2016年哈尔滨市中考数学试题及答案解析版

2016 年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共计 30 分） 1．﹣6 的绝对值是（ ） A．﹣6 B．6 C． D．﹣ 2．下列运算正确的是（ ） A．a2•a3=a6B．（a2）3=a5 C．（﹣2a2b）3=﹣8a6b3D．（2a+1）2=4a2+2a+1 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 4．点（2，﹣4）在反比例函数 y= 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A．（2，4） B．（﹣1，﹣8） C．（﹣2，﹣4） D．（4，﹣2） 5．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ） A． B． C． D． 6．不等式组 的解集是（ ） A．x≥2 B．﹣1＜x≤2 C．x≤2 D．﹣1＜x≤1 7．某车间有 26 名工人，每人每天可以生产 800 个螺钉或 1000 个螺母，1 个螺钉需要配 2 个螺母，为使每 天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排 x 名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（ ） A．2×1000（26﹣x）=800x B．1000（13﹣x）=800x C．1000（26﹣x）=2×800x D．1000（26﹣x）=800x 8．如图，一艘轮船位于灯塔 P 的北偏东 60°方向，与灯塔 P 的距离为 30 海里的 A 处，轮船沿正南方向航行 一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 30°方向上的 B 处，则此时轮船所在位置 B 处与灯塔 P 之间的距离 为（ ） A．60 海里 B．45 海里 C．20 海里 D．30 海里 9．如图，在△ABC 中，D、E 分别为 AB、AC 边上的点，DE∥BC，BE 与 CD 相交于点 F，则下列结论一 定正确的是（ ） A． = B． C． D． 10．明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该 绿化组完成的绿化面积 S（单位：m2）与工作时间 t（单位：h）之间的函数关系如图所示，则该绿化组提 高工作效率前每小时完成的绿化面积是（ ） A．300m2B．150m2C．330m2D．450m2 二、填空题（每小题 3 分，共计 30 分） 11．将 5700 000 用科学记数法表示为 ． 12．函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 ． 13．计算 2 ﹣ 的结果是 ． 14．把多项式 ax2+2a2x+a3 分解因式的结果是 ． 15．一个扇形的圆心角为 120°，面积为 12πcm2，则此扇形的半径为 cm． 16．二次函数 y=2（x﹣3）2﹣4 的最小值为 ． 17．在等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，点 P 为边 BC 的三等分点，连接 AP，则 AP 的长 为 ． 18．如图，AB 为⊙O 的直径，直线 l 与⊙O 相切于点 C，AD⊥l，垂足为 D，AD 交⊙O 于点 E，连接 OC、 BE．若 AE=6，OA=5，则线段 DC 的长为 ． 19．一个不透明的袋子中装有黑、白小球各两个，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个 小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球都是白球的概率为 ． 20．如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD=120°，点 E、F 分别在边 AB、BC 上，△BEF 与△GEF 关于直线 EF 对称，点 B 的对称点是点 G，且点 G 在边 AD 上．若 EG⊥AC，AB=6 ，则 FG 的长为 ． 三、解答题（其中 21-22 题各 7 分，23-24 题各 8 分，25-27 题各 10 分，共计 60 分） 21．先化简，再求代数式（ ﹣ ）÷ 的值，其中 a=2sin60°+tan45°． 22．图 1、图 2 是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为 1，线段 AC 的两 个端点均在小正方形的顶点上． （1）如图 1，点 P 在小正方形的顶点上，在图 1 中作出点 P 关于直线 AC 的对称点 Q，连接 AQ、QC、CP、 PA，并直接写出四边形 AQCP 的周长； （2）在图 2 中画出一个以线段 AC 为对角线、面积为 6 的矩形 ABCD，且点 B 和点 D 均在小正方形的顶 点上． 