2016年菏泽市中考数学试卷（解析版）

2016 年山东省菏泽市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分，在每小题给出的四个选项 A、B、C、D 中，只 有一个选项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应位置） 1．下列各对数是互为倒数的是（ ） A．4 和﹣4 B．﹣3 和 C．﹣2 和 D．0 和 0 2．以下微信图标不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A． B． C． D． 4．当 1＜a＜2 时，代数式|a﹣2|+|1﹣a|的值是（ ） A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3 5．如图，A，B 的坐标为（2，0），（0，1），若将线段 AB 平移至 A1B1，则 a+b 的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．在▱ ABCD 中，AB=3，BC=4，当▱ ABCD 的面积最大时，下列结论正确的有（ ） ①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 7．如图，△ABC 与△A′B′C′都是等腰三角形，且 AB=AC=5，A′B′=A′C′=3，若∠B+∠B′=90°，则△ABC 与△A′B′C′的面积比为（ ） A．25：9 B．5：3 C． ： D．5 ：3 8．如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数 y= 在第一象限的图 象经过点 B，则△OAC 与△BAD 的面积之差 S△OAC﹣S△BAD 为（ ） A．36 B．12 C．6 D．3 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内） 9．2016 年春节期间，在网络上用“百度”搜索引擎搜索“开放二孩”，能搜索到与之相关的结果个数约为 45100000，这个数用科学记数法表示为 ． 10．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含 30°角 的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含 45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1 的度数 是 ． 11．某校九年级（1）班 40 名同学中，14 岁的有 1 人，15 岁的有 21 人，16 岁的有 16 人，17 岁的有 2 人， 则这个班同学年龄的中位数是 岁． 12．已知 m 是关于 x 的方程 x2﹣2x﹣3=0 的一个根，则 2m2﹣4m= ． 13．如图，在正方形 ABCD 外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接 BE，则 tan∠EBC= ． 14．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为 C1，它与 x 轴交于两点 O，A1；将 C1 绕 A1 旋转 180°得到 C2，交 x 轴于 A2；将 C2 绕 A2 旋转 180°得到 C3，交 x 轴于 A3；…如此进行下去，直至得到 C6， 若点 P（11，m）在第 6 段抛物线 C6 上，则 m= ． 三、解答题（本题共 78 分，把解答和证明过程写在答题卡的相应区域内） 15．计算：2﹣2﹣2cos60°+|﹣ |+（π﹣3.14）0． 16．已知 4x=3y，求代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2 的值． 17．南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至 B 处时， 测得该岛位于正北方向 20（1+ ）海里的 C 处，为了防止某国还巡警干扰，就请求我 A 处的鱼监船前往 C 处护航，已知 C 位于 A 处的北偏东 45°方向上，A 位于 B 的北偏西 30°的方向上，求 A、C 之间的距离． 18．列方程或方程组解应用题： 为了响应“十三五”规划中提出的绿色环保的倡议，某校文印室提出了每个人都践行“双面打印，节约用纸”． 已知打印一份资料，如果用 A4 厚型纸单面打印，总质量为 400 克，将其全部改成双面打印，用纸将减少 一半；如果用 A4 薄型纸双面打印，这份资料的总质量为 160 克，已知每页薄型纸比厚型纸轻 0.8 克，求 A4 薄型纸每页的质量．（墨的质量忽略不计） 19．如图，点 O 是△ABC 内一点，连结 OB、OC，并将 AB、OB、OC、AC 的中点 D、E、F、G 依次连 结，得到四边形 DEFG． （1）求证：四边形 DEFG 是平行四边形； （2）若 M 为 EF 的中点，OM=3，∠OBC 和∠OCB 互余，求 DG 的长度． 20．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 y= 与直线 y=﹣2x+2 交于点 A（﹣1，a）． （1）求 a，m 的值； （2）求该双曲线与直线 y=﹣2x+2 另一个交点 B 的坐标． 