2016年大庆市中考数学试题解析版

2016 年黑龙江省大庆市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．地球上的海洋面积为 361 000 000 平方千米，数字 361 000 000 用科学记数法表示为（ ） A．36.1×107B．0.361×109C．3.61×108D．3.61×107 2．已知实数 a、b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ） A．a•b＞0 B．a+b＜0 C．|a|＜|b| D．a﹣b＞0 3．下列说法正确的是（ ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．矩形的对角线互相垂直 C．一组对边平行的四边形是平行四边形 D．四边相等的四边形是菱形 4．当 0＜x＜1 时，x2、x、 的大小顺序是（ ） A．x2 B． ＜x＜x2C． ＜x D．x＜x2＜ 5．一个盒子装有除颜色外其它均相同的 2 个红球和 3 个白球，现从中任取 2 个球，则取到的是一个红球、 一个白球的概率为（ ） A． B． C． D． 6．由若干边长相等的小正方体构成的几何体的主视图、左视图、俯视图如图所示，则构成这个几何体的小 正方体有（ ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 7．下列图形中是中心对称图形的有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，从①∠1=∠2 ②∠C=∠D ③∠A=∠F 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组 成的命题中，正确命题的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．已知 A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是反比例函数 y= 上的三点，若 x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3， 则下列关系式不正确的是（ ） A．x1•x2＜0 B．x1•x3＜0 C．x2•x3＜0 D．x1+x2＜0 10．若 x0 是方程 ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设 M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，则 M 与 N 的大小关系正确的 为（ ） A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不确定 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．函数 y= 的自变量 x 的取值范围是 ． 12．若 am=2，an=8，则 am+n= ． 13．甲乙两人进行飞镖比赛，每人各投 5 次，所得平均环数相等，其中甲所得环数的方差为 15，乙所得环 数如下：0，1，5，9，10，那么成绩较稳定的是 （填“甲”或“乙”）． 14．如图，在△ABC 中，∠A=40°，D 点是∠ABC 和∠ACB 角平分线的交点，则∠BDC= ． 15．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的 中点得到图③，按这样的方法进行下去，第 n 个图形中共有三角形的个数为 ． 16．一艘轮船在小岛 A 的北偏东 60°方向距小岛 80 海里的 B 处，沿正西方向航行 3 小时后到达小岛的北偏 西 45°的 C 处，则该船行驶的速度为 海里/小时． 17．如图，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=10 ，一圆弧过点 B 和点 C，且与 AD 相切，则图中阴影部分 面积为 ． 18．直线 y=kx+b 与抛物线 y= x2 交于 A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当 OA⊥OB 时，直线 AB 恒过一 个定点，该定点坐标为 ． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 66 分） 19．计算（ +1）2﹣π0﹣|1﹣ | 20．已知 a+b=3，ab=2，求代数式 a3b+2a2b2+ab3 的值． 21．关于 x 的两个不等式① ＜1 与②1﹣3x＞0 （1）若两个不等式的解集相同，求 a 的值； （2）若不等式①的解都是②的解，求 a 的取值范围． 22．某车间计划加工 360 个零件，由于技术上的改进，提高了工作效率，每天比原计划多加工 20%，结果 提前 10 天完成任务，求原计划每天能加工多少个零件？ 23．