2012年广州中考数学答案解析

2012 年广东省广州市中考数学试卷解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中只 有一项是符合题目要求的） 1．（2012•广州）实数 3的倒数是（ ） A．﹣ B． C．﹣3 D．3 考点：实数的性质。 专题：常规题型。 分析：根据乘积是 1的两个数互为倒数解答． 解答： 解：∵3× =1， ∴3的倒数是 ． 故选 B． 点评：本题考查了实数的性质，熟记倒数的定义是解题的关键． 2．（2012•广州）将二次函数 y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析 式为（ ） A．y=x2﹣1 B．y=x2+1 C．y=（x﹣1）2 D．y=（ x+1）2 考点：二次函数图象与几何变换。 专题：探究型。 分析：直接根据上加下减的原则进行解答即可． 解答：解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数 y=x2的图象向下平移一个单位，则平移 以后的二次函数的解析式为：y=x2﹣1． 故选 A． 点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关 键． 3．（2012•广州）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱 考点：由三视图判断几何体。 分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 解答：解：由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体， 由俯视图为三角形，可得为棱柱体， 所以这个几何体是三棱柱； 故选 D． 点评：本题考查了由三视图来判断几何体，还考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力， 同时也体现了对空间想象能力． 4．（ 2012•广州）下面的计算正确的是（ ） A．6a﹣5a=1 B．a+2a2=3a3 C．﹣（a﹣b）=﹣a+b D．2（a+b）=2a+b 考点：去括号与添括号；合并同类项。 分析：根据合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数 不变；去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来 的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 相反，进行计算，即可选出答案． 解答：解：A、6a﹣5a=a，故此选项错误； B、a与 2a2不是同类项，不能合并，故此选项错误； C、﹣（a﹣b）=﹣a+b，故此选项正确； D、2（a+b）=2a+2b，故此选项错误； 故选：C． 点评：此题主要考查了合并同类项，去括号，关键是注意去括号时注意符号的变化，注意乘 法分配律的应用，不要漏乘． 5．（2012•广州）如图，在等腰梯形 ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交 BC 于点 E，且 EC=3，则梯形 ABCD的周长是（ ） A．26 B．25 C．21 D．20 考点：等腰梯形的性质；平行四边形的判定与性质。 分析：由 BC∥AD，DE∥AB，即可得四边形 ABED是平行四边形，根据平行四边形的对边 相等，即可求得 BE的长，继而求得 BC的长，由等腰梯形 ABCD，可求得 AB的长， 继而求得梯形 ABCD的周长． 解答：解：∵BC∥AD，DE∥AB， ∴四边形 ABED是平行四边形， ∴BE=AD=5， ∵EC=3， ∴BC=BE+EC=8， ∵四边形 ABCD是等腰梯形， ∴AB=DC=4， ∴梯形 ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21． 故选 C． 点评：此题考查了等腰梯形的性质与平行四边形的判定与性质．此题比较简单，注意判定出 四边形 ABED是平行四边形是解此题的关键，同时注意数形结合思想的应用． 6．（2012•广州）已知|a﹣1|+ =0，则 a+b=（ ） A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8 考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值。 专题：常规题型。 分析：根据非负数的性质列式求出 a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 解答：解：根据题意得，a﹣1=0，7+b=0， 解得 a=1，b=﹣7， 所以，a+b=1+（﹣7）=﹣6． 