2016年黄石市中考数学试题解析版

2016 年湖北省黄石市中考数学试卷 一、仔细选一选（本题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）下面每个小题给出的四个选项中，只 有一个是正确的，请把正确选项所对应的字母在答题卷中相应的格子涂黑．注意可用多种不同的方 法来选取正确答案． 1． 的倒数是（ ） A． B．2 C．﹣2 D．﹣ 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．地球的平均半径约为 6 371 000 米，该数字用科学记数法可表示为（ ） A．0.6371×107B．6.371×106C．6.371×107D．6.371×103 4．如图所示，线段 AC 的垂直平分线交线段 AB 于点 D，∠A=50°，则∠BDC=（ ） A．50° B．100° C．120° D．130° 5．下列运算正确的是（ ） A．a3•a2=a6B．a12÷a3=a4C．a3+b3=（a+b）3D．（a3）2=a6 6．黄石农科所在相同条件下经试验发现蚕豆种子的发芽率为 97.1%，请估计黄石地区 1000 斤蚕豆 种子中不能发芽的大约有（ ） A．971 斤 B．129 斤 C．97.1 斤 D．29 斤 7．某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体可能是（ ） A．长方体 B．圆锥 C．圆柱 D．球 8．如图所示，⊙O 的半径为 13，弦 AB 的长度是 24，ON⊥AB，垂足为 N，则 ON=（ ） A．5 B．7 C．9 D．11 9．以 x 为自变量的二次函数 y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1 的图象不经过第三象限，则实数 b 的取值范 围是（ ） A．b≥ B．b≥1 或 b≤﹣1 C．b≥2 D．1≤b≤2 10．如图所示，向一个半径为 R、容积为 V 的球形容器内注水，则能够反映容器内水的体积 y 与容 器内水深 x 间的函数关系的图象可能是（ ） A． B． C． D． 二、认真填一填（本题有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）要注意认真看清题目的条件和要填写的 内容，尽量完整地填写答案． 11．因式分解：x2﹣36= ． 12．关于 x 的一元二次方程 x2+2x﹣2m+1=0 的两实数根之积为负，则实数 m 的取值范围 是 ． 13．如图所示，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 30°方向，距离灯塔 4 海里的 A 处，该海轮沿南偏东 30°方向航行 海里后，到达位于灯塔 P 的正东方向的 B 处． 14．如图所示，一只蚂蚁从 A 点出发到 D，E，F 处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都可能的随机 选择一条向左下或右下的路径（比如 A 岔路口可以向左下到达 B 处，也可以向右下到达 C 处，其中 A，B，C 都是岔路口）．那么，蚂蚁从 A 出发到达 E 处的概率是 ． 15．如图所示，正方形 ABCD 对角线 AC 所在直线上有一点 O，OA=AC=2，将正方形绕 O 点顺时 针旋转 60°，在旋转过程中，正方形扫过的面积是 ． 16．观察下列等式： 第 1 个等式：a1= = ﹣1， 第 2 个等式：a2= = ﹣ ， 第 3 个等式：a3= =2﹣ ， 第 4 个等式：a4= = ﹣2， 按上述规律，回答以下问题： （1）请写出第 n 个等式：an= ； （2）a1+a2+a3+…+an= ． 三、全面答一答（本题有 9 个小题，共 72 分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．如果觉 得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以． 17．计算：（﹣1）2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0． 18．先化简，再求值： ÷ • ，其中 a=2016． 19．如图，⊙O 的直径为 AB，点 C 在圆周上（异于 A，B），AD⊥CD． （1）若 BC=3，AB=5，求 AC 的值； （2）若 AC 是∠DAB 的平分线，求证：直线 CD 是⊙O 的切线． 20．解方程组 ． 21．为了解某市初三学生的体育测试成绩和课外体育锻炼时间的情况，现从全市初三学生体育测试 成绩中随机抽取 200 名学生的体育测试成绩作为样本．体育成绩分为四个等次：优秀、良好、及格、 不及格． 体育锻炼时间 人数 4≤x≤6 2≤x＜4 43 0≤x＜2 15 （1）试求样本扇形图中体育成绩“良好”所对扇形圆心角的度数； （2）统计样本中体育成绩“优秀”和“良好”学生课外体育锻炼时间表（如图表所示），请将图表填写完 整（记学生课外体育锻炼时间为 x 小时）； （3）全市初三学生中有 14400 人的体育测试成绩为“优秀”和“良好”，请估计这些学生中课外体育锻 炼时间不少于 4 小时的学生人数． 22．