为了了解某学校初四年纪学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校初四年级 m 名同学， 对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下条形统计图（图一）和扇形统计图（图二）： （1）根据以上信息回答下列问题： ①求 m 值． ②求扇形统计图中阅读时间为 5 小时的扇形圆心角的度数． ③补全条形统计图． （2）直接写出这组数据的众数、中位数，求出这组数据的平均数． 24．如图，在菱形 ABCD 中，G 是 BD 上一点，连接 CG 并延长交 BA 的延长线于点 F，交 AD 于点 E． （1）求证：AG=CG． （2）求证：AG2=GE•GF． 25．如图，P1、P2 是反比例函数 y= （k＞0）在第一象限图象上的两点，点 A1 的坐标为（4，0）．若△P1OA1 与△P2A1A2 均为等腰直角三角形，其中点 P1、P2 为直角顶点． （1）求反比例函数的解析式． （2）①求 P2 的坐标． ②根据图象直接写出在第一象限内当 x 满足什么条件时，经过点 P1、P2 的一次函数的函数值大于反比例函 数 y= 的函数值． 26．由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少，已知原有蓄水量 y1（万 m3）与干旱 持续时间 x（天）的关系如图中线段 l1 所示，针对这种干旱情况，从第 20 天开始向水库注水，注水量 y2（万 m3）与时间 x（天）的关系如图中线段 l2 所示（不考虑其它因素）． （1）求原有蓄水量 y1（万 m3）与时间 x（天）的函数关系式，并求当 x=20 时的水库总蓄水量． （2）求当 0≤x≤60 时，水库的总蓄水量 y（万 m3）与时间 x（天）的函数关系式（注明 x 的范围），若总蓄 水量不多于 900 万 m3 为严重干旱，直接写出发生严重干旱时 x 的范围． 27．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，以 BC 为直径的⊙O 交斜边 AB 于点 M，若 H 是 AC 的中点，连接 MH． （1）求证：MH 为⊙O 的切线． （2）若 MH= ，tan∠ABC= ，求⊙O 的半径． （3）在（2）的条件下分别过点 A、B 作⊙O 的切线，两切线交于点 D，AD 与⊙O 相切于 N 点，过 N 点 作 NQ⊥BC，垂足为 E，且交⊙O 于 Q 点，求线段 NQ 的长度． 28．若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线 C1：y1=﹣2x2+4x+2 与 C2：u2=﹣x2+mx+n 为“友好抛物线”． （1）求抛物线 C2 的解析式． （2）点 A 是抛物线 C2 上在第一象限的动点，过 A 作 AQ⊥x 轴，Q 为垂足，求 AQ+OQ 的最大值． （3）设抛物线 C2 的顶点为 C，点 B 的坐标为（﹣1，4），问在 C2 的对称轴上是否存在点 M，使线段 MB 绕点 M 逆时针旋转 90°得到线段 MB′，且点 B′恰好落在抛物线 C2 上？若存在求出点 M 的坐标，不存在说 明理由． 2016 年黑龙江省大庆市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．地球上的海洋面积为 361 000 000 平方千米，数字 361 000 000 用科学记数法表示为（ ） A．36.1×107B．0.361×109C．3.61×108D．3.61×107 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变 成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于 10 时，n 是正数； 当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数． 【解答】解：361 000 000 用科学记数法表示为 3.61×108， 故选：C． 【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为 整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 2．已知实数 a、b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ） A．a•b＞0 B．a+b＜0 C．|a|＜|b| D．a﹣b＞0 【考点】实数与数轴． 【分析】根据点 a、b 在数轴上的位置可判断出 a、b 的取值范围，然后即可作出判断． 【解答】解：根据点 a、b 在数轴上的位置可知 1＜a＜2，﹣1＜b＜0， ∴ab＜0，a+b＞0，|a|＞|b|，a﹣b＞0，． 故选：D． 【点评】本题主要考查的是数轴的认识、有理数的加法、减法、乘法法则的应用，掌握法则是解题的关键． 3．下列说法正确的是（ ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．