2016年广安市中考数学试题解析版

2016 年四川省广安市中考数学试卷 一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将正确选项涂在答题卡上，每小题 3 分，共 30 分） 1．﹣3 的绝对值是（ ） A． B．﹣3 C．3 D．±3 2．下列运算正确的是（ ） A．（﹣2a3）2=﹣4a6 B． =±3 C．m2•m3=m6 D．x3+2x3=3x3 3．经统计我市去年共引进世界 500 强外资企业 19 家，累计引进外资 410000000 美元，数字 410000000 用 科学记数法表示为（ ） A．41×107 B．4.1×108 C．4.1×109 D．0.41×109 4．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． 等边三角形 B． 平行四边行 C． 正五边形 D． 圆 5．函数 y= 中自变量 x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 6．若一个正 n 边形的每个内角为 144°，则这个正 n 边形的所有对角线的条数是（ ） A．7 B．10 C．35 D．70 7．初三体育素质测试，某小组 5 名同学成绩如下所示，有两个数据被遮盖，如图： 编号 1 2 3 4 5 方差 平均成绩 得分 38 34 ■ 37 40 ■ 37 那么被遮盖的两个数据依次是（ ） A．35，2 B．36，4 C．35，3 D．36，3 8．下列说法： ①三角形的三条高一定都在三角形内 ②有一个角是直角的四边形是矩形 ③有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ④两边及一角对应相等的两个三角形全等 ⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 其中正确的个数有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 9．如图，AB 是圆 O 的直径，弦 CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4 ，则 S 阴影=（ ） A．2π B． π C． π D． π 10．已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c﹣m=0 有两个 不相等的实数根，下列结论： ①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④m＞﹣2， 其中，正确的个数有（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（请把最简答案填写在答题卡上相应位置，每小题 3 分，共 18 分） 11．将点 A（1，﹣3）沿 x 轴向左平移 3 个单位长度，再沿 y 轴向上平移 5 个单位长度后得到的点 A′的坐 标为 ． 12．如图，直线 l1∥l2，若∠1=130°，∠2=60°，则∠3= ． 13．若反比例函数 y= （k≠0）的图象经过点（1，﹣3），则第一次函数 y=kx﹣k（k≠0）的图象经过 象 限． 14．某市为治理污水，需要铺设一段全长 600m 的污水排放管道，铺设 120m 后，为加快施工进度，后来每 天比原计划增加 20m，结果共用 11 天完成这一任务，求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺 设 xm 管道，那么根据题意，可列方程 ． 15．如图，三个正方形的边长分别为 2，6，8；则图中阴影部分的面积为 ． 16．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（a+b）n （n=1，2，3，4…）的展开式的系数规律（按 a 的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出（x﹣ ）2016 展开式中含 x2014 项的系数是 ． 三、解答题（本大题共 4 小题，第 17 小题 5 分，第 18、19、20 小题各 6 分，共 3 分） 17．计算：（ ）﹣1﹣ +tan60°+|3﹣2 |． 18．先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中 x 满足 2x+4=0． 19．如图，四边形 ABCD 是菱形，CE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E，CF⊥AD 交 AD 的延长线于点 F，求证： DF=BE． 20．如图，一次函数 y1=kx+b（k≠0）和反比例函数 y2= （m≠0）的图象交于点 A（﹣1，6），B（a，﹣2）． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出 y1＞y2 时，x 的取值范围． 