2016年东营市中考数学试题及答案解析版

2016 年山东省东营市中考数学试卷 一、选择题：每小题 3 分，共 30 分 1． 的倒数是（ ） A．﹣2 B．2 C． D． 2．下列计算正确的是（ ） A．3a+4b=7ab B．（ab3）2=ab6C．（a+2）2=a2+4 D．x12÷x6=x6 3．如图，直线 m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A 等于（ ） A．30° B．35° C．40° D．50° 4．从棱长为 2a 的正方体零件的一角，挖去一个棱长为 a 的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零 件的俯视图是（ ） A． B． C． D． 5．已知不等式组 ，其解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 6．东营市某学校组织知识竞赛，共设有 20 道试题，其中有关中国优秀传统文化试题 10 道，实践应用试题 6 道，创新能力试题 4 道．小婕从中任选一道试题作答，他选中创新能力试题的概率是（ ） A． B． C． D． 7．如图，已知一块圆心角为 270°的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆 的直径是 60cm，则这块扇形铁皮的半径是（ ） A．40cm B．50cm C．60cm D．80cm 8．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点 O 为位似中心，相似比为 ， 把△ABO 缩小，则点 A 的对应点 A′的坐标是（ ） A．（﹣1，2） B．（﹣9，18） C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2） 9．在△ABC 中，AB=10，AC=2 ，BC 边上的高 AD=6，则另一边 BC 等于（ ） A．10 B．8 C．6 或 10 D．8 或 10 10．如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 边的中点，BE⊥AC，垂足为点 F，连接 DF，分析下列四个结论： ①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD= ． 其中正确的结论有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 二、填空题：11-14 小题，每小题 3 分，15-18 小题，每小题 3 分 11．2016 年第一季度，东营市实现生产总值 787.68 亿元，比上年同期提高了 0.9 个百分点，787.68 亿元用 科学记数法表示是 元． 12．分解因式：a3﹣16a= ． 13．某学习小组有 8 人，在一次数学测验中的成绩分别是：102，115，100，105，92，105，85，104，则 他们成绩的平均数是 ． 14．如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=4，BC＞AB，点 D 在 BC 上，以 AC 为对角线的平行四边形 ADCE 中，DE 的最小值是 ． 15．如图，直线 y=x+b 与直线 y=kx+6 交于点 P（3，5），则关于 x 的不等式 x+b＞kx+6 的解集是 ． 16．如图，折叠矩形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知折痕 AE=5 cm，且 tan∠EFC= ， 那么矩形 ABCD 的周长为 cm． 17．如图，某数学兴趣小组将边长为 5 的正方形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽 略铁丝的粗细），则所得的扇形 ABD 的面积为 ． 18．在求 1+3+32+33+34+35+36+37+38 的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的 3 倍，于是她假设：S=1+3+32+33+34+35+36+37+38①， 然后在①式的两边都乘以 3，得：3S=3+32+33+34+35+36+37+38+39②， ②﹣①得，3S﹣S=39﹣1，即 2S=39﹣1， 随意 S= ． 得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母 m（m≠0 且 m≠1），能否求出 1+m+m2+m3+m4+…+m2016 的值？如能求出，其正确答案是 ． 三、解答题：共 7 小题，共 62 分 19．（1）计算：（ ）﹣1+（π﹣3.14）0﹣2sin60°﹣ +|1﹣3 |； （2）先化简，再求值： （a+1﹣ ）÷（ ），其中 a=2+ ． 20．“校园安全”受到全社会的广泛关注，东营市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽 样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所 提供的信息解答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角 为 ； （2）请补全条形统计图； （3）若该中学共有学生 900 人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基 本了解”程度的总人数； （4）若从对校园安全知识达到了“了解”程度的 3 个女生和 2 个男生中随机抽取 2 人参加校园安全知识竞赛， 请用树状图或列表法求出恰好抽到 1 个男生和 1 个女生的概率． 