矩形的对角线互相垂直 C．一组对边平行的四边形是平行四边形 D．四边相等的四边形是菱形 【考点】矩形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定． 【分析】直接利用菱形的判定定理、矩形的性质与平行四边形的判定定理求解即可求得答案． 【解答】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；故本选项错误； B、矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直；故本选项错误； C、两组组对边分别平行的四边形是平行四边形；故本选项错误； D、四边相等的四边形是菱形；故本选项正确． 故选． 【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定以及平行四边形的判定．注意掌握各特殊平行四边形对角线 的性质是解此题的关键． 4．当 0＜x＜1 时，x2、x、 的大小顺序是（ ） A．x2 B． ＜x＜x2C． ＜x D．x＜x2＜ 【考点】不等式的性质． 【分析】先在不等式 0＜x＜1 的两边都乘上 x，再在不等式 0＜x＜1 的两边都除以 x，根据所得结果进行判 断即可． 【解答】解：当 0＜x＜1 时， 在不等式 0＜x＜1 的两边都乘上 x，可得 0＜x2＜x， 在不等式 0＜x＜1 的两边都除以 x，可得 0＜1＜ ， 又∵x＜1， ∴x2、x、 的大小顺序是：x2＜x＜ ． 故选（A） 【点评】本题主要考查了不等式，解决问题的根据是掌握不等式的基本性质．不等式的两边同时乘以（或 除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若 a＞b，且 m＞0，那么 am＞bm 或 ＞ ． 5．一个盒子装有除颜色外其它均相同的 2 个红球和 3 个白球，现从中任取 2 个球，则取到的是一个红球、 一个白球的概率为（ ） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法． 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取到的是一个红球、一个白球 的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：画树状图得： ∵共有 20 种等可能的结果，取到的是一个红球、一个白球的有 12 种情况， ∴取到的是一个红球、一个白球的概率为： = ． 故选 C． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况 数与总情况数之比． 6．由若干边长相等的小正方体构成的几何体的主视图、左视图、俯视图如图所示，则构成这个几何体的小 正方体有（ ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【考点】由三视图判断几何体． 【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行三列，故可得出该几何体的 小正方体的个数． 【解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层应该有 2+1+1+1=5 个小正方体， 第二层应该有 2 个小正方体， 因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是 5+2=7 个． 故选 C 【点评】本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考 查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 7．下列图形中是中心对称图形的有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】中心对称图形． 【分析】根据中心对称图形的概念求解． 【解答】解：第 2 个、第4 个图形是中心对称图形，共 2 个． 故选 B． 【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分 重合． 8．如图，从①∠1=∠2 ②∠C=∠D ③∠A=∠F 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组 成的命题中，正确命题的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】命题与定理． 【分析】直接利用平行线的判定与性质分别判断得出各结论的正确性． 