四、实践应用（本大题共 4 个小题，第 21 小题 6 分，第 22、23、24 小题各 8 分，共 30 分） 21．某校初三（1）班部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，收集整理数据后， 老师将减压方式分为五类，并绘制了图 1、图 2 两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题． （1）初三（1）班接受调查的同学共有多少名； （2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“体育活动 C”所对应的圆心角度数； （3）若喜欢“交流谈心”的 5 名同学中有三名男生和两名女生；老师想从 5 名同学中任选两名同学进行交流， 直接写出选取的两名同学都是女生的概率． 22．某水果积极计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售（每辆汽车规定满载，并且只装一种水果）．如表 为装运甲、乙、丙三种水果的重量及利润． 甲 乙 丙 每辆汽车能装的数量（吨） 4 2 3 每吨水果可获利润（千元） 5 7 4 （1）用 8 辆汽车装运乙、丙两种水果共 22 吨到 A 地销售，问装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？ （2）水果基地计划用 20 辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共 72 吨到 B 地销售（每种水果不少于一车），假 设装运甲水果的汽车为 m 辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？（结果用 m 表示） （3）在（2）问的基础上，如何安排装运可使水果基地获得最大利润？最大利润是多少？ 23．如图，某城市市民广场一入口处有五级高度相等的小台阶．已知台阶总高 1.5 米，为了安全现要作一个 不锈钢扶手 AB 及两根与 FG 垂直且长为 1 米的不锈钢架杆 AD 和 BC（杆子的地段分别为 D、C），且 ∠DAB=66.5°．（参考数据：cos66.5°≈0.40，sin66.5°≈0.92） （1）求点 D 与点 C 的高度 DH； （2）求所有不锈钢材料的总长度（即 AD+AB+BC 的长，结果精确到 0.1 米） 24．在数学活动课上，老师要求学生在 5×5 的正方形 ABCD 网格中（小正方形的边长为 1）画直角三角形， 要求三个顶点都在格点上，而且三边与 AB 或 AD 都不平行．画四种图形，并直接写出其周长（所画图象相 似的只算一种）． 五、推理与论证 25．如图，以△ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心，经过 A，C 两点且与 BC 边交于点 E，点 D 为 CE 的下半 圆弧的中点，连接 AD 交线段 EO 于点 F，若 AB=BF． （1）求证：AB 是⊙O 的切线； （2）若 CF=4，DF= ，求⊙O 的半径 r 及 sinB． 六、拓展探究 26．如图，抛物线 y=x2+bx+c 与直线 y= x﹣3 交于 A、B 两点，其中点 A 在 y 轴上，点 B 坐标为（﹣4， ﹣5），点 P 为 y 轴左侧的抛物线上一动点，过点 P 作 PC⊥x 轴于点 C，交 AB 于点 D． （1）求抛物线的解析式； （2）以 O，A，P，D 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由． （3）当点 P 运动到直线 AB 下方某一处时，过点 P 作 PM⊥AB，垂足为 M，连接 PA 使△PAM 为等腰直角 三角形，请直接写出此时点 P 的坐标． 2016 年四川省广安市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将正确选项涂在答题卡上，每小题 3 分，共 30 分） 1．﹣3 的绝对值是（ ） A． B．﹣3 C．3 D．±3 【考点】绝对值． 【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解． 【解答】解：﹣3 的绝对值是 3． 故选：C． 2．下列运算正确的是（ ） A．（﹣2a3）2=﹣4a6 B． =±3 C．m2•m3=m6 D．x3+2x3=3x3 【考点】幂的乘方与积的乘方；算术平方根；合并同类项；同底数幂的乘法． 【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方再把所得的幂相乘；算术平方根的定义，同底数 幂相乘，底数不变指数相加；以及合并同类项法则对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、（﹣2a3）2=（﹣2）2•（a3）2=4a6，故本选项错误； B、 =3，故本选项错误； C、m2•m3=m2+3=m5，故本选项错误； D、x3+2x3=3x3，故本选项正确． 