故选 B． 点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为 0时，这几个非负数都为 0． 7．（2012•广州）在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点 C到 AB的距离是（ ） A． B． C． D． 考点：勾股定理；点到直线的距离；三角形的面积。 专题：计算题。 分析：根据题意画出相应的图形，如图所示，在直角三角形 ABC中，由 AC及 BC的长， 利用勾股定理求出 AB的长，然后过 C作 CD垂直于 AB，由直角三角形的面积可以 由两直角边乘积的一半来求，也可以由斜边 AB乘以斜边上的高 CD除以 2来求，两 者相等，将 AC，AB及 BC的长代入求出 CD的长，即为 C到 AB的距离． 解答：解：根据题意画出相应的图形，如图所示： 在 Rt△ABC中，AC=9，BC=12， 根据勾股定理得：AB= =15， 过 C作 CD⊥AB，交 AB于点 D， 又 S△ABC= AC•BC= AB•CD， ∴CD= = = ， 则点 C到 AB的距离是 ． 故选 A 点评：此题考查了勾股定理，点到直线的距离，以及三角形面积的求法，熟练掌握勾股定理 是解本题的关键． 8．（2012•广州）已知 a＞b，若 c是任意实数，则下列不等式中总是成立的是（ ） A．a+ c＜b+c B．a﹣c＞b﹣c C．ac＜bc D．ac＞bc 考点：不等式的性质。 分析：根据不等式的性质，分别将个选项分析求解即可求得答案；注意排除法在解选择题中 的应用． 解答：解：A、∵a＞b，c是任意实数，∴a+c＞b+c，故本选项错误； B、∵a＞b，c是任意实数，∴a﹣c＞b﹣c，故本选项正确； C、当 a＞b，c＜0时，ac＜bc，而此题 c是任意实数，故本选项错误； D、当 a＞b，c＞0时，ac＞bc，而此题 c是任意实数，故本选项错误． 故选 B． 点评：此题考查了不等式的性质．此题比较简单，注意解此题的关键是掌握不等式的性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 9．（2012•广州）在平面中，下列命题为真命题的是（ ） A．四边相等的四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是菱形 C．四个角相 等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；命题与定理。 分析：分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案， 不是真命题的可以举出反例． 解答：解：A、四边相等的四边形不一定是正方形，例如菱形，故此选项错误； B、对角线相等的四边形不是菱形，例如矩形，等腰梯形，故此选项错误； C、四个角相等的四边形是矩形，故此选项正确； D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，如右图所示，故此选项错误． 故选：C． 点评：此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断 命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 10．（ 2012•广州）如图，正比例函数 y1=k1x和反比例函数 y2= 的图象交于 A（﹣1，2）、 B（1，﹣2）两点，若 y1＜y2，则 x的取值范围是（ ） A．x＜﹣1或 x＞1 B．x＜﹣1或 0＜x＜1 C．﹣1＜x＜0或 0＜x＜1 D．﹣ 1＜x＜0或 x＞1 考点：反比例函数与一次函数的交点问题。 专题：数形结合。 分析：根据图象找出直线在双曲线下方的 x的取值范围即可． 解答：解：由图象可得，﹣1＜x＜0或 x＞1时，y1＜y2． 故选 D． 点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 11．（2012•广州）已知∠ABC=30°，BD是∠ABC的平分线，则∠ABD= 15 度． 考点：角平分线的定义。 专题：常规题型。 分析：根据角平分线的定义解答． 解答：解：∵∠ABC=30°，BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD= ∠ABC= ×30°=15°． 故答案为：15． 点评：本题考查了角平分线的定义，熟记定义是解题的关键． 12．（2012•广州）不等式 x﹣1≤10的解集是 x≤11 ． 考点：解一元一次不等式。 分析：首先移项，然后合并同类项即可求解． 解答：解：移项，得：x≤10+1， 则不等式的解集是：x≤11． 