【解答】解：如图所示：当①∠1=∠2， 则∠3=∠2， 故 DB∥EC， 则∠D=∠4， 当②∠C=∠D， 故∠4=∠C， 则 DF∥AC， 可得：∠A=∠F， 即 ⇒ ③； 当①∠1=∠2， 则∠3=∠2， 故 DB∥EC， 则∠D=∠4， 当③∠A=∠F， 故 DF∥AC， 则∠4=∠C， 故可得：∠C=∠D， 即 ⇒ ②； 当③∠A=∠F， 故 DF∥AC， 则∠4=∠C， 当②∠C=∠D， 则∠4=∠D， 故 DB∥EC， 则∠2=∠3， 可得：∠1=∠2， 即 ⇒ ①， 故正确的有 3 个． 故选：D． 【点评】此题主要考查了命题与定理，正确掌握平行线的判定与性质是解题关键． 9．已知 A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是反比例函数 y= 上的三点，若 x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3， 则下列关系式不正确的是（ ） A．x1•x2＜0 B．x1•x3＜0 C．x2•x3＜0 D．x1+x2＜0 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】根据反比例函数 y= 和 x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，可得点 A，B 在第三象限，点 C 在第一象限，得 出 x1＜x2＜0＜x3，再选择即可． 【解答】解：∵反比例函数 y= 中，2＞0， ∴在每一象限内，y 随 x 的增大而减小， ∵x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3， ∴点 A，B 在第三象限，点 C 在第一象限， ∴x1＜x2＜0＜x3， ∴x1•x2＜0， 故选 A． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性，本题 是逆用，难度有点大． 10．若 x0 是方程 ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设 M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，则 M 与 N 的大小关系正确的 为（ ） A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不确定 【考点】一元二次方程的解． 【分析】把 x0 代入方程 ax2+2x+c=0 得 ax02+2x0=﹣c，作差法比较可得． 【解答】解：∵x0 是方程 ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根， ∴ax02+2x0+c=0，即 ax02+2x0=﹣c， 则 N﹣M=（ax0+1）2﹣（1﹣ac） =a2x02+2ax0+1﹣1+ac =a（ax02+2x0）+ac =﹣ac+ac =0， ∴M=N， 故选：B． 【点评】本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值 叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．函数 y= 的自变量 x 的取值范围是 x≥ ． 【考点】函数自变量的取值范围． 【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，2x﹣1≥0， 解得 x≥ ． 故答案为：x≥ ． 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12．若 am=2，an=8，则 am+n= 16 ． 【考点】同底数幂的乘法． 【专题】计算题；实数． 【分析】原式利用同底数幂的乘法法则变形，将已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：∵am=2，an=8， ∴am+n=am•an=16， 故答案为：16 【点评】此题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握乘法法则是解本题的关键． 13．甲乙两人进行飞镖比赛，每人各投 5 次，所得平均环数相等，其中甲所得环数的方差为 15，乙所得环 数如下：0，1，5，9，10，那么成绩较稳定的是 甲 （填“甲”或“乙”）． 【考点】方差． 【分析】计算出乙的平均数和方差后，与甲的方差比较后，可以得出判断． 【解答】解：乙组数据的平均数=（0+1+5+9+10）÷5=5， 乙组数据的方差 S2= [（0﹣5）2+（1﹣5）2+（9﹣5）2+（10﹣5）2 ] =16.4， ∵S2 甲＜S2 乙， ∴成绩较为稳定的是甲． 故答案为：甲． 【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设 n 个数据，x1，x2，…xn 的平均数为 ，则方差 S2= [（x1 ﹣ ）2+（x2﹣ ）2+…+（xn﹣ ）2 ] ，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 14．如图，在△ABC 中，∠A=40°，D 点是∠ABC 和∠ACB 角平分线的交点，则∠BDC= 110° ． 