21．如图，直角△ABC 内接于⊙O，点 D 是直角△ABC 斜边 AB 上的一点，过点 D 作 AB 的垂线交 AC 于 E，过点 C 作∠ECP=∠AED，CP 交 DE 的延长线于点 P，连结 PO 交⊙O 于点 F． （1）求证：PC 是⊙O 的切线； （2）若 PC=3，PF=1，求 AB 的长． 22．锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关，第一道单选题 有 3 个选项，第二道单选题有 4 个选项，这两道题锐锐都不会，不过锐锐还有两个“求助”可以用（使用“求 助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）． （1）如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，那么锐锐通关的概率是 ． （2）如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，那么锐锐通关的概率是 ． （3）如果锐锐将每道题各用一次“求助”，请用树状图或者列表来分析他顺序通关的概率． 23．如图，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，点 A，D，E 在同一直线上，连接 BE． （1）如图 1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50° ①求证：AD=BE； ②求∠AEB 的度数． （2）如图 2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM 为△DCE 中 DE 边上的高，BN 为△ABE 中 AE 边上的高，试 证明：AE=2 CM+ BN． 24．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+2 过 B（﹣2，6），C（2，2）两点． （1）试求抛物线的解析式； （2）记抛物线顶点为 D，求△BCD 的面积； （3）若直线 y=﹣ x 向上平移 b 个单位所得的直线与抛物线段 BDC（包括端点 B、C）部分有两个交点， 求 b 的取值范围． 2016 年山东省菏泽市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分，在每小题给出的四个选项 A、B、C、D 中，只 有一个选项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应位置） 1．下列各对数是互为倒数的是（ ） A．4 和﹣4 B．﹣3 和 C．﹣2 和 D．0 和 0 【考点】倒数． 【分析】根据倒数的定义可知，乘积是 1 的两个数互为倒数，据此求解即可． 【解答】解：A、4×（﹣4）≠1，选项错误； B、﹣3× ≠1，选项错误； C、﹣2×（﹣ ）=1，选项正确； D、0×0≠1，选项错误． 故选 C． 【点评】主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数．要求掌握并熟练运 用． 2．以下微信图标不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的概念求解，看图形是不是关于直线对称． 【解答】解：A、是轴对称图形； B、是轴对称图形； C、是轴对称图形； D、不是轴对称图形． 故选 D． 【点评】本题主要考查了轴对称的概念，轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合． 3．如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图． 【分析】根据俯视图是从物体的上面看得到的视图进行解答即可． 【解答】解：从上往下看，可以看到选项 C 所示的图形． 故选：C． 【点评】本题考查了三视图的知识，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键． 4．当 1＜a＜2 时，代数式|a﹣2|+|1﹣a|的值是（ ） A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3 【考点】代数式求值；绝对值． 【专题】计算题． 【分析】根据 a 的取值范围，先去绝对值符号，再计算求值． 【解答】解：当 1＜a＜2 时， |a﹣2|+|1﹣a|=2﹣a+a﹣1=1． 故选：B． 【点评】此题考查的知识点是代数式求值及绝对值，关键是根据 a 的取值，先去绝对值符号． 5．如图，A，B 的坐标为（2，0），（0，1），若将线段 AB 平移至 A1B1，则 a+b 的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】坐标与图形变化-平移． 【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可． 