故答案是：x≤11． 点评：本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符 号这一点而出错． 13．（2012•广州）分解因式：a3﹣8a= a（a+2 ）（a﹣2 ） ． 考点：提公因式法与公式法的综合运用。 专题：常规题型。 分析：先提取公因式 a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 解答：解：a3﹣8a， =a（a2﹣8）， =a（a+2 ）（a﹣2 ）． 故答案为：a（a+2 ）（a﹣2 ）． 点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因 式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 14．（2012•广州）如图，在等边三角形 ABC中，AB=6，D是 BC上一点，且 BC=3BD， △ABD绕点 A旋转后得到△ACE，则 CE的长度为 2 ． 考点：旋转的性质；等边三角形的性质。 分析：由在等边三角形 ABC中，AB=6，D是 BC上一点，且 BC=3BD，根据等边三角形的 性质，即可求得 BD的长，然后由旋转的性质，即可求得 CE的长度．21世纪教育网 解答：解：∵在等边三角形 ABC中，AB=6， ∴BC=AB=6， ∵BC=3BD， ∴BD= BC=2， ∵△ABD绕点 A旋转后得到△ACE， ∴△ABD≌△ACE， ∴CE=BD=2． 故答案为：2． 点评：此题考查了旋转的性质与等边三角形的性质．此题难度不大，注意旋转中的对应关系． 15．（2012•广州）已知关于 x的一元二次方程 x2﹣2 x+k=0有两个相等的实数根，则 k值 为 3 ． 考点：根的判别式。 分析：因为方程有两个相等的实数根，则△=（﹣2 ） 2﹣4k=0，解关于 k的方程即可． 解答：解：∵关于 x的一元二次方程 x2﹣2 x+k=0有两个相等的实数根， ∴△=（﹣2 ）2﹣4k=0， ∴12﹣4k=0， 解得 k=3． 故答案为：3． 点评：本题考查了一元二次方程根的判别式，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0， 方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 16．（2012•广州）如图，在标有刻度的直线 l上，从点 A开始， 以 AB=1 为直径画半圆，记为第 1个半圆； 以 BC=2为直径画半圆，记为第 2个半圆； 以 CD=4 为直径画半圆，记为第 3个半圆； 以 DE=8 为直径画半圆，记为第 4个半圆， …按此规律，继续画半圆，则第 4个半圆的面积是第 3个半圆面积的 4 倍，第 n个半圆 的面积为 22n﹣5π （结果保留π） 考点：规律型：图形的变化类。 分析：根据已知图形得出第 4个半圆的半径是第 3个半圆的半径，进而得出第 4个半圆的面 积与第 3个半圆面积的关系，得出第 n个半圆的半径，进而得出答案． 解答：解：∵以 AB=1为直径画半圆，记为第 1个半圆；21世纪教育网 以 BC=2为直径画半圆，记为第 2个半圆； 以 CD=4 为直径画半圆，记为第 3个半圆；21世纪教育网 以 DE=8 为直径画半圆，记为第 4个半圆， ∴第 4个半圆的面积为： =8π， 第 3个半圆面积为： =2π， ∴第 4个半圆的面积是第 3个半圆面积的 =4倍； 根据已知可得出第 n个半圆的直径为：2n﹣1， 则第 n个半圆的半径为： =2n﹣2， 第 n个半圆的面积为： =22n﹣5π． 故答案为：4，22n﹣5π． 点评：此题主要考查了数字变化规律，注意数字之间变化规律，根据已知得出第 n个半圆的 直径为：2n﹣1是解题关键． 三、解答题（本大题共 9 小题，满分 102 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（2012•广州）解方程组 ． 考点：解二元一次方程组。 专题：计算题。 分析：根据 y的系数互为相反数，利用加减消元法求解即可． 解答： 解： ， ①+②得，4x=20， 解得 x=5， 把 x=5代入①得，5﹣y=8， 解得 y=﹣3， 所以方程组的解是 ． 点评：本题考查了解二元一次方程组，有加减法和代入法两种，根据 y的系数互为相反数确 定选用加减法解二元一次方程组是解题的关键． 18．（2012•广州）如图，点 D在 AB上，点 E在 AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：BE=CD． 考点：全等三角形的判定与性质。 专题：证明题。 分析：已知图形∠A=∠A，根据 ASA证△ABE≌△ACD，根据全等三角形的性质即可求出 答案． 