21．如图，在△ABC 中，以 BC 为直径的圆交 AC 于点 D，∠ABD=∠ACB． （1）求证：AB 是圆的切线； （2）若点 E 是 BC 上一点，已知 BE=4，tan∠AEB= ，AB：BC=2：3，求圆的直径． 22．东营市某学校 2015 年在商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费 2000 元，购买乙种足球 共花费 1400 元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的 2 倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球 多花 20 元． （1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元； （2）2016 年为响应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共 50 个，恰逢 该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了 10%，乙种足球售价比第一次购 买时降低了 10%，如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过 2900 元，那么这所学校最多可购买多少个 乙种足球？ 23．如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 A，与反比例函数 y= 的图象 在第二象限交于点 C，CE⊥x 轴，垂足为点 E，tan∠ABO= ，OB=4，OE=2． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点 D 是反比例函数图象在第四象限上的点，过点 D 作 DF⊥y 轴，垂足为点 F，连接 OD、BF．如 果 S△BAF=4S△DFO，求点 D 的坐标． 24．如图 1，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形 ADEF 是正方形，点 B、C 分别在 边 AD、AF 上，此时 BD=CF，BD⊥CF 成立． （1）当△ABC 绕点 A 逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图 2，BD=CF 成立吗？若成立，请证明，若不成 立，请说明理由； （2）当△ABC 绕点 A 逆时针旋转 45°时，如图 3，延长 BD 交 CF 于点 H． ①求证：BD⊥CF； ②当 AB=2，AD=3 时，求线段 DH 的长． 25．在平面直角坐标系中，平行四边形 ABOC 如图放置，点 A、C 的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），将此 平行四边形绕点 O 顺时针旋转 90°，得到平行四边形 A′B′OC′． （1）若抛物线经过点 C、A、A′，求此抛物线的解析式； （2）点 M 时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点 M 在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？ 并求出此时 M 的坐标； （3）若 P 为抛物线上一动点，N 为 x 轴上的一动点，点 Q 坐标为（1，0），当 P、N、B、Q 构成平行四边 形时，求点 P 的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点 N 的坐标． 2016 年山东省东营市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：每小题 3 分，共 30 分 1． 的倒数是（ ） A．﹣2 B．2 C． D． 【考点】倒数． 【分析】根据倒数的定义求解． 【解答】解：﹣ 的倒数是﹣2． 故选：A． 2．下列计算正确的是（ ） A．3a+4b=7ab B．（ab3）2=ab6C．（a+2）2=a2+4 D．x12÷x6=x6 【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式． 【分析】A：根据合并同类项的方法判断即可． B：根据积的乘方的运算方法判断即可． C：根据完全平方公式判断即可． D：根据同底数幂的除法法则判断即可． 【解答】解：∵3a+4b≠7ab， ∴选项 A 不正确； ∵（ab3）2=a2b6， ∴选项 B 不正确； ∵（a+2）2=a2+4a+4， ∴选项 C 不正确； ∵x12÷x6=x6， ∴选项 D 正确． 故选：D． 3．如图，直线 m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A 等于（ ） A．30° B．35° C．40° D．50° 【考点】平行线的性质． 【分析】首先根据平行线的性质求出∠3 的度数，然后根据三角形的外角的知识求出∠A 的度数． 【解答】解：如图，∵直线 m∥n， ∴∠1=∠3， ∵∠1=70°， ∴∠3=70°， ∵∠3=∠2+∠A，∠2=30°， ∴∠A=40°， 故选 C． 