故选 D． 3．经统计我市去年共引进世界 500 强外资企业19 家，累计引进外资 410000000 美元，数字 410000000 用科 学记数法表示为（ ） A．41×10 7 B．4.1×108 C．4.1×109 D．0.41× 109 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变 成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当 原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将 410000000 用科学记数法表示为：4.1×108． 故选：C． 4．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． 等边三角形 B． 平行四边行 C． 正五边形 D． 圆 【考点】中心对称图形；轴对称图形． 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【解答】解：等边三角形是轴对称图形不是中心对称图形； 平行四边形不是轴对称图形是中心对称图形； 正五边形是轴对称图形不是中心对称图形； 圆是轴对称图形又是中心对称图形， 故选：D． 5．函数 y= 中自变量 x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【考点】在数轴上表示不等式的解集；函数自变量的取值范围． 【分析】根据负数没有平方根求出 x 的范围，表示在数轴上即可． 【解答】解：由函数 y= ，得到 3x+6≥0， 解得：x≥﹣2， 表示在数轴上，如图所示： 故选 A 6．若一个正 n 边形的每个内角为 144°，则这个正 n 边形的所有对角线的条数是（ ） A．7 B．10 C．35 D．70 【考点】多边形内角与外角；多边形的对角线． 【分析】由正 n 边形的每个内角为 144°结合多边形内角和公式，即可得出关于 n 的一元一次方程，解方程 即可求出 n 的值，将其代入 中即可得出结论． 【解答】解：∵一个正 n 边形的每个内角为 144°， ∴144n=180×（n﹣2），解得：n=10． 这个正 n 边形的所有对角线的条数是： = =35． 故选 C． 7．初三体育素质测试，某小组 5 名同学成绩如下所示，有两个数据被遮盖，如图： 编号 1 2 3 4 5 方差 平均成绩 得分 38 34 ■ 37 40 ■ 37 那么被遮盖的两个数据依次是（ ） A．35，2 B．36，4 C．35，3 D．36，3 【考点】方差． 【分析】根据平均数的计算公式先求出编号 3 的得分，再根据方差公式进行计算即可得出答案． 【解答】解：∵这组数据的平均数是 37， ∴编号 3 的得分是：37×5﹣（38+34+37+40）=36； 被遮盖的方差是： [（38﹣37）2+（34﹣37）2+（36﹣37）2+（37﹣37）2+（40﹣37）2 ] =4； 故选 B． 8．下列说法： ①三角形的三条高一定都在三角形内 ②有一个角是直角的四边形是矩形 ③有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ④两边及一角对应相等的两个三角形全等 ⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 其中正确的个数有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【考点】矩形的判定；三角形的角平分线、中线和高；全等三角形的判定；平行四边形的判定与性质；菱 形的判定． 【分析】根据三角形高的性质、矩形的判定方法、菱形的判定方法、全等三角形的判定方法、平行四边形 的判定方法即可解决问题． 【解答】解：①错误，理由：钝角三角形有两条高在三角形外． ②错误，理由：有一个角是直角的四边形是矩形不一定是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形． ③正确，有一组邻边相等的平行四边形是菱形． ④错误，理由两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等． ⑤错误，理由：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形有可能是等腰梯形． 正确的只有③， 故选 A． 9．如图，AB 是圆 O 的直径，弦 CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4 ，则 S 阴影=（ ） A．2π B． π C． π D． π 【考点】圆周角定理；垂径定理；扇形面积的计算． 【分析】根据垂径定理求得 CE=ED=2 ，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线 段 OD、OE 的长度，最后将相关线段的长度代入 S 阴影=S 扇形 ODB﹣S△DOE+S△BEC． 