如图，为测量一座山峰 CF 的高度，将此山的某侧山坡划分为 AB 和 BC 两段，每一段山坡近似 是“直”的，测得坡长 AB=800 米，BC=200 米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°． （1）求 AB 段山坡的高度 EF； （2）求山峰的高度 CF．（ 1.414，CF 结果精确到米） 23．科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园． 如图所示，图中点的横坐标 x 表示科技馆从 8：30 开门后经过的时间（分钟），纵坐标 y 表示到达科 技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为 y= ，10：00 之后来的 游客较少可忽略不计． （1）请写出图中曲线对应的函数解析式； （2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过 684 人，后来的人在馆外休息区等待．从 10：30 开始到 12：00 馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆 4 人，直到馆内人数减少到 624 人时， 馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？ 24．在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α． （1）如图 1，若点 D 关于直线 AE 的对称点为 F，求证：△ADF∽△ABC； （2）如图 2，在（1）的条件下，若α=45°，求证：DE2=BD2+CE2； （3）如图 3，若α=45°，点 E 在 BC 的延长线上，则等式 DE2=BD2+CE2 还能成立吗？请说明理由． 25．如图 1 所示，已知：点 A（﹣2，﹣1）在双曲线 C：y= 上，直线 l1：y=﹣x+2，直线 l2 与 l1 关于原点成中心对称，F1（2，2），F2（﹣2，﹣2）两点间的连线与曲线 C 在第一象限内的交点为 B， P 是曲线 C 上第一象限内异于 B 的一动点，过 P 作 x 轴平行线分别交 l1，l2 于 M，N 两点． （1）求双曲线 C 及直线 l2 的解析式； （2）求证：PF2﹣PF1=MN=4； （3）如图 2 所示，△PF1F2 的内切圆与 F1F2，PF1，PF2 三边分别相切于点 Q，R，S，求证：点 Q 与点 B 重合．（参考公式：在平面坐标系中，若有点 A（x1，y1），B（x2，y2），则 A、B 两点间的距 离公式为 AB= ．） 2016 年湖北省黄石市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、仔细选一选（本题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）下面每个小题给出的四个选项中，只 有一个是正确的，请把正确选项所对应的字母在答题卷中相应的格子涂黑．注意可用多种不同的方 法来选取正确答案． 1． 的倒数是（ ） A． B．2 C．﹣2 D．﹣ 【分析】直接利用倒数的定义分析求出答案． 【解答】解：∵2× =1， ∴ 的倒数是：2． 故选：B． 【点评】此题主要考查了倒数的定义，正确把握定义是解题关键． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【分析】依据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义回答即可． 【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故 A 错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故 B 正确； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故 C 错误； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故 D 错误． 故选：B． 【点评】本题主要考查的是轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的特点是 解题的关键． 3．地球的平均半径约为 6 371 000 米，该数字用科学记数法可表示为（ ） A．0.6371×107B．6.371×106C．6.371×107D．6.371×103 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时， n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：6 371 000=6.371×106， 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 4．如图所示，线段 AC 的垂直平分线交线段 AB 于点 D，∠A=50°，则∠BDC=（ ） A．50° B．100° C．120° D．130° 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DCA=∠A，根据 三角形的外角的性质计算即可． 【解答】解：∵DE 是线段 AC 的垂直平分线， ∴DA=DC， ∴∠DCA=∠A=50°， ∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°， 故选：B． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形的外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的 点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 5．下列运算正确的是（ ） A．a3•a2=a6B．a12÷a3=a4C．a3+b3=（a+b）3D．（a3）2=a6 【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项以及幂的乘方与积的乘方计算法则进行解答． 【解答】解：A、原式=a3+2=a5，故本选项错误； B、原式=a12﹣3=a9，故本选项错误； C、右边=a3+3a2b+3ab2+b3≠左边，故本选项错误； D、原式=a3×2=a6，故本选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记计算法则即可 解答该题． 6．黄石农科所在相同条件下经试验发现蚕豆种子的发芽率为 97.1%，请估计黄石地区 1000 斤蚕豆 种子中不能发芽的大约有（ ） A．971 斤 B．129 斤 C．97.1 斤 D．29 斤 【分析】根据蚕豆种子的发芽率为 97.1%，可以估计黄石地区 1000 斤蚕豆种子中不能发芽的大约有 多少，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， 黄石地区 1000 斤蚕豆种子中不能发芽的大约有：1000×（1﹣97.1%）=1000×0.029=29 斤， 故选 D． 【点评】本题考查用样本估计总体，解题的关键是明确题意，注意求得是不能发芽的种子数． 7．某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体可能是（ ） A．长方体 B．圆锥 C．圆柱 D．球 【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形，根据该几何体的主视图和左 视图都是长方形，可得该几何体可能是圆柱体． 【解答】解：∵如图所示几何体的主视图和左视图， ∴该几何体可能是圆柱体． 故选 C． 【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力，掌握常见几何体的三 视图是解题的关键． 8．如图所示，⊙O 的半径为 13，弦 AB 的长度是 24，ON⊥AB，垂足为 N，则 ON=（ ） A．5 B．7 C．9 D．11 【分析】根据⊙O 的半径为 13，弦 AB 的长度是 24，ON⊥AB，可以求得 AN 的长，从而可以求得 ON 的长． 【解答】解：由题意可得， OA=13，∠ONA=90°，AB=24， ∴AN=12， ∴ON= ， 故选 A． 【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题． 9．以 x 为自变量的二次函数 y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1 的图象不经过第三象限，则实数 b 的取值范 围是（ ） A．b≥ B．b≥1 或 b≤﹣1 C．b≥2 D．1≤b≤2 【分析】由于二次函数 y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1 的图象不经过第三象限，所以抛物线在 x 轴的上方 或在 x 轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口方向向上，由此可以确定抛 物线与 x 轴有无交点，抛物线与 y 轴的交点的位置，由此即可得出关于 b 的不等式组，解不等式组 即可求解． 【解答】解：∵二次函数 y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1 的图象不经过第三象限， ∴抛物线在 x 轴的上方或在 x 轴的下方经过一、二、四象限， 当抛物线在 x 轴的上方时， ∵二次项系数 a=1， ∴抛物线开口方向向上， ∴b2﹣1≥0，△=[2（b﹣2） ] 2﹣4（b2﹣1）≤0， 解得 b≥ ； 当抛物线在 x 轴的下方经过一、二、四象限时， 设抛物线与 x 轴的交点的横坐标分别为 x1，x2， ∴x1+x2=2（b﹣2）≥0，b2﹣1≥0， ∴△=[2（b﹣2） ] 2﹣4（b2﹣1）＞0，① b﹣2＞0，② b2﹣1＞0， ③ 由①得 b＜ ，由②得 b＞2， ∴此种情况不存在， ∴b≥ ， 故选 A． 【点评】此题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是会根据图象的位置得到关于 b 的不 等式组解决问题． 10．如图所示，向一个半径为 R、容积为 V 的球形容器内注水，则能够反映容器内水的体积 y 与容 器内水深 x 间的函数关系的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【分析】水深 h 越大，水的体积 v 就越大，故容器内水的体积 y 与容器内水深 x 间的函数是增函数， 根据球的特征进行判断分析即可． 