【解答】解：由 B 点平移前后的纵坐标分别为 1、2，可得 B 点向上平移了 1 个单位， 由 A 点平移前后的横坐标分别是为 2、3，可得 A 点向右平移了 1 个单位， 由此得线段 AB 的平移的过程是：向上平移 1 个单位，再向右平移 1 个单位， 所以点 A、B 均按此规律平移， 由此可得 a=0+1=1，b=0+1=1， 故 a+b=2． 故选：A． 【点评】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平 移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 6．在▱ ABCD 中，AB=3，BC=4，当▱ ABCD 的面积最大时，下列结论正确的有（ ） ①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【考点】平行四边形的性质． 【分析】当▱ ABCD 的面积最大时，四边形 ABCD 为矩形，得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD，根据 勾股定理求出 AC，即可得出结论． 【解答】解：根据题意得：当▱ ABCD 的面积最大时，四边形 ABCD 为矩形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD， ∴AC= =5， ①正确，②正确，④正确；③不正确； 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质以及勾股定理；得出▱ ABCD 的面积最大时，四边形 ABCD 为矩形是解决问题的关键． 7．如图，△ABC 与△A′B′C′都是等腰三角形，且 AB=AC=5，A′B′=A′C′=3，若∠B+∠B′=90°，则△ABC 与△A′B′C′的面积比为（ ） A．25：9 B．5：3 C． ： D．5 ：3 【考点】互余两角三角函数的关系． 【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，∠B′=∠C′，根据三角函数的定义得到 AD=AB•sinB， A′D′=A′B′•sinB′，BC=2BD=2AB•cosB，B′C′=2B′D′=2A′B′•cosB′，然后根据三角形面积公式即可得到结论． 【解答】解：过 A 作 AD⊥BC 于 D，过 A′作 A′D′⊥B′C′于 D′， ∵△ABC 与△A′B′C′都是等腰三角形， ∴∠B=∠C，∠B′=∠C′，BC=2BD，B′C′=2B′D′， ∴AD=AB•sinB，A′D′=A′B′•sinB′，BC=2BD=2AB•cosB，B′C′=2B′D′=2A′B′•cosB′， ∵∠B+∠B′=90°， ∴sinB=cosB′，sinB′=cosB， ∵S△BAC= AD•BC= AB•sinB•2AB•cosB=25sinB•cosB， S△A′B′C′= A′D′•B′C′= A′B′•cosB′•2A′B′•sinB′=9sinB′•cosB′， ∴S△BAC：S△A′B′C′=25：9． 故选 A． 【点评】本题考查了互余两角的关系，解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就 是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和三角形面积公式． 8．如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数 y= 在第一象限的图 象经过点 B，则△OAC 与△BAD 的面积之差 S△OAC﹣S△BAD 为（ ） A．36 B．12 C．6 D．3 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义；等腰直角三角形． 【分析】设△OAC 和△BAD 的直角边长分别为 a、b，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点 B 的坐 标，根据三角形的面积公式结合反比例函数系数 k 的几何意义以及点 B 的坐标即可得出结论． 【解答】解：设△OAC 和△BAD 的直角边长分别为 a、b， 则点 B 的坐标为（a+b，a﹣b）． ∵点 B 在反比例函数 y= 的第一象限图象上， ∴（a+b）×（a﹣b）=a2﹣b2=6． ∴S△OAC﹣S△BAD= a2﹣ b2= （a2﹣b2）= ×6=3． 故选 D． 【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是找出 a2﹣b2 的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设出等腰直角三角形的直角边，用其表示 出反比例函数上点的坐标是关键． 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内） 9．2016 年春节期间，在网络上用“百度”搜索引擎搜索“开放二孩”，能搜索到与之相关的结果个数约为 45100000，这个数用科学记数法表示为 4.51×107 ． 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值是易错点，由于 45100000 有 8 位，所以可以确定 n=8﹣1=7． 【解答】解：45100000 这个数用科学记数法表示为 4.51×107． 