4．从棱长为 2a 的正方体零件的一角，挖去一个棱长为 a 的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零 件的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图． 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【解答】解：从上面看是一个正方形，正方形的左下角是一个小正方形， 故选：B． 5．已知不等式组 ，其解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组． 【分析】求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，再在数轴上把不等式组的解集表示出来，即可得 出选项． 【解答】解： ∵解不等式①得：x＞3， 解不等式②得：x≥﹣1， ∴不等式组的解集为：x＞3， 在数轴上表示不等式组的解集为： 故选：B． 6．东营市某学校组织知识竞赛，共设有 20 道试题，其中有关中国优秀传统文化试题 10 道，实践应用试题 6 道，创新能力试题 4 道．小婕从中任选一道试题作答，他选中创新能力试题的概率是（ ） A． B． C． D． 【考点】概率公式． 【分析】直接根据概率公式即可得出结论． 【解答】解：∵共设有 20 道试题，创新能力试题 4 道， ∴他选中创新能力试题的概率= = ． 故选 A． 7．如图，已知一块圆心角为 270°的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆 的直径是 60cm，则这块扇形铁皮的半径是（ ） A．40cm B．50cm C．60cm D．80cm 【考点】圆锥的计算． 【分析】首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长，然后根据底面周长等于展开扇形的弧长求得铁皮 的半径即可． 【解答】解：∵圆锥的底面直径为 60cm， ∴圆锥的底面周长为 60πcm， ∴扇形的弧长为 60πcm， 设扇形的半径为 r， 则 =60π， 解得：r=40cm， 故选 A． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点 O 为位似中心，相似比为 ， 把△ABO 缩小，则点 A 的对应点 A′的坐标是（ ） A．（﹣1，2） B．（﹣9，18） C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2） 【考点】位似变换；坐标与图形性质． 【分析】利用位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或﹣k 进 行求解． 【解答】解：∵A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把△ABO 缩小， ∴点 A 的对应点 A′的坐标为（﹣3× ，6× ）或[﹣3×（﹣ ），6×（﹣ ） ] ，即 A′点的坐标为（﹣1，2） 或（1，﹣2）． 故选 D． xkb1 9．在△ABC 中，AB=10，AC=2 ，BC 边上的高 AD=6，则另一边 BC 等于（ ） A．10 B．8 C．6 或 10 D．8 或 10 【考点】勾股定理． 【分析】分两种情况考虑，如图所示，分别在直角三角形 ABC 与直角三角形 ACD 中，利用勾股定理求出 BD 与 CD 的长，即可求出 BC 的长． 【解答】解：根据题意画出图形，如图所示， 如图 1 所示，AB=10，AC=2 ，AD=6， 在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中， 根据勾股定理得：BD= =8，CD= =2， 此时 BC=BD+CD=8+2=10； 如图 2 所示，AB=10，AC=2 ，AD=6， 在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中， 根据勾股定理得：BD= =8，CD= =2，此时 BC=BD﹣CD=8﹣2=6， 则 BC 的长为 6 或 10． 故选 C． 10．如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 边的中点，BE⊥AC，垂足为点 F，连接 DF，分析下列四个结论： ①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD= ． 其中正确的结论有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 【考点】相似形综合题． 【分析】①四边形 ABCD 是矩形，BE⊥AC，则∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB， 故①正确； ②由 AE= AD= BC，又 AD∥BC，所以 ，故②正确； ③过 D 作 DM∥BE 交 AC 于 N，得到四边形 BMDE 是平行四边形，求出 BM=DE= BC，得到 CN=NF， 根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确； ④CD 与 AD 的大小不知道，于是 tan∠CAD 的值无法判断，故④错误． 