2012年珠海市中考数学试卷答案解析

2012 年珠海市中考数学试卷解析 一、选择题（本大题 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）在每小题列出的四个选项中，只有一 个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑. 1. 2 的倒数是（ ） A．2 B．﹣2 C． D．﹣ 解析：：∵2× =1， ∴2 的倒数是 ． 故选 C． 2. 计算﹣2a2+a2 的结果为（ ） A．﹣3a B．﹣a C．﹣3a2 D．﹣a2 解析：﹣2a2+a2， =﹣a2， 故选 D． 3. 某同学对甲、乙、丙、丁四个市场二月份每天的白菜价格进行调查，计算后发现这个月 四个市场的价格平均值相同、方差分别为 ．二 月份白菜价格最稳定的市场是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解析：因为甲、乙、丙、丁四个市场的方差分别为 ， 乙的方差最小， 所以二月份白菜价格最稳定的市场是乙． 故选 B． 4. 如果一个扇形的半径是 1，弧长是 ，那么此扇形的圆心角的大小为（ ） A. 30° B. 45° C ．60° D．90° 解析：设圆心角是 n 度，根据题意得 = ， 解得：n=60． 故选 C． 二、填空题（本大题 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）请将下列各题的正确答案填写在答题 卡相应的位置上. 5．计算 ﹣ = ． 解析： ﹣ ， = +（﹣ ）， =﹣（ ﹣ ）， =﹣ ． 故答案为：﹣ ． 6. 使 有意义的 x 的取值范围是 ． 解析：根据二次根式的意义，得 x﹣2≥0，解得 x≥2． 7. 如图，矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x 轴、y 轴正半轴上，B 点坐标为（3，2），OB 与 AC 交于点 P，D、E、F、G 分别是线段 OP、AP、BP、CP 的中点，则四边形 DEFG 的 周长为 5 ． 解析：∵四边形 OABC 是矩形， ∴OA=BC，AB=OC； BA⊥OA，BC⊥OC． ∵B 点坐标为（3，2）， ∴OA=3，AB=2． ∵D、E、F、G 分别是线段 OP、AP、BP、CP 的中点， ∴DE=GF=1.5； EF=DG=1． ∴四边形 DEFG 的周长为 （1.5+1）×2=5． 故答案为 5． 8.不等式组 的解集是 ． 解析： ， 解不等式①得，x＞﹣1， 解不等式②得，x≤2， 所以不等式组的解集是﹣1＜x≤2． 故答案为：﹣1＜x≤2． 9.如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 E，如果 AB=26，CD=24，那么 sin∠OCE= ． 解析：如图： ∵AB 为⊙0 直径，AB=26， ∴OC= ×26=13， 又∵CD⊥AB， ∴CE= CD=12， 在 Rt△OCE 中，OE= = =5， ∴sin∠OCE= = ． 故答案为 ． 三、解答题（一）（本大题 5 小题，每小题 6 分，共 30 分） 10．计算： ． 解：： ﹣|﹣1|+（2012﹣π）0﹣（ ）﹣1， =2﹣1+1﹣2， =0． 11. 先化简，再求值： ，其中 ． 解：原式=[ ﹣ ]× = × = ， 当 x= 时， 原式= = ． 12. 如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 是高，AM 是△ABC 外角∠CAE 的平分线． （1）用尺规作图方法，作∠ADC 的平分线 DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）设 DN 与 AM 交于点 F，判断△ADF 的形状．（只写结果） 解：（1）如图所示： ． （2）△ADF 的形状是等腰直角三角形． 13 已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m=0． （1）当 m=3 时，判断方程的根的情况； （2）当 m=﹣3 时，求方程的根． 解：（1）∵当 m=3 时， △=b2﹣4ac=22﹣4×3=﹣8＜0， ∴原方程无实数根； （2）当 m=﹣3 时， 原方程变为 x2+2x﹣3=0， ∵（x﹣1）（x+3）=0， ∴x﹣1=0，x+3=0， ∴x1=1，x2=﹣3． 14. 某商店第一次用 600 元购进 2B 铅笔若干支，第二次又用 600 元购进该款铅笔，但这次 每支的进价是第一次进价的 倍，购进数量比第一次少了 30 支． （1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？ （2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于 420 元，问每支售价 至少是多少元？ 解：（1）设第一次每支铅笔进价为 x 元， 根据题意列方程得， ﹣ =30， 解得，x=4， 检验：当 x=4 时，分母不为 0，故 x=4 是原分式方程的解． 答：第一次每只铅笔的进价为 4 元． （2）设售价为 y 元，根据题意列不等式为： ×（y﹣4）+ ×（y﹣5）≥420， 解得，y≥6． 答：每支售价至少是 6 元． 四、解答题（二）（本大题 4 小题，每小题 7 分，共 28 分） 15．