2016年东营市中考数学试题及答案解析版

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资料简介
2016 年山东省东营市中考数学试卷 一、选择题:每小题 3 分,共 30 分 1. 的倒数是( ) A.﹣2 B.2 C. D. 2.下列计算正确的是( ) A.3a+4b=7ab B.(ab3)2=ab6C.(a+2)2=a2+4 D.x12÷x6=x6 3.如图,直线 m∥n,∠1=70°,∠2=30°,则∠A 等于( ) A.30° B.35° C.40° D.50° 4.从棱长为 2a 的正方体零件的一角,挖去一个棱长为 a 的小正方体,得到一个如图所示的零件,则这个零 件的俯视图是( ) A. B. C. D. 5.已知不等式组 ,其解集在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 6.东营市某学校组织知识竞赛,共设有 20 道试题,其中有关中国优秀传统文化试题 10 道,实践应用试题 6 道,创新能力试题 4 道.小婕从中任选一道试题作答,他选中创新能力试题的概率是( ) A. B. C. D. 7.如图,已知一块圆心角为 270°的扇形铁皮,用它作一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计),圆锥底面圆 的直径是 60cm,则这块扇形铁皮的半径是( ) A.40cm B.50cm C.60cm D.80cm 8.如图,在平面直角坐标系中,已知点 A(﹣3,6),B(﹣9,﹣3),以原点 O 为位似中心,相似比为 , 把△ABO 缩小,则点 A 的对应点 A′的坐标是( ) A.(﹣1,2) B.(﹣9,18) C.(﹣9,18)或(9,﹣18) D.(﹣1,2)或(1,﹣2) 9.在△ABC 中,AB=10,AC=2 ,BC 边上的高 AD=6,则另一边 BC 等于( ) A.10 B.8 C.6 或 10 D.8 或 10 10.如图,在矩形 ABCD 中,E 是 AD 边的中点,BE⊥AC,垂足为点 F,连接 DF,分析下列四个结论: ①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③DF=DC;④tan∠CAD= . 其中正确的结论有( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 二、填空题:11-14 小题,每小题 3 分,15-18 小题,每小题 3 分 11.2016 年第一季度,东营市实现生产总值 787.68 亿元,比上年同期提高了 0.9 个百分点,787.68 亿元用 科学记数法表示是 元. 12.分解因式:a3﹣16a= . 13.某学习小组有 8 人,在一次数学测验中的成绩分别是:102,115,100,105,92,105,85,104,则 他们成绩的平均数是 . 14.如图,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=4,BC>AB,点 D 在 BC 上,以 AC 为对角线的平行四边形 ADCE 中,DE 的最小值是 . 15.如图,直线 y=x+b 与直线 y=kx+6 交于点 P(3,5),则关于 x 的不等式 x+b>kx+6 的解集是 . 16.如图,折叠矩形 ABCD 的一边 AD,使点 D 落在 BC 边的点 F 处,已知折痕 AE=5 cm,且 tan∠EFC= , 那么矩形 ABCD 的周长为 cm. 17.如图,某数学兴趣小组将边长为 5 的正方形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心,AB 为半径的扇形(忽 略铁丝的粗细),则所得的扇形 ABD 的面积为 . 18.在求 1+3+32+33+34+35+36+37+38 的值时,张红发现:从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的 3 倍,于是她假设:S=1+3+32+33+34+35+36+37+38①, 然后在①式的两边都乘以 3,得:3S=3+32+33+34+35+36+37+38+39②, ②﹣①得,3S﹣S=39﹣1,即 2S=39﹣1, 随意 S= . 得出答案后,爱动脑筋的张红想:如果把“3”换成字母 m(m≠0 且 m≠1),能否求出 1+m+m2+m3+m4+…+m2016 的值?如能求出,其正确答案是 . 