【考点】三角形内角和定理． 【分析】由 D 点是∠ABC 和∠ACB 角平分线的交点可推出∠DBC+∠DCB=70，再利用三角形内角和定理 即可求出∠BDC 的度数． 【解答】解：∵D 点是∠ABC 和∠ACB 角平分线的交点， ∴有∠CBD=∠ABD= ∠ABC，∠BCD=∠ACD= ∠ACB， ∴∠ABC+∠ACB=180﹣40=140， ∴∠OBC+∠OCB=70， ∴∠BOC=180﹣70=110°， 故答案为：110°． 【点评】此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌 握，难度不大，是一道基础题，熟记三角形内角和定理是解决问题的关键． 15．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的 中点得到图③，按这样的方法进行下去，第 n 个图形中共有三角形的个数为 4n﹣3 ． 【考点】三角形中位线定理；规律型：图形的变化类． 【分析】结合题意，总结可知，每个图中三角形个数比图形的编号的 4 倍少 3 个三角形，即可得出结果． 【解答】解：第①是 1 个三角形，1=4×1﹣3； 第②是 5 个三角形，5=4×2﹣3； 第③是 9 个三角形，9=4×3﹣3； ∴第 n 个图形中共有三角形的个数是 4n﹣3； 故答案为：4n﹣3． 【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系． 16．一艘轮船在小岛 A 的北偏东 60°方向距小岛 80 海里的 B 处，沿正西方向航行 3 小时后到达小岛的北偏 西 45°的 C 处，则该船行驶的速度为 海里/小时． 【考点】解直角三角形的应用-方向角问题． 【分析】设该船行驶的速度为 x 海里/时，由已知可得 BC=3x，AQ⊥BC，∠BAQ=60°，∠CAQ=45°，AB=80 海里，在直角三角形 ABQ 中求出 AQ、BQ，再在直角三角形 AQC 中求出 CQ，得出 BC=40+40 =3x，解 方程即可． 【解答】解：如图所示： 设该船行驶的速度为 x 海里/时， 3 小时后到达小岛的北偏西 45°的 C 处， 由题意得：AB=80 海里，BC=3x 海里， 在直角三角形 ABQ 中，∠BAQ=60°， ∴∠B=90°﹣60°=30°， ∴AQ= AB=40，BQ= AQ=40 ， 在直角三角形 AQC 中，∠CAQ=45°， ∴CQ=AQ=40， ∴BC=40+40 =3x， 解得：x= ． 即该船行驶的速度为 海里/时； 故答案为： ． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形的性质、含 30°角的直角三角形 的性质等知识；通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键． 17．如图，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=10 ，一圆弧过点 B 和点 C，且与 AD 相切，则图中阴影部分 面积为 75 ﹣ ． 【考点】扇形面积的计算；矩形的性质；切线的性质． 【分析】设圆的半径为 x，根据勾股定理求出 x，根据扇形的面积公式、阴影部分面积为：矩形 ABCD 的面 积﹣（扇形 BOCE 的面积﹣△BOC 的面积）进行计算即可． 【解答】解：设圆弧的圆心为 O，与 AD 切于 E， 连接 OE 交 BC 于 F，连接 OB、OC， 设圆的半径为 x，则 OF=x﹣5， 由勾股定理得，OB2=OF2+BF2， 即 x2=（x﹣5）2+（5 ）2， 解得，x=5， 24．如图，在菱形 ABCD 中，G 是 BD 上一点，连接 CG 并延长交 BA 的延长线于点 F，交 AD 于点 E． （1）求证：AG=CG． （2）求证：AG2=GE•GF． 【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质． 【专题】证明题． 【分析】根据菱形的性质得到 AB∥CD，AD=CD，∠ADB=∠CDB，推出△ADG≌△CDG，根据全等三角 形的性质即可得到结论； （2）由全等三角形的性质得到∠EAG=∠DCG，等量代换得到∠EAG=∠F，求得△AEG∽△FGA，即可得 到结论． 【解答】解：（1）∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB∥CD，AD=CD，∠ADB=∠CDB， ∴∠F∠FCD， 在△ADG 与△CDG 中， ， ∴△ADG≌△CDG， ∴∠EAG=∠DCG， ∴AG=CG； （2）∵△ADG≌△CDG， ∴∠EAG=∠F， ∵∠AGE=∠AGE， ∴△AEG∽△FGA， ∴ ， ∴AG2=GE•GF． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各定理 是解题的关键． 25．如图，P1、P2 是反比例函数 y= （k＞0）在第一象限图象上的两点，点 A1 的坐标为（4，0）．