【解答】解：如图，假设线段 CD、AB 交于点 E， ∵AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB， ∴CE=ED=2 ， 又∵∠BCD=30°， ∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°， ∴OE=DE•cot60°=2 × =2，OD=2OE=4， ∴S 阴影=S 扇形 ODB﹣S△DOE+S△BEC= ﹣ OE×DE+ BE•CE= ﹣2 +2 = ． 故选 B． 10．已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c﹣m=0 有两个 不相等的实数根，下列结论： ①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④m＞﹣2， 其中，正确的个数有（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】直接利用抛物线与 x 轴交点个数以及抛物线与方程之 间的关系、函数图象与各系数之间关系分析 得出答案． 【解答】解：如图所示：图象与 x 轴有两个交点，则 b2﹣4ac＞0，故①错误； ∵图象开口向上，∴a＞0， ∵对称轴在 y 轴右侧， ∴a，b 异号， ∴b＜0， ∵图象与 y 轴交于 x 轴下方， ∴c＜0， ∴abc＞0，故②正确； 当 x=﹣1 时，a﹣b+c＞0，故此选项错误； ∵二次函数 y=ax2+bx+c 的顶点坐标纵坐标为：﹣2， ∴关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c﹣m=0 有两个不相等的实数根，则 m＞﹣2， 故④正确． 故选：B． 二、填空题（请把最简答案填写在答题卡上相应位置，每小题 3 分，共 18 分） 11．将点 A（1，﹣3）沿 x 轴向左平移 3 个单位长度，再沿 y 轴向上平移 5 个单位长度后得到的点 A′的坐 标为 （﹣2，2） ． 【考点】坐标与图形变化-平移． 【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可． 【解答】解：∵点 A（1，﹣3）沿 x 轴向左平移 3 个单位长度，再沿 y 轴向上平移 5 个单位长度后得到点 A′， ∴点 A′的横坐标为 1﹣3=﹣2，纵坐标为﹣3+5=2， ∴A′的坐标为（﹣2，2）．新*课*标*第*一*网 故答案为（﹣2，2）． 12．如图，直线 l1∥l2，若∠1=130°，∠2=60°，则∠3= 70° ． 【考点】平行线的性质． 【分析】根据平行线的性质得到∠4=∠1=130°，由三角形的外角的性质得到∠5=∠4﹣∠2=70°根据对顶角相 等即可得到结论． 【解答】解：∵直线 l1∥l2， ∴∠4=∠1=130°， ∴∠5=∠4﹣∠2=70° ∴∠5=∠3=70°． 故答案为：70°． 13．若反比例函数 y= （k≠0）的图象经过点（1，﹣3），则第一次函数 y=kx﹣k（k≠0）的图象经过 一、 二、四 象限． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数的图象． 【分析】由题意知，k=1×（﹣3）=﹣3＜0，所以一次函数解析式为 y=﹣3x+3，根据 k，b 的值判断一次函 y=kx﹣k 的图象经过的象限． 【解答】解：∵反比例函数 y= （k≠0）的图象经过点（1，﹣3）， ∴k=1×（﹣3）=﹣3＜0， ∴一次函数解析式为 y=﹣3x+3，根据 k、b 的值得出图象经过一、二、四象限． 故答案为：一、二、四． 14．某市为治理污水，需要铺设一段全长 600m 的污水排放管道，铺设 120m 后，为加快施工进度，后来每 天比原计划增加 20m，结果共用 11 天完成这一任务，求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺 设 xm 管道，那么根据题意，可列方程 ． 【考点】由实际问题抽象出分式方程． 【分析】根据题目中的数量关系，可以列出相应的方程，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， ， 化简，得 ， 故答案为： ． 15．如图，三个正方形的边长分别为 2，6，8；则图中阴影部分的面积为 21 ． 【考点】三角形的面积．新*课*标*第*一*网 【分析】根据正方形的性质来判定△ABE∽△ADG，再根据相似三角形的对应线段成比例求得 BE 的值； 同理，求得△ACF∽△ADG，AC：AD=CF：DG，即 CF=5；然后再来求梯形的面积即可． 【解答】解：如图， 根据题意，知 △ABE∽△ADG， ∴AB：AD=BE：DG， 又∵AB=2，AD=2+6+8=16，GD=8， ∴BE=1， ∴HE=6﹣1=5； 同理得，△ACF∽△ADG， ∴AC：AD=CF：DG， ∵AC=2+6=8，AD=16，DG=8， ∴CF=4， ∴IF=6﹣4=2； ∴S 梯形 IHEF= （IF+HE）•HI = ×（2+5）×6 =21； 所以，则图中阴影部分的面积为 21． 