2012年益阳市中考数学试题及答案

益阳市 2012 年普通初中毕业学业考试试卷 数 学 注意事项：1. 本学科试卷分试题卷和答题卡两部分； 2. 请将姓名、准考证号等相关信息按要求填写在答题卡上； 3. 请按答题卡上的注意事项在答题卡上作答，答在试题卷上无效； 4. 本学科为闭卷考试，考试时量为 90分钟，卷面满分为 120分； 5. 考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回。 试 题 卷 一、选择题（本大题共 8小题，每小题 4分，共 32分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1． 2 的绝对值等于 A． 2 B． 2 C． 1 2 D． 1 2  2．下列计算正确的是 A．2a+3b=5ab B． 2 2( 2) 4  x x C． 3 2 6( ) ab ab D． 0( 1) 1  3．下列图案中是．中心对称图形但不是．．轴对称图形的是 A． B． C． D． 4．已知一组数据：12，5，9，5，14，下列说法不正确．．．的是 A．平均数是 9 B．中位数是 9 C．众数是 5 D．极差是 5 5．下列命题是假命题．．．的是 A．中心投影下，物高与影长成正比 B．平移不改变图形的形状和大小 C．三角形的中位线平行于第三边 D．圆的切线垂直于过切点的半径 6．如图，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集 A． 5 3 x x      B． 5 3 x x      C． 5 3 x x     D． 5 3 x x     7．如图，点 A是直线 l外一点，在 l上取两点 B、C，分别以 A、C为圆心，BC、AB 长为半径画弧，两弧交于点 D，分别连结 AB、AD、CD，则四边形 ABCD一定是 A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 8．在一个标准大气压下，能反映水在均匀加热过程中，水的温度（T）随加热时间（t） 变化的函数图象大致是 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 5小题，每小题 4分，共 20分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线 上） 9．今年益阳市初中毕业生约为 33000人，将这个数据用科学记数法可记为 ． 10．写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式： ． 11．如图，点 A、B、C在圆 O上，∠A=60°，则∠BOC = 度． 12．有长度分别为 2cm，3cm，4cm，7cm的四条线段，任取其中三条能 组成三角形的概率是 ． 13．反比例函数 ky = x 的图象与一次函数 2 1y = x+ 的图象的一个交点是 (1， k )，则反比例函数的解析式是 ． 三、解答题（本大题共 2小题，每小题 6分，共 12分） 14．计算代数式 的值，其中 1a  ， 2b  ， 3c  ． 15．如图，已知 AE∥BC，AE平分∠DAC. 求证：AB=AC． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16．某市每年都要举办中小学三独比赛（包 括独唱、独舞、独奏三个类别），右图是 该市 2012年参加三独比赛的不完整的 参赛人数统计图． （1）该市参加三独比赛的总人数是 人，图中独唱所在扇形的圆心角的 度数是 度，并把条形统计图补充完整； （2）从这次参赛选手中随机抽取 20人调查，其中有 9人获奖，请你估算今年全市 约有多少人获奖？ 17．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所 学的知识检测车速，如图，观测点设在 A处，离益阳大道的距离（AC）为 30米．这 时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从 B处行驶到 C处所用的时间为 8 秒，∠BAC=75°． （1）求 B、C两点的距离； ac bc a b a b    第15题图 30% （2）请判断此车是否超过了益阳大道 60千米／小时的限制速度？ （计算时距离精确到 1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588， tan75°≈3.732， 3 1.732 ，60千米／小时≈16.7米／秒） 18．为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进 A、B两种树苗共 17 棵，已知 A种树苗每棵 80元，B种树苗每棵 60元． （1）若购进 A、B两种树苗刚好用去 1220元，问购进 A、B两种树苗各多少棵？ （2）若购买 B种树苗的数量少于 A种树苗的数量，请你给出一种费用最省．．．．的方案， 并求出该方案所需费用． 五、解答题（本大题共 2小题，每小题 10分，共 20分） 19．观察图形，解答问题： （1）按下表已填写的形式填写表中的空格： 图① 图② 图③ 三个角上三个数的积 1×(－1)×2=－2 (－3)×(－4)×(－5)=－60 三个角上三个数的和 1＋(－1)＋2=2 (－3)＋(－4)＋(－5)=－12 积与和的商 －2÷2=－1, （2）请用你发现的规律求出图④中的数 y和图⑤中的数 x． 20．已知：如图，抛物线 2( 1)y a x c   与 x轴交于点 A（1 3 ，0）和点 B，将抛物 线沿 x轴向上翻折，顶点 P落在点 P＇（1，3）处． （1）求原抛物线的解析式； （2）学校举行班徽设计比赛，九年级 5班的小明在解答此题时 顿生灵感：过点 P＇作 x轴的平行线交抛物线于 C、D两 点，将翻折后得到的新图象在直线 CD以上的部分去掉， 设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W， “W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊 奇的发现这个“W”图案的高与宽(CD)的比非常接近黄 金分割比 5 1 2  （约等于 0.618）．请你计算这个“W”图 案的高与宽的比到底是多少？（参考数据： 5 2.236 ， 6 2.449 ，结果可 保留根号） y x 六、解答题（本题满分 12分） 21．已知：如图 1，在面积为 3的正方形 ABCD中，E、F分别是 BC和 CD边上的两 点，AE⊥BF于点 G，且 BE=1． （1）求证：△ABE≌△BCF； （2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积； （3）现将△ABE绕点 A逆时针方向旋转到△AB＇E＇（如图 2），使点 E落在 CD 边 上的点 E＇处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变 化？