23．海静中学开展以“我最喜爱的职业”为主题的调查活动，围绕“在演员、教师、医生、律师、公务员共五 类职 业中，你最喜爱哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查， 将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题： （1）本次调查共抽取了多少名学生？ （2）求在被调查的学生中，最喜爱教师职业的人数，并补全条形统计图； （3）若海静中学共有 1500 名学生，请你估计该中学最喜爱律师职业的学生有多少名？ 24．已知：如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，AQ⊥BE 于点 Q，DP⊥AQ 于点 P． （1）求证：AP=BQ； （2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等 于 PQ 的长． 25．早晨，小明步行到离家 900 米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回 家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校．已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到 学校所用的时间多 10 分钟，小明骑自行车速度是步行速度的 3 倍． （1）求小明步行速度（单位：米/分）是多少； （2）下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明 步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的 2 倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是 多少米？ 26．已知：△ABC 内接于⊙O，D 是 上一点，OD⊥BC，垂足为 H． （1）如图 1，当圆心 O 在 AB 边上时，求证：AC=2OH； （2）如图 2，当圆心 O 在△ABC 外部时，连接 AD、CD，AD 与 BC 交于点 P，求证：∠ACD=∠APB； （3）在（2）的条件下，如图 3，连接 BD，E 为⊙O 上一点，连接 DE 交 BC 于点 Q、交 AB 于点 N，连接 OE，BF 为⊙O 的弦，BF⊥OE 于点 R 交 DE 于点 G，若∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN，AC=5 ，BN=3 ， tan∠ABC= ，求 BF 的长． 27．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线 y=ax2+2xa+c 经过 A（﹣4，0），B（0，4）两点， 与 x 轴交于另一点 C，直线 y=x+5 与 x 轴交于点 D，与 y 轴交于点 E． （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是第二象限抛物线上的一个动点，连接 EP，过点 E 作 EP 的垂线 l，在 l 上截取线段 EF，使 EF=EP， 且点 F 在第一象限，过点 F 作 FM⊥x 轴于点 M，设点 P 的横坐标为 t，线段 FM 的长度为 d，求 d 与 t 之间 的函数关系式（不要求写出自变量 t 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，过点 E 作 EH⊥ED 交 MF 的延长线于点 H，连接 DH，点 G 为 DH 的中点，当直 线 PG 经过 AC 的中点 Q 时，求点 F 的坐标． 2016 年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共计 30 分） 1．﹣6 的绝对值是（ ） A．﹣6 B．6 C． D．﹣ 【考点】绝对值． 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案． 【解答】解：﹣6 的绝对值是 6． 故选：B． 2．下列运算正确的是（ ） A．a2•a3=a6B．（a2）3=a5 C．（﹣2a2b）3=﹣8a 6b3D．（2a+1）2=4a2+2a+1 【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法；完全平方公式． 【分析】分别利用幂的乘方运算法则以及合并同类项法则以及完全平方公式、同底数幂的乘法运算法则、 积的乘方运算法则分别化简求出答案． 【解答】解：A、a2•a3=a5，故此选项错误； B、（a2）3=a6，故此选项错误； C、（﹣2a2b）3=﹣8a6b3，正确； D、（2a+1）2=4a2+4a+1，故此选项错误； 故选：C． 