16．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（a+b）n （n=1，2，3，4…）的展开式的系数规律（按 a 的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出（x﹣ ）2016 展开式中含 x2014 项的系数是 ﹣4032 ． 【考点】整式的混合运算． 【分析】首先确定 x2014 是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题． 【解答】解：（x﹣ ）2016 展开式中含 x2014 项的系数， 根据杨辉三角，就是展开式中第二项的系数，即﹣2016×2=﹣4032． 故答案为﹣4032． 三、解答题（本大题共 4 小题，第 17 小题 5 分，第 18、19、20 小题各 6 分，共 3 分） 17．计算：（ ）﹣1﹣ +tan60°+|3﹣2 |． 【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 【分析】本题涉及负整数指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值、绝对值 4 个考点．在计算时，需 要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【解答】解：（ ）﹣1﹣ +tan60°+|3﹣2 | =3﹣3 + ﹣3+2 =0． 18．先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中 x 满足 2x+4=0． 【考点】分式的化简求值． 【分析】原式括号中利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出 已知方程的解得到 x 的值，代入计算即可求出值． 【解答】解：原式= • = ， 由 2x+4=0，得到 x=﹣2， 则原式=5． 19．如图，四边形 ABCD 是菱形，CE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E，CF⊥AD 交 AD 的延长线于点 F，求证： DF=BE． 【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质． 【分析】连接 AC，根据菱形的性质可得 AC 平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得 CE=FC， 然后利用 HL 证明 Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出 DF=BE． 【解答】证明：连接 AC， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC 平分∠DAE，CD=BC， ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°． 在 Rt△CDF 与 Rt△CBE 中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL）， ∴DF=BE． 20．如图，一次函数 y1=kx+b（k≠0）和反比例函数 y2= （m≠0）的图象交于点 A（﹣1，6），B（a，﹣2）． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出 y1＞y2 时，x 的取值范围． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）把点 A 坐标代入反比例函数求出 k 的值，也就求出了反比例函数解析式，再把点 B 的坐标代 入反比例函数解析式求出 a 的值，得到点 B 的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）找出直线在一次函数图形的上方的自变量 x 的取值即可． 【解答】解：（1）把点 A（﹣1，6）代入反比例函数 y2= （m≠0）得： m=﹣1×6=﹣6， ∴ ． 将 B（a，﹣2）代入 得： ﹣2= ， a=3， ∴B（3，﹣2）， 将 A（﹣1，6），B（3，﹣2）代入一次函数 y1=kx+b 得： ∴ ∴y1=﹣2x+4． （2）由函数图象可得：x＜﹣1 或 0＜x＜3． 四、实践应用（本大题共 4 个小题，第 21 小题 6 分，第 22、23、24 小题各 8 分，共 30 分） 21．某校初三（1）班部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，收集整理数据后， 老师将减压方式分为五类，并绘制了图 1、图 2 两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题． （1）初三（1）班接受调查的同学共有多少名； （2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“体育活动 C”所对应的圆心角度数； （3）若喜欢“交流谈心”的 5 名同学中有三名男生和两名女生；老师想从 5 名同学中任选两名同学进行交流， 直接写出选取的两名同学都是女生的概率． 