请说明理由． A BA CD B G F D 'B CF 'E E 图2图1 益阳市 2012 年初中毕业学业考试 数学参考答案及评分标准 一．选择题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C D A B A B 二．填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 9. 4103.3  ； 10. 答案不唯一，如 12 x ； 11.120； 12. 4 1 ； 13. x y 3  三．解答题（本大题共 2 小题，每小题 6 分，共 12 分） 14．解： ba bc ba ac    = ba bcac   = ba cba   )( = c …………………………………4 分 当 1a 、 2b 、 3c 时，原式=3 …………………………………6 分 (直接代入计算正确给满分) 15．证明：∵AE平分∠DAC，…………………………………………………………1 分 ∴∠1=∠2. ……………………………………………………………2 分 ∵AE∥BC， ∴∠1=∠B，∠2=∠C. ……… …………………………………………4 分 ∴∠B=∠C， …………… …………………………………………5 分 ∴AB=AC． ………… ……………………………………………………6 分 四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 16．解：⑴ 400 , 180 ………………………………………2 分 ………………………………………4分 ⑵估算今年全市获奖人数约有 180 20 9400  (人) ………………8 分 17．解：⑴法一：在 Rt△ABC中 ，∠ACB=90°，∠BAC=75°，AC =30， ∴BC=AC·tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112(米)．…………………5 分 法二：在 BC 上取一点 D，连结 AD，使∠DAB=∠B，则 AD=BD， ∵∠BAC=75°，∴∠DAB=∠B=15°，∠CDA=30°， 在 Rt△ACD中 ，∠ACD=90°，AC =30，∠CDA=30°， ∴ AD=60，CD= 330 ，BC=60+ 330 ≈112(米) …………………5 分 ⑵ ∵此车速度=112÷8=14(米／秒) 2 18 ……………………………………………6分 购进 A、B两种树苗所需费用为 80x+60(17- x)=20 x +1020 则费用最省需 x取最小整数 9，此时 17- x =8 这时所需费用为 20×9+1020=1200(元). 答：费用最省方案为：购进 A种树苗 9 棵，B种树苗 8 棵. 这时所需费用为 1200 元. ………………… …8 分 五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分） 19．解: ⑴图②：(－60)÷(－12)=5 ……………………………………………1分 图③：(－2)×(―5)×17=170，………………………………………2分 (－2)＋(―5)＋17=17， ……………………………………………3分 170÷10=17 . ……………………………………………4 分 ⑵图④：5×(―8)×(―9)=360……………………………………………5分 5＋(―8)＋(―9)=－1……………………………………………6分 y=360÷(－12)=－30.……………………………………………7分 图⑤： 3 31 31    x x ， ……………………………………………9 分 解得 2x ……………………………………………10 分 20．解:⑴∵P与 P′(1，3) 关于 x 轴对称， ∴P点坐标为(1，－3) ； …………………………………………2 分 ∵抛物线 cxay  2)1( 过点 A（ 31 ，0），顶点是 P(1，－3) ， ∴ 2 2 (1 3 1) 0 (1 1) 3 a c a c           ；……………………………… ………………3 分 解得 1 3 a c     ；………………………………………………………………4分 则抛物线的解析式为 3)1( 2  xy ， …………………………………5 分 即 222  xxy . ⑵∵CD 平行 x轴，P′(1，3) 在 CD 上， ∴C、D 两点纵坐标为 3； ………………………………………6分 由 33)1( 2 x 得： 611 x ， 612 x ，……………………7分 ∴C、D 两点的坐标分别为( 61 ，3) ，( 61 ，3) ∴CD= 62 …………………………………………………8 分 ∴“W”图案的高与宽(CD)的比= 3 6 42 6  （或约等于 0.6124）………10 分 六、解答题（本题满分 12 分） 21．⑴证明：∵正方形 ABCD 中，∠ABE=∠BCF=90 0 ，AB=BC， ∴∠ABF+∠CBF=90 0 ， ∵AE⊥BF， ∴∠ABF+∠BAE=90 0 ， ∴∠BAE=∠CBF， ∴△ABE≌△BCF. ………………………………………………………………… 4分 ⑵解：∵正方形面积为 3，∴AB= 3， ……………………………………………5分 在△BGE 与△ABE 中， ∵∠GBE=∠BAE, ∠EGB=∠EBA=90 0 ∴△BGE∽△ABE ………………………………………………7分 ∴ 2( )BGE ABE S BE S AE    ，又 BE=1，∴AE 2 =AB 2 +BE 2 =3+1=4 ∴ 2 2BGE ABE BES S AE   = 1 3 4 2  = 3 8 . …………………………………8分 (用其他方法解答仿上步骤给分). ⑶解：没有变化 …………………………………………………………………………9分 ∵AB= 3，BE=1，∴tan∠BAE= 1 3 ,∠BAE=30°, …………………………10 分 ∵AB′=AD，∠AB′E′=∠ADE＇=90°,AE′公共， ∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′, ∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°, ∴AB′与 AE 在同一直线上，即 BF 与 AB′的交点是 G， 设 BF 与 AE′的交点为 H, 则∠BAG=∠HAG=30°,而∠AGB=∠AGH=90°,AG 公共， ∴△BAG≌△HAG,……………………………………………11 分 ∴ ' 'GHE B S 四边形 = ' ' AGHAB E S S  = ABE ABGS S  = BGES . ∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化. ……………………12分 A CD B G F E 图1