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【考点】中心对称图形；轴对称图形． 【分析】依据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义回答即可． 【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故 A 错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故 B 正确； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故 C 错误； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故 D 错误． 故选：B． 4．点（2，﹣4）在反比例函数 y= 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A．（2，4） B．（﹣1，﹣8） C．（﹣2，﹣4） D．（4，﹣2） 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】由点（2，﹣4）在反比例函数图象上结合反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出 k 值，再去 验证四个选项中横纵坐标之积是否为 k 值，由此即可得出结论． 【解答】解：∵点（2，﹣4）在反比例函数 y= 的图象上， ∴k=2×（﹣4）=﹣8． ∵A 中 2×4=8；B 中﹣1×（﹣8）=8；C 中﹣2×（﹣4）=8；D 中 4×（﹣2）=﹣8， ∴点（4，﹣2）在反比例函数 y= 的图象上． 故选 D． 5．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图． 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层右边是两个小正方形， 故选：C． 6．不等式组 的解集是（ ） A．x≥2 B．﹣1＜x≤2 C．x≤2 D．﹣1＜x≤1 【考点】解一元一次不等式组． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式 x+3＞2，得：x＞﹣1， 解不等式 1﹣2x≤﹣3，得：x≥2， ∴不等式组的解集为：x≥2， 故选：A． 7．某车间有 26 名工人，每人每天可以生产 800 个螺钉或 1000 个螺母，1 个螺钉需要配 2 个螺母，为使每 天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排 x 名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（ ） A．2×1000（26﹣x）=800x B．1000（13﹣x）=800x C．1000（26﹣x）=2×800x D．1000（26﹣x）=800x 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程． 【分析】题目已经设出安排 x 名工人生产螺钉，则（26﹣x）人生产螺母，由一个螺钉配两个螺母可知螺母 的个数是螺钉个数的 2 倍从而得出等量关系，就可以列出方程． 【解答】解：设安排 x 名工人生产螺钉，则（26﹣x）人生产螺母，由题意得 1000（26﹣x）=2×800x，故 C 答案正确， 故选 C 8．如图，一艘轮船位于灯塔 P 的北偏东 60°方向，与灯塔 P 的距离为 30 海里的 A 处，轮船沿正南方向航行 一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 30°方向上的 B 处，则此时轮船所在位置 B 处与灯塔 P 之间的距离 为（ ） A．60 海里 B．45 海里 C．20 海里 D．30 海里 【考点】勾股定理的应用；方向角． 【分析】根据题意得出：∠B=30°，AP=30 海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出 BP 的长，求出答案． 【解答】解：由题意可得：∠B=30°，AP=30 海里，∠APB=90°， 故 AB=2AP=60（海里）， 则此时轮船所在位置 B 处与灯塔 P 之间的距离为：BP= =30 （海里） 故选：D． 9．如图，在△ABC 中，D、E 分别为 AB、AC 边上的点，DE∥BC，BE 与 CD 相交于点 F，则下列结论一 定正确的是（ ） A． = B． C． D． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】根据平行线分线段成比例定理与相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【解答】解；A、∵DE∥BC， ∴ ，故正确； B、∵DE∥BC， ∴△DEF∽△CBF， ∴ ，故错误； C、∵DE∥BC， ∴ ，故错误； D、∵DE∥BC， ∴△DEF∽△CBF， ∴ ，故错误； 故选：A． 10．明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该 绿化组完成的绿化面积 S（单位：m2）与工作时间 t（单位：h）之间的函数关系如图所示，则该绿化组提 高工作效率前每小时完成的绿化面积是（ ） A．300m2B．150m2C．330m2D．450m2 【考点】一次函数的应用． 【分析】根据待定系数法可求直线 AB 的解析式，再根据函数上点的坐标特征得出当 x=2 时，y 的值，再根 据工作效率=工作总量÷工作时间，列出算式求出该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积． 【解答】解：如图， 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，则 ， 解得 ． 故直线 AB 的解析式为 y=450x﹣600， 当 x=2 时，y=450×2﹣600=300， 300÷2=150（m2）． 答：该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是 150m2． 二、填空题（每小题 3 分，共计 30 分） 11．将 5700 000 用科学记数法表示为 5.7×106 ． 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式．其中 1≤|a|＜10，n 为整数，确定 n 的值时，要看把原数变 成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10 时，n 是正数；当 原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：5700 000=5.7×106． 故答案为：5.7×106． 12．函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 x≠ ． 【考点】函数自变量的取值范围． 【分析】根据分母不为零是分式有意义的条件，可得答案． 【解答】解：由题意，得 2x﹣1≠0，解得 x≠ ， 故答案为：x≠ ． 13．计算 2 ﹣ 的结果是 ﹣2 ． 【考点】二次根式的加减法． 【分析】先将各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并求解即可． 【解答】解：原式=2× ﹣3 = ﹣3 =﹣2 ， 故答案为：﹣2 ． 14．把多项式 ax2+2a2x+a3 分解因式的结果是 a（x+a）2 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】首先提取公因式 a，然后将二次三项式利用完全平方公式进行分解即可． 【解答】解：ax2+2a2x+a3 =a（x2+2ax+a2） =a（x+a）2， 故答案为：a（x+a）2 15．一个扇形的圆心角为 120°，面积为 12π cm2，则此扇形的半径为 6 cm． 【考点】扇形面积的计算． 【分析】根据扇形的面积公式 S= 即可求得半径． 【解答】解：设该扇形的半径为 R，则 =12π， 解得 R=6． 即该扇形的半径为 6cm． 故答案是：6． 16．二次函数 y=2（x﹣3）2﹣4 的最小值为 ﹣4 ． 【考点】二次函数的最值． 【分析】题中所给的解析式为顶点式，可直接得到顶点坐标，从而得出解答． 【解答】解：二次函数 y=2（x﹣3）2﹣4 的开口向上，顶点坐标为（3，﹣4）， 所以最小值为﹣4． 故答案为：﹣4． 17．在等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，点 P 为边 BC 的三等分点，连接 AP，则 AP 的长为 或 ． 【考点】等腰直角三角形． 【分析】①如图 1 根据已知条件得到 PB= BC=1，根据勾股定理即可得到结论； ②如图 2，根据已知条件得到 PC= BC=1，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：①如图 1，∵∠ACB=90°，AC=BC=3， ∵PB= BC=1， ∴CP=2， ∴AP= = ， ②如图 2，∵∠ACB=90°，AC=BC=3， ∵PC= BC=1， ∴AP= = ， 综上所述：AP 的长为 或 ， 故答案为： 或 ． 18．如图，AB 为⊙O 的直径，直线 l 与⊙O 相切于点 C，AD⊥l，垂足为 D，AD 交⊙O 于点 E，连接 OC、 BE．若 AE=6，OA=5，则线段 DC 的长为 4 ． 【考点】切线的性质． 