【解答】解：根据球形容器形状可知，函数 y 的变化趋势呈现出，当 0＜x＜R 时，y 增量越来越大， 当 R＜x＜2R 时，y 增量越来越小， 曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大，后又逐渐变小，故 y 关于 x 的函数图象是先凹后凸． 故选（A） 【点评】本题主要考查了函数图象的变化特征，解题的关键是利用数形结合的数学思想方法．解得 此类试题时注意，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内 由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 二、认真填一填（本题有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）要注意认真看清题目的条件和要填写的 内容，尽量完整地填写答案． 11．因式分解：x2﹣36= （x+6）（x﹣6） ． 【分析】直接用平方差公式分解．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）． 【解答】解：x2﹣36=（x+6）（x﹣6）． 【点评】本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键． 12．关于x 的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数 m 的取值范围是 m＞ ． 【分析】设 x1、x2 为方程 x2+2x﹣2m+1=0 的两个实数根．由方程有实数根以及两根之积为负可得出 关于 m 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 【解答】解：设 x1、x2 为方程 x2+2x﹣2m+1=0 的两个实数根， 由已知得： ，即 解得：m＞ ． 故答案为：m＞ ． 【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于 m 的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的情况结合根的 判别式以及根与系数的关系得出关于 m 的一元一次不等式组是关键． 13．如图所示，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 30°方向，距离灯塔 4 海里的 A 处，该海轮沿南偏东 30°方向航行 4 海里后，到达位于灯塔 P 的正东方向的 B 处． 【分析】根据等腰三角形的性质，可得答案． 【解答】解：一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 30°方向，距离灯塔 4 海里的 A 处，该海轮沿南偏东 30° 方向航行 4 海里后，到达位于灯塔 P 的正东方向的 B 处 故答案为：4． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用了等腰三角形的腰相等是解题关键． 14．如图所示，一只蚂蚁从 A 点出发到 D，E，F 处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都可能的随机 选择一条向左下或右下的路径（比如 A 岔路口可以向左下到达 B 处，也可以向右下到达 C 处，其中 A，B，C 都是岔路口）．那么，蚂蚁从 A 出发到达 E 处的概率是 ． 【分析】首先根据题意可得共有 4 种等可能的结果，蚂蚁从 A 出发到达 E 处的 2 种情况，然后直接 利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：画树状图得： ∵共有 4 种等可能的结果，蚂蚁从 A 出发到达 E 处的 2 种情况， ∴蚂蚁从 A 出发到达 E 处的概率是： = ． 故答案为： ． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 15．如图所示，正方形 ABCD 对角线 AC 所在直线上有一点 O，OA=AC=2，将正方形绕 O 点顺时 针旋转 60°，在旋转过程中，正方形扫过的面积是 2π+2 ． 【分析】如图，用大扇形的面积减去小扇形的面积再加上正方形 ABCD 的面积． 【解答】解：∵OA=AC=2， ∴AB=BC=CD=AD= ，OC=4， S 阴影= + =2π+2， 故答案为：2π+2． 【点评】此题考查了扇形的面积公式和旋转的性质以及勾股定理，能够把不规则图形的面积转换为 规则图形的面积是解答此题的关键． 16．观察下列等式： 第 1 个等式：a1= = ﹣1， 第 2 个等式：a2= = ﹣ ， 第 3 个等式：a3= =2﹣ ， 第 4 个等式：a4= = ﹣2， 按上述规律，回答以下问题： （1）请写出第 n 个等式：an= = ﹣ ； ； （2）a1+a2+a3+…+an= ﹣1 ． 【分析】（1）根据题意可知，a1= = ﹣1，a2= = ﹣ ，a3= =2﹣ ， a4= = ﹣2，…由此得出第 n 个等式：an= = ﹣ ； （2）将每一个等式化简即可求得答案． 【解答】解：（1）∵第 1 个等式：a1= = ﹣1， 第 2 个等式：a2= = ﹣ ， 第 3 个等式：a3= =2﹣ ， 第 4 个等式：a4= = ﹣2， ∴第 n 个等式：an= = ﹣ ； （2）a1+a2+a3+…+an =（ ﹣1）+（ ﹣ ）+（2﹣ ）+（ ﹣2）+…+（ ﹣ ） = ﹣1． 