故答案为：4.51×107． 【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 a 与 n 值是关键． 10．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含 30°角 的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含 45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1 的度数是 15° ． 【考点】平行线的性质． 【专题】计算题． 【分析】过 A 点作 AB∥a，利用平行线的性质得 AB∥b，所以∠1=∠2，∠3=∠4=30°，加上∠2+∠3=45°， 易得∠1=15°． 【解答】解：如图，过 A 点作 AB∥a， ∴∠1=∠2， ∵a∥b， ∴AB∥b， ∴∠3=∠4=30°， 而∠2+∠3=45°， ∴∠2=15°， ∴∠1=15°． 故答案为 15°． 【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 11．某校九年级（1）班 40 名同学中，14 岁的有 1 人，15 岁的有 21 人，16 岁的有 16 人，17 岁的有 2 人， 则这个班同学年龄的中位数是 15 岁． 【考点】中位数． 【分析】根据中位数的定义找出第 20 和 21 个数的平均数，即可得出答案． 【解答】解：∵该班有 40 名同学， ∴这个班同学年龄的中位数是第 20 和 21 个数的平均数， ∵15 岁的有 21 人， ∴这个班同学年龄的中位数是 15 岁； 故答案为：15． 【点评】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数 （最中间两个数的平均数），熟练掌握中位数的定义是本题的关键． 12．已知 m 是关于 x 的方程 x2﹣2x﹣3=0 的一个根，则 2m2﹣4m= 6 ． 【考点】一元二次方程的解． 【专题】推理填空题． 【分析】根据 m 是关于 x 的方程 x2﹣2x﹣3=0 的一个根，通过变形可以得到 2m2﹣4m 值，本题得以解决． 【解答】解：∵m 是关于 x 的方程 x2﹣2x﹣3=0 的一个根， ∴m2﹣2m﹣3=0， ∴m2﹣2m=3， ∴2m2﹣4m=6， 故答案为：6． 【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 13．如图，在正方形 ABCD 外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接 BE，则 tan∠EBC= ． 【考点】正方形的性质；等腰直角三角形；解直角三角形． 【专题】计算题． 【分析】作 EF⊥BC 于 F，如图，设 DE=CE=a，根据等腰直角三角形的性质得 CD= CE= a，∠DCE=45°， 再利用正方形的性质得 CB=CD= a，∠BCD=90°，接着判断△CEF 为等腰直角三角形得到 CF=EF= CE= a，然后在 Rt△BEF 中根据正切的定义求解． 【解答】解：作 EF⊥BC 于 F，如图，设 DE=CE=a， ∵△CDE 为等腰直角三角形， ∴CD= CE= a，∠DCE=45°， ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴CB=CD= a，∠BCD=90°， ∴∠ECF=45°， ∴△CEF 为等腰直角三角形， ∴CF=EF= CE= a， 在 Rt△BEF 中，tan∠EBF= = = ， 即∠EBC= ． 故答案为 ． 【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等， 互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也 考查了等腰直角三角形的性质． 14．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为 C1，它与 x 轴交于两点 O，A1；将 C1 绕 A1 旋转 180°得到 C2，交 x 轴于 A2；将 C2 绕 A2 旋转 180°得到 C3，交 x 轴于 A3；…如此进行下去，直至得到 C6， 若点 P（11，m）在第 6 段抛物线 C6 上，则 m= ﹣1 ． 【考点】二次函数图象与几何变换；抛物线与 x 轴的交点． 【专题】规律型． 【分析】将这段抛物线 C1 通过配方法求出顶点坐标及抛物线与 x 轴的交点，由旋转的性质可以知道 C1 与 C2 的顶点到 x 轴的距离相等，且 OA1=A1A2，照此类推可以推导知道点 P（11，m）为抛物线 C6 的顶点， 从而得到结果． 【解答】解：∵y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）， ∴配方可得 y=﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2）， ∴顶点坐标为（1，1）， ∴A1 坐标为（2，0） ∵C2 由 C1 旋转得到， ∴OA1=A1A2，即 C2 顶点坐标为（3，﹣1），A2（4，0）； 照此类推可得，C3 顶点坐标为（5，1），A3（6，0）； C4 顶点坐标为（7，﹣1），A4（8，0）； C5 顶点坐标为（9，1），A5（10，0）； C6 顶点坐标为（11，﹣1），A6（12，0）； ∴m=﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标． 