【分析】OC 交 BE 于 F，如图，有圆周角定理得到∠AEB=90°，加上 AD⊥l，则可判断 BE∥CD，再利用 切线的性质得 OC⊥CD，则 OC⊥BE，原式可判断四边形 CDEF 为矩形，所以 CD=EF，接着利用勾股定理 计算出 BE，然后利用垂径定理得到 EF 的长，从而得到 CD 的长． 【解答】解：OC 交 BE 于 F，如图， ∵AB 为⊙O 的直径， 【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的 概率即可． 【解答】解：列表得， 黑 1 黑 2 白 1 白 2 黑 1 黑 1 黑 1 黑 1 黑 2 黑 1 白 1 黑 1 白 2 黑 2 黑 2 黑 1 黑 2 黑 2 黑 2 白 1 黑 2 白 2 白 1 白 1 黑 1 白 1 黑 2 白 1 白 1 白 1 白 2 白 2 白 2 黑 1 白 2 黑 2 白 2 白 1 白 2 白 2 ∵由表格可知，不放回的摸取 2 次共有 16 种等可能结果，其中两次摸出的小球都是白球有 4 种结果， ∴两次摸出的小球都是白球的概率为： = ， 故答案为： ． 20．如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD=120°，点 E、F 分别在边 AB、BC 上，△BEF 与△GEF 关于直线 EF 对称，点 B 的对称点是点 G，且点 G 在边 AD 上．若 EG⊥AC，AB=6 ，则 FG 的长为 3 ． 【考点】菱形的性质． 【分析】首先证明△ABC，△ADC 都是等边三角形，再证明 FG 是菱形的高，根据 2•S△ABC=BC•FG 即可 解决问题． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形，∠BAD=120°， ∴AB=BC=CD=AD，∠CAB=∠CAD=60°， ∴△ABC，△ACD 是等边三角形， ∵EG⊥AC， ∴∠AEG=∠AGE=30°， ∵∠B=∠EGF=60°， ∴∠AGF=90°， ∴FG⊥BC， ∴2•S△ABC=BC•FG， ∴2× ×（6 ）2=6 •FG， ∴FG=3 ． 故答案为 3 ． 三、解答题（其中 21-22 题各 7 分，23-24 题各 8 分，25-27 题各 10 分，共计 60 分） 21．先化简，再求代数式（ ﹣ ）÷ 的值，其中 a=2sin60°+tan45°． 【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值． 【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把 a 的值代入进行计算即可． 【解答】解：原式=[ ﹣ ] •（a+1） = •（a+1） = •（a+1） = •（a+1） = ， 当 a=2sin60°+tan45°=2× +1= +1 时，原式= = ． 22．图 1、图 2 是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为 1，线段 AC 的两 个端点均在小正方形的顶点上． （1）如图 1，点 P 在小正方形的顶点上，在图 1 中作出点 P 关于直线 AC 的对称点 Q，连接 AQ、QC、CP、 PA，并直接写出四边形 AQCP 的周长； （2）在图 2 中画出一个以线段 AC 为对角线、面积为 6 的矩形 ABCD，且点 B 和点 D 均在小正方形的顶点 上． 【考点】作图-轴对称变换． 【分析】（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的答案； （2）直接利用网格结合矩形的性质以及勾股定理得出答案． 【解答】解：（1）如图 1 所示：四边形 AQCP 即为所求，它的周长为：4× =4 ； （2）如图 2 所示：四边形 ABCD 即为所求． 23．海静中学开展以“我最喜爱的职业”为主题的调查活动，围绕“在演员、教师、医生、律师、公务员共五 类职业中，你最喜爱哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查， 将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题： （1）本次调查共抽取了多少名学生？ （2）求在被调查的学生中，最喜爱教师职业的人数，并补全条形统计图； （3）若海静中学共有 1500 名学生，请你估计该中学最喜爱律师职业的学生有多少名？ 【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 【分析】（1）用条形图中演员的数量结合扇形图中演员的百分比可以求出总调查学生数；（2）用总调查数 减去其他几个职业类别就可以得到最喜爱教师职业的人数；（3）利用调查学生中最喜爱律师职业的学生百 分比可求出该中学中的相应人数． 【解答】解：（1）12÷20%=60， 答：共调查了 60 名学生． （2）60﹣12﹣9﹣6﹣24=9， 答：最喜爱的教师职业人数为 9 人．