故答案为 = ﹣ ； ﹣1． 【点评】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推 导得出答案． 三、全面答一答（本题有 9 个小题，共 72 分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．如果觉 得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以． 17．计算：（﹣1）2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0． 【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式（﹣1） 2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0 的值是多少即可． 【解答】解：（﹣1）2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0 =1+2× ﹣ +1 =1+ ﹣ +1 =2 【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运 算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号 的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内 仍然适用． （2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1． （3）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记 30°、45°、60°角的各种三角函数值． 18．先化简，再求值： ÷ • ，其中 a=2016． 【分析】先算除法，再算乘法，把分式化为最简形式，最后把 a=2016 代入进行计算即可． 【解答】解：原式= • • =（a﹣1）• =a+1， 当 a=2016 时，原式=2017． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类问题时要注意把分式化为最简形式，再代入求 值． 19．如图，⊙O 的直径为 AB，点 C 在圆周上（异于 A，B），AD⊥CD． （1）若 BC=3，AB=5，求 AC 的值； （2）若 AC 是∠DAB 的平分线，求证：直线 CD 是⊙O 的切线． 【分析】（1）首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得 AC 的长 即可； （2）连接 OC，证 OC⊥CD 即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA=∠CAD，即 可得到 OC∥AD，由于 AD⊥CD，那么 OC⊥CD，由此得证． 【解答】（1）解：∵AB 是⊙O 直径，C 在⊙O 上， ∴∠ACB=90°， 又∵BC=3，AB=5， ∴由勾股定理得 AC=4； （2）证明：∵AC 是∠DAB 的角平分线， ∴∠DAC=∠BAC， 又∵AD⊥DC， ∴∠ADC=∠ACB=90°， ∴△ADC∽△ACB， ∴∠DCA=∠CBA， 又∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∵∠OAC+∠OBC=90°， ∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°， ∴DC 是⊙O 的切线． 【点评】此题主要考查的是切线的判定方法．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆 心与这点（即为半径），再证垂直即可． 20．解方程组 ． 【分析】首先联立方程组消去 x 求出 y 的值，然后再把 y 的值代入 x﹣y=2 中求出 x 的值即可． 【解答】解：将两式联立消去 x 得： 9（y+2）2﹣4y2=36， 即 5y2+36y=0， 解得：y=0 或﹣ ， 当 y=0 时，x=2， y=﹣ 时，x=﹣ ； 原方程组的解为 或 ． 【点评】本题主要考查了高次方程的知识，解答本题的关键是进行降次解方程，此题难度不大． 21．为了解某市初三学生的体育测试成绩和课外体育锻炼时间的情况，现从全市初三学生体育测试 成绩中随机抽取 200 名学生的体育测试成绩作为样本．体育成绩分为四个等次：优秀、良好、及格、 不及格． 体育锻炼时间 人数 4≤x≤6 62 2≤x＜4 43 0≤x＜2 15 （1）试求样本扇形图中体育成绩“良好”所对扇形圆心角的度数； （2）统计样本中体育成绩“优秀”和“良好”学生课外体育锻炼时间表（如图表所示），请将图表填写完 整（记学生课外体育锻炼时间为 x 小时）； （3）全市初三学生中有 14400人的体育测试成绩为“优秀”和“良好”，请估计这些学生中课外体育锻 炼时间不少于 4 小时的学生人数． 【分析】（1）直接利用扇形统计图得出体育成绩“良好”所占百分比，进而求出所对扇形圆心角的度 数； （2）首先求出体育成绩“优秀”和“良好”的学生数，再利用表格中数据求出答案； （3）直接利用“优秀”和“良好”学生所占比例得出学生中课外体育锻炼时间不少于 4 小时的学生人数． 