如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干 DO（不计粗细）上有两个木瓜 A、B（不计大小）， 树干垂直于地面，量得 AB=2 米，在水渠的对面与 O 处于同一水平面的 C 处测得木瓜 A 的 仰角为 45°、木瓜 B 的仰角为 30°．求 C 处到树干 DO 的距离 CO．（结果精确到 1 米）（参 考数据： ） 解：设 OC=x， 在 Rt△AOC 中， ∵∠ACO=45°， ∴OA=OC=x， 在 Rt△BOC 中， ∵∠BCO=30°， ∴OB=OC•tan30°= x， ∵AB=OA﹣OB=x﹣ x=2，解得 x=3+ ≈3+1.73=4.73≈5 米， ∴OC=5 米． 答：C 处到树干 DO 的距离 CO 为 5 米． 16. 某学校课程安排中，各班每天下午只安排三节课． （1）初一（1）班星期二下午安排了数学、英语、生物课各一节，通过画树状图求出把数学 课安排在最后一节的概率； （2）星期三下午，初二（1）班安排了数学、物理、政治课各一节，初二（2）班安排了数 学、语文、地理课各一节，此时两班这六节课的每一种课表排法出现的概率是 ．已知这 两个班的数学课都有同一个老师担任，其他课由另外四位老师担任．求这两个班数学课不相 冲突的概率（直接写结果）． 解：（1）如图，共有 6 种情况， 数学科安排在最后一节的概率是 = ； （2）如图，两个班级的课程安排，（1）班的没有一种安排可以与（2）班的所有安排情况相 对应， 所有共有 6×6=36 种情况， 每一种组合都有 6 种情况，其中有 2 种情况数学课冲突，其余 4 种情况不冲突， 所有，不冲突的情况有 4×6=24， 数学课不相冲突的概率为： = ． 17. 如图，把正方形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转 45°得到正方形 A′B′CD′（此时，点 B′ 落在对角线 AC 上，点 A′落在 CD 的延长线上），A′B′交 AD 于点 E，连接 AA′、CE． 求证：（1）△ADA′≌△CDE； （2）直线 CE 是线段 AA′的垂直平分线． 解：证明：（1）∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD=CD，∠ADC=90°， ∴∠A′DE=90°， 根据旋转的方法可得：∠EA′D=45°，， ∴∠A′ED=45°， ∴A′D=DE， 在△AA′D 和△CED 中 ， ∴△AA′D≌△CED（SAS）； （2）∵AC=A′C， ∴点 C 在 AA′的垂直平分线上， ∵AC 是正方形 ABCD 的对角线， ∴∠CAE=45°， ∵AC=A′C，CD=CB′， ∴AB′=A′D， 在△AEB′和△A′ED 中 ， ∴△AEB′≌△A′ED， ∴AE=A′E， ∴点 E 也在 AA′的垂直平分线上， ∴直线 CE 是线段 AA′的垂直平分线． 18．如图，二次函数 y=（x﹣2）2+m 的图象与 y 轴交于点 C，点 B 是点 C 关于该二次函数 图象的对称轴对称的点．已知一次函数 y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点 A（1，0） 及点 B． （1）求二次函数与一次函数的解析式； （2）根据图象，写出满足 kx+b≥（x﹣2）2+m 的 x 的取值范围． 解： （1）将点 A（1，0）代入 y=（x﹣2）2+m 得， （1﹣2）2+m=0， 1+m=0， m=﹣1，则二次函数解析式为 y=（x﹣2）2﹣1． 当 x=0 时，y=4﹣1=3， 故 C 点坐标为（0，3）， 由于 C 和 B 关于对称轴对称，在设 B 点坐标为（x，3）， 令 y=3，有（x﹣2）2﹣1=3， 解得 x=4 或 x=0． 则 B 点坐标为（4，3）． 设一次函数解析式为 y=kx+b， 将 A（1，0）、B（4，3）代入 y=kx+b 得， ， 解得 ，则一次函数解析式为 y=x﹣1； （2）∵A、B 坐标为（1，0），（4，3）， ∴当 kx+b≥（x﹣2）2+m 时，1≤x≤4． 19. 19．（2012•珠海）观察下列等式： 12×231=132×21， 13×341=143×31， 23×352=253×32， 34×473=374×43， 62×286=682×26， … 以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有 相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”． （1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”： ①52× = ×25； ② ×396=693× ． （2）设这类等式左边两位数的十位数字为 a，个位数字为 b，且 2≤a+b≤9，写出表示“数字 对称等式”一般规律的式子（含 a、b），并证明． 