三、解答题:共 7 小题,共 62 分 19.(1)计算:( )﹣1+(π﹣3.14)0﹣2sin60°﹣ +|1﹣3 |; (2)先化简,再求值: (a+1﹣ )÷( ),其中 a=2+ . 20.“校园安全”受到全社会的广泛关注,东营市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度,采用随机抽 样调查的方式,并根据收集到的信息进行统计,绘制了如图两幅尚不完整的统计图,请你根据统计图中所 提供的信息解答下列问题: (1)接受问卷调查的学生共有 人,扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角 为 ; (2)请补全条形统计图; (3)若该中学共有学生 900 人,请根据上述调查结果,估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基 本了解”程度的总人数; (4)若从对校园安全知识达到了“了解”程度的 3 个女生和 2 个男生中随机抽取 2 人参加校园安全知识竞赛, 请用树状图或列表法求出恰好抽到 1 个男生和 1 个女生的概率. 21.如图,在△ABC 中,以 BC 为直径的圆交 AC 于点 D,∠ABD=∠ACB. (1)求证:AB 是圆的切线; (2)若点 E 是 BC 上一点,已知 BE=4,tan∠AEB= ,AB:BC=2:3,求圆的直径. 22.东营市某学校 2015 年在商场购买甲、乙两种不同足球,购买甲种足球共花费 2000 元,购买乙种足球 共花费 1400 元,购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的 2 倍,且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球 多花 20 元. (1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元; (2)2016 年为响应习总书记“足球进校园”的号召,这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共 50 个,恰逢 该商场对两种足球的售价进行调整,甲种足球售价比第一次购买时提高了 10%,乙种足球售价比第一次购 买时降低了 10%,如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过 2900 元,那么这所学校最多可购买多少个 乙种足球? 23.如图,在平面直角坐标系中,直线 AB 与 x 轴交于点 B,与 y 轴交于点 A,与反比例函数 y= 的图象 在第二象限交于点 C,CE⊥x 轴,垂足为点 E,tan∠ABO= ,OB=4,OE=2. (1)求反比例函数的解析式; (2)若点 D 是反比例函数图象在第四象限上的点,过点 D 作 DF⊥y 轴,垂足为点 F,连接 OD、BF.如 果 S△BAF=4S△DFO,求点 D 的坐标. 24.如图 1,△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC,四边形 ADEF 是正方形,点 B、C 分别在 边 AD、AF 上,此时 BD=CF,BD⊥CF 成立. (1)当△ABC 绕点 A 逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图 2,BD=CF 成立吗?若成立,请证明,若不成 立,请说明理由; (2)当△ABC 绕点 A 逆时针旋转 45°时,如图 3,延长 BD 交 CF 于点 H. ①求证:BD⊥CF; ②当 AB=2,AD=3 时,求线段 DH 的长. 25.在平面直角坐标系中,平行四边形 ABOC 如图放置,点 A、C 的坐标分别是(0,4)、(﹣1,0),将此 平行四边形绕点 O 顺时针旋转 90°,得到平行四边形 A′B′OC′. (1)若抛物线经过点 C、A、A′,求此抛物线的解析式; (2)点 M 时第一象限内抛物线上的一动点,问:当点 M 在何处时,△AMA′的面积最大?最大面积是多少? 并求出此时 M 的坐标; (3)若 P 为抛物线上一动点,N 为 x 轴上的一动点,点 Q 坐标为(1,0),当 P、N、B、Q 构成平行四边 形时,求点 P 的坐标,当这个平行四边形为矩形时,求点 N 的坐标. 2016 年山东省东营市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题:每小题 3 分,共 30 分 1. 