【解答】解：（1）由题意可得： 样本扇形图中体育成绩“良好”所对扇形圆心角的度数为：（1﹣15%﹣14%﹣26%）×360°=162°； （2）∵体育成绩“优秀”和“良好”的学生有：200×（1﹣14%﹣26%）=120（人）， ∴4≤x≤6 范围内的人数为：120﹣43﹣15=62（人）； 故答案为：62； （3）由题意可得： ×14400=7440（人）， 答：估计课外体育锻炼时间不少于 4 小时的学生人数为 7440 人． 【点评】此题主要考查了扇形统计图以及利用样本估计总体，正确利用扇形统计图和表格中数据得 出正确信息是解题关键． 22．如图，为测量一座山峰 CF 的高度，将此山的某侧山坡划分为 AB 和 BC 两段，每一段山坡近似 是“直”的，测得坡长 AB=800 米，BC=200 米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°． （1）求 AB 段山坡的高度 EF； （2）求山峰的高度 CF．（ 1.414，CF 结果精确到米） 【分析】（1）作 BH⊥AF 于 H，如图，在 Rt△ABF 中根据正弦的定义可计算出 BH 的长，从而得到 EF 的长； （2）先在 Rt△CBE 中利用∠CBE 的正弦计算出 CE，然后计算 CE 和 EF 的和即可． 【解答】解：（1）作 BH⊥AF 于 H，如图， 在 Rt△ABF 中，∵sin∠BAH= ， ∴BH=800•sin30°=400， ∴EF=BH=400m； （2）在 Rt△CBE 中，∵sin∠CBE= ， ∴CE=200•sin45°=100 ≈141.4， ∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）． 答：AB 段山坡高度为 400 米，山 CF 的高度约为 541 米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度与坡角问题：坡度是坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用 i 表示，常写成 i=1：m 的形 式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度 i 与坡角α之间的关系为：i═tanα． 23．科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园． 如图所示，图中点的横坐标 x 表示科技馆从 8：30 开门后经过的时间（分钟），纵坐标 y 表示到达科 技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为 y= ，10：00 之后来的 游客较少可忽略不计． （1）请写出图中曲线对应的函数解析式； （2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过 684 人，后来的人在馆外休息区等待．从 10：30 开始到 12：00 馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆 4 人，直到馆内人数减少到 624 人时， 馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？ 【分析】（1）构建待定系数法即可解决问题． （2）先求出馆内人数等于 684 人时的时间，再求出直到馆内人数 减少到 624 人时的时间，即可解 决问题． 【解答】解（1）由图象可知，300=a×302，解得 a= ， n=700，b×（30﹣90）2+700=300，解得 b=﹣ ， ∴y= ， （2）由题意﹣ （x﹣90）2+700=684， 解得 x=78， ∴ =15， ∴15+30+（90﹣78）=57 分钟 所以，馆外游客最多等待 57 分钟． 【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学 会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型． 24．在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α． （1）如图 1，若点 D 关于直线 AE 的对称点为 F，求证：△ADF∽△ABC； （2）如图 2，在（1）的条件下，若α=45°，求证：DE2=BD2+CE2； （3）如图 3，若α=45°，点 E 在 BC 的延长线上，则等式 DE2=BD2+CE2 还能成立吗？请说明理由． 【分析】（1）根据轴对称的性质可得∠EAF=∠DAE，AD=AF，再求出∠BAC=∠DAF，然后根据两 边对应成比例，夹角相等两三角形相似证明； （2）根据轴对称的性质可得 EF=DE，AF=AD，再求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△ABD 和△ACF 全等，根据全等三角形对应边相等可得 CF=BD，全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠B， 然后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理证明即可； （3）作点 D 关于 AE 的对称点 F，连接 EF、CF，根据轴对称的性质可得 EF=DE，AF=AD，再根据 同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△ABD 和△ACF 全等，根据全等三角 形对应边相等可得 CF=BD，全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠ECF=90°，最后利 用勾股定理证明即可． 