2016年桂林市中考数学试题及答案解析版

2016 年广西桂林市中考数学试卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分 1．下列实数中小于 0 的数是（ ） A．2016 B．﹣2016 C． D． 2．如图，直线 a∥b，c 是截线，∠1 的度数是（ ） A．55° B．75° C．110° D．125° 3．一组数据 7，8，10，12，13 的平均数是（ ） A．7 B．9 C．10 D．12 4．下列几何体的三视图相同的是（ ） A． 圆柱 B． 球 C． 圆锥 D． 长方体 5．下列图形一定是轴对称图形的是（ ） A．直角三角形 B．平行四边形 C．直角梯形 D．正方形 6．计算 3 ﹣2 的结果是（ ） A． B．2 C．3 D．6 7．下列计算正确的是（ ） A．（xy）3=xy3B．x5÷x5=x C．3x2•5x3=1 5x5D．5x2y3+2x2y3=10x4y9 8．如图，直线 y=ax+b 过点 A（0，2）和点 B（﹣3，0），则方程 ax+b=0 的解是（ ） A．x=2 B．x=0 C．x=﹣1 D．x=﹣3 9．当 x=6，y=3 时，代数式（ ）• 的值是（ ） A．2 B．3 C．6 D．9 10．若关于 x 的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ） A．k＜5 B．k＜5，且 k≠1 C．k≤5，且 k≠1 D．k＞5 11．如图，在 Rt△AOB 中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将 Rt△AOB 绕点 O 顺时针旋转 90°后得 Rt△FOE， 将线段 EF 绕点 E 逆时针旋转 90°后得线段 ED，分别以 O，E 为圆心，OA、ED 长为半径画弧 AF 和弧 DF， 连接 AD，则图中阴影部分面积是（ ） A．π B． C．3+π D．8﹣π 12．已知直线 y=﹣ x+3 与坐标轴分别交于点 A，B，点 P 在抛物线 y=﹣ （x﹣ ）2+4 上，能使△ABP 为等腰三角形的点 P 的个数有（ ） A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分 12．已知直线 y=﹣ x+3 与坐标轴分别交于点 A，B，点 P 在抛物线 y=﹣ （x﹣ ）2+4 上，能使△ABP 为等腰三角形的点 P 的个数有（ ） A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的判定． 【分析】以点 B 为圆心线段 AB 长为半径做圆，交抛物线于点 C、M、N 点，连接 AC、BC，由直线 y=﹣ x+3 可求出点 A、B 的坐标，结合抛物线的解析式可得出△ABC 等边三角形，再令抛物线解析式中 y=0 求出抛 物线与 x 轴的两交点的坐标，发现该两点与 M、N 重合，结合图形分三种情况研究△ABP 为等腰三角形， 由此即可得出结论． 【解答】解：以点 B 为圆心线段 AB 长为半径做圆，交抛物线于点 C、M、N 点，连接 AC、BC，如图所示． 令一次函数 y=﹣ x+3 中 x=0，则 y=3， ∴点 A 的坐标为（0，3）； 令一次函数 y=﹣ x+3 中 y=0，则﹣ x+3， 解得：x= ， ∴点 B 的坐标为（ ，0）． ∴AB=2 ． ∵抛物线的对称轴为 x= ， ∴点 C 的坐标为（2 ，3）， ∴AC=2 =AB=BC， ∴△ABC 为等边三角形． 令 y=﹣ （x﹣ ）2+4 中 y=0，则﹣ （x﹣ ）2+4=0， 解得：x=﹣ ，或 x=3 ． ∴点 E 的坐标为（﹣ ，0），点 F 的坐标为（3 ，0）． △ABP 为等腰三角形分三种情况： ①当 AB=BP 时，以 B 点为圆心，AB 长度为半径做圆，与抛物线交于 C、M、N 三点； ②当 AB=AP 时，以 A 点为圆心，AB 长度为半径做圆，与抛物线交于 C、M 两点，； ③当 AP=BP 时，作线段 AB 的垂直平分线，交抛物线交于 C、M 两点； ∴能使△ABP 为等腰三角形的点 P 的个数有 3 个． 故选 A． 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分 13．分解因式：x2﹣36= （x+6）（x﹣6） ． 【考点】因式分解-运用公式法． 【分析】原式利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式=（x+6）（x﹣6）， 故答案为：（x+6）（x﹣6） 14．若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x≥1 ． 【考点】二次根式有意义的条件． 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于 x 的不等式，求出 x 的取值范围即可． 【解答】解：∵式子 在实数范围内有意义， ∴x﹣1≥0， 解得 x≥1． 故答案为：x≥1． 15．把一副普通扑克牌中的数字 2，3，4，5，6，7，8，9，10 的 9 张牌洗均匀后正面向下放在桌面上，从 中随机抽取一张，抽出的牌上的数恰为 3 的倍数的概率是 ． 