的倒数是( ) A.﹣2 B.2 C. D. 【考点】倒数. 【分析】根据倒数的定义求解. 【解答】解:﹣ 的倒数是﹣2. 故选:A. 2.下列计算正确的是( ) A.3a+4b=7ab B.(ab3)2=ab6C.(a+2)2=a2+4 D.x12÷x6=x6 【考点】同底数幂的除法;合并同类项;幂的乘方与积的乘方;完全平方公式. 【分析】A:根据合并同类项的方法判断即可. B:根据积的乘方的运算方法判断即可. C:根据完全平方公式判断即可. D:根据同底数幂的除法法则判断即可. 【解答】解:∵3a+4b≠7ab, ∴选项 A 不正确; ∵(ab3)2=a2b6, ∴选项 B 不正确; ∵(a+2)2=a2+4a+4, ∴选项 C 不正确; ∵x12÷x6=x6, ∴选项 D 正确. 故选:D. 3.如图,直线 m∥n,∠1=70°,∠2=30°,则∠A 等于( ) A.30° B.35° C.40° D.50° 【考点】平行线的性质. 【分析】首先根据平行线的性质求出∠3 的度数,然后根据三角形的外角的知识求出∠A 的度数. 【解答】解:如图,∵直线 m∥n, ∴∠1=∠3, ∵∠1=70°, ∴∠3=70°, ∵∠3=∠2+∠A,∠2=30°, ∴∠A=40°, 故选 C. 4.从棱长为 2a 的正方体零件的一角,挖去一个棱长为 a 的小正方体,得到一个如图所示的零件,则这个零 件的俯视图是( ) A. B. C. D. 【考点】简单组合体的三视图. 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图,可得答案. 【解答】解:从上面看是一个正方形,正方形的左下角是一个小正方形, 故选:B. 5.已知不等式组 ,其解集在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 【考点】在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组. 【分析】求出每个不等式的解集,找出不等式组的解集,再在数轴上把不等式组的解集表示出来,即可得 出选项. 【解答】解: ∵解不等式①得:x>3, 解不等式②得:x≥﹣1, ∴不等式组的解集为:x>3, 在数轴上表示不等式组的解集为: 故选:B. 6.东营市某学校组织知识竞赛,共设有 20 道试题,其中有关中国优秀传统文化试题 10 道,实践应用试题 6 道,创新能力试题 4 道.小婕从中任选一道试题作答,他选中创新能力试题的概率是( ) A. B. C. D. 【考点】概率公式. 【分析】直接根据概率公式即可得出结论. 【解答】解:∵共设有 20 道试题,创新能力试题 4 道, ∴他选中创新能力试题的概率= = . 故选 A. 7.如图,已知一块圆心角为 270°的扇形铁皮,用它作一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计),圆锥底面圆 的直径是 60cm,则这块扇形铁皮的半径是( ) A.40cm B.50cm C.60cm D.80cm 【考点】圆锥的计算. 【分析】首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长,然后根据底面周长等于展开扇形的弧长求得铁皮 的半径即可. 【解答】解:∵圆锥的底面直径为 60cm, ∴圆锥的底面周长为 60πcm, ∴扇形的弧长为 60πcm, 设扇形的半径为 r, 则 =60π, 解得:r=40cm, 故选 A. 8.如图,在平面直角坐标系中,已知点 A(﹣3,6),B(﹣9,﹣3),以原点 O 为位似中心,相似比为 , 把△ABO 缩小,则点 A 的对应点 A′的坐标是( ) A.(﹣1,2) B.(﹣9,18) C.(﹣9,18)或(9,﹣18) D.(﹣1,2)或(1,﹣2) 【考点】位似变换;坐标与图形性质. 【分析】利用位似变换是以原点为位似中心,相似比为 k,那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或﹣k 进 行求解. 【解答】解:∵A(﹣3,6),B(﹣9,﹣3),以原点 O 为位似中心,相似比为 ,把△ABO 缩小, ∴点 A 的对应点 A′的坐标为(﹣3× ,6× )或[﹣3×(﹣ ),6×(﹣ ) ] ,即 A′点的坐标为(﹣1,2) 或(1,﹣2). 故选 D. xkb1 9.