【解答】解：过 D 作 DM∥BE 交 AC 于 N， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC， ∵BE⊥AC 于点 F， ∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°， ∴△AEF∽△CAB，故①正确； ∵AD∥BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴ ， ∵AE= AD= BC， ∴ ， ∴CF=2AF，故②正确， ∵DE∥BM，BE∥DM， ∴四边形 BMDE 是平行四边形， ∴BM=DE= BC， ∴BM=CM， ∴CN=NF， ∵BE⊥AC 于点 F，DM∥BE， ∴DN⊥CF， ∴DF=DC，故③正确； 设 AD=a，AB=b 由△BAE∽△ADC，有 ． ∵tan∠CAD= ， ∴tan∠CAD= ，故④错误， 故选 C． 二、填空题：11-14 小题，每小题 3 分，15-18 小题，每小题 3 分 11．2016 年第一季度，东营市实现生产总值 787.68 亿元，比上年同期提高了 0.9 个百分点，787.68 亿元用 科学记数法表示是 7.8768×1010 元． 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变 成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当 原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将 787.68 亿用科学记数法表示为 7.8768×1010． 故答案为：7.8768×1010． 12．分解因式：a3﹣16a= a（a+4）（a﹣4） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】先提取公因式 a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）． 【解答】解：a3﹣16a， =a（a2﹣16）， =a（a+4）（a﹣4）．[来源:学#科#网 Z#X#X#K] 13．某学习小组有 8 人，在一次数学测验中的成绩分别是：102，115，100，105，92，105，85，104，则 他们成绩的平均数是 101 ． 【考点】算术平均数． 【分析】根据算术平均数的计算公式列式计算即可得解． 【解答】解： = = ×808=101． 故答案为：101． 14．如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=4，BC＞AB，点 D 在 BC 上，以 AC 为对角线的平行四边形 ADCE 中，DE 的最小值是 4 ． 【考点】平行四边形的性质；垂线段最短；三角形中位线定理． 【分析】首先证明 BC∥AE，当 DE⊥BC 时，DE 最短，只要证明四边形 ABDE 是矩形即可解决问题． 【解答】解：∵四边形 ADCE 是平行四边形， ∴BC∥AE， ∴当 DE⊥BC 时，DE 最短， 此时∵∠B=90°， ∴AB⊥BC， ∴DE∥AB， ∴四边形 ABDE 是平行四边形， ∵∠B=90°， ∴四边形 ABDE 是矩形， ∴DE=AB=4， ∴DE 的最小值为 4． 故答案为 4． 15．如图，直线 y=x+b 与直线 y=kx+6 交于点 P（3，5），则关于 x 的不等式 x+b＞kx+6 的解集是 x＞3 ． 【考点】一次函数与一元一次不等式． 【分析】观察函数图象得到当 x＞3 时，函数 y=x+b 的图象都在 y=kx+4 的图象上方，所以关于 x 的不等式 x+b＞kx+4 的解集为 x＞3． 【解答】解：当 x＞3 时，x+b＞kx+4， 即不等式 x+b＞kx+4 的解集为 x＞3． 故答案为：x＞3． 16．如图，折叠矩形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知折痕 AE=5 cm，且 tan∠EFC= ， 那么矩形 ABCD 的周长为 36 cm． 【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）． 【分析】根据 tan∠EFC 的值，可设 CE=3k，在 RT△EFC 中可得 CF=4k，EF=DE=5k，根据∠BAF=∠EFC， 利用三角函数的知识求出 AF，然后在 RT△AEF 中利用勾股定理求出 k，继而代入可得出答案． 【解答】解：∵tan∠EFC= ， ∴设 CE=3k，则 CF=4k， 由勾股定理得 EF=DE=5k， ∴DC=AB=8k， ∵∠AFB+∠BAF=90°，∠AFB+∠EFC=90°， ∴∠BAF=∠EFC， ∴tan∠BAF=tan∠EFC= ， ∴BF=6k，AF=BC=AD=10k， 在 Rt△AFE 中由勾股定理得 AE= = =5 ， 解得：k=1， 故矩形 ABCD 的周长=2（AB+BC）=2（8k+10k）=36cm， 故答案为：36． 17．如图，某数学兴趣小组将边长为 5 的正方形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽 略铁丝的粗细），则所得的扇形 ABD 的面积为 25 ． 【考点】扇形面积的计算． 【分析】根据扇形面积公式：S= •L•R（L 是弧长，R 是半径），求出弧长 BD，根据题意 BD=AD+DC，由 此即可解决问题． 【解答】解：由题意 =AD+CD=10， S 扇形 ADB= • •AB= ×10×5=25， 故答案为 25． 