“点数”之和就是“最 终点数”，若“点数”之和大于 10，则“最终点数”是 0； ○3 游戏结束之前双方均不知道对方“点数”； ○4 判定游戏结果的依据是：“最终点数”大的一方获胜，“最终点数”相等时不分胜负. 现甲、乙均各自摸了两张牌，数字之和都是 5，这时桌上还有四张背面朝上的扑克牌，牌面数字分 别是 4,5,6,7. (1)若甲从桌上继续摸一张扑克牌，乙不再摸牌，则甲获胜的概率为 . (2)若甲先从桌上继续摸一张扑克牌，接着乙从剩下的扑克牌中摸出一张牌，然后双方不再摸牌，请 用树状图或表格表示出这次摸牌后所有可能的结果，再列表呈现甲、乙的“最终点数”，并求乙获 胜的概率. 【解析】 (1) . (2) 如图： ∴所有可能的结果是（4,5）（4,6）（4,7）（5,4）（5,6）（5,7）（6,4）（6,5）（6,7） （7,4）（7,5）（7,6） 共 12 种. 甲 5[来源:学。科。网 Z。X。X。K] 4 5 6 7 甲“最终点数” 9 10 11 12 乙 5 5 6 7 4 6 7 4 5 7 4 5 6 乙“最终点数” 10 11 12 9 11 12 9 10 12 9 10 11 获胜情况 乙 胜 甲 胜 甲 胜 甲 胜 甲 胜 甲 胜 乙 胜 乙 胜 平 乙 胜 乙 胜 平 ∴ 21.如图 1 是一副创意卡通圆规，图 2 是其平面示意图，OA 是 支撑臂，OB 是旋转臂，使用时，以点 A 为支撑点，铅笔芯 端点 B 可以绕点 A 旋转作出圆.已知 OA=OB=10cm. (1)当∠AOB=18º时，求所作圆的半径；（结果精确到 0.01cm） (2)保持∠AOB=18º不变，在旋转臂 OB 末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大 小相等， 求铅笔芯折断部分的长度.(结果精确到 0.01cm) (参考数据：sin9º≈0.1564,com9º≈0.9877º, sin18º≈0.3090, com18º≈0.9511,可使用科学计算器) 图 1 图 2 【解析】 (1) 图 1，作 OC⊥AB， ∵OA=OB, OC⊥AB，∴AC=BC, ∠AOC=∠BOC=∠AOB=9°, 在 Rt⊿AOC 中，sin∠AOC = , ∴AC≈0.1564×10=1.564, ∴AB=2AC=3.128≈3.13. ∴所作圆的半径是 3.13cm. 图 1 (2)图 2，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧，交 OB 于点 C, 作 AD⊥BC 于点 D; ∵AC=AB, AD⊥BC， ∴BD=CD, ∠BAD=∠CAD=∠BAC, ∵∠AOB=18°,OA=OB ,AB=AC, ∴∠BAC=18°, ∴∠BAD=9°, 在 Rt⊿BAD 中， sin∠BAD = , ∴BD≈0.1564×3.128≈0.4892, ∴BC=2BD=0.9784≈0.98 ∴铅笔芯折断部分的长度约为 0.98cm. 图 2 五、（本大题共 10 分） 22．【图形定义】 如图，将正 n 边形绕点 A 顺时针旋转 60°后，发现旋转前后两图形有另一交点 O,连接 AO，我们称 AO 为“叠弦”；再将“叠弦”AO 所在的直线绕点 A 逆时针旋转 60°后，交旋转前的图形于点 P,连接 PO,我们称∠OAB 为“叠弦角”，⊿AOP 为“叠弦三角形”. 【探究证明】 (1)请在图 1 和图 2 中选择其中一个证明：“叠弦三角形”(即⊿AOP)是等边三角形； (2)如图 2，求证：∠OAB=∠OAE＇. 【归纳猜想】 (3)图 1、图 2 中“叠弦角”的度数分别为 ， ； (4)图 n 中，“叠弦三角形” 等边三角形（填“是”或“不是”）； (5)图 n 中，“叠弦角”的度数为 （用含 n 的式子表示）. 【解析】 (1) 如图 1 ∵四 ABCD 是正方形， 由旋转知：AD=AD＇，∠D=∠D＇=90°, ∠DAD＇=∠OAP=60° ∴∠DAP=∠D＇AO ， ∴⊿APD≌⊿AOD＇（ASA） ∴AP=AO ，又∠OAP=60°， ∴⊿AOP 是等边三角形. (2)如右图，作 AM⊥DE 于 M, 作 AN⊥CB 于 N. ∵五 ABCDE 是正五边形， 由旋转知：AE=AE＇，∠E=∠E＇=108°, ∠EAE＇=∠OAP=60° ∴∠EAP=∠E＇AO ， ∴⊿APE≌⊿AOE＇（ASA） ∴∠OAE＇=∠PAE. 在 Rt⊿AEM 和 Rt⊿ABN 中， ∴Rt⊿AEM≌Rt⊿ABN (AAS) ∴ ∠EAM=∠BAN , AM=AN. 在 Rt⊿APM 和 Rt⊿AON 中， ∴Rt⊿APM≌Rt⊿AON (HL). ∴∠PAM=∠OAN, ∴∠PAE=∠OAB ∴∠OAE＇=∠OAB (等量代换). (3) 15°, 24° (4) 是 (5) ∠OAB=[(n-2) ×180°÷n－60°] ÷2=60°－ 六、（本大题共共 12 分） 23．设抛物线的解析式为 y = a x2 , 过点 B1 (1, 0 )作 x 轴的垂线，交抛物线于点 A1 (1, 2 )；过点 B2 (1, 0 )作 x 轴的垂线，交抛物线于点 A2 ，… ；过点 Bn (, 0 ) (n 为正整数 )作 x 轴的垂线，交抛物线于点 A n , 连 接 A n B n+1 , 得直角三角形 A n B n B n+1 . (1)求 a 的值； (2)直接写出线段 A n B n ，B n B n+1 的长（用含 n 的式子表示）； (3)在系列 Rt⊿A n B n B n+1 中，探究下列问题： ○1 当 n 为何值时，Rt⊿A n B n B n+1 是等腰直角三角形？ ○2 设 1≤k＜m≤n (k , m 均为正整数) ，问是否存在 Rt⊿A k B k B k+1 与 Rt⊿A m B m B m+1 相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由. 【解析】 (1) 把 A(1 , 2)代入 得： 2= , ∴ . (2) 2× = =－ = (3) ○1 若 Rt⊿A n B n B n+1 是等腰直角三角形 ，则. ∴ , ∴n=3. ○2 若 Rt⊿A k B k B k+1 与 Rt⊿A m B m B m+1 相似， 则 或 ， ∴ 或 , ∴ m=k (舍去) 或 k+m=6 ∵m>k ,且 m , k 都是正整数，∴ ， ∴ 相似比= ，或 . ∴相似比是 8:1 或 64:1