【解答】证明：（1）∵点 D 关于直线 AE 的对称点为 F， ∴∠EAF=∠DAE，AD=AF， 又∵∠BAC=2∠DAE， ∴∠BAC=∠DAF， ∵AB=AC， ∴ = ， ∴△ADF∽△ABC； （2）∵点 D 关于直线 AE 的对称点为 F， ∴EF=DE，AF=AD， ∵α=45°， ∴∠BAD=90°﹣∠CAD， ∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD， ∴∠BAD=∠CAF， 在△ABD 和△ACF 中， ， ∴△ABD≌△ACF（SAS）， ∴CF=BD，∠ACF=∠B， ∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠B=∠ACB=45°， ∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°， 在 Rt△CEF 中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2， 所以，DE2=BD2+CE2； （3）DE2=BD2+CE2 还能成立． 理由如下：作点 D 关于 AE 的对称点 F，连接 EF、CF， 由轴对称的性质得，EF=DE，AF=AD， ∵α=45°， ∴∠BAD=90°﹣∠CAD， ∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD， ∴∠BAD=∠CAF， 在△ABD 和△ACF 中， ， ∴△ABD≌△ACF（SAS）， ∴CF=BD，∠ACF=∠B， ∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠B=∠ACB=45°， ∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°， 在 Rt△CEF 中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2， 所以，DE2=BD2+CE2． 【点评】本题是相似形综合题，主要利用了轴对称的性质，相似三角形的判定，同角的余角相等的 性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，此类题目，小题间的思路相同是解题的关键． 25．如图 1 所示，已知：点 A（﹣2，﹣1）在双曲线 C：y= 上，直线 l1：y=﹣x+2，直线 l2 与 l1 关于原点成中心对称，F1（2，2），F2（﹣2，﹣2）两点间的连线与曲线 C 在第一象限内的交点为 B， P 是曲线 C 上第一象限内异于 B 的一动点，过 P 作 x 轴平行线分别交 l1，l2 于 M，N 两点． （1）求双曲线 C 及直线 l2 的解析式； （2）求证：PF2﹣PF1=MN=4； （3）如图 2 所示，△PF1F2 的内切圆与 F1F2，PF1，PF2 三边分别相切于点 Q，R，S，求证：点 Q 与点 B 重合．（参考公式：在平面坐标系中，若有点 A（x1，y1），B（x2，y2），则 A、B 两点间的距 离公式为 AB= ．） 【分析】（1）利用点 A 的坐标求出 a 的值，根据原点对称的性质找出直线 l2 上两点的坐标，求出解 析式； （2）设 P（x， ），利用两点距离公式分别求出 PF1、PF2、PM、PN 的长，相减得出结论； （3）利用切线长定理得出 ，并由（2）的结论 PF2﹣PF1=4 得出 PF2﹣PF1=QF2﹣QF1=4， 再由两点间距离公式求出 F1F2 的长，计算出 OQ 和 OB 的长，得出点 Q 与点 B 重合． 【解答】解：（1）解：把 A（﹣2，﹣1）代入 y= 中得： a=（﹣2）×（﹣1）=2， ∴双曲线 C：y= ， ∵直线 l1 与 x 轴、y 轴的交点分别是（2，0）、（0，2），它们关于原点的对称点分别是（﹣2，0）、（0， ﹣2）， ∴l2：y=﹣x﹣2 （2）设 P（x， ）， 由 F1（2，2）得：PF12=（x﹣2）2+（ ﹣2）2=x2﹣4x+ ﹣ +8， ∴PF12=（x+ ﹣2）2， ∵x+ ﹣2= = ＞0， ∴PF1=x+ ﹣2， ∵PM∥x 轴 ∴PM=PE+ME=PE+EF=x+ ﹣2， ∴PM=PF1，x§k§b 1 同理，PF22=（x+2）2+（ +2）2=（x+ +2）2， ∴PF2=x+ +2，PN=x+ +2 因此 PF2=PN， ∴PF2﹣PF1=PN﹣PM=MN=4， （3）△PF1F2 的内切圆与 F1F2，PF1，PF2 三边分别相切于点 Q，R，S， ∴ ⇒ PF2﹣PF1=QF2﹣QF1=4 又∵QF2+QF1=F1F2=4 ，QF1=2 ﹣2， ∴QO=2， ∵B（ ， ）， ∴OB=2=OQ， 所以，点 Q 与点 B 重合． 【点评】此题主要考查了圆的综合应用以及反比例函数的性质等知识，将代数与几何融合在一起， 注意函数中线段的长可以利用本题给出的两点距离公式解出，也可以利用勾股定理解出；解答本题 需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．