解答：证明：∵在△ABE和△ACD中 ， ∴△ABE≌△ACD， ∴BE=CD． 点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定方法有：SAS，ASA， AAS，SSS，用 ASA（还有∠A=∠A）即可证出△ABE≌△ACD． 19．（2012•广州）广州市努力改善空气质量，近年来空气质量明显好转，根据广州市环境保 护局公布的 2006﹣2010这五年各年的全年空气质量优良的天数，绘制折线图如图．根据图 中信息回答： （1）这五年的全年空气质量优良天数的中位数是 345 ，极差是 24 ． （2）这五年的全年空气质量优良天数与它前一年相比，增加最多的是 2008 年（填写年 份）． （3）求这五年的全年空气质量优良天数的平均数． 考点：折线统计图；算术平均数；中位数；极差。 专题：图表型。 分析：（1）把这五年的全年空气质量优良天数按照从小到大排列，根据中位数的定义解答； 根据极差的定义，用最大的数减去最小的数即可； （2）分别求出相邻两年下一年比前一年多的优良天数，然后即可得解； （3）根据平均数的求解方法列式计算即可得解． 解答：解：（1）这五年的全年空气质量优良天数按照从小到大排列如下： 333、334、345、347、357， 所以中位数是 345； 极差是：357﹣333=24； （2）2007年与 2006年相比，333﹣334=﹣1， 2008年与 2007年相比，345﹣333=12， 2009年与 2008年相比，347﹣345=2， 2010年与 2009年相比，357﹣347=10， 所以增加最多的是 2008年； （3）这五年的全年空气质量优良天数的平均数 = = =343. 2天． 点评：本题考查了折线统计图，要理解极差的概念，中位数的定义，以及算术平均数的求解 方法，能够根据计算的数据进行综合分析，熟练掌握对统计图的分析和平均数的计算 是解题的关键． 20．（2012•广州）已知 （a≠b），求 的值． 考点：分式的化简求值；约分；通分；分式的加减法。 专题：计算题。 分析： 求出 = ，通分得出 ﹣ ，推出 ，化简得 出 ，代入求出即可． 解答： 解：∵ + = ， ∴ = ， ∴ ﹣ ， = ﹣ ， = ， = ， = ， = ． 点评：本题考查了通分，约分，分式的加减的应用，能熟练地运用分式的加减法则进行计算 是解此题的关键，用了整体代入的方法（即把 当作一个整体进行代入）． 21．（2012•广州）甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张 卡片上所标有的三个数值为﹣7，﹣1，3．乙袋中的三张卡片所标的数值为﹣2，1，6．先从 甲袋中随机取出一张卡片，用 x表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片， 用 y表示取出卡片上的数值，把 x、y分别作为点 A的横坐标和纵坐标． （1）用适当的方法写出点 A（x，y）的所有情况． （2）求点 A落在第三象限的概率． 考点：列表法与树状图法；点的坐标。 分析：（1）直接利用表格列举即可解答； （2）利用（1）中的表格求出点 A落在第三象限共有两种情况，再除以点 A的所有 情况即可． 解答：解：（1）如下表， ﹣7 ﹣1 3 ﹣2 ﹣7，﹣2 ﹣1，﹣2 3，﹣2 1 ﹣7，1 ﹣1，1 3，1 6 ﹣7，6 ﹣1，6 3，6 点 A（x，y）共 9种情况； （2）∵点 A落在第三象限共有（﹣7，﹣2）（﹣1，﹣2）两种情况， ∴点 A落在第三象限的概率是 ． 点评：此题主要考查利用列表法求概率，关键是列举出事件发生的所有情况，并通过概率公 式进行计算，属于基础题． 22．（2012•广州）如图，⊙P的圆心为 P（﹣3，2），半径为 3，直线MN过点M（5，0） 且平行于 y轴，点 N在点M的上方． （1）在图中作出⊙P关于 y轴对称的⊙P′．根据作图直接写出⊙P′与直线MN的位置关系． （2）若点 N在（1）中的⊙P′上，求 PN的长．21世纪教育网 考点：作图-轴对称变换；直线与圆的位置关系。 专题：作图题。 分析：（1）根据关于 y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等找出点 P′的位置，然 后以 3为半径画圆即可；再根据直线与圆的位置关系解答； （2）设直线 PP′与MN相交于点 A，在 Rt△AP′N中，利用勾股定理求出 AN的长度， 在 Rt△APN中，利用勾股定理列式计算即可求出 PN的长度． 解答：解：（1）如图所示，⊙P′即为所求作的圆，⊙P′与直线MN相交； （2）设直线 PP′与MN相交于点 A， 在 Rt△AP′N中，AN= = = ， 在 Rt△APN中，PN= = = ． 