【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图． 【分析】（1）利用“享受美食”的人数除以所占的百分比计算即可得解； （2）求出听音乐的人数即可补全条形统计图；由 C 的人数即可得到所对应的圆心角度数； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出两名同学都是女生的情况，再 利用概率公式即可求得答案． 【解答】解： （1）由题意可得总人数为 10÷20%=50 名； （2）听音乐的人数为 50﹣10﹣15﹣5﹣8=12 名，“体育活动 C”所对应的圆心角度数= =108°， 补全统计图得： （3）画树状图得： ∵共有 20 种等可能的结果，选出都是女生的有 2 种情况， ∴选取的两名同学都是女生的概率= = ． 22．某水果积极计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售（每辆汽车规定满载，并且只装一种水果）．如表 为装运甲、乙、丙三种水果的重量及利润． 甲 乙 丙 每辆汽车能装的数量（吨） 4 2 3 每吨水果可获利润（千元） 5 7 4 （1）用 8 辆汽车装运乙、丙两种水果共 22 吨到 A 地销售，问装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？ （2）水果基地计划用 20 辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共 72 吨到 B 地销售（每种水果不少于一车），假 设装运甲水果的汽车为 m 辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？（结果用 m 表示） （3）在（2）问的基础上，如何安排装运可使水果基地获得最大利润？最大利润是多少？ 【考点】二元一次方程组的应用． 【分析】（1）根据“8 辆汽车装运乙、丙两种水果共 22 吨到 A 地销售”列出方程组，即可解答； （2）设装运乙、丙水果的车分别为 a 辆，b 辆，列出方程组 ，即可解答； （3）设总利润为 w 千元，表示出 w=10m+216．列出不等式组 ，确定 m 的取值范围 13≤m≤15.5， 结合一次函数的性质，即可解答． 【解答】解：（1）设装运乙、丙水果的车分别为 x 辆，y 辆，得： ， 解得： ． 答：装运乙种水果的车有 2 辆、丙种水果的汽车有 6 辆． （2）设装运乙、丙水果的车分别为 a 辆，b 辆，得： ， 解得 ． 答：装运乙种水果的汽车是（m﹣12）辆，丙种水果的汽车是（32﹣2m）辆． （3）设总利润为 w 千元， w=4×5m+2×7（m﹣12）=4×3（32﹣2m）=10m+216． ∵ ， ∴13≤m≤15.5， ∵m 为正整数， ∴m=13，14，15， 在 w=10m+216 中，w 随 x 的增大而增大， ∴当 m=15 时，W 最大=366（千元）， 答：当运甲水果的车 15 辆，运乙水果的车 3 辆，运丙水果的车 2 辆，利润最大，最大利润为 366 元． 23．如图，某城市市民广场一入口处有五级高度相等的小台阶．已知台阶总高 1.5 米，为了安全现要作一个 不锈钢扶手 AB 及两根与 FG 垂直且长为 1 米的不锈钢架杆 AD 和 BC（杆子的地段分别为 D、C），且 ∠DAB=66.5°．（参考数据：cos66.5°≈0.40，sin66.5°≈0.92） （1）求点 D 与点 C 的高度 DH； （2）求所有不锈钢材料的总长度（即 AD+AB+BC 的长，结果精确到 0.1 米） 【考点】解直角三角形的应用． 【分析】（1）根据图形求出即可； （2）过 B 作 BM⊥AD 于 M，先求出 AM，再解直角三角形求出即可． 【解答】解：（1）DH=1.5 米× =1.2 米； （2）过 B 作 BM⊥AD 于 M， 在矩形 BCHM 中，MH=BC=1 米， AM=AD+DH﹣MH=1 米+1.2 米﹣1 米=1.2 米=1.2 米， 在 Rt△AMB 中，AB= ≈3.0 米， 所以有不锈钢材料的总长度为 1 米+3.0 米+1 米=5.0 米． 24．在数学活动课上，老师要求学生在 5×5 的正方形 ABCD 网格中（小正方形的边长为 1）画直角三角形， 要求三个顶点都在格点上，而且三边与 AB 或 AD 都不平行．画四种图形，并直接写出其周长（所画图象相 似的只算一种）． 【考点】作图—相似变换． 【分析】在图 1 中画等腰直角三角形；在图 2、3、4 中画有一条直角边为 ，另一条直角边分别为 3 ， 4 ，2 的直角三角形，然后计算出四个直角三角形的周长． 