在△ABC 中,AB=10,AC=2 ,BC 边上的高 AD=6,则另一边 BC 等于( ) A.10 B.8 C.6 或 10 D.8 或 10 【考点】勾股定理. 【分析】分两种情况考虑,如图所示,分别在直角三角形 ABC 与直角三角形 ACD 中,利用勾股定理求出 BD 与 CD 的长,即可求出 BC 的长. 【解答】解:根据题意画出图形,如图所示, 如图 1 所示,AB=10,AC=2 ,AD=6, 在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中, 根据勾股定理得:BD= =8,CD= =2, 此时 BC=BD+CD=8+2=10; 如图 2 所示,AB=10,AC=2 ,AD=6, 在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中, 根据勾股定理得:BD= =8,CD= =2,此时 BC=BD﹣CD=8﹣2=6, 则 BC 的长为 6 或 10. 故选 C. 10.如图,在矩形 ABCD 中,E 是 AD 边的中点,BE⊥AC,垂足为点 F,连接 DF,分析下列四个结论: ①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③DF=DC;④tan∠CAD= . 其中正确的结论有( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 【考点】相似形综合题. 【分析】①四边形 ABCD 是矩形,BE⊥AC,则∠ABC=∠AFB=90°,又∠BAF=∠CAB,于是△AEF∽△CAB, 故①正确; ②由 AE= AD= BC,又 AD∥BC,所以 ,故②正确; ③过 D 作 DM∥BE 交 AC 于 N,得到四边形 BMDE 是平行四边形,求出 BM=DE= BC,得到 CN=NF, 根据线段的垂直平分线的性质可得结论,故③正确; ④CD 与 AD 的大小不知道,于是 tan∠CAD 的值无法判断,故④错误. 【解答】解:过 D 作 DM∥BE 交 AC 于 N, ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AD∥BC,∠ABC=90°,AD=BC, ∵BE⊥AC 于点 F, ∴∠EAC=∠ACB,∠ABC=∠AFE=90°, ∴△AEF∽△CAB,故①正确; ∵AD∥BC, ∴△AEF∽△CBF, ∴ , ∵AE= AD= BC, ∴ , ∴CF=2AF,故②正确, ∵DE∥BM,BE∥DM, ∴四边形 BMDE 是平行四边形, ∴BM=DE= BC, ∴BM=CM, ∴CN=NF, ∵BE⊥AC 于点 F,DM∥BE, ∴DN⊥CF, ∴DF=DC,故③正确; 设 AD=a,AB=b 由△BAE∽△ADC,有 . ∵tan∠CAD= , ∴tan∠CAD= ,故④错误, 故选 C. 二、填空题:11-14 小题,每小题 3 分,15-18 小题,每小题 3 分 11.2016 年第一季度,东营市实现生产总值 787.68 亿元,比上年同期提高了 0.9 个百分点,787.68 亿元用 科学记数法表示是 7.8768×1010 元. 【考点】科学记数法—表示较大的数. 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要看把原数变 成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1 时,n 是正数;当 原数的绝对值<1 时,n 是负数. 【解答】解:将 787.68 亿用科学记数法表示为 7.8768×1010. 故答案为:7.8768×1010. 12.分解因式:a3﹣16a= a(a+4)(a﹣4) . 【考点】提公因式法与公式法的综合运用. 【分析】先提取公因式 a,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.平方差公式:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b). 【解答】解:a3﹣16a, =a(a2﹣16), =a(a+4)(a﹣4).[来源:学#科#网 Z#X#X#K] 13.某学习小组有 8 人,在一次数学测验中的成绩分别是:102,115,100,105,92,105,85,104,则 他们成绩的平均数是 101 . 【考点】算术平均数. 【分析】根据算术平均数的计算公式列式计算即可得解. 【解答】解: = = ×808=101. 