三、解答题（本题共 78 分，把解答和证明过程写在答题卡的相应区域内） 15．计算：2﹣2﹣2cos60°+|﹣ |+（π﹣3.14）0． 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 【专题】计算题；实数． 【分析】原式利用负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算 即可得到结果． 【解答】解：原式= ﹣2× +2 +1 = +2 ． 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16．已知 4x=3y，求代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2 的值． 【考点】整式的混合运算—化简求值． 【分析】首先利用平方差公式和完全平方公式计算，进一步合并，最后代入求得答案即可． 【解答】解：（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2 =x2﹣4xy+4y2﹣（x2﹣y2）﹣2y2 =﹣4xy+3y2 =﹣y（4x﹣3y）． ∵4x=3y， ∴原式=0． 【点评】此题考查整式的化简求值，注意先化简，再代入求得数值即可． 17．南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至 B 处时， 测得该岛位于正北方向 20（1+ ）海里的 C 处，为了防止某国还巡警干扰，就请求我 A 处的鱼监船前往 C 处护航，已知 C 位于 A 处的北偏东 45°方向上，A 位于 B 的北偏西 30°的方向上，求 A、C 之间的距离． 【考点】解直角三角形的应用-方向角问题． 【分析】作 AD⊥BC，垂足为 D，设 CD=x，利用解直角三角形的知识，可得出 AD，继而可得出 BD，结 合题意 BC=CD+BD 可得出方程，解出 x 的值后即可得出答案． 【解答】解：如图，作 AD⊥BC，垂足为 D， 由题意得，∠ACD=45°，∠ABD=30°． 设 CD=x，在 Rt△ACD 中，可得 AD=x， 在 Rt△ABD 中，可得 BD= x， 又∵BC=20（1+ ），CD+BD=BC， 即 x+ x=20（1+ ）， 解得：x=20， ∴AC= x=20 （海里）． 答：A、C 之间的距离为 20 海里． 【点评】此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形，将实际问题转化 为数学模型进行求解，难度一般． 18．列方程或方程组解应用题： 为了响应“十三五”规划中提出的绿色环保的倡议，某校文印室提出了每个人都践行“双面打印，节约用纸”． 已知打印一份资料，如果用 A4 厚型纸单面打印，总质量为 400 克，将其全部改成双面打印，用纸将减少 一半；如果用 A4 薄型纸双面打印，这份资料的总质量为 160 克，已知每页薄型纸比厚型纸轻 0.8 克，求 A4 薄型纸每页的质量．（墨的质量忽略不计） 【考点】分式方程的应用． 【分析】设 A4 薄型纸每页的质量为 x 克，则 A4 厚型纸每页的质量为（x+0.8）克，然后根据“双面打印， 用纸将减少一半”列方程，然后解方程即可． 【解答】解：设 A4 薄型纸每页的质量为 x 克，则 A4 厚型纸每页的质量为（x+0.8）克， 根据题意，得： =2× ， 解得：x=3.2， 经检验：x=3.2 是原分式方程的解，且符合题意， 答：A4 薄型纸每页的质量为 3.2 克． 【点评】本题主要考查分式方程的应用，根据题意准确找到相等关系并据此列出方程是解题的关键． 19．如图，点 O 是△ABC 内一点，连结 OB、OC，并将 AB、OB、OC、AC 的中点 D、E、F、G 依次连 结，得到四边形 DEFG． （1）求证：四边形 DEFG 是平行四边形； （2）若 M 为 EF 的中点，OM=3，∠OBC 和∠OCB 互余，求 DG 的长度． 【考点】平行四边形的判定与性质． 【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得 EF∥BC 且 EF= BC，DG∥BC 且 DG= BC，从而得到 DE=EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）先判断出∠BOC=90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出 EF 即可． 【解答】解：（1）∵D、G 分别是 AB、AC 的中点， ∴DG∥BC，DG= BC， ∵E、F 分别是 OB、OC 的中点， ∴EF∥BC，EF= BC， ∴DE=EF，DG∥EF， ∴四边形 DEFG 是平行四边形； （2）∵∠OBC 和∠OCB 互余， ∴∠OBC+∠OCB=90°， ∴∠BOC=90°， ∵M 为 EF 的中点，OM=3， ∴EF=2OM=6． 由（1）有四边形 DEFG 是平行四边形， ∴DG=EF=6． 