【考点】概率公式． 【分析】先确定 9 张扑克牌上的数字为 3 的倍数的张数，再根据随机事件 A 的概率 P（A） = ，求解即可． 【解答】解：∵数字为 3 的倍数的扑克牌一共有 3 张，且共有 9 张扑克牌， ∴P= = ． 故答案为： ． 16．正六边形的每个外角是 60 度． 【考点】多边形内角与外角． 【分析】正多边形的外角和是 360 度，且每个外角都相等，据此即可求解． 【解答】解：正六边形的一个外角度数是：360÷6=60°． 故答案为：60． 17．如图，在 Rt△ACB 中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CD=1，CH⊥BD 于 H，点 O 是 AB 中点，连接 OH， 则 OH= ． 【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 【分析】在 BD 上截取 BE=CH，连接 CO，OE，根据相似三角形的性质得到 ，求得 CH= ， 根据等腰直角三角形的性质得到 AO=OB=OC，∠A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°，等量代换得到 ∠OCH=∠ABD，根据全等三角形的性质得到 OE=OH，∠BOE=∠HOC 推出△HOE 是等腰直角三角形，根 据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：在 BD 上截取 BE=CH，连接 CO，OE， ∵∠ACB=90°CH⊥BD， ∵AC=BC=3，CD=1， ∴BD= ， ∴△CDH∽△BDC， ∴ ， ∴CH= ， ∵△ACB 是等腰直角三角形，点 O 是 AB 中点， ∴AO=OB=OC，∠A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°， ∴∠OCH+∠DCH=45°，∠ABD+∠DBC=45°， ∵∠DCH=∠CBD，∴∠OCH=∠ABD， 在△CHO 与△BEO 中， ， ∴△CHO≌△BEO， ∴OE=OH，∠BOE=∠HOC， ∵OC⊥BO， ∴∠EOH=90°， 即△HOE 是等腰直角三角形， ∵EH=BD﹣DH﹣CH= ﹣ ﹣ = ， ∴OH=EH× = ， 故答案为： ． 18．如图，正方形 OABC 的边长为 2，以 O 为圆心，EF 为直径的半圆经过点 A，连接 AE，CF 相交于点 P， 将正方形 OABC 从 OA 与 OF 重合的位置开始，绕着点 O 逆时针旋转 90°，交点 P 运动的路径长是 π ． 【考点】轨迹；正方形的性质；旋转的性质． 【分析】如图点 P 运动的路径是以 G 为圆心的弧 ，在⊙G 上取一点 H，连接 EH、FH，只要证明∠EGF=90°， 求出 GE 的长即可解决问题． 【解答】解：如图点 P 运动的路径是以 G 为圆心的弧 ，在⊙G 上取一点 H，连接 EH、FH． ∵四边形 AOCB 是正方形， ∴∠AOC=90°， ∴∠AFP= ∠AOC=45°， ∵EF 是⊙O 直径， ∴∠EAF=90°， ∴∠APF=∠AFP=45°，[来源:学|科|网 Z|X|X|K] ∴∠H=∠APF=45°， ∴∠EGF=2∠H=90°， ∵EF=4，GE=GF， ∴EG=GF=2 ， ∴ 的长= = π． 故答案为 π． 三、解答题：本大题共 8 小题，共 66 分 19．计算：﹣（﹣4）+|﹣5|+ ﹣4tan45°． 【考点】零指数幂；特殊角的三角函数值． 【分析】先去括号、计算绝对值、零指数幂、三角函数值，再计算乘法、减法即可． 【解答】解：原式=4+5+1﹣4×1=6． 20．解不等式组： ． 【考点】解一元一次不等式组． 【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 【解答】解： ， 解①得：x＞2， 解②得 x≤5． 则不等式组的解集是：2＜x≤5． 21．如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E，F 分别是 OA，OC 的中点，连接 BE， DF （1）根据题意，补全原形； （2）求证：BE=DF． 【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）如图所示； （2）由全等三角形的判定定理 SAS 证得△BEO≌△DFO，得出全等三角形的对应边相等即可． 【解答】（1）解：如图所示： （2）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC、BD 交于点 O， ∴OB=OD，OA=OC． 又∵E，F 分别是 OA、OC的中点， ∴OE= OA，OF= OC， ∴OE=OF． ∵在△BEO 与△DFO 中， ， ∴△BEO≌△DFO（SAS）， ∴BE=DF． 22．