故答案为:101. 14.如图,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=4,BC>AB,点 D 在 BC 上,以 AC 为对角线的平行四边形 ADCE 中,DE 的最小值是 4 . 【考点】平行四边形的性质;垂线段最短;三角形中位线定理. 【分析】首先证明 BC∥AE,当 DE⊥BC 时,DE 最短,只要证明四边形 ABDE 是矩形即可解决问题. 【解答】解:∵四边形 ADCE 是平行四边形, ∴BC∥AE, ∴当 DE⊥BC 时,DE 最短, 此时∵∠B=90°, ∴AB⊥BC, ∴DE∥AB, ∴四边形 ABDE 是平行四边形, ∵∠B=90°, ∴四边形 ABDE 是矩形, ∴DE=AB=4, ∴DE 的最小值为 4. 故答案为 4. 15.如图,直线 y=x+b 与直线 y=kx+6 交于点 P(3,5),则关于 x 的不等式 x+b>kx+6 的解集是 x>3 . 【考点】一次函数与一元一次不等式. 【分析】观察函数图象得到当 x>3 时,函数 y=x+b 的图象都在 y=kx+4 的图象上方,所以关于 x 的不等式 x+b>kx+4 的解集为 x>3. 【解答】解:当 x>3 时,x+b>kx+4, 即不等式 x+b>kx+4 的解集为 x>3. 故答案为:x>3. 16.如图,折叠矩形 ABCD 的一边 AD,使点 D 落在 BC 边的点 F 处,已知折痕 AE=5 cm,且 tan∠EFC= , 那么矩形 ABCD 的周长为 36 cm. 【考点】矩形的性质;翻折变换(折叠问题). 【分析】根据 tan∠EFC 的值,可设 CE=3k,在 RT△EFC 中可得 CF=4k,EF=DE=5k,根据∠BAF=∠EFC, 利用三角函数的知识求出 AF,然后在 RT△AEF 中利用勾股定理求出 k,继而代入可得出答案. 【解答】解:∵tan∠EFC= , ∴设 CE=3k,则 CF=4k, 由勾股定理得 EF=DE=5k, ∴DC=AB=8k, ∵∠AFB+∠BAF=90°,∠AFB+∠EFC=90°, ∴∠BAF=∠EFC, ∴tan∠BAF=tan∠EFC= , ∴BF=6k,AF=BC=AD=10k, 在 Rt△AFE 中由勾股定理得 AE= = =5 , 解得:k=1, 故矩形 ABCD 的周长=2(AB+BC)=2(8k+10k)=36cm, 故答案为:36. 17.如图,某数学兴趣小组将边长为 5 的正方形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心,AB 为半径的扇形(忽 略铁丝的粗细),则所得的扇形 ABD 的面积为 25 . 【考点】扇形面积的计算. 【分析】根据扇形面积公式:S= •L•R(L 是弧长,R 是半径),求出弧长 BD,根据题意 BD=AD+DC,由 此即可解决问题. 【解答】解:由题意 =AD+CD=10, S 扇形 ADB= • •AB= ×10×5=25, 故答案为 25. 18.在求 1+3+32+33+34+35+36+37+38 的值时,张红发现:从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的 3 倍,于是她假设:S=1+3+32+33+34+35+36+37+38①, 然后在①式的两边都乘以 3,得:3S=3+32+33+34+35+36+37+38+39②, ②﹣①得,3S﹣S=39﹣1,即 2S=39﹣1, 随意 S= . 得出答案后,爱动脑筋的张红想:如果把“3”换成字母 m(m≠0 且 m≠1),能否求出 1+m+m2+m3+m4+…+m2016 的值?如能求出,其正确答案是 (m≠0 且 m≠1) . 【考点】规律型:数字的变化类. 【分析】仿照例子,将 3 换成 m,设 S=1+m+m2+m3+m4+…+m2016(m≠0 且 m≠1),则有 mS=m+m2+m3+m4+…+m2017,二者做差后两边同时除以 m﹣1,即可得出结论. 【解答】解:设 S=1+m+m2+m3+m4+…+m2016(m≠0 且 m≠1)①, 将①×m 得:mS=m+m2+m3+m4+…+m2017②, 由②﹣①得:mS﹣S=m2017﹣1,即 S= , ∴1+m+m2+m3+m4+…+m2016= (m≠0 且 m≠1). 故答案为: (m≠0 且 m≠1). 三、解答题:共 7 小题,共 62 分 19.(1)计算:( )﹣1+(π﹣3.14)0﹣2sin60°﹣ +|1﹣3 |; (2)先化简,再求值: (a+1﹣ )÷( ),其中 a=2+ . 