18．在求 1+3+32+33+34+35+36+37+38 的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的 3 倍，于是她假设：S=1+3+32+33+34+35+36+37+38①， 然后在①式的两边都乘以 3，得：3S=3+32+33+34+35+36+37+38+39②， ②﹣①得，3S﹣S=39﹣1，即 2S=39﹣1， 随意 S= ． 得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母 m（m≠0 且 m≠1），能否求出 1+m+m2+m3+m4+…+m2016 的值？如能求出，其正确答案是 （m≠0 且 m≠1） ． 【考点】规律型：数字的变化类． 【分析】仿照例子，将 3 换成 m，设 S=1+m+m2+m3+m4+…+m2016（m≠0 且 m≠1），则有 mS=m+m2+m3+m4+…+m2017，二者做差后两边同时除以 m﹣1，即可得出结论． 【解答】解：设 S=1+m+m2+m3+m4+…+m2016（m≠0 且 m≠1）①， 将①×m 得：mS=m+m2+m3+m4+…+m2017②， 由②﹣①得：mS﹣S=m2017﹣1，即 S= ， ∴1+m+m2+m3+m4+…+m2016= （m≠0 且 m≠1）． 故答案为： （m≠0 且 m≠1）． 三、解答题：共 7 小题，共 62 分 19．（1）计算：（ ）﹣1+（π﹣3.14）0﹣2sin60°﹣ +|1﹣3 |； （2）先化简，再求值： （a+1﹣ ）÷（ ），其中 a=2+ ． 【考点】分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 【分析】（1）分别根据 0 指数幂及负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值、绝对值的性质及数的 开方法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可； （2）先算括号里面的，再算除法，最后把 a 的值代入进行计算即可． 【解答】解：（1）原式=2016+1﹣ ﹣2 +3 ﹣1 =2016； （2）原式= ÷ = ÷ = • =a（a﹣2）． 当 a=2+ 时，原式=（2+ ）（2+ ﹣2）=3+2 ． 20．“校园安全”受到全社会的广泛关注，东营市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽 样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所 提供的信息解答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有 60 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 90° ； （2）请补全条形统计图； （3）若该中学共有学生 900 人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基 本了解”程度的总人数； （4）若从对校园安全知识达到了“了解”程度的 3 个女生和 2 个男生中随机抽取 2 人参加校园安全知识竞赛， 请用树状图或列表法求出恰好抽到 1 个男生和 1 个女生的概率． 【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图． 【分析】（1）由了解很少的有 30 人，占 50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“基 本了解”部分所对应扇形的圆心角； （2）由（1）可求得了解的人数，继而补全条形统计图； （3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案； （4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到 1 个男生和 1 个女生的情 况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：（1）∵了解很少的有 30 人，占 50%， ∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%=60（人）； ∴扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为： ×360°=90°； 故答案为：60，90°； （2）60﹣15﹣30﹣10=5； 补全条形统计图得： （3）根据题意得：900× =300（人）， 则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为 300 人； （4）画树状图得： ∵共有 20 种等可能 的结果，恰好抽到 1 个男生和 1 个女生的有 12 种情况， ∴恰好抽到 1 个男生和 1 个女生的概率为： = ． 21．如图，在△ABC 中，以 BC 为直径的圆交 AC 于点 D，∠ABD=∠ACB． （1）求证：AB 是圆的切线； （2）若点 E 是 BC 上 一点，已知 BE=4，tan∠AEB= ，AB：BC=2：3，求圆的直径． 【考点】切线的判定． 【分析】（1）欲证明 AB 是圆的切线，只要证明∠ABC=90°即可． （2）在 RT△AEB 中，根据 tan∠AEB= ，求出 BC，在在 RT△ABC 中，根据 = 求出 AB 即可． 