某校为了解本校九年级男生“引体向上”项目的训练情况，随机抽取该年级部分男生进行了一次测试（满 分 15 分，成绩均记为整数分），并按测试成绩（单位：分）分成四类：A 类（12≤m≤15），B 类（9≤m≤11）， C 类（6≤m≤8），D 类（m≤5）绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）本次抽取样本容量为 50 ，扇形统计图中 A 类所对的圆心角是 72 度； （2）请补全统计图； （3）若该校九年级男生有 300 名，请估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为 C 类的有多少名？ 【考点】条形统计图；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图． 【分析】（1）根据统计图可以得到抽查的学生数，从而可以求得样本容量，由扇形统计图可以求得扇形圆 心角的度数； （2）根据统计图可以求得 C 类学生数和 C 类与 D 类所占的百分比，从而可以将统计图补充完整； （3）根据统计图可以估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为 C 类的有多少名． 【解答】解：（1）由题意可得， 抽取的学生数为：10÷20%=50， 扇形统计图中 A 类所对的圆心角是：360°×20%=72°， 故答案为：50，72； （2）C 类学生数为：50﹣10﹣22﹣3=15， C 类占抽取样本的百分比为：15÷50×100%=30%， D 类占抽取样本的百分比为：3÷50×100%=6%， 补全的统计图如右图所示， （3）300×30%=90（名） 即该校九年级男生“引体向上”项目成绩为 C 类的有 90 名． 23．已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？ 古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式﹣﹣海伦公式 S= （其中 a，b，c 是三角形的三边长，p= ，S 为三角形的面积），并给出 了证明 例如：在△ABC 中，a=3，b=4，c=5，那么它的面积可以这样计算： ∵a=3，b=4，c=5 ∴p= =6 ∴S= = =6 事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶 公式等方法解决． 如图，在△ABC 中，BC=5，AC=6，AB=9 （1）用海伦公式求△ABC 的面积； （2）求△ABC 的内切圆半径 r． 【考点】三角形的内切圆与内心；二次根式的应用． 【分析】（1）先根据 BC、AC、AB 的长求出 P，再代入到公式 S= 即可求得 S 的 值； （2）根据公式 S= r（AC+BC+AB），代入可得关于 r 的方程，解方程得 r 的值． 【解答】解：（1）∵BC=5，AC=6，AB=9， ∴p= = =10， ∴S= = =10 ； 故△ABC 的面积 10 ； （2）∵S= r（AC+BC+AB）， ∴10 = r（5+6+9）， 解得：r= ， 故△ABC 的内切圆半径 r= ． 24．五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急 筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共 2000 件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种 物品的价格贵 10 元，用 350 元购买甲种物品的件数恰好与用 300 元购买乙种物品的件数相同 （1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？ （2）经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的 3 倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买 这 2000 件物品，需筹集资金多少元？ 【考点】分式方程的应用；一元一次方程的应用． 【分析】（1）设每件乙种物品的价格是 x 元，则每件甲种物品的价格是（x+10）元，根据用 350 元购买甲 种物品的件数恰好与用 300 元购买乙种物品的件数相同 列出方程，求解即可； （2）设甲种物品件数为 m 件，则乙种物品件数为 3m 件，根据该爱心组织按照此需求的比例购买这 2000 件物品列出方程，求解即可． 【解答】解：（1）设每件乙种物品的价格是 x 元，则每件甲种物品的价格是（x+10）元， 根据题意得， = ， 解得：x=60． 经检验，x=60 是原方程的解． 答：甲、乙两种救灾物品每件的价格各是 70 元、60 元； （2）设甲种物品件数为 m 件，则乙种物品件数为 3m 件， 根据题意得，m+3m=2000， 解得 m=500， 即甲种物品件数为 500 件，则乙种物品件数为 1500 件，此时需筹集资金：70×500+60×1500=125000（元）． 答：若该爱心组织按照此需求的比例购买这 2000 件物品，需筹集资金 125000 元． 25．如图，在四边形 ABCD 中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°，以 AD 为直径作圆 O，过点 D 作 DE∥AB 交圆 O 于点 E （1）证明点 C 在圆 O 上； （2）求 tan∠CDE 的值； （3）求圆心 O 到弦 ED 的距离． 