【点评】此题是平行四边形的判定与性质题，主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线，直 角三角形的性质，解本题的关键是判定四边形 DEFG 是平行四边形． 20．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 y= 与直线 y=﹣2x+2 交于点 A（﹣1，a）． （1）求 a，m 的值； （2）求该双曲线与直线 y=﹣2x+2 另一个交点 B 的坐标． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）将 A 坐标代入一次函数解析式中即可求得 a 的值，将 A（﹣1，4）坐标代入反比例解析式 中即可求得 m 的值； （2）解方程组 ，即可解答． 【解答】解：（1）∵点 A 的坐标是（﹣1，a），在直线 y=﹣2x+2 上， ∴a=﹣2×（﹣1）+2=4， ∴点 A 的坐标是（﹣1，4），代入反比例函数 y= ， ∴m=﹣4． （2）解方程组 解得： 或 ， ∴该双曲线与直线 y=﹣2x+2 另一个交点 B 的坐标为（2，﹣2）． 【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：反比例函数的图象上点的坐标特 征，待定系数法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 21．如图，直角△ABC 内接于⊙O，点 D 是直角△ABC 斜边 AB 上的一点，过点 D 作 AB 的垂线交 AC 于 E，过点 C 作∠ECP=∠AED，CP 交 DE 的延长线于点 P，连结 PO 交⊙O 于点 F． （1）求证：PC 是⊙O 的切线； （2）若 PC=3，PF=1，求 AB 的长． 【考点】切线的判定；切割线定理． 【分析】（1）连接 OC，欲证明 PC 是⊙O 的切线，只要证明 PC⊥OC 即可． （2）延长 PO 交圆于 G 点，由切割线定理求出 PG 即可解决问题． 【解答】解：（1）如图，连接 OC， ∵PD⊥AB， ∴∠ADE=90°， ∵∠ECP=∠AED， 又∵∠EAD=∠ACO， ∴∠PCO=∠ECP+∠ACO=∠AED+∠EAD=90°， ∴PC⊥OC， ∴PC 是⊙O 切线． （2）延长 PO 交圆于 G 点， ∵PF×PG=PC2，PC=3，PF=1， ∴PG=9， ∴FG=9﹣1=8， ∴AB=FG=8． 【点评】本题考查切线的判定、切割线定理、等角的余角相等等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解 决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 22．锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关，第一道单选题 有 3 个选项，第二道单选题有 4 个选项，这两道题锐锐都不会，不过锐锐还有两个“求助”可以用（使用“求 助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）． （1）如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，那么锐锐通关的概率是 ． （2）如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，那么锐锐通关的概率是 ． （3）如果锐锐将每道题各用一次“求助”，请用树状图或者列表来分析他顺序通关的概率． 【考点】列表法与树状图法． 【专题】应用题． 【分析】（1）锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，第一道肯定能对，第二道对的概率为 ，即可得出结 果； （2）由题意得出第一道题对的概率为 ，第二道题对的概率为 ，即可得出结果； （3）用树状图得出共有 6 种等可能的结果，锐锐顺利通关的只有 1 种情况，即可得出结果． 【解答】解：（1）第一道肯定能对，第二道对的概率为 ， 所以锐锐通关的概率为 ； 故答案为： ； （2）锐锐两次“求助”都在第二道题中使用， 则第一道题对的概率为 ，第二道题对的概率为 ， 所以锐锐能通关的概率为 × = ； 故答案为： ； （3）锐锐将每道题各用一次“求助”，分别用 A，B 表示剩下的第一道单选题的 2 个选项，a，b，c 表示剩 下的第二道单选题的 3 个选项， 树状图如图所示： 共有 6 种等可能的结果，锐锐顺利通关的只有 1 种情况， ∴锐锐顺利通关的概率为： ． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23．如图，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，点 A，D，E 在同一直线上，连接 BE． （1）如图 1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50° ①求证：AD=BE； ②求∠AEB 的度数． （2）如图 2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM 为△DCE 中 DE 边上的高，BN 为△ABE 中 AE 边上的高，试 证明：AE=2 CM+ BN． 