【解答】解：如图 1，三角形的周长=2 + ； 如图 2，三角形的周长=4 +2 ； 如图 3，三角形的周长=5 + ； 如图 4，三角形的周长=3 + ． 五、推理与论证 25．如图，以△ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心，经过 A，C 两点且与 BC 边交于点 E，点 D 为 CE 的下半 圆弧的中点，连接 AD 交线段 EO 于点 F，若 AB=BF． （1）求证：AB 是⊙O 的切线； （2）若 CF=4，DF= ，求⊙O 的半径 r 及 sinB． 【考点】切线的判定． 【分析】（1）连接 OA、OD，如图，根据垂径定理得 OD⊥BC，则∠D+∠OFD=90°，再由 AB=BF，OA=OD 得到∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，加上∠BFA=∠OFD，所以∠OAD+∠BAF=90°，则 OA⊥AB，然后根据 切线的判定定理即可得到 AB 是⊙O 切线； （2）先表示出 OF=4﹣r，OD=r，在 Rt△DOF 中利用勾股定理得 r2+（4﹣r）2=（ ）2，解方程得到 r 的 值，那么 OA=3，OF=CF﹣OC=4﹣3=1，BO=BF+FO=AB+1． 然后在 Rt△AOB 中利用勾股定理得 AB2+OA2=OB2，即 AB2+32=（AB+1）2，解方程得到 AB=4 的值，再 根据三角函数定义求出 sinB． 【解答】（1）证明：连接 OA、OD，如图， ∵点 D 为 CE 的下半圆弧的中点， ∴OD⊥BC， ∴∠EOD=90°， ∵AB=BF，OA=OD， ∴∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D， 而∠BFA=∠OFD， ∴∠OAD+∠BAF=∠D+∠BFA=90°，即∠OAB=90°， ∴OA⊥AB， ∴AB 是⊙O 切线； （2）解：OF=CF﹣OC=4﹣r，OD=r，DF= ， 在 Rt△DOF 中，OD2+OF2=DF2，即 r2+（4﹣r）2=（ ）2， 解得 r1=3，r2=1（舍去）； ∴半径 r=3， ∴OA=3，OF=CF﹣OC=4﹣3=1，BO=BF+FO=AB+1． 在 Rt△AOB 中，AB2+OA2=OB2， ∴AB2+32=（AB+1）2， ∴AB=4，OB=5， ∴sinB= = ． 六、拓展探究 26．如图，抛物线 y=x2+bx+c 与直线 y= x﹣3 交于 A、B 两点，其中点 A 在 y 轴上，点 B 坐标为（﹣4， ﹣5），点 P 为 y 轴左侧的抛物线上一动点，过点 P 作 PC⊥x 轴于点 C，交 AB 于点 D． （1）求抛物线的解析式； （2）以 O，A，P，D 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由． （3）当点 P 运动到直线 AB 下方某一处时，过点 P 作 PM⊥AB，垂足为 M，连接 PA 使△PAM 为等腰直角 三角形，请直接写出此时点 P 的坐标． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）先确定出点 A 坐标，然后用待定系数法求抛物线解析式； （2）先确定出 PD=|m2+4m|，当 PD=OA=3，故存在以 O，A，P，D 为顶点的平行四边形，得到|m2+4m|=3， 分两种情况进行讨论计算即可； （3）由△PAM 为等腰直角三角形，得到∠BAP=45°，从而求出直线 AP 的解析式，最后求出直线 AP 和抛 物线的交点坐标即可． 【解答】解：（1）∵直线 y= x﹣3 交于 A、B 两点，其中点 A 在 y 轴上， ∴A（0，﹣3）， ∵B（﹣4，﹣5）， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线解析式为 y=x2+ x﹣3， （2）存在， 设 P（m，m2+ m﹣3），（m＜0）， ∴D（m， m﹣3）， ∴PD=|m2+4m| ∵PD∥AO， ∴当 PD=OA=3，故存在以 O，A，P，D 为顶点的平行四边形， ∴|m2+4m|=3， ①当 m2+4m=3 时， ∴m1=﹣2﹣ ，m2=﹣2+ （舍）， ∴m2+ m﹣3=﹣1﹣ ， ∴P（﹣2﹣ ，﹣1﹣ ）， ②当 m2+4m=﹣3 时， ∴m1=﹣1，m2=﹣3， Ⅰ、m1=﹣1， ∴m2+ m﹣3=﹣ ， ∴P（﹣1，﹣ ）， Ⅱ、m2=﹣3， ∴m2+ m﹣3=﹣ ， ∴P（﹣3，﹣ ）， ∴点 P 的坐标为（﹣2﹣ ，﹣1﹣ ），（﹣1，﹣ ），（﹣3，﹣ ）． （3）如图， ∵△PAM 为等腰直角三角形， ∴∠BAP=45°， ∵直线 AP 可以看做是直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 45°所得， 设直线 AP 解析式为 y=kx﹣3， ∵直线 AB 解析式为 y= x﹣3， ∴k= =3， ∴直线 AP 解析式为 y=3x﹣3， 联立 ， ∴x1=0（舍）x2=﹣ 当 x=﹣ 时，y=﹣ ， ∴P（﹣ ，﹣ ）．