如图所示： （3） ×1500=150（名） 答：该中学最喜爱律师职业的学生有 150 名． 24．已知：如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，AQ⊥BE 于点 Q，DP⊥AQ 于点 P． （1）求证：AP=BQ； （2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等 于 PQ 的长． 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）根据正方形的性质得出 AD=B A，∠BAQ=∠ADP，再根据已知条件得到∠AQB=∠DPA，判 定△AQB≌△DPA 并得出结论；（2）根据 AQ﹣AP=PQ 和全等三角形的对应边相等进行判断分析． 【解答】解：（1）∵正方形 ABCD ∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90° ∵DP⊥AQ ∴∠ADP+∠DAP=90° ∴∠BAQ=∠ADP ∵AQ⊥BE 于点 Q，DP⊥AQ 于点 P ∴∠AQB=∠DPA=90° ∴△AQB≌△DPA（AAS） ∴AP=BQ （2）①AQ﹣AP=PQ ②AQ﹣BQ=PQ ③DP﹣AP=PQ ④DP﹣BQ=PQ 25．早晨，小明步行到离家 900 米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回 家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校．已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到 学校所用的时间多 10 分钟，小明骑自行车速度是步行速度的 3 倍． （1）求小明步行速度（单位：米/分）是多少； （2）下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明 步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的 2 倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是 多少米？ 【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用． 【分析】（1）设小明步行的速度是 x 米/分，根据题意可得等量关系：小明步行回家的时间=骑车返回时间+10 分钟，根据等量关系列出方程即可； （2）根据（1）中计算的速度列出不等式解答即可． 【解答】解：（1）设小明步行的速度是 x 米/分，由题意得： ， 解得：x=60， 经检验：x=60 是原分式方程的解， 答：小明步行的速度是 60 米/分； （2）小明家与图书馆之间的路程最多是 y 米，根据题意可得： ， 解得：y≤240， 答：小明家与图书馆之间的路程最多是 240 米． 26．已知：△ABC 内接于⊙O，D 是 上一点，OD⊥BC，垂足为 H． （1）如图 1，当圆心 O 在 AB 边上时，求证：AC=2OH； （2）如图 2，当圆心 O 在△ABC 外部时，连接 AD、CD，AD 与 BC 交于点 P，求证：∠ACD=∠APB； （3）在（2）的条件下，如图 3，连接 BD，E 为⊙O 上一点，连接 DE 交 BC 于点 Q、交 AB 于点 N，连接 OE，BF 为⊙O 的弦，BF⊥OE 于点 R 交 DE 于点 G，若∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN，AC=5 ，BN=3 ， tan∠ABC= ，求 BF 的长． 【考点】圆的综合题． 【分析】（1）OD⊥BC 可知点 H 是 BC 的中点，又中位线的性质可得 AC=2OH； （2）由垂径定理可知： ，所以∠BAD=∠CAD，由因为∠ABC=∠ADC，所以∠ACD=∠APB； （3）由∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN 可知∠AND=90°，由 tan∠ABC= 可知 NQ 和 BQ 的长度，再由 BF⊥OE 和 OD⊥BC 可知∠GBN=∠ABC，所以 BG=BQ，连接 AO 并延长交⊙O 于点 I，连接 IC 后利用圆周角定理 可求得 IC 和 AI 的长度，设 QH=x，利用勾股定理可求出 QH 和 HD 的长度，利用垂径定理可求得 ED 的长 度，最后利用 tan∠OED= 即可求得 RG 的长度，最后由垂径定理可求得 BF 的长度． 