若△P1OA1 与△P2A1A2 均为等腰直角三角形，其中点 P1、P2 为直角顶点． （1）求反比例函数的解析式． （2）①求 P2 的坐标． ②根据图象直接写出在第一象限内当 x 满足什么条件时，经过点 P1、P2 的一次函数的函数值大于反比例函 数 y= 的函数值． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；等腰直角三角形． 【分析】（1）先根据点 A1 的坐标为（4 ，0），△P1OA1 为等腰直角三角形，求得 P1 的坐标，再代入反比 例函数求解；（2）先根据△P2A1A2 为等腰直角三角形，将 P2 的坐标设为（4+a，a），并代入反比例函数 求得 a 的值，得到 P2 的坐标；再根据 P1 的横坐标和 P2 的横坐标，判断 x 的取值范围． 【解答】解：（1）过点 P1 作 P1B⊥x 轴，垂足为 B ∵点 A1 的坐标为（4，0），△P1OA1 为等腰直角三角形 ∴OB=2，P1B= OA1=2 ∴P1 的坐标为（2，2） 将 P1 的坐标代入反比例函数 y= （k＞0），得 k=2×2=4 ∴反比例函数的解析式为 （2）①过点 P2 作 P2C⊥x 轴，垂足为 C ∵△P2A1A2 为等腰直角三角形 ∴P2C=A1C 设 P2C=A1C=a，则 P2 的坐标为（4+a，a） 将 P2 的坐标代入反比例函数的解析式为 ，得 a= ，解得 a1= ，a2= （舍去） ∴P2 的坐标为（ ， ） ②在第一象限内，当 2＜x＜2+ 时，一次函数的函数值大于反比例函数的值． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决问题的关键是根据等腰直角三角形的性 质求得点 P1 和 P2 的坐标．等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具备等腰三角形和直角三角形的所有性质． 26．由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少，已知原有蓄水量 y1（万 m3）与干旱 持续时间 x（天）的关系如图中线段 l1 所示，针对这种干旱情况，从第 20 天开始向水库注水，注水量 y2（万 m3）与时间 x（天）的关系如图中线段 l2 所示（不考虑其它因素）． （1）求原有蓄水量 y1（万 m3）与时间 x（天）的函数关系式，并求当 x=20 时的水库总蓄水量． （2）求当 0≤x≤60 时，水库的总蓄水量 y（万 m3）与时间 x（天）的函数关系式（注明 x 的范围），若总蓄 水量不多于 900 万 m3 为严重干旱，直接写出发生严重干旱时 x 的范围． 【考点】一次函数的应用． 【分析】（1）根据两点的坐标求 y1（万 m3）与时间 x（天）的函数关系式，并把 x=20 代入计算； （2）分两种情况：①当 0≤x≤20 时，y=y1，②当 20＜x≤60 时，y=y1+y2；并计算分段函数中 y≤900 时对应 的 x 的取值． 【解答】解：（1）设 y1=kx+b， 把（0，1200）和（60，0）代入到 y1=kx+b 得： 解得 ， ∴y1=﹣20x+1200 当 x=20 时，y1=﹣20×20+1200=800， （2）设 y2=kx+b， 把（20，0）和（60，1000）代入到 y2=kx+b 中得： 解得 ， ∴y2=25x﹣500， 当 0≤x≤20 时，y=﹣20x+1200， 当 20＜x≤60 时，y=y1+y2=﹣20x+1200+25x﹣500=5x+700， y≤900，则 5x+700≤900， x≤40， 当 y1=900 时，900=﹣20x+1200， x=15， ∴发生严重干旱时 x 的范围为：15≤x≤40． 【点评】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握利用待定系数法求一次函数的解析式：设直线解析式为 y=kx+b，将直线上两点的坐标代入列二元一次方程组，求解；注意分段函数的实际意义，会观察图象． 27．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，以 BC 为直径的⊙O 交斜边 AB 于点 M，若 H 是 AC 的中点，连接 MH． （1）求证：MH 为⊙O 的切线． （2）若 MH= ，tan∠ABC= ，求⊙O 的半径． （3）在（2）的条件下分别过点 A、B 作⊙O 的切线，两切线交于点 D，AD 与⊙O 相切于 N 点，过 N 点 作 NQ⊥BC，垂足为 E，且交⊙O 于 Q 点，求线段 NQ 的长度． 【考点】圆的综合题． 【分析】（1）连接 OH、OM，易证 OH 是△ABC 的中位线，利用中位线的性质可证明△COH≌△MOH， 所以∠HCO=∠HMO=90°，从而可知 MH 是⊙O 的切线； （2）由切线长定理可知：MH=HC，再由点 M 是 AC 的中点可知 AC=3，由 tan∠ABC= ，所以 BC=4，从 而可知⊙O 的半径为 2； （3）连接 CN，AO，CN 与 AO 相交于 I，由 AC、AN 是⊙O 的切线可知 AO⊥CN，利用等面积可求出可 求得 CI 的长度，设 CE 为 x，然后利用勾股定理可求得 CE 的长度，利用垂径定理即可求得 NQ． 