【考点】分式的化简求值;实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值. 【分析】(1)分别根据 0 指数幂及负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值、绝对值的性质及数的 开方法则计算出各数,再根据实数混合运算的法则进行计算即可; (2)先算括号里面的,再算除法,最后把 a 的值代入进行计算即可. 【解答】解:(1)原式=2016+1﹣ ﹣2 +3 ﹣1 =2016; (2)原式= ÷ = ÷ = • =a(a﹣2). 当 a=2+ 时,原式=(2+ )(2+ ﹣2)=3+2 . 20.“校园安全”受到全社会的广泛关注,东营市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度,采用随机抽 样调查的方式,并根据收集到的信息进行统计,绘制了如图两幅尚不完整的统计图,请你根据统计图中所 提供的信息解答下列问题: (1)接受问卷调查的学生共有 60 人,扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 90° ; (2)请补全条形统计图; (3)若该中学共有学生 900 人,请根据上述调查结果,估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基 本了解”程度的总人数; (4)若从对校园安全知识达到了“了解”程度的 3 个女生和 2 个男生中随机抽取 2 人参加校园安全知识竞赛, 请用树状图或列表法求出恰好抽到 1 个男生和 1 个女生的概率. 【考点】列表法与树状图法;用样本估计总体;扇形统计图;条形统计图. 【分析】(1)由了解很少的有 30 人,占 50%,可求得接受问卷调查的学生数,继而求得扇形统计图中“基 本了解”部分所对应扇形的圆心角; (2)由(1)可求得了解的人数,继而补全条形统计图; (3)利用样本估计总体的方法,即可求得答案; (4)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到 1 个男生和 1 个女生的情 况,再利用概率公式求解即可求得答案. 【解答】解:(1)∵了解很少的有 30 人,占 50%, ∴接受问卷调查的学生共有:30÷50%=60(人); ∴扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为: ×360°=90°; 故答案为:60,90°; (2)60﹣15﹣30﹣10=5; 补全条形统计图得: (3)根据题意得:900× =300(人), 则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为 300 人; (4)画树状图得: ∵共有 20 种等可能 的结果,恰好抽到 1 个男生和 1 个女生的有 12 种情况, ∴恰好抽到 1 个男生和 1 个女生的概率为: = . 21.如图,在△ABC 中,以 BC 为直径的圆交 AC 于点 D,∠ABD=∠ACB. (1)求证:AB 是圆的切线; (2)若点 E 是 BC 上 一点,已知 BE=4,tan∠AEB= ,AB:BC=2:3,求圆的直径. 【考点】切线的判定. 【分析】(1)欲证明 AB 是圆的切线,只要证明∠ABC=90°即可. (2)在 RT△AEB 中,根据 tan∠AEB= ,求出 BC,在在 RT△ABC 中,根据 = 求出 AB 即可. 【解答】(1)证明:∵BC 是直径, ∴∠BDC=90°, ∴∠ACB+∠DBC=90°, ∵∠ABD=∠ACB, ∴∠ABD+∠DBC=90° ∴∠ABC=90° ∴AB⊥BC, ∴AB 是圆的切线. (2)解:在 RT△AEB 中,tan∠AEB= , ∴ = ,即 AB= BE= , 在 RT△ABC 中, = , ∴BC= AB=10, ∴圆的直径为 10. 22.