【解答】解：（1）∵OD⊥BC， ∴由垂径定理可知：点 H 是 BC 的中点， ∵点 O 是 AB 的中点， ∴OH 是△ABC 的中位线， ∴AC=2OH； （2）∵OD⊥BC， ∴由垂径定理可知： ， ∴∠BAD=∠CAD， ∵ ， ∴∠ABC=∠ADC， ∴180°﹣∠BAD﹣∠ABC=180°﹣∠CAD﹣∠ADC， ∴∠ACD=∠APB， （3）连接 AO 延长交于⊙O 于点 I，连接 IC，AB 与 OD 相交于点 M， ∵∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN， ∴∠ACD﹣∠BDN=∠ABD+∠BDN， ∵∠ABD+∠BDN=∠AND， ∴∠ACD﹣∠BDN=∠AND， ∵∠ACD+∠ABD=180°， ∴∠ABD+∠BDN=180°﹣∠AND， ∴∠AND=180°﹣∠AND， ∴∠AND=90°， ∵tan∠ABC= ，BN=3 ， ∴NQ= ， ∴由勾股定理可求得：BQ= ， ∵∠BNQ=∠QHD=90°， ∴∠ABC=∠QDH， ∵OE=OD， ∴∠OED=∠QDH， ∵∠ERG=90°， ∴∠OED=∠GBN， ∴∠GBN=∠ABC， ∵AB⊥ED， ∴BG=BQ= ，GN=NQ= ， ∵AI 是⊙O 直径， ∴∠ACI=90°， ∵tan∠AIC=tan∠ABC= ， ∴ = ， ∴IC=10 ， ∴由勾股定理可求得：AI=25， 连接 OB， 设 QH=x， ∵tan∠ABC=tan∠ODE= ， ∴ ， ∴HD=2x， ∴OH=OD﹣HD= ﹣2x， BH=BQ+QH= +x， 由勾股定理可得：OB2=BH2+OH2， ∴（ ）2=（ +x）2+（ ﹣2x）2， 解得：x= 或 x= ， 当 QH= 时， ∴QD= QH= ， ∴ND=QD+NQ=6 ， ∴MN=3 ，MD=15 ∵MD ， ∴QH= 不符合题意，舍去， 当 QH= 时， ∴QD= QH= ∴ND=NQ+QD=4 ， 由垂径定理可求得：ED=10 ， ∴GD=GN+ND= ∴EG=ED﹣GD= ， ∵tan∠OED= ， ∴ ， ∴EG= RG， ∴RG= ， ∴BR=RG+BG=12 ∴由垂径定理可知：BF=2BR=24． 27．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线 y=ax2+2xa+c 经过 A（﹣4，0），B（0，4）两点， 与 x 轴交于另一点 C，直线 y=x+5 与 x 轴交于点 D，与 y 轴交于点 E． （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是第二象限抛物线上的一个动点，连接 EP，过点 E 作 EP 的垂线 l，在 l 上截取线段 EF，使 EF=EP， 且点 F 在第一象限，过点 F 作 FM⊥x 轴于点 M，设点 P 的横坐标为 t，线段 FM 的长度为 d，求 d 与 t 之间 的函数关系式（不要求写出自变量 t 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，过点 E 作 EH⊥ED 交 MF 的延长线于点 H，连接 DH，点 G 为 DH 的中点，当直 线 PG 经过 AC 的中点 Q 时，求点 F 的坐标． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）如图 1，作辅助线构建两个直角三角形，利用斜边 PE=EF 和两角相等证两直角三角形全等，得 PA′=EB′， 则 d=FM=OE﹣EB′代入列式可得结论，但要注意 PA′=﹣t； （3）如图 2，根据直线 EH 的解析式表示出点 F 的坐标和 H 的坐标，发现点 P 和点 H 的纵坐标相等，则 PH 与 x 轴平行，根据平行线截线段成比例定理可得 G 也是 PQ 的中点，由此表示出点 G 的坐标并列式，求 出 t 的值并取舍，计算出点 F 的坐标． 【解答】解：（1）把 A（﹣4，0），B（0，4）代入 y=ax2+2xa+c 得 ，解得 ， 所以抛物线解析式为 y=﹣ x2﹣x+4； （2）如图 1，分别过 P、F 向 y 轴作垂线，垂足分别为 A′、B′，过 P 作 PN⊥x 轴，垂足为 N， 由直线 DE 的解析式为：y=x+5，则 E（0，5）， ∴OE=5， ∵∠PEO+∠OEF=90°，∠PEO+∠EPA′=90°， ∴∠EPA′=∠OEF， ∵PE=EF，∠EA′P=∠EB′F=90°， ∴△PEA′≌△EFB′， ∴PA′=EB′=﹣t， 则 d=FM=OB′=OE﹣EB′=5﹣（﹣t）=5+； （3）如图 2，由直线 DE 的解析式为：y=x+5， ∵EH⊥ED， ∴直线 EH 的解析式为：y=﹣x+5， ∴FB′=A′E=5﹣（﹣ t2﹣t+4）= t2+t+1， ∴F（ t2+t+1，5+t）， ∴点 H 的横坐标为： t2+t+1， y=﹣ t2﹣t﹣1+5=﹣ t2﹣t+4， ∴H（ t2+t+1，﹣ t2﹣t+4）， ∵G 是 DH 的中点， ∴G（ ， ）， ∴G（ t2+ t﹣2，﹣ t2﹣ t+2）， ∴PH∥x 轴， ∵DG=GH， ∴PG=GQ， ∴ = t2+ t﹣2， t= ， ∵P 在第二象限， ∴t＜0， ∴t=﹣ ， ∴F（4﹣ ，5﹣ ）．