【考点】等腰三角形的性质． 【分析】（1）①通过角的计算找出∠ACD=∠BCE，再结合△ACB 和△DCE 均为等腰三角形可得出 “AC=BC，DC=EC”，利用全等三角形的判定（SAS）即可证出△ACD≌△BCE，由此即可得出结论 AD=BE； ②结合①中的△ACD≌△BCE 可得出∠ADC=∠BEC，再通过角的计算即可算出∠AEB 的度数； （2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用（1）的结论，通过解直角三角 形即可求出线段 AD、DE 的长度，二者相加即可证出结论． 【解答】（1）①证明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°， ∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°． ∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE， ∴∠ACD=∠BCE． ∵△ACB 和△DCE 均为等腰三角形， ∴AC=BC，DC=EC． 在△ACD 和△BCE 中，有 ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE． ②解：∵△ACD≌△BCE， ∴∠ADC=∠BEC． ∵点 A，D，E 在同一直线上，且∠CDE=50°， ∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°， ∴∠BEC=130°． ∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°， ∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°． （2）证明：∵△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=120°， ∴∠CDM=∠CEM= ×（180°﹣120°）=30°． ∵CM⊥DE， ∴∠CMD=90°，DM=EM． 在 Rt△CMD 中，∠CMD=90°，∠CDM=30°， ∴DE=2DM=2× =2 CM． ∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°，∠BEC=∠CEM+∠AEB， ∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°， ∴∠BEN=180°﹣120°=60°． 在 Rt△BNE 中，∠BNE=90°，∠BEN=60°， ∴BE= = BN． ∵AD=BE，AE=AD+DE， ∴AE=BE+DE= BN+2 CM． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形以及角的计算，解题的 关键是：（1）通过角的计算结合等腰三角形的性质证出△ACD≌△BCE；（2）找出线段 AD、DE 的长．本 题属于中档题，难度不大，但稍显繁琐，解决该题型题目时，利用角的计算找出相等的角，再利用等腰三 角形的性质找出相等的边或角，最后根据全等三角形的判定定理证出三角形全是关键． 24．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+2 过 B（﹣2，6），C（2，2）两点． （1）试求抛物线的解析式； （2）记抛物线顶点为 D，求△BCD 的面积； （3）若直线 y=﹣ x 向上平移 b 个单位所得的直线与抛物线段 BDC（包括端点 B、C）部分有两个交点， 求 b 的取值范围． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质． 【分析】（1）根据待定系数法即可解决问题． （2）求出直线 BC 与对称轴的交点 H，根据 S△BDC=S△BDH+S△DHC 即可解决问题． （3）由 ，当方程组只有一组解时求出 b 的值，当直线 y=﹣ x+b 经过点 C 时，求出 b 的 值，当直线 y=﹣ x+b 经过点 B 时，求出 b 的值，由此即可解决问题． 【解答】解：（1）由题意 解得 ， ∴抛物线解析式为 y= x2﹣x+2． （2）∵y= x2﹣x+2= （x﹣1）2+ ． ∴顶点坐标（1， ）， ∵直线 BC 为 y=﹣x+4，∴对称轴与 BC 的交点 H（1，3）， ∴S△BDC=S△BDH+S△DHC= •3+ •1=3． （3）由 消去 y 得到 x2﹣x+4﹣2b=0， 当△=0 时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）=0， ∴b= ， 当直线 y=﹣ x+b 经过点 C 时，b=3， 当直线 y=﹣ x+b 经过点 B 时，b=5， ∵直线 y=﹣ x 向上平移 b 个单位所得的直线与抛物线段 BDC（包括端点 B、C）部分有两个交点， ∴ ＜b≤3． 【点评】本题考查待定系数法确定二次函数解析式、二次函数性质等知识，解题的关键是求出对称轴与直 线 BC 交点 H 坐标，学会利用判别式确定两个函数图象的交点问题，属于中考常考题型．