【解答】（1）证明：∵BC 是直径， ∴∠BDC=90°， ∴∠ACB+∠DBC=90°， ∵∠ABD=∠ACB， ∴∠ABD+∠DBC=90° ∴∠ABC=90° ∴AB⊥BC， ∴AB 是圆的切线． （2）解：在 RT△AEB 中，tan∠AEB= ， ∴ = ，即 AB= BE= ， 在 RT△ABC 中， = ， ∴BC= AB=10， ∴圆的直径为 10． 22．东营市某学校 2015 年在商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费 2000 元，购买乙种足球 共花费 1400 元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的 2 倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球 多花 20 元． （1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元； （2）2016 年为响应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共 50 个，恰逢 该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了 10%，乙种足球售价比第一次购 买时降低了 10%，如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过 2900 元，那么这所学校最多可购买多少个 乙种足球？ 【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用． 【分析】（1）设购买一个甲种足球需 x 元，则购买一个乙种足球需（x+20），根据购买甲种足球数量是购买 乙种足球数量的 2 倍列出方程解答即可； （2）设这所学校再次购买 y 个乙种足球，根据题意列出不等式解答即可． 【解答】解：（1）设购买一个甲种足球需 x 元，则购买一个乙种足球需（x+20），可得： ， 解得：x=50， 经检验 x=50 是原方程的解， 答：购买一个甲种足球需 50 元，则购买一个乙种足球需 70 元； （2）设这所学校再次购买 y 个乙种足球，可得：50×（1+10%）×（50﹣y）+70×（1﹣10%）y≤2900， 解得：y≤18.75， 由题意可得，最多可购买 18 个乙种足球， 答：这所学校最多可购买 18 个乙种足球． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 A，与反比例函数 y= 的图象 在第二象限交于点C，CE⊥x 轴，垂足为点 E，tan∠ABO= ，OB=4，OE=2． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点 D 是反比例函数图象在第四象限上的点，过点 D 作 DF⊥y 轴，垂足为点 F，连接 OD、BF．如 果 S△BAF=4S△DFO，求点 D 的坐标． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数 k 的几何意义；反比例函数图象上点的坐标 特征． 【分析】（1）由边的关系可得出 BE=6，通过解直角三角形可得出 CE=3，结合函数图象即可得出点 C 的坐 标，再根据点 C 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数系数 m，由此即可得出 结论； （2）由点 D 在反比例函数在第四象限的图象上，设出点 D 的坐标为（n，﹣ ）（n＞0）．通过解直角三角 形求出线段 OA 的长度，再利用三角形的面积公式利用含 n 的代数式表示出 S△BAF，根据点 D 在反比例函 数图形上利用反比例函数系数 k 的几何意义即可得出 S△DFO 的值，结合题意给出的两三角形的面积间的关 系即可得出关于 n 的分式方程，解方程，即可得出 n 值，从而得出点 D 的坐标． 【解答】解：（1）∵OB=4，OE=2， ∴BE=OB+OE=6． ∵CE⊥x 轴， ∴∠CEB=90°． 在 Rt△BEC 中，∠CEB=90°，BE=6，tan∠ABO= ， ∴CE=BE•tan∠ABO=6× =3， 结合函数图象可知点 C 的坐标为（﹣2，3）． ∵点 C 在反比例函数 y= 的图象上， ∴m=﹣2×3=﹣6， ∴反比例函数的解析式为 y=﹣ ． （2）∵点 D 在反比例函数 y=﹣ 第四象限的图象上， ∴设点 D 的坐标为（n，﹣ ）（n＞0）． 在 Rt△AOB 中，∠AOB=90°，OB=4，tan∠ABO= ， ∴OA=OB•tan∠ABO=4× =2． ∵S△BAF= AF•OB= （OA+OF）•OB= （2+ ）×4=4+ ． ∵点 D 在反比例函数 y=﹣ 第四象限的图象上， ∴S△DFO= ×|﹣6|=3． ∵S△BAF=4S△DFO， ∴4+ =4×3， 解得：n= ， 经验证，n= 是分式方程 4+ =4×3 的解， ∴点 D 的坐标为（ ，﹣4）． 24．如图 1，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形 ADEF 是正方形，点 B、C 分别在 边 AD、AF 上，此时 BD=CF，BD⊥CF 成立．