【解答】解：（1）连接 OH、OM， ∵H 是 AC 的中点，O 是 BC 的中点， ∴OH 是△ABC 的中位线， ∴OH∥AB， ∴∠COH=∠ABC，∠MOH=∠OMB， 又∵OB=OM， ∴∠OMB=∠MBO， ∴∠COH=∠MOH， 在△COH 与△MOH 中， ， ∴△COH≌△MOH（SAS）， ∴∠HCO=∠HMO=90°， ∴MH 是⊙O 的切线； （2）∵MH、AC 是⊙O 的切线， ∴HC=MH= ， ∴AC=2HC=3， ∵tan∠ABC= ， ∴ = ， ∴BC=4， ∴⊙O 的半径为 2； （3）连接 OA、CN、ON，OA 与 CN 相交于点 I， ∵AC 与 AN 都是⊙O 的切线， ∴AC=AN，AO 平分∠CAD， ∴AO⊥CN， ∵AC=3，OC=2， ∴由勾股定理可求得：AO= ， ∵ AC•OC= AO•CI， ∴CI= ， ∴由垂径定理可求得：CN= ， 设 OE=x， 由勾股定理可得：CN2﹣CE2=ON2﹣OE2， ∴ ﹣（2+x）2=4﹣x2， ∴x= ， ∴CE= ， 由勾股定理可求得：EN= ， ∴由垂径定理可知：NQ=2EN= ． 【点评】本题考查圆的综合问题，涉及垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，切线的判等知识 内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． 28．若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线 C1：y1=﹣2x2+4x+2 与 C2：u2=﹣x2+mx+n 为“友好抛物线”．xkb1 （1）求抛物线 C2 的解析式． （2）点 A 是抛物线 C2 上在第一象限的动点，过 A 作 AQ⊥x 轴，Q 为垂足，求 AQ+OQ 的最大值． （3）设抛物线 C2 的顶点为 C，点 B 的坐标为（﹣1，4），问在 C2 的对称轴上是否存在点 M，使线段 MB 绕点 M 逆时针旋转 90°得到线段 MB′，且点 B′恰好落在抛物线 C2 上？若存在求出点 M 的坐标，不存在说 明理由． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）先求得 y1 顶点坐标，然后依据两个抛物线的顶点坐标相同可求得 m、n 的值； （2）设 A（a，﹣a2+2a+3）．则 OQ=x，AQ=﹣a2+2a+3，然后得到 OQ+AQ 与 a 的函数关系式，最后依据 配方法可求得 OQ+AQ 的最值； （3）连接 BC，过点 B′作 B′D⊥CM，垂足为 D．接下来证明△BCM≌△MDB′，由全等三角形的性质得到 BC=MD，CM=B′D，设点 M 的坐标为（1，a）．则用含 a 的式子可表示出点 B′的坐标，将点 B′的坐标代入 抛物线的解析式可求得 a 的值，从而得到点 M 的坐标． 【解答】解：（1）∵y1=﹣2x2+4x+2=﹣﹣2（x﹣1）2+4， ∴抛物线 C1 的顶点坐标为（1，4）． ∵抛物线 C1：与 C2 顶点相同， ∴ =1，﹣1+m+n=4． 解得：m=2，n=3． ∴抛物线 C2 的解析式为 u2=﹣x2+2x+3． （2）如图 1 所示： 设点 A 的坐标为（a，﹣a2+2a+3）． ∵AQ=﹣a2+2a+3，OQ=a， ∴AQ+OQ=﹣a2+2a+3+a=﹣a2+3a+3=﹣（a﹣ ）2+ ． ∴当 a= 时，AQ+OQ 有最大值，最大值为 ． （3）如图 2 所示；连接 BC，过点 B′作 B′D⊥CM，垂足为 D． ∵B（﹣1，4），C（1，4），抛物线的对称轴为 x=1， ∴BC⊥CM，BC=2． ∵∠BMB′=90°， ∴∠BMC+∠B′MD=90°． ∵B′D⊥MC， ∴∠MB′D+∠B′MD=90°． ∴∠MB′D=∠BMC． 在△BCM 和△MDB′中， ， ∴△BCM≌△MDB′． ∴BC=MD，CM=B′D． 设点 M 的坐标为（1，a）．则 B′D=CM=4﹣a，MD=CB=2． ∴点 B′的坐标为（a﹣3，a﹣2）． ∴﹣（a﹣3）2+2（a﹣3）+3=a﹣2． 整理得：a2﹣7a﹣10=0． 解得 a=2，或 a=5． 当 a=2 时，M 的坐标为（1，2）， 当 a=5 时，M 的坐标为（1，5）． 综上所述当点 M 的坐标为（1，2）或（1，5）时，B′恰好落在抛物线 C2 上． 【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的顶点坐标公式、二次函 数的图象和性质、全等三角形的性质和判定、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，用含 a 的式子表 示点 B′的坐标是解题的关键．