解：（1）①∵5+2=7， ∴左边的三位数是 275，右边的三位数是 572， ∴52×275=572×25， ②∵左边的三位数是 396， ∴左边的两位数是 63，右边的两位数是 36， 63×369=693×36； 故答案为：①275，572；②63，36． （2）∵左边两位数的十位数字为 a，个位数字为 b， ∴左边的两位数是 10a+b，三位数是 100b+10（a+b）+a， 右边的两位数是 10b+a，三位数是 100a+10（a+b）+b， ∴一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）， 证明：左边=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a] =（10a+b）（100b+10a+10b+a） =（10a+b）（110b+11a） =11（10a+b）（10b+a） 右边=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a） =（100a+10a+10b+b）（10b+a） =（110a+11b）（10b+a） =11（10a+b）（10b+a）， 左边=右边， 所以“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b） +b]×（10b+a）． 20. 已知，AB 是⊙O 的直径，点 P 在弧 AB 上（不含点 A、B），把△AOP 沿 OP 对折，点 A 的对应点 C 恰好落在⊙O 上． （1）当 P、C 都在 AB 上方时（如图 1），判断 PO 与 BC 的位置关系（只回答结果）； （2）当 P 在 AB 上方而 C 在 AB 下方时（如图 2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论； （3）当 P、C 都在 AB 上方时（如图 3），过 C 点作 CD⊥直线 AP 于 D，且 CD 是⊙O 的切 线，证明：AB=4PD． 解：（1）PO 与 BC 的位置关系是 PO∥BC； （2）（1）中的结论 PO∥BC 成立，理由为： 由折叠可知：△APO≌△CPO， ∴∠APO=∠CPO， 又∵OA=OP， ∴∠A=∠APO， ∴∠A=∠CPO， 又∵∠A 与∠PCB 都为 所对的圆周角， ∴∠A=∠PCB， ∴∠CPO=∠PCB， ∴PO∥BC； （3）∵CD 为圆 O 的切线， ∴OC⊥CD，又 AD⊥CD， ∴OC∥AD， ∴∠APO=∠COP， 由折叠可得：∠AOP=∠COP， ∴∠APO=∠AOP， 又 OA=OP，∴∠A=∠APO， ∴∠A=∠APO=∠AOP， ∴△APO 为等边三角形， ∴∠AOP=60°， 又∵OP∥BC， ∴∠OBC=∠AOP=60°，又 OC=OB， ∴△BC 为等边三角形， ∴∠COB=60°， ∴∠POC=180°﹣（∠AOP+∠COB）=60°，又 OP=OC， ∴△POC 也为等边三角形， ∴∠PCO=60°，PC=OP=OC， 又∵∠OCD=90°， ∴∠PCD=30°， 在 Rt△PCD 中，PD= PC， 又∵PC=OP= AB， ∴PD= AB，即 AB=4PD． 21. 如图，在等腰梯形 ABCD 中，ABDC，AB= ，DC= ，高 CE= ，对角线 AC、 BD 交于 H，平行于线段 BD 的两条直线 MN、RQ 同时从点 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速 平移，分别交等腰梯形 ABCD 的边于 M、N 和 R、Q，分别交对角线 AC 于 F、G；当直线 RQ 到达点 C 时，两直线同时停止移动．记等腰梯形 ABCD 被直线 MN 扫过的图形面积为 S1、被直线 RQ 扫过的图形面积为 S2，若直线 MN 平移的速度为 1 单位/秒，直线 RQ 平移 的速度为 2 单位/秒，设两直线移动的时间为 x 秒． （1）填空：∠AHB= ；AC= ； （2）若 S2=3S1，求 x； （3）设 S2=mS1，求 m 的变化范围． 解：（1）过点 C 作 CK∥BD 交 AB 的延长线于 K， ∵CD∥AB， ∴四边形 DBKC 是平行四边形， ∴BK=CD= ，CK=BD， ∴AK=AB+BK=3 + =4 ， ∵四边形 ABCD 是等腰梯形， ∴BD=AC， ∴AC=CK， ∴BK=EK= AK=2 =CE， ∵CE 是高， ∴∠K=∠KCE=∠ACE=∠CAE=45°， ∴∠ACK=90°， ∴∠AHB=∠ACK=90°， ∴AC=AK•cos45°=4 × =4； 故答案为：90°，4； （2）直线移动有两种情况：0＜x＜ 及 ≤x≤2． ①当 0＜x＜ 时， ∵MN∥BD， ∴△AMN∽△ARQ，△ANF∽△QG， ∴ =4， ∴S2=4S1≠3S1； ②当 ≤x≤2 时， ∵AB∥CD， ∴△ABH∽△CDH， ∴CH：AH=CD：AB=DH：BH=1：3， ∴CH=DH= AC=1，AH═BH=4﹣1=3， ∵CG=4﹣2x，AC⊥BD， ∴S△BCD= ×4×1=2， ∵RQ∥BD， ∴△CRQ∽△CDB， ∴S△CRQ=2×（ ）2=8（2﹣x）2， ∵S 梯形 ABCD= （AB+CD）•CE= ×（3 + ）×2 =8，S△ABD= AB•CE= ×3 ×2 =6， ∵MN∥BD， ∴△AMN∽△ADB， ∴ ， ∴S1= x2，S2=8﹣8（2﹣x）2， ∵S2=3S1， ∴8﹣8（2﹣x）2=3× x2， 解得：x1= ＜ （舍去），x2=2， ∴x 的值为 2； （3）由（2）得： 当 0＜x＜ 时，m=4， 当 ≤x≤2 时， ∵S2=mS1， ∴m= = =﹣ + ﹣12=﹣36（ ﹣ ）2+4， ∴m 是 的二次函数，当 ≤x≤2 时，即当 ≤ ≤ 时，m 随 的增大而增大， ∴当 x= 时，m 最大，最大值为 4， 当 x=2 时，m 最小，最小值为 3， ∴m 的变化范围为：3≤m≤4．