【考点】实数的运算． 【分析】（1）如图 1，连结 CO．先由勾股定理求出 AC=10，再利用勾股定理的逆定理证明△ACD 是直角 三角形，∠C=90°，那么 OC 为 Rt△ACD 斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得 出 OC= AD=r，即点 C 在圆 O 上； （2）如图 2，延长 BC、DE 交于点 F，∠BFD=90°．根据同角的余角相等得出∠CDE=∠ACB．在 Rt△ABC 中，利用正切函数定义求出 tan∠ACB= = ，则 tan∠CDE=tan∠ACB= ； （3）如图 3，连结 AE，作 OG⊥ED 于点 G，则 OG∥AE，且 OG= AE．易证△ABC∽△CFD，根据相似 三角形对应边成比例求出 CF= ，那么 BF=BC+CF= ．再证明四边形 ABFE 是矩形，得出 AE=BF= ， 所以 OG= AE= ． 【解答】（1）证明：如图 1，连结 CO． ∵AB=6，BC=8，∠B=90°， ∴AC=10． 又∵CD=24，AD=26，102+242=262， ∴△ACD 是直角三角形，∠C=90°． ∵AD 为⊙O 的直径， ∴AO=OD，OC 为 Rt△ACD 斜边上的中线， ∴OC= AD=r， ∴点 C 在圆 O 上； （2）解：如图 2，延长 BC、DE 交于点 F，∠BFD=90°． ∵∠BFD=90°， ∴∠CDE+∠FCD=90°， 又∵∠ACD=90°， ∴∠ACB+∠FCD=90°， ∴∠CDE=∠ACB． 在 Rt△ABC 中，tan∠ACB= = ， ∴tan∠CDE=tan∠ACB= ； （3）解：如图 3，连结 AE，作 OG⊥ED 于点 G，则 OG∥AE，且 OG= AE． 易证△ABC∽△CFD， ∴ = ，即 = ， ∴CF= ， ∴BF=BC+CF=8+ = ． ∵∠B=∠F=∠AED=90°， ∴四边形 ABFE 是矩形， ∴AE=BF= ， ∴OG= AE= ， 即圆心 O 到弦 ED 的距离为 ． 26．如图 1，已知开口向下的抛物线 y1=ax2﹣2ax+1 过点 A（m，1），与 y 轴交于点 C，顶点为 B，将抛物 线 y1 绕点 C 旋转 180°后得到抛物线 y2，点 A，B 的对应点分别为点 D，E． （1）直接写出点 A，C，D 的坐标； （2）当四边形 ABCD 是矩形时，求 a 的值及抛物线 y2 的解析式； （3）在（2）的条件下，连接 DC，线段 DC 上的动点 P 从点 D 出发，以每秒 1 个单位长度的速度运动到点 C 停止，在点 P 运动的过程中，过点 P 作直线 l⊥x 轴，将矩形 ABDE 沿直线 l 折叠，设矩形折叠后相互重 合部分面积为 S 平方单位，点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 的函数关系． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）直接将点 A 的坐标代入 y1=ax2﹣2ax+1 得出 m 的值，因为由图象可知点 A 在第一象限，所以 m≠0，则 m=2，写出 A，C 的坐标，点 D 与点 A 关于点 C 对称，由此写出点 D 的坐标； （2）根据顶点坐标公式得出抛物线 y1 的顶点 B 的坐标，再由矩形对角线相等且平分得：BC=CD，在直角 △BMC 中，由勾股定理列方程求出 a 的值得出抛物线 y1 的解析式，由旋转的性质得出抛物线 y2 的解析式； （3）分两种情况讨论：①当 0≤t≤1 时，S=S△GHD=S△PDH+S△PDG，作辅助线构建直角三角形，求出 PG 和 PH， 利用面积公式计算；②当 1＜t≤2 时，S=S 直角三角形+S 矩形﹣S 不重合，这里不重合的图形就是△GE′F，利用 30° 角和 60°角的直角三角形的性质进行计算得出结论． 【解答】解：（1）由题意得： 将 A（m，1）代入 y1=ax2﹣2ax+1 得：am2﹣2am+1 =1， 解得：m1=2，m2=0（舍）， ∴A（2，1）、C（0，1）、D（﹣2，1）； （2）如图 1，由（1）知：B（1，1﹣a），过点 B 作 BM⊥y 轴， 若四边形 ABDE 为矩形，则 BC=CD， ∴BM2+CM2=BC2=CD2， ∴12+（﹣a）2=22， ∴a= ， ∵y1 抛物线开口向下， ∴a=﹣ ， ∵y2 由 y1 绕点 C 旋转 180°得到，则顶点 E（﹣1，1﹣ ）， ∴设 y2=a（x+1）2+1﹣ ，则 a= ， ∴y2= x2+2 x+1； （3）如图 1，当 0≤t≤1 时，则 DP=t，构建直角△BQD， 得 BQ= ，DQ=3，则 BD=2 ， ∴∠BDQ=30°， ∴PH= ，PG= t， ∴S= （PE+PF）×DP= t2， 如图 2，当 1＜t≤2 时，EG=E′G= （t﹣1），E′F=2（t﹣1）， S 不重合= （t﹣1）2， S=S1+S2﹣S 不重合= + （t﹣1）﹣ （t﹣1）2， =﹣ ； 综上所述：S= t2（0≤t≤1）或 S=﹣ （1＜t≤2）．