x§k§b 1 （1）当△ABC 绕点 A 逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图 2，BD=CF 成立吗？若成立，请证明，若不成 立，请说明理由； （2）当△ABC 绕点 A 逆时针旋转 45°时，如图 3，延长 BD 交 CF 于点 H． ①求证：BD⊥CF； ②当 AB=2，AD=3 时，求线段 DH 的长． 【考点】四边形综合题． 【分析】（1）根据旋转变换的性质和全等三角形的判定定理证明△CAF≌△BAD，证明结论； （2）①根据全等三角形的性质、垂直的定义证明即可； ②连接 DF，延长 AB 交 DF 于 M，根据题意和等腰直角三角形的性质求出 DM、BM 的长，根据勾股定理 求出 BD 的长，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可得到答案． 【解答】解：（1）BD=CF． 理由如下：由题意得，∠CAF=∠BAD=θ， 在△CAF 和△BAD 中， ， ∴△CAF≌△BAD， ∴BD=CF； （2）①由（1）得△CAF≌△BAD， ∴∠CFA=∠BDA， ∵∠FNH=∠DNA，∠DNA+∠NAD=90°， ∴∠CFA+∠FNH=90°， ∴∠FHN=90°，即 BD⊥CF； ②连接 DF，延长 AB 交 DF 于 M， ∵四边形 ADEF 是正方形，AD=3 ，AB=2， ∴AM=DM=3，BM=AM﹣AB=1， DB= = ， ∵∠MAD=∠MDA=45°， ∴∠AMD=90°，又∠DHF=90°，∠MDB=∠HDF， ∴△DMB∽△DHF， ∴ = ，即 = ， 解得，DH= ． 25．在平面直角坐标系中，平行四边形 ABOC 如图放置，点 A、C 的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），将此 平行四边形绕点 O 顺时针旋转 90°，得到平行四边形 A′B′OC′． （1）若抛物线经过点 C、A、A′，求此抛物线的解析式； （2）点 M 时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点 M 在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？ 并求出此时 M 的坐标； （3）若 P 为抛物线上一动点，N 为 x 轴上的一动点，点 Q 坐标为（1，0），当 P、N、B、Q 构成平行四边 形时，求点 P 的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点 N 的坐标． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）由平行四边形 ABOC 绕点 O 顺时针旋转 90°，得到平行四边形 A′B′OC′，且点 A 的坐标是（0， 4），可求得点 A′的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点 C、A、A′的抛物线的解析式； （2）首先连接 AA′，设直线 AA′的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线 AA′的解析式，再设 点 M 的坐标为：（x，﹣x2+3x+4），继而可得△AMA′的面积，继而求得答案； （3）分别从 BQ 为边与 BQ 为对角线去分析求解即可求得答案． 【解答】解：（1）∵平行四边形 ABOC 绕点 O 顺时针旋转 90°，得到平行四边形 A′B′OC′，且点 A 的坐标 是（0，4）， ∴点 A′的坐标为：（4，0）， ∵点 A、C 的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），抛物线经过点 C、A、A′， 设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c， ∴ ， 解得： ， ∴此抛物线的解析式为：y=﹣x2+3x+4； （2）连接 AA′，设直线 AA′的解析式为：y=kx+b， ∴ ， 解得： ， ∴直线 AA′的解析式为：y=﹣x+4， 设点 M 的坐标为：（x，﹣x2+3x+4）， 则 S△AMA′= ×4×[﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4） ] =﹣2x2+8x=﹣2（x﹣2）2+8， ∴当 x=2 时，△AMA ′的面积最大，最大值 S△AMA′=8， ∴M 的坐标为：（2，6）； （3）设点 P 的坐标为（x，﹣x2+3x+4），当 P，N，B，Q 构成平行四边形时， ∵平行四边形 ABOC 中，点 A、C 的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0）， ∴点 B 的坐标为（1，4）， ∵点 Q 坐标为（1，0），P 为抛物线上一动点，N 为 x 轴上的一动点， ①当 BQ 为边时，PN∥BQ，PN=BQ， ∵BQ=4， ∴﹣x2+3x+4=±4， 当﹣x2+3x+4=4 时，解得：x1=0，x2=3， ∴P1（0，4），P2（3，4）； 当﹣x2+3x+4=﹣4 时，解得：x3= ，x2= ， ∴P3（ ，﹣4），P4（ ，﹣4）； ②当 PQ 为对角线时，BP∥QN，BP=QN，此时 P 与 P1，P2 重合； 综上可得：点 P 的坐标为：P1（0，4），P2（3，4），P3（ ，﹣4），P4（ ，﹣4）； 如图 2，当这个平行四边形为矩形时，点 N 的坐标为：（0，0）或（3，0）．