东营市某学校 2015 年在商场购买甲、乙两种不同足球,购买甲种足球共花费 2000 元,购买乙种足球 共花费 1400 元,购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的 2 倍,且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球 多花 20 元. (1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元; (2)2016 年为响应习总书记“足球进校园”的号召,这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共 50 个,恰逢 该商场对两种足球的售价进行调整,甲种足球售价比第一次购买时提高了 10%,乙种足球售价比第一次购 买时降低了 10%,如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过 2900 元,那么这所学校最多可购买多少个 乙种足球? 【考点】分式方程的应用;一元一次不等式的应用. 【分析】(1)设购买一个甲种足球需 x 元,则购买一个乙种足球需(x+20),根据购买甲种足球数量是购买 乙种足球数量的 2 倍列出方程解答即可; (2)设这所学校再次购买 y 个乙种足球,根据题意列出不等式解答即可. 【解答】解:(1)设购买一个甲种足球需 x 元,则购买一个乙种足球需(x+20),可得: , 解得:x=50, 经检验 x=50 是原方程的解, 答:购买一个甲种足球需 50 元,则购买一个乙种足球需 70 元; (2)设这所学校再次购买 y 个乙种足球,可得:50×(1+10%)×(50﹣y)+70×(1﹣10%)y≤2900, 解得:y≤18.75, 由题意可得,最多可购买 18 个乙种足球, 答:这所学校最多可购买 18 个乙种足球. 23.如图,在平面直角坐标系中,直线 AB 与 x 轴交于点 B,与 y 轴交于点 A,与反比例函数 y= 的图象 在第二象限交于点C,CE⊥x 轴,垂足为点 E,tan∠ABO= ,OB=4,OE=2. (1)求反比例函数的解析式; (2)若点 D 是反比例函数图象在第四象限上的点,过点 D 作 DF⊥y 轴,垂足为点 F,连接 OD、BF.如 果 S△BAF=4S△DFO,求点 D 的坐标. 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题;反比例函数系数 k 的几何意义;反比例函数图象上点的坐标 特征. 【分析】(1)由边的关系可得出 BE=6,通过解直角三角形可得出 CE=3,结合函数图象即可得出点 C 的坐 标,再根据点 C 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征,即可求出反比例函数系数 m,由此即可得出 结论; (2)由点 D 在反比例函数在第四象限的图象上,设出点 D 的坐标为(n,﹣ )(n>0).通过解直角三角 形求出线段 OA 的长度,再利用三角形的面积公式利用含 n 的代数式表示出 S△BAF,根据点 D 在反比例函 数图形上利用反比例函数系数 k 的几何意义即可得出 S△DFO 的值,结合题意给出的两三角形的面积间的关 系即可得出关于 n 的分式方程,解方程,即可得出 n 值,从而得出点 D 的坐标. 【解答】解:(1)∵OB=4,OE=2, ∴BE=OB+OE=6. ∵CE⊥x 轴, ∴∠CEB=90°. 在 Rt△BEC 中,∠CEB=90°,BE=6,tan∠ABO= , ∴CE=BE•tan∠ABO=6× =3, 结合函数图象可知点 C 的坐标为(﹣2,3). ∵点 C 在反比例函数 y= 的图象上, ∴m=﹣2×3=﹣6, ∴反比例函数的解析式为 y=﹣ . (2)∵点 D 在反比例函数 y=﹣ 第四象限的图象上, ∴设点 D 的坐标为(n,﹣ )(n>0). 在 Rt△AOB 中,∠AOB=90°,OB=4,tan∠ABO= , ∴OA=OB•tan∠ABO=4× =2. ∵S△BAF= AF•OB= (OA+OF)•OB= (2+ )×4=4+ . ∵点 D 在反比例函数 y=﹣ 第四象限的图象上, ∴S△DFO= ×|﹣6|=3. ∵S△BAF=4S△DFO, ∴4+ =4×3, 解得:n= , 经验证,n= 是分式方程 4+ =4×3 的解, ∴点 D 的坐标为( ,﹣4). 24.如图 1,△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC,四边形 ADEF 是正方形,点 B、C 分别在 边 AD、AF 上,此时 BD=CF,BD⊥CF 成立.x§k§b 1 (1)当△ABC 绕点 A 逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图 2,BD=CF 成立吗?