点评：本题考查了利用轴对称变换作图，直线与圆的位置关系，勾股定理的应用，熟练掌握 网格结构，准确找出点 P′的位置是解题的关键． 23．（2012•广州）某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过 20吨，按每 吨 1.9元收费．如果超过 20吨，未超过的部分按每吨 1.9元收费，超过的部分按每吨 2.8元 收费．设某户每月用水量为 x吨，应收水费为 y元． （1）分别写出每月用水量未超过 20吨和超过 20吨，y与 x间的函数关系式． （2）若该城市某户 5月份水费平均为每吨 2.2元，求该户 5月份用水多少吨？ 考点：一次函数的应用。 专题：经济问题。 分析：（1）未超过 20吨时，水费 y=1.9×相应吨数； 超过 20吨时，水费 y=1.9×20+超过 20吨的吨数×2.8； （2）该户的水费超过了 20吨，关系式为：1.9×20+超过 20吨的吨数×2.8=用水吨数×2.2． 解答：解：（1）当 x≤20时，y=1.9x； 当 x＞20时，y=1.9×20+（x﹣20）×2.8=2.8x﹣18； （2）∵5月份水费平均为每吨 2.2元，用水量如果未超过 20吨，按每吨 1.9元收费． ∴用水量超过了 20吨． 2.8x﹣18=2.2x， 解得 x=30． 答：该户 5月份用水 30吨． 点评：考查一次函数的应用；得到用水量超过 20吨的水费的关系式是解决本题的关键． 24．（2012•广州）如图，抛物线 y= 与 x轴交于 A、B两点（点 A在点 B的 左侧），与 y轴交于点 C． （1）求点 A、B的坐标； （2）设 D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时， 求点 D的坐标； （3）若直线 l过点 E（4，0），M为直线 l上的动点，当以 A、B、M为顶点所作的直角三 角形有且只有三个时，求直线 l的解析式． 考点：二次函数综合题。 分析：（1）A、B点为抛物线与 x轴交点，令 y=0，解一元二次方程即可求解． （2）根据题意求出△ACD中 AC边上的高，设为 h．在坐标平面内，作 AC的平行 线，平行线之间的距离等于 h．根据等底等高面积相等的原理，则平行线与坐标轴的 交点即为所求的 D点． 从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线 AC向上或向下平移而形成．因 此先求出直线 AC的解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而 求得 D点坐标． 注意：这样的平行线有两条，如答图 1所示． （3）本问关键是理解“以 A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义． 因为过 A、B点作 x轴的垂线，其与直线 l的两个交点均可以与 A、B点构成直角三 角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置 关系方面考虑，以 AB为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与 A、 B点构成直角三角形．从而问题得解． 注意：这样的切线有两条，如答图 2所示． 解答： 解：（1）令 y=0，即 =0， 解得 x1=﹣4，x2=2， ∴A、B点的坐标为 A（﹣4，0）、B（2，0）． （2）S△ACB= AB•OC=9， 在 Rt△AOC中，AC= = =5， 设△ACD中 AC边上的高为 h，则有 AC•h=9，解得 h= ． 如答图 1，在坐标平面内作直线平行于 AC，且到 AC的距离=h= ，这样的直线有 2 条，分别是 l1和 l2，则直线与对称轴 x=﹣1的两个交点即为所求的点 D． 设 l1交 y轴于 E，过 C作 CF⊥l1于 F，则 CF=h= ， ∴CE= = ． 设直线 AC的解析式为 y=kx+b，将 A（﹣4，0），B（0，3）坐标代入， 得到 ，解得 ，∴直线 AC解析式为 y= x+3． 直线 l1可以看做直线 AC向下平移 CE长度单位（ 个长度单位）而形成的， ∴直线 l1的解析式为 y= x+3﹣ = x﹣ ． 则 D1的纵坐标为 ×（﹣1）﹣ = ，∴D1（﹣4， ）． 同理，直线 AC向上平移 个长度单位得到 l2，可求得 D2（﹣1， ） 综上所述，D点坐标为：D1（﹣4， ），D2（﹣1， ）． （3）如答图 2，以 AB为直径作⊙F，圆心为 F．过 E点作⊙F的切线，这样的切线 有 2条． 连接 FM，过M作MN⊥x轴于点 N． ∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半径 FM=FB=3． 又 FE=5，则在 Rt△MEF 中， ME= =4，sin∠MFE= ，cos∠MFE= ． 