若成立,请证明,若不成 立,请说明理由; (2)当△ABC 绕点 A 逆时针旋转 45°时,如图 3,延长 BD 交 CF 于点 H. ①求证:BD⊥CF; ②当 AB=2,AD=3 时,求线段 DH 的长. 【考点】四边形综合题. 【分析】(1)根据旋转变换的性质和全等三角形的判定定理证明△CAF≌△BAD,证明结论; (2)①根据全等三角形的性质、垂直的定义证明即可; ②连接 DF,延长 AB 交 DF 于 M,根据题意和等腰直角三角形的性质求出 DM、BM 的长,根据勾股定理 求出 BD 的长,根据相似三角形的性质列出比例式,计算即可得到答案. 【解答】解:(1)BD=CF. 理由如下:由题意得,∠CAF=∠BAD=θ, 在△CAF 和△BAD 中, , ∴△CAF≌△BAD, ∴BD=CF; (2)①由(1)得△CAF≌△BAD, ∴∠CFA=∠BDA, ∵∠FNH=∠DNA,∠DNA+∠NAD=90°, ∴∠CFA+∠FNH=90°, ∴∠FHN=90°,即 BD⊥CF; ②连接 DF,延长 AB 交 DF 于 M, ∵四边形 ADEF 是正方形,AD=3 ,AB=2, ∴AM=DM=3,BM=AM﹣AB=1, DB= = , ∵∠MAD=∠MDA=45°, ∴∠AMD=90°,又∠DHF=90°,∠MDB=∠HDF, ∴△DMB∽△DHF, ∴ = ,即 = , 解得,DH= . 25.在平面直角坐标系中,平行四边形 ABOC 如图放置,点 A、C 的坐标分别是(0,4)、(﹣1,0),将此 平行四边形绕点 O 顺时针旋转 90°,得到平行四边形 A′B′OC′. (1)若抛物线经过点 C、A、A′,求此抛物线的解析式; (2)点 M 时第一象限内抛物线上的一动点,问:当点 M 在何处时,△AMA′的面积最大?最大面积是多少? 并求出此时 M 的坐标; (3)若 P 为抛物线上一动点,N 为 x 轴上的一动点,点 Q 坐标为(1,0),当 P、N、B、Q 构成平行四边 形时,求点 P 的坐标,当这个平行四边形为矩形时,求点 N 的坐标. 【考点】二次函数综合题. 【分析】(1)由平行四边形 ABOC 绕点 O 顺时针旋转 90°,得到平行四边形 A′B′OC′,且点 A 的坐标是(0, 4),可求得点 A′的坐标,然后利用待定系数法即可求得经过点 C、A、A′的抛物线的解析式; (2)首先连接 AA′,设直线 AA′的解析式为:y=kx+b,利用待定系数法即可求得直线 AA′的解析式,再设 点 M 的坐标为:(x,﹣x2+3x+4),继而可得△AMA′的面积,继而求得答案; (3)分别从 BQ 为边与 BQ 为对角线去分析求解即可求得答案. 【解答】解:(1)∵平行四边形 ABOC 绕点 O 顺时针旋转 90°,得到平行四边形 A′B′OC′,且点 A 的坐标 是(0,4), ∴点 A′的坐标为:(4,0), ∵点 A、C 的坐标分别是(0,4)、(﹣1,0),抛物线经过点 C、A、A′, 设抛物线的解析式为:y=ax2+bx+c, ∴ , 解得: , ∴此抛物线的解析式为:y=﹣x2+3x+4; (2)连接 AA′,设直线 AA′的解析式为:y=kx+b, ∴ , 解得: , ∴直线 AA′的解析式为:y=﹣x+4, 设点 M 的坐标为:(x,﹣x2+3x+4), 则 S△AMA′= ×4×[﹣x2+3x+4﹣(﹣x+4) ] =﹣2x2+8x=﹣2(x﹣2)2+8, ∴当 x=2 时,△AMA ′的面积最大,最大值 S△AMA′=8, ∴M 的坐标为:(2,6); (3)设点 P 的坐标为(x,﹣x2+3x+4),当 P,N,B,Q 构成平行四边形时, ∵平行四边形 ABOC 中,点 A、C 的坐标分别是(0,4)、(﹣1,0), ∴点 B 的坐标为(1,4), ∵点 Q 坐标为(1,0),P 为抛物线上一动点,N 为 x 轴上的一动点, ①当 BQ 为边时,PN∥BQ,PN=BQ, ∵BQ=4, ∴﹣x2+3x+4=±4, 当﹣x2+3x+4=4 时,解得:x1=0,x2=3, ∴P1(0,4),P2(3,4); 当﹣x2+3x+4=﹣4 时,解得:x3= ,x2= , ∴P3( ,﹣4),P4( ,﹣4); ②当 PQ 为对角线时,BP∥QN,BP=QN,此时 P 与 P1,P2 重合; 综上可得:点 P 的坐标为:P1(0,4),P2(3,4),P3( ,﹣4),P4( ,﹣4); 如图 2,当这个平行四边形为矩形时,点 N 的坐标为:(0,0)或(3,0).

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