在 Rt△FMN中，MN=MN•sin∠MFE=3× = ， FN=MN•cos∠MFE=3× = ，则 ON= ， ∴M点坐标为（ ， ） 直线 l过M（ ， ），E（4，0）， 设直线 l的解析式为 y=kx+b，则有 ，解得 ， 所以直线 l的解析式为 y= x+3． 同理，可以求得另一条切线的解析式为 y= x﹣3． 综上所述，直线 l的解析式为 y= x+3或 y= x﹣3． 点评：本题解题关键是二次函数、一次函数以及圆等知识的综合运用．难点在于第（3）问 中对于“以 A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”条件的理解，这可以从 直线与圆的位置关系方面入手解决．本题难度较大，需要同学们对所学知识融会贯通、 灵活运用． 25．（2012•广州）如图，在平行四边形 ABCD中，AB=5，BC=10，F为 AD的中点，CE⊥AB 于 E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）． （1）当α=60°时，求 CE的长； （2）当 60°＜α＜90°时， ①是否存在正整数 k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出 k的值；若不存在，请说明理由． ②连接 CF，当 CE2﹣CF2取最大值时，求 tan∠DCF 的值． 考点：平行四边形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的 中线；勾股定理。 专题：代数几何综合题。 分析：（1）利用 60°角的正弦值列式计算即可得解； （2）①连接 CF并延长交 BA的延长线于点 G，利用“角边角”证明△AFG和△CFD全等， 根据全等三角形对应边相等可得 CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半可得 EF=GF，再根据 AB、BC的长度可得 AG=AF，然后利用等边对等角的 性质可得∠AEF=∠G=∠AFG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可 得∠EFC=2∠G，然后推出∠EFD=3∠AEF，从而得解； ②设 BE=x，在 Rt△BCE中，利用勾股定理表示出 CE2，表示出 EG的长度，在 Rt△CEG 中，利用勾股定理表示出 CG2，从而得到 CF2，然后相减并整理，再根据二次函数的最 值问题解答． 解答：解：（1）∵α=60°，BC=10， ∴sinα= ， 即 sin60°= = ， 解得 CE=5 ； （2）①存在 k=3，使得∠EFD=k∠AEF． 理由如下：连接 CF并延长交 BA的延长线于点 G， ∵F为 AD的中点， ∴AF=FD， 在平行四边形 ABCD中，AB∥CD， ∴∠G=∠DCF， 在△AFG和△CFD中， ， ∴△AFG≌△CFD（AAS）， ∴CF=GF，AG=CD， ∵CE⊥AB， ∴EF=GF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∴∠AEF=∠G， ∵AB=5，BC=10，点 F是 AD的中点， ∴AG=5，AF= AD= BC=5， ∴AG=AF， ∴∠AFG=∠G， 在△AFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF， 又∵∠CFD=∠AFG（对顶角相等）， ∴∠CFD=∠AEF， ∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF， 因此，存在正整数 k=3，使得∠EFD=3∠AEF； ②设 BE=x，∵AG=CD=AB=5， ∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x， 在 Rt△BCE中，CE2=BC2﹣BE2=100﹣x2， 在 Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=（10﹣x）2+100﹣x2=200﹣20x， ∵CF=GF（①中已证）， ∴CF2=（ CG）2= CF2= （200﹣20x）=50﹣5x， ∴CE2﹣CF2=100﹣x2﹣50+5x=﹣x2+5x+50=﹣（x﹣ ）2+50+ ， ∴当 x= ，即点 E是 AB的中点时，CE2﹣CF2取最大值， 此时，EG=10﹣x=10﹣ = ， CE= = = ， 所以，tan∠DCF=tan∠G= = = ． 点评